用时域ABCD矩阵对调Q锁模激光器的研究

第３２卷第２期　２００３年２月　

光子学报　

ＡＣＴＡ　ＰＨ０Ｔ０ＮＩＣＡ　ＳＩＮＩＣＡ　Ｖｏ１．３２　Ｎｏ．２　

Ｆｅｂｒｕａｒｙ　２００３　

用时域ＡＢＣＤ矩阵对调Ｑ锁模激光器的研究　

宋晏蓉　周国生　（１　山西大学电子信息技术系，太原０３０００６）　（２　天津大学精密仪器与光电工程学院，天津３０００７２）　

摘要　用时域ＡＢＣＤ矩阵讨论了调Ｑ锁模脉冲激光器输出脉冲的宽度和啁啾特性，主要给出了　调Ｑ元件作为幅度调制元件时的时域ＡＢＣＤ矩阵，并将光脉冲在激光腔中往返一周的ＡＢＣＤ矩阵　写出。用此矩阵讨论了它对锁模脉冲的影响．给出了Ｎｄ：ＹＡＧ激光器中用ｃｒ４　：ＹＡＧ作调Ｑ元件　时的调Ｑ锁模脉冲激光器特性，并讨论了腔内色散、饱和吸收强度、增益带宽对输出脉冲特性的影　响．用时域ＡＢＣＤ矩阵大大简化了计算过程．　关键词ＡＢＣＤ矩阵；调Ｑ锁模；时域；脉宽和啁啾　中图分类号ＴＮ２４８．１　３　文献识别码Ａ　

０　引言　众所周知，对于近轴光束来说，空间域和时间域　的处理方法在许多方面有相似之处．在空域中当光　束通过介质、透镜等元件时，“ｑ”参量借助于ＡＢＣＤ　矩阵简单明了地表示出腔中任意一点的光斑大小和　曲率半径，给腔参量的分析提供了简便而有效的方　法．当将空间坐标变换为时间坐标时，相应于空域的　衍射作用等同于时域的色散作用，因此用时域的　ＡＢＣＤ矩阵及“ｑ”参量法来讨论激光器输出脉冲特　性亦成为可能．Ｎａｋａｚａｗａ　ｌ　等人已发展了时域中用　ＡＢＣＤ矩阵研究锁模激光器的理论，讨论了幅度调　制、频率调制、光带宽滤波及非线性效应对锁模脉冲　的影响，给出了一个光脉冲在光纤激光器中传输的　例子．文献［２］亦是用此理论给出了一个光纤激光　器的分析实例．对于固体锁模激光器来说，当腔中有　调Ｑ元件时，会出现一种调Ｑ锁模的状态　，它不　同于完全锁模激光器，有必要对其进行一些理论分　析．本文用时域ＡＢＣＤ矩阵和“ｑ”参量法讨论了调Ｑ　锁模脉冲激光器的脉宽和啁啾特性，将调Ｑ元件的　作用等效于一个幅度调制器件，它与激光增益介质　共同作用，实现幅度调制锁模，使激光器工作于调Ｑ　锁模状态．具体分析方法是将调Ｑ脉冲的幅度函数　在最大值处展开，进行一些数学处理，将其ＡＢＣＤ矩　阵的表达形式写出，再将光脉冲在激光腔中往返一　周的ＡＢＣＤ矩阵写出，用“ｑ”参量法对调Ｑ锁模激　山西省自然科学基金资助项目（基金号：９７１０２７）　Ｅｍａｉｌ：ｙｒｓｏｎｇ２００１＠ｙａｈｏｏ．ｃｏｎ　收稿日期：２００２＿ｏ４—１２　光器的输出脉宽和啁啾进行研究．最后以Ｎｄ：ＹＡＧ　激光器中用Ｃｒ４　：ＹＡＧ作调Ｑ元件实现调Ｑ锁模　脉冲为例进行一系列讨论，给出了腔内色散、饱和吸　收强度、增益带宽对输出脉冲特性的影响．　

１　理论模型　般认为在超短脉冲激光器中传输的脉冲是　Ｓｅｃｈ型，但得出的结果比较复杂；为了得到简洁的　解析解，在此假设激光器中传输的脉冲为线性啁啾　高斯脉冲，它与Ｓｅｃｈ型得到的结果只差一个符号．　其表达式为　“（ｔ）＝￣ｏｅｘｐ［一（￡　／２＿ｒ　）（１＋ｉｃ）］　（１）　定义高斯脉冲ｑ参量为　１／ｑ＝（１＋ｉＣ）／ａ＂　（２）　式中Ｐ０代表峰值功率，＿ｒ是１／ｅ处脉宽，ｃ是线性啁　啾参量．则脉冲在腔内传输时受到的各种作用及相　

