浙教版八年级下册 最短路径问题 (无答案)

一、选择题1．如图，圆柱形容器中，高为1.2 m ，底面周长为1m ，在容器内壁离容器底部0.3 m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3 m 与蚊子相对的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为（ ）m(容器厚度忽略不计)．A ．1.8B ．1.5C ．1.2D ．1.32．如图，在直角坐标系中，直线l 是经过点()1,0-，且平行于y 轴的直线，点(),1P a -与点()3,Q b 关于直线l 对称，则+a b 的值为（ ）．A ．2B ．6C ．-2D ．-63．已知点A 的坐标为()1,3，点B 的坐标为()2,1，将线段AB 沿坐标轴翻折180°后，若点A 的对应点A '的坐标为()1,3-，则点B 的对应点B '的坐标为（ ） A ．()2,2 B ．(2,1)-C ．()2,1-D ．(2,1)-- 4．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（3，﹣1），那么点P 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限516 ） A ．4B ．4±C ．2±D ．-26．下列运算中正确的是（ ）A 623=B ．233363+=C 826=D ．221)3-=7．已知|a+b ﹣220a b +-=，则（a ﹣b ）2017的值为（ ） A ．1B ．﹣1C ．2015D ．﹣20158．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，那么()2a b a b -++的结果是（ ）A ．2aB ．2bC ．2a -D ．2b -9．如图，动点P 从点A 出发，沿着圆柱的侧面移动到BC 的中点S ，若8BC =，点P 移动的最短距离为5，则圆柱的底面周长为（ ）A ．6B ．4πC ．8D ．1010．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在网格的格点上，则△ABC 的三条边中边长是无理数的有（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条11．下列以a ，b ，c 为边的三角形，不是直角三角形的是（ ）A ．1,1,2a b c ===B ．1,3,2a b c ===C ．3,4,5a b c ===D ．2,2,3a b c ===12．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，下列条件不能判断△ABC 是直角三角形的是（ ） A ．∠B ＝∠C +∠AB ．a 2＝（b +c ）（b ﹣c ）C ．∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5D ．a ：b ：c ＝3：4：5二、填空题13．如图，已知在Rt ABC 中，90,4,3C AC BC ∠===，点P 、Q 分别是边,AC AB 上的动点，连结,BP PQ ，则BP PQ +的最小值是________．14．已知点A 在x 轴上方，y 轴左侧，到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是4，那么点A 的坐标是______________．15．数轴上A 点表示的数是1-，点B ，C 分别位于点A 的两侧，且到A 的距离相等，若B 表示的数是3-，则点C 表示的数是 ____________． 16．若()2340x y -++=，则x y -=______．17．若二次根式26a +与33-是同类二次根式，则整数a 可以等于___________．（写出一个即可）18．如图，在ABC ∆中，90,4,3C AC BC ∠=︒==，点Р在射线CA 上，且12BPC BAC ∠=∠，则2BP =_______．19．如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为②．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的面积是_____．20．若直角三角形的两直角边长为a 、b 21025a a -+b ﹣12|＝0，则该直角三角形的斜边长为_____．三、解答题21．如图，平面直角坐标系xOy 中，有五个点,,,,A B C D E ．（1）哪两个点关于x 轴对称？__________（直接填写答案）；（2）在y 轴上找一个点F ，使点F 到点,D E 的距离之和最短（画出示意图即可，不需要说明理由）．22．如图，在平面直角坐标系中，直线l 过点M （1，0）且与y 轴平行，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （-2，5），B （-4，3），C （-1，1）． （1）作出△ABC 关于x 轴对称111A B C △；（2）作出△ABC 关于直线l 对称222A B C △，并写出222A B C △三个顶点的坐标．（3）若点P 的坐标是（-m ，0），其中m ＞0，点P 关于直线l 的对称点P 1，求PP 1的长．23．计算：（1316132722581--； （2）()()()243332x x x x x x -⋅--÷-．24．计算：)129522--+．25．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn ，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何?题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD 的距离为2寸，点C 和点D 距离门槛AB 都为1尺（1尺=10寸），则AB 的长是多少?26．