回归分析
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多元统计线性回归分析在数学建模中的应用
当人们对所研究对象的内在规律和个因素间的关系有充分的认识时，可考虑用机理分析方法建立数学模型，前面我们讨论的大多数模型都是如此。
如果，由于客观事物内在规律的复杂性，及人们在认识程度的限制下无法分析研究对象的内在因果关系时，通常的办法是搜集大量的相关数据，给予对数据的统计分析建立模型。
【模型一】牙膏的销售量模型
一、问题的提出 某大型牙膏制造企业为了更好地拓宽产品市场，了解销售情况，公司董事会要求销售部门根据市场调查，了解牙膏的销售量与销售价格、广告投入等之间的关系，从而预测在不同价格和广告费用下的销售量。
为此，销售部人员收集了过去30个销售周期（每4周为一个销售周期）的相关数据（见表1），试根据这些数据建立数学模型，分析牙膏销售量与其他因素的关系，为制定价格和广告投入策略提供信息。
二、模型准备与假设
由于牙膏是日常生活必需品，对大多数顾客来说，在购买牙膏时即注意不同品牌见的价格差异，也关心其广告介绍。
记牙膏的销售量为Y ，同一产品其他厂家平均价格与公司价格之差为1x ，公司投入的广告费为2x ，其他厂家品均销售价格与公司销售价格分别为3x 和4x 三、建模
由于Y 与1x 和2x 之间的关系是不确定性关系，即相关关系。
若变量Y 与1x 存在相互关系（又称其为单相关）。
若变量Y 与变量12,,...,n x x x 之间存在相关关系（则称其为复相关）。
回归分析就是处理变量之间相互关系的一种数学方法，利用它可建立变量之间的数学表达式。
1、
回归分析方法
（1） 多元回归分析方法
若.r vY 与普通变量X 间存在相互关系。
则对X 的每个确定值，Y 都有许多可能取值与之对应，即Y 的取值显现随机性。
一个自然地想法是：取Y 的条件期望{}1|E Y X x =作为Y 对应于1X x =的代表值。
同理，用{}|E Y X 作为Y 对应于X 的代表值，当X 变化时，{}|E Y X 也随之变化，即{}|E Y X 是X 的一个确定性函数，记为{}|()E Y X x f x ==
（或()Y f x e =+，其中e 是随机误差）并称其为Y 对X 的
一元回归方程。
若.r vY 与普通变量1,...,m X X 有相关关系。
类似地，我们可以取{}1122|,,...,m m E Y X x X x X x === 作为Y 对应于12,,...,m X X X 的代表值，记为{}112|,...,(,,...,)m m E Y X x x f x x x == （或12(,,...,)m Y f x x x e =+），并称其为多元回归方程或m 元回归方程。
i ）一元回归方程的确定
通常视二元有序数组(,)X Y 为总体，对其观测n 次得到的样本(,)
1,i i x y i n =，并将点画在XOY 坐
标面上，称其为散点图（见下图）。
若这些点大致在直线()l 的附近，我们就有理由认为{}|E Y X 与X 存在线性关系，不妨假设：{}01|E Y X x x ββ==+ … （1） 其中01,ββ未知待定参数。
ii ）01,ββ的确定
从图上可以看出，要找的一元线性回归方程应使得
{}1
|||n
i
i
i y E Y x =-∑达到最小，等价于
201011
min (,)()n
i i i Q y x ββββ==--∑，利用“高数”知识知：令
00101
2
011
00ˆ00i i i i i i Q
y n x y x y x x x Q ββββββββ∂⎧=⎪⎧∂-++=⎪⎪
⇒⇒=-⎨
⎨-++=∂⎪⎩
⎪=⎪∂⎩∑∑∑∑∑
221
ˆ()/()i i i x y nx y x nx β=--∑∑ 其中1
1,i i x x y y n
n
=
=
∑∑，并称0ˆβ和1ˆβ分别为0β和1
β的估计。
则得经验回归方程为： 01
ˆˆˆ......(2)Y X ββ=+
iii ）回归方程的显著性检验
由于01
ˆˆˆY X ββ=+是通过样本确定的，而{}|E Y X 与X 是否真存在线性关系仅凭一些数据的判断是不够的，若它们之间不是线性关系，那么通过样本算出的（2）式也就没有任何意义了。