图１　脉冲在激光器中的传输图及传输矩阵　Ｆｉｇ．１　Ｄｉａｇｒａｍ　ｏｆ　ｐｕｌｓｅ　ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ　ｉｎ　ａ　ｌａｓｅｒ　ａｎｄ　ｔｒａｎｓｆｅｒ　ｍａｔｒｉｃｅｓ．　应的传输矩阵可用图１表示．系数Ｄ为二阶色散　

量，Ｂｒ为激光器的增益带宽，Ｂ　＝　，　。：２ＴＰ０ｆ　，　为非线性系数，ｆ，代表非线性晶体长度，　代表饱　和吸收项的作用．为了计算方便，假设腔中的脉冲为　高斯形．本文用调Ｑ晶体作为可饱和吸收元件进行　调Ｑ锁模．图２为调Ｑ锁模激光器输出脉冲波形的　模拟图　，从图中可看出锁模脉冲序列存在于调Ｑ　

维普资讯 http://www.cqvip.com ２期　宋晏蓉等．用时域ＡＢＣＤ矩阵对调Ｑ锁模激光器的研究　１６３　矗　Ｓ　

≥　０　△　

蛊　Ｊ　

０　８　６　４　２　０　

图２　当激光器处于Ｑ锁模状态时功率随时间的变化图　Ｆｉｇ．２　Ｔｉｍｅ　ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｏｗｅｒ　ｗｈｅｎ　ｔｈｅ　ｌａｓｅｒ　ｏｐｅｒａｔｅｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　Ｑ－－ｓｗｉｔｃｈｅｄ　ｍｏｄｅ－－ｌｏｃｋｉｎｇ　ｒｅｇｉｍｅ　包络下，且调Ｑ脉宽远大于锁模脉宽，调Ｑ元件的　作用相当于一个幅度调制器，因此用幅度调制机理　来讨论调Ｑ元件的作用，其时域ＡＢＣＤ矩阵可写为：　ｆ　ｕ．１．在此用线性ＡＢＣＤ矩阵来描述非线性作　＼　ｌ，　用，只是借助了其形式而已，其中的元素仍为非线性　量．下面求　的具体表达式．　用带有激发态吸收的可饱和吸收体速率方程来　描述激光器调Ｑ过程　ｄｎ／ｄｔ＝［　＾　一ｋａＮ　一卢　（Ⅳ柏一Ⅳ　）一１／ｒ　］ｎ　（３）　ｄＮＳｄｔ＝Ｒｐ—ｙｇＮｇ—ｋｇＮｇ１１，　（４）　ｄＮ　／ｄｔ＝　（Ⅳ柏一Ⅳ　）一　Ｎ　１１，　（５）　式中１１，是激光腔中光子数，Ⅳ　是激光反转粒子数，　Ⅳ　是可饱和吸收体基态粒子数，Ⅳ柏是Ⅳ　的初始值，　ｋ　ｋ　为对应的激光介质反转粒子数、可饱和吸收体　基态粒子数与腔中光子数的耦合系数．ｙ　＝１／ｒ　，丁　是激光辐射上能级寿命，　＝１／ｒ　，丁　是饱和吸收体　恢复时间，　。代表泵浦速率，卢＝ｏｒ　／ｏｒ　，ｏｒ　，ｏｒ　分别　为可饱和吸收体基态、激发态吸收截面．丁　＝ｌｃ／（Ｃ　（ａ／２一ｌｎＲ））是腔中光子寿命，其中ｚ　是激光器腔　长，　为腔内损耗，　为输出镜的反射率．为简化计　算过程，本文只讨论在调Ｑ脉冲包络中最大值处的　锁模脉冲特性，即只讨论ｔ＝ｔ　点处的脉冲特性，其　它点的情况亦可仿此类推．先将ｔ　点的腔中光子数　１１，的表达式写出．设时间坐标轴中脉冲达到峰值时　的时间坐标定为０，即ｔ　＝０，则：ｄｎ／ｄｔＩ　＝０，由式　（３）得　Ⅳ　一　Ⅳ　一　（Ⅳ柏一Ⅳ　）一１／ｒ＝０　（６）　Ⅳ删，Ⅳ　为ｔ＝０时激光增益介质反转粒子数和可饱　和吸收体基态粒子数．将ｎ（ｔ）在ｔ＝０附近用泰勒级　数展开，取二级近似　）＝ｎ　＋面ａｒｔ　ｌ　Ｈ　１　ｄ＇ｎ　＋．一　（７）　