我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个关的正方形（如图1），这个矩形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a 、b 与斜边c 满足关系式222+=a b c ．称为勾股定理．（1）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程；（2）如图3所示，90ABC ACE ∠=∠=︒，请你添加适当的辅助线证明结论222+=a b c ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】将容器侧面展开，找出A 关于EF 的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B 的长度即为所求． 【详解】 解：如图：∵高为1.2m ，底面周长为1m ，在容器内壁离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m 与蚊子相对的点A 处， ∴A′D ＝0.5m ，BD ＝1.2−0.3＋0.3＝1.2m ， ∴将容器侧面展开，作A 关于EF 的对称点A′， 连接A′B ，则A′B 即为最短距离， A′B 22'A D BD +=220.5 1.2+ 1.3（m ）．故选：D ． 【点睛】本题考查了平面展开−−−最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．2．D解析：D 【分析】结合题意，根据坐标、轴对称的性质列方程并计算，即可得到答案． 【详解】∵点(),1P a -与点()3,Q b 关于直线l 对称 ∴()()131a --=--，1b =- ∴5a =-∴()516a b +=-+-=- 故选：D ． 【点睛】本题考查了直角坐标系、坐标、轴对称、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握坐标、轴对称的性质，从而完成求解．3．C解析：C 【分析】根据点A ，点A'坐标可得点A ，点A'关于y 轴对称，即可求点B'坐标． 【详解】解：∵将线段AB 沿坐标轴翻折后，点A （1，3）的对应点A′的坐标为（-1，3），∴线段AB 沿y 轴翻折，∴点B 关于y 轴对称点B'坐标为（-2，1） 故选：C ． 【点睛】本题考查了翻折变换，坐标与图形变化，熟练掌握关于y 轴对称的两点纵坐标相等，横坐标互为相反数是关键．4．D解析：D 【解析】解：点P 的坐标为（3，﹣1），那么点P 在第四象限， 故选D ．5．C解析：C 【分析】先计算16的算术平方根a ，再计算a 的平方根即可. 【详解】 ∵4=，∴4的平方根为±2． 故选C. 【点睛】本题考查了实数的算术平方根，平方根，准确掌握这两个基本概念是解题的关键.6．A解析：A 【分析】根据二次根式的除法法则对A 进行判断；根据二次根式的加减法对B 、C 进行判断；利用二次根式的乘法法则对D 进行判断． 【详解】A =B 、=C ==D 、221)11=-=，原计算错误，不符合题意； 故选：A ． 【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算，解题的关键是熟悉二次根式的四则运算方法．7．A解析：A 【详解】解：由题意得122a b a b +=⎧⎨+=⎩ 解得：10a b =⎧⎨=⎩()()20172017101a b ∴-=-=故选A ．8．D解析：D 【分析】由数轴可得到0b a <<a b =+和绝对值的性质，即可得到答案．【详解】 解：根据题意，则0b a <<，∴0a b ->，0a b +<，∴a b -=a b a b -++ =a b a b --- =2b -； 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，绝对值的意义，数轴的定义，解题的关键是掌握所学的知识，正确得到0b a <<．9．A解析：A 【分析】根据圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求出AB 即可求解． 【详解】解：圆柱的侧面展开图如图，点P 移动的最短距离为AS=5， 根据题意，BS=12BC=4，∠ABS=90°，∴，∴圆柱的底面周长为2AB=6， 故选：A ．【点睛】本题考查圆柱的侧面展开图、最短路径问题、勾股定理，熟练掌握圆柱的侧面展开图，得出点P移动的最短距离是AS是解答的关键．10．C解析：C【分析】根据勾股定理求出三边的长度，再判断即可．【详解】解：由勾股定理得：22345AC=+=，是有理数，不是无理数；22BC=+=231322AB=+=1526即网格上的△ABC三边中，边长为无理数的边数有2条，故选：C．【点睛】本题考查了无理数和勾股定理，能正确根据勾股定理求出三边的长度是解此题的关键．11．D解析：D【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项分别进行判定，则可得出结论．【详解】解：A、因为12＋122）2，所以此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；B、因为1232＝22，所以此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；C、因为32＋42＝52，所以此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；D、因为22＋22≠32，所以此三角形不是直角三角形，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．12．