所以需要对回归方程进行必要的假设检验。
检验步骤如下：
0011:0:0H H ββ=≠
为检验假设0H 是否为真，需要选取适当的“统计量”
令 2
1()
n
T i
i S Y Y ==
-∑ 称为总的偏差平方和
21ˆ()n
T i
i S Y Y ==-∑ 称为总的回归平方和 21
ˆ()n
E i i S Y Y
==-∑ 称为总的残差平方和 不难验证：T E R S S S =+。
若 2
01~(0,)e y x N ββσ=++ （随机误差） 可以证明：
(2)/~(1,2)
......(3)R E F n S S F n =--
当0H 为真时，R S 相对E S 较小，此时F 较小。
所以当F 教大时，我们就可以认为0H 是不正确的。
其中R S 反映了回归效果的好坏，E S 反映了误差e 对Y 影响的大小。
对给定的置信水平,(01)αα<<，可以通过查表得到(1,2)F n α-。
通过样本带入（3）式可得F 值，记为0F 。
当0F (1,2)F n ∞>-时，则拒绝0H ，认为X 对Y 没有线性关系； 当F (1,2)F n ∞≤-时，接受0H ，认为X 对Y 有线性相关关系。
2、 多元线性回归分析方法
若变量Y 与变量12,,...,n x x x 之间存在相关关系，并不妨假设{}112|,...,(,,...,)m m E Y X X f X X X =， 进一步假设{}1011|,...,.........(4)m m m E Y X X x x βββ=+++
称(1,...,)k
k m β= 为回归系数 0β 为回归常数，均未知待定。
为确定01,,...,m βββ视12(,,...,,)m X X X Y 为总体，并观测n 次得到一组样本1(,...,,)1,i im i x x y i n =
可以验证，在2010
111
min (,,...,)(...)m
m i
m m i Q y x x ββββ
ββ==
----∑下
可得：'
1
'
ˆ()x x x y β
-= 其中'
01ˆ(,,...,)m
ββββ=
11121
211...1...............1...m m n nm x x x x x x x ⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
'1(,...,)n Y y y =
得经验回归方程：011ˆˆˆˆ.........(5)m m
Y x x βββ=+++
检验（4）式的合理性
012:...0m H βββ==== 1:H 至少∃一个0
1,i i m β≠=
选取
令 2
1()
n
T i
i S Y Y ==
-∑
21ˆ()n
T i
i S Y Y ==-∑ 21
ˆ()n
E i i S Y Y
==-∑ 易验证：T E R S S S =+。
可以证明：统计量/~(,1)
......(6)/(1)
m E S m
F F m n m S n m =
----
对给定的置信水平α，可以确定拒绝域{}|(1)C F F F n m αα=>--
将样本代入（6）式并与(,1)F m n m α--进行比较。
若(,1)F F m n m >--，则拒绝0H ，认为方程（4）是有意义的。
在实际应用中，判断方程（5）是否有意义，还可通过计算复相关系数2
(/)R T R R S S =，则2
01R ≤≤。
若R 越接近于1，（5）式对Y 的拟合就越好。
当0H 被拒绝后，只能说明(1,)i i m β=不全为零。
若要检验i X 对Y 是否存在线性影响，还须做回归系数的显著性检验。
具体步骤是：
01:0:0
1,j j j H H j m
ββ=≠=
可以证明要找的用于检验0H 是否正确的统计量为：
~(1)t t n m =
--。
其中：21
()n
jj ij
j i I x
x ==
-∑
对给定的置信水平α，可得拒绝域：12|||(1)C t t t n m αα
-
⎧⎫
=>--⎨⎬⎩⎭
四、模型求解
【例1】 设某种水泥在凝固时所释放的热量Y 与水泥中的四种化学成分（记为：1234,,,x x x x ）有相关关系。
试建立它们之间的关系。
并进行假设检验。