C解析：C【分析】由三角形的内角和定理求解B可判断,A由勾股定理的逆定理可判断,B由三角形的内角和定理求解 ,C ∠ 可判断,C 设()30,a k k =≠ 则4,5,b k c k == 利用勾股定理的逆定理可判断.D 【详解】 解：,180,B C A A B C ∠=∠+∠∠+∠+∠=︒2180B ∴∠=︒，90B ∴∠=︒，故A 不符合题意； ()()222,a b c b c b c =+-=-222,a c b ∴+=90B ∴∠=︒，故B 不符合题意； ::3:4:5,A B C ∠∠∠=51807512C ∴∠=⨯︒=︒， ABC ∴不是直角三角形，故C 符合题意， ::3:4:5,a b c =设()30,a k k =≠ 则4,5,b k c k ==()()()222222234255,a b k k k k c ∴+=+===90C ∴∠=︒，故D 不符合题意， 故选：.C 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题13．【分析】作点B 关于AC 的对称点过点作于点Q 交AC 于点P 点P 即为所求的点此时有最小值连接根据轴对称的性质有证明根据即可求出答案【详解】作点B 关于AC 的对称点过点作于点Q 交AC 于点P 点P 即为所求的点此时 解析：245【分析】作点B 关于AC 的对称点B '，过点B '作B Q AB '⊥于点Q ，交AC 于点P ，点P 即为所求的点，此时BP PQ +有最小值，连接AB '，根据轴对称的性质有BP B P ='，证明ABC AB C '△≌△，根据2ABB ABCAB CABCSSSS''=+=，即可求出答案．【详解】作点B 关于AC 的对称点B '，过点B '作B Q AB '⊥于点Q ，交AC 于点P ，点P 即为所求的点，此时BP PQ +有最小值，连接AB '，根据轴对称的性质有BP B P ='，在Rt ABC 中，90,4,3C AC BC ∠===，225AB AC BC ∴=+=．,,AC AC ACB ACB BC B C ''=∠=∠=，()ABC AB C SAS '∴△≌△，2ABB ABC AB C ABC S S S S ''∴=+=△△△△， 即11222AB B Q BC AC ⋅=⨯⋅'， 524B Q '∴=， 245B Q '∴=， ∴BP PQ +的最小值是245， 故答案为：245． 【点睛】 本题主要考查了轴对称-最短路线问题，掌握轴对称的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质是解题的关键．14．(－43)【分析】到x 轴的距离表示点的纵坐标的绝对值；到y 轴的距离表示点的横坐标的绝对值【详解】解：根据题意可得点在第二象限第二象限中的点横坐标为负数纵坐标为正数所以点A 的坐标为(－43)故答案为：解析：(－4，3) ．【分析】到x 轴的距离表示点的纵坐标的绝对值；到y 轴的距离表示点的横坐标的绝对值．【详解】解：根据题意可得点在第二象限，第二象限中的点横坐标为负数，纵坐标为正数． 所以点A 的坐标为(－4，3)故答案为：(－4，3) ．【点睛】本题考查点的坐标，利用数形结合思想解题是关键．15．【分析】根据数轴上两点的中点求法即两数和的一半直接求出即可【详解】解：设点C所表示的数为c则解得：故答案为：【点睛】此题主要考查了数轴上两点之间中点求法我们把数和点对应起来也就是把数和形结合起来二者解析：-2【分析】根据数轴上两点的中点求法，即两数和的一半，直接求出即可．【详解】解：设点C所表示的数为c，则1-=解得：2-+故答案为：2-【点睛】此题主要考查了数轴上两点之间中点求法，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．16．7【分析】根据偶次方的非负性及算术平方根的非负性求出x=3y=-4代入x-y中计算即可【详解】∵且∴x-3=0y+4=0∴x=3y=-4∴x-y=3-（-4）=7故答案为：7【点睛】此题考查已知字母解析：7【分析】根据偶次方的非负性及算术平方根的非负性求出x=3，y=-4，代入x-y中计算即可．【详解】∵()230x-=，且()230x-≥≥，∴x-3=0，y+4=0，∴x=3，y=-4，∴x-y=3-（-4）=7，故答案为：7．【点睛】此题考查已知字母的值求代数式的值，掌握偶次方的非负性及算术平方根的非负性求出x=3，y=-4是解题的关键．17．3（答案不唯一）【分析】根据同类二次根式的概念列式计算即可【详解】解：∵二次根式与是同类二次根式∴可设则∴解得故答案为：3（答案不唯一）【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念把几个二次根式化为最简二解析：3（答案不唯一）【分析】根据同类二次根式的概念列式计算即可．【详解】解：∵二次根式26a +与33-是同类二次根式，∴可设2623a +=，则2612a +=，∴2612a +=，解得3a =，故答案为：3（答案不唯一）．【点睛】 本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．18．90【分析】设则根据题意可得求得根据勾股定理计算即可；【详解】∵设则又∵∴∴∴∵∴∴∴∴；故答案是90【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用准确计算是解题的关键解析：90【分析】设BPC x ∠=，则2BAC x ∠=，根据题意可得ABP x ∠=，求得AB AP =，根据勾股定理计算即可； 【详解】∵12BPC BAC ∠=∠，设BPC x ∠=，则2BAC x ∠=，又∵BAC BPC ABP ∠=∠+∠，2x x ABP =+∠， ∴ABP x ∠=，∴ABP BPC ∠=∠，∴AB AP =，∵90C ∠=︒，∴2222AB AC BC 345=++=，∴5AP =，∴9CD =，3BC =，∴281990BP =+=；故答案是90．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确计算是解题的关键．19．【分析】根据勾股定理可得两条直角边的平方和等于斜边的平方即第①个正方形的面积＝第②个正方形面积的两倍；同理第③个正方形面积是第②个正方形面积的一半依此类推即可解答【详解】解：第①个正方形的面积为16 解析：【分析】根据勾股定理可得两条直角边的平方和等于斜边的平方，即第①个正方形的面积＝第②个正方形面积的两倍；同理，第③个正方形面积是第②个正方形面积的一半，依此类推即可解答．【详解】解：第①个正方形的面积为16，由分析可知：第②个正方形的面积为8，第③个正方形的面积为4，故答案为：4．【点睛】本题是图形类的变化规律题，考查了勾股定理与面积的关系及等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．20．13【分析】根据非负数的性质得到ab的值然后结合勾股定理求得斜边的长度即可【详解】解：∵∴∴|a﹣5|+|b﹣12|＝0∴a＝5b＝12∴该直角三角形的斜边长为：故答案是：13【点睛】本题考查了勾股解析：13【分析】根据非负数的性质得到a、b的值，然后结合勾股定理求得斜边的长度即可．【详解】解：∵|12|0b-=，∴|12|0b-=∴|a﹣5|+|b﹣12|＝0，∴a＝5，b＝12，∴13=．故答案是：13．【点睛】本题考查了勾股定理，非负数的性质﹣绝对值、算术平方根．任意一个数的绝对值（二次根式）都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．三、解答题21．（1）点A、B；（2）见解析．【分析】（1）根据平面直角坐标系内各点的坐标特点进行判断，即可得出结论；（2）判断出B 、E 关于y 轴对称，并根据轴对称的性质可得FE+FD=FB+FD ，即可得出点F 的位置．【详解】解：（1）由图得：A ，B 两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，则点A 、B 关于x 轴对称．故答案为：点A 、B ．（2）如图所示：点F 即为所求作的点，由图得：B 、E 关于y 轴对称，∴FE=FB ．则FE+FD=FB+FD ．当B 、F 、D 三点共线时，FB+FD 最短，∴连接BD 与y 轴的交点即为点F ．【点睛】本题考查了轴对称与坐标变化以及利用轴对称求最值等知识，掌握轴对称与坐标之间的变化规律及轴对称的性质是解题的关键．22．（1）答案见解析；（2）答案见解析，点A 2（4，5），点B 2（6，3），点C 2（3，1）；（3）PP 1=2+2m【分析】（1）分别作出点A 、B 、C 关于x 轴对称的点，然后顺次连接；（2）分别作出点A 、B 、C 关于直线l 对称的点，然后顺次连接，并写出△A 2B 2C 2三个顶点的坐标（3）根据对称的性质即可得出答案．【详解】解：（1）如图所示，111A B C 即为所求；（2）如图所示，△A 2B 2C 2即为所求，由图可知，点A 2的坐标是（4，5），点B 2的坐标是（6，3），点C 2的坐标是（3，1）； （3）PP 1=2（1+m ）=2+2m ．【点睛】本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．23．（1）43-2）2x【分析】（1）根据算术平方根和立方根的运算法则进行计算即可；（2）按照整式混合运算顺序和法则计算即可．【详解】解：（1）原式)()4313144=--- 431312=-+- 43=-（2）原式()23323332x x x x =---+ 23323332x x x x =-+-=2x【点睛】本题考查了算术平方根、立方根和整式的运算，解题关键是熟记相关法则，准确进行计算．24．-2【分析】根据零指数幂、负指数幂和绝对值的性质计算即可；【详解】 解：原式23212==-；【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，准确计算是解题的关键．25．101寸【分析】取AB 的中点O ，过D 作DE ⊥AB 于E ，根据勾股定理解答即可得到结论．【详解】解：取AB 的中点O ，过D 作DE ⊥AB 于E ，如图2所示：由题意得：OA=OB=AD=BC ，设OA=OB=AD=BC=r 寸，则AB=2r （寸），DE=10寸，OE=12CD=1寸， ∴AE=（r -1）寸，在Rt △ADE 中，AE 2+DE 2=AD 2，即（r -1）2+102=r 2，解得：r=50.5，∴2r=101（寸），∴AB=101寸．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．26．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由图1可知：四个全等的直角三角形的面积+中间小正方形的面积=大正方形的面积，然后化简即可证明；（2）如图，过A 作AF AB ⊥交BC 线于D ，先证明ABC CED △≌△可得ED BC a ==，CD AB b ==，然后根据梯形EDBA 的面积列式化简即可证明．【详解】（1）证明：大正方形面积为：214()()2ab c a b a b ⨯⨯+=++ 整理得22222ab c a b ab +=++∴222+=a b c ；（2）过A 作AF AB ⊥交BC 线于D∵AC CE =，90B D ∠=∠=︒，90ECD ACB ∠+∠=︒，90ACB BAC ∠+∠=︒ ∴BAC ECD ∠=∠，∴ABC CED △≌△，∴ED BC a ==，CD AB b == ∴()2EDBA a b S a b +=⋅+梯形211222ab c =⨯+ ∴()22211222a b ab ab c ++=+ ∴222+=a b c ．【点睛】本题主要考查了运用几何图形来证明勾股定理，矩形和正方形的面积，三角形的面积，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．。

如图： 点A，B分别在直线l的两侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在什么
位置的时候，AC+BC的值最小？
A∙
l
B∙
解析：连接A，B两点，交直线l于点C，则点C即为所求的位置，可以使得 AC+BC的值最小. 依据：两点之间，线段最短.
你能利用两点分别在直线两侧的解题思路，来解决两点在直线同一侧的问题吗？
如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点C是直线l上任意一点，则
AC和BC的大小关系是什么？ l
C
A
B
容易得出，AC=BC. 依据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”.
1、利用轴对称解决简单的最短路径问题. 2、体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实 际问题转化为数学问题的思想.
∙B
A∙
你能证明这个结论吗？
∙
l
C
∙ B′
容易得出：连接AB′交直线l于点C，则点C即为所求.
证明：在直线l上任意取一点C′（不与点C重合），连接AC′，BC′，B′C′.
由轴对称的性质可得：BC=B′C，BC′=B′C′，
则AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.
在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′， 所以AC+BC<AC′+B′C′. 由点C′的任意性可知，AC+BC的值是 最小的，故点C的位置符合要求.
思考：相传古希腊亚历 大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一 天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图1中的a地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到b地.到河边什么地方 饮马可使他所走的路线全程最短？ 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题.这 个问题后来被称为“将军饮马问题”.

第05讲最短路径课程标准学习目标①最短路径的基本原理②最短路径的基本模型 1.掌握最短路径的基本原理，即两点之间线段最短，点到直线的距离最短。

2.掌握最短路径的几种模型，能够熟练的运用轴对称，垂直平分线的性质解决相应题目。

知识点01最短路径的基本原理1.最短路径的基本原理：①两点之间，线段最短。

如图，②号线最短②点到直线的距离最短。

如图，PC最短。

③垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等。

如图，MN是垂直平分线，CA=CB。

知识点02最短路径的基本类型1——直线上一点到同侧两点的距离之和最短1.如图，存在直线l以及直线外的点P和点Q，直线l上存在一点M，使得MP＋MQ的值最小：方法点拨：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，线段与直线的交点即为要找的点M。

解：如图，作点P关于直线l的对称点p’。

连接P’Q，P’Q与直线l交于点M，则此时MP＋MQ最小。

证明：∵P与P’关于直线l对称∴直线l是PP’的垂直平分线∴MP＝MP’∴MP＋MQ＝MP’＋MQ＝P’Q。

∴MP＋MQ此时有最小值，为P’Q的长度题型考点：①基本作图。

②求值计算。

【即学即练1】1．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在（）A．A点B．B点C．C点D．D点【解答】解：如图，点M′是点M关于直线l的对称点，连接M′N，则M′N与直线l的交点，即为点P，此时PM+PN最短，∵M′N与直线l交于点C，∴点P应选C点．故选：C．【即学即练2】2．如图，在等边△ABC中，BC边上的高AD＝6，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，EB+EF存在最小值，则这个最小值是（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：如图，连接CE，∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线，∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC，∴EB＝EC，∴BE+EF＝CE+EF，∴当C、F、E三点共线时，EF+EC＝EF+BE＝CF，∵等边△ABC中，F是AB边的中点，∴AD＝CF＝6，即EF+BE的最小值为6．故选：B．知识点03最短路径基本类型——角内一点与角两边构成的三角形周长最短1.如图，已知∠MON 以及角内一点P ，角的两边OM 与ON 上存在点A 与点B ，使得△PAB 的周长最小：方法点拨：分别作点P 关于OM 与ON 的对称点P ’与P ’’，连接P ’P ’’。

蚂蚁爬最短路问题进阶（综合）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，已知BC是圆柱底面的直径，AB是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：因圆柱的展开图为长方形，AC展开应该是两直线，且有公共点C．故选B试题难度：三颗星知识点：略2.如图，已知圆柱底面的周长为8dm，圆柱高为3dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为( )A.5dmB.8dmC.10dmD.15dm答案：C解题思路：如图所示，作圆柱的侧面展开图；由题意得，AB=3，BB′=8，点C为BB′中点；2AC即为所求；∵BB′=8，点C为BB′中点；∴BC=BB′=4在Rt△ABC中，∠B=90°，由勾股定理得，解得，AC=5，∴2AC=10故选C试题难度：三颗星知识点：略3.编制一个底面直径为25cm，高为100cm的圆柱形花柱架，需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根，如图中的A1C1B1，A2C2B2…．A1，B1是圆柱上下底面相对的两个点，同样A2，B2也是圆柱上下底面相对的两个点．则每一根这样的竹条长度最少是( )（π取3）A.125cmB.135cmC.145cmD.150cm答案：A解题思路：圆柱的侧面展开图是一个长方形，绕织一周的竹条，最短应是这个长方形的对角线长∵底面直径为25∴底面周长为25π≈75设每一根这样的竹条长度最少是x由题意可得，解得，x=125故选A试题难度：三颗星知识点：略4.葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是50cm，当一段葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m时，这段葛藤的长是( )m．A.3B.2.6C.2.8D.2.5答案：B解题思路：侧面展开图如图所示，∵葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m∴葛藤绕树干盘旋1圈升高为1.2m，即BC=1.2在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=0.5，BC=1.2由勾股定理得，得∴AC=1.3，∴这段葛藤的长为2×1.3=2.6m故选B试题难度：三颗星知识点：略5.如图，长方体的长、宽、高分别为4cm，2cm，10cm．如果用一根细线从点P开始经过4个侧面缠绕2圈到达点M，那么所用细线最短需要( )A.9cmB.13cmC.26cmD.30cm答案：C解题思路：如图，作出缠绕1圈的侧面展开图在Rt△PP′Q′中，∠PP′Q′=90°，PP′=12，P′Q′=5由勾股定理得，PQ′=13因此，缠绕2圈所用细线最短需要2PQ′=2×13=26cm故选C试题难度：三颗星知识点：略6.如图，圆柱底面半径为，高为9cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点A，B在同一直线上，用一根棉线从点A出发顺着圆柱侧面绕3圈到点B，则这根棉线的长度最短为( )A.5cmB.9cmC.12cmD.15cm答案：D解题思路：（思路：先算缠绕一圈的最短距离，再乘以3即可）如图，将缠绕一圈的图形展开成平面图形，根据“两点之间，线段最短”知，缠绕一圈的最短长度为的长该长方形的长即为圆柱底面周长：，该长方形的宽为，由勾股定理，知=5，因此缠绕3圈的最短长度为15cm．故选D试题难度：三颗星知识点：略7.如图，A，B是直线同侧的两点，且点A，B到的距离分别为4.5，10.5，且垂足C，D间的距离为8，若点P是上一点，则的最小值为( )A.13B.15C.17D.20答案：C解题思路：如图，作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，则点P即为所求点，线段的长即为的最小值过点作直线的延长线于点E，∵AC=4.5，BD=10.5，CD=8∴，BE=15，在Rt△BE中，∠E=90°，=8，BE=15，由勾股定理得，得∴所以的最小值是17故选C试题难度：三颗星知识点：略8.如图，圆柱形玻璃杯高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为( )cm．A.10B.15C.20D.25答案：B解题思路：圆柱形玻璃杯侧面展开如图所示，作点A关于MN的对称点B，连接BC交MN于点P，则线段BC的长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离过点C作CD⊥AM于点D，则，BM=AM=4∵圆柱形玻璃杯高为12，点C距杯内离杯底4，∴BD=12在Rt△BCD中，∠BDC=90°，CD=9，BD=12由勾股定理得∴，解得，∴AP+PC=BP+PC=BC=15，即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm故选B试题难度：三颗星知识点：略9.如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，则小虫爬到蜜糖A处的最短距离是( )A.7厘米B.8厘米C.9厘米D.10厘米答案：D解题思路：圆柱展开图如图所示，最短路径即为的长，由题意得，在Rt△中，PE=，=6-1.5+1.5=6由勾股定理可得，∴，解得，所以小虫爬到蜜糖A处的最短距离是10故选D试题难度：三颗星知识点：略10.长方体敞口玻璃罐，长、宽、高分别为14cm，5cm和8cm，在罐内点E处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外壁长方形ABCD中心正上方3cm的点H处，则蚂蚁到达饼干的最短距离是( )cm．A.15B.20C.10D.25答案：A解题思路：分情况讨论：①把长方体按照前面和右面展开，则蚂蚁到达饼干的最短距离如下图：②把长方体按照前面和下面展开，则蚂蚁到达饼干的最短距离如下图：∵225<245，∴蚂蚁到达饼干的最短距离为15故选A试题难度：三颗星知识点：略第11页共11页。