等Ｉ＝ｎ２ｍ（一ｋｇ２　＋　ａＺＮ　一　Ｎ　）（８）　

将式（３）、（４）在ｔ＝０附近展开，按一般处理调Ｑ过　程的做法　，在Ｑ脉冲形成的这个很短期间（ｎｓ或　几个ｎｓ量级），方程（４）中可忽略　和ｙ　Ｎｇ项，方　程（５）中可忽略　（Ⅳ柏一Ⅳ　）项，且文中讨论的是飞　秒脉冲在ｔ＝０附近的情况，所以ｔ的量级为１０　Ｓ，　因此　ｎ　ｔ《１，ｋａｎ　ｔ《１，则Ⅳ　（ｔ），Ｎ　（ｔ）可近似为　（ｔ）＝　ｅｘｐ（一ｋｇｎ　ｔ）　（１一　ｎ　ｔ）　（９）　Ⅳ　（ｔ）＝Ｎ　ｅｘｐ（一ｋａ１１，　ｔ）　Ⅳ　（１一ｋａ１１，　ｔ）　（１０）　由于ｔ为小量，由ｅ～＝１一ａｔ＋ｃｔｚｔ　／２＋…，将（８）、　（９）、（１０）代人式（７）在ｔ＝０附近可写成　ｎ（ｔ）＝ｎ　［１—２一　ｎ　（　Ⅳ　一　Ⅳ　＋　Ｎ　）ｔ　］　ｎ　ｅｘｐ［一２～ｎ　（　Ⅳ　一　Ⅳ　＋　Ｎ　ｔ　］　（１１）　与幅度调制的基本表达式对照，可得调Ｑ元件的　ＡＢＣＤ矩阵中元素　的表达式为　＝ｎ　［　Ⅳ　一　Ⅳ　（１一卢）］　（１２）　其中ｎ　，Ⅳ　，Ⅳ　分别为腔内光子数达到最大值时　所对应的值（幅度调制的ＡＢＣＤ矩阵求法参见附　录）．　至此，已将调Ｑ锁模激光器中所有元素的　ＡＢＣＤ矩阵全部写出，则光脉冲在激光腔中传输一　周的总ＡＢＣＤ矩阵为　

（Ａｃｔ　１２ｉＤ＋２／　）（１３，　

其中忽略了二阶乘积项．若激光器处于稳定工作状　态，则其ｑ　＝ｑｉｎ应成立，即　ｑ＝（Ａ　ｑ＋Ｂ　）／（Ｃ　ｑ＋Ｄ　）　（１４）　将Ａ　Ｂ　Ｃ　Ｄ　各参数代人式（１４），即可得到稳态工作　时，在调Ｑ脉冲包络最大值处，调Ｑ锁模激光器的　输出脉宽和啁啾表达式．由式（１４）可得　

／　：　（１５）　ｑ　２／Ｂｒ　一ｉ２Ｄ　丁２　、　

将式（１５）虚实部分开，即可得出关于丁和Ｃ的两个　方程　

ｒＣ＝（　Ｄｒ　＋Ｏｌ１丁　一　）／（４Ｂｆ　＋４Ｄ　）　｛１一Ｃ　／Ｂｒ　一Ｏｌ１Ｄ／ｒ　（１６）　【Ｔ２—２／Ｂ，４＋２Ｄ　

联立求解即可得出脉宽和啁啾的值．　

２讨论　以Ｎｄ：ＹＡＧ激光器中用Ｃｒ４　：ＹＡＧ作为调Ｑ　元件的调Ｑ锁模激光器为例，将其参量代人方程式　（１６），讨论腔内色散、饱和吸收、增益带宽对输出脉　宽和啁啾的影响．　

维普资讯 http://www.cqvip.com １６４　光子学报　２．１色散、饱和吸收强度对脉宽、啁啾的影响　取Ｃｒ４　：ＹＡＧ作为调Ｑ晶体的Ｎｄ：ＹＡＧ激光　器参量：　＝８．２×１０．１　ｃｍ　，　。：４．３×１０　ｅｍ　，卢　／ｏｒ　＝０．１９，ｋ　：４．１×１０一…ｓ‘。，ｋ１．３×１０一　

ｓ一　贝０：ｎｍ＝４．０×１０　，Ⅳ肿＝１．０７×１０　，Ｎａｍ＝９．０　×１０Ｈ代入式（１２）即可得出　＝６．０４×１０　（１／　

ｓ　）．取　，＝７　ｘ　１０　ｓ＿。，　ｌ＝２　０ｌ　，ｙ＝１．８×１０　／　（Ｗ·ｍ），ｌ　：１０　ｍｍ，Ｐ０＝２．５７　ｋＷ（Ｐ０为腔内调Ｑ　脉冲的峰值功率，取决于激光器中各元件参量）．将　这些参量代入式（１６），即可得出激光器输出脉宽、　啁啾随饱和吸收强度、色散的变化曲线．　图３为激光器输出脉宽、啁啾随腔内色散、饱和　吸收强度的变化曲线，从图中看出，对于负色散区，　随着色散量的减小，脉宽变窄；随饱和吸收强度的增　大，脉宽亦变窄，这符合通常对腔内色散、非线性作　用的讨论；这个区域脉冲的啁啾较小．　

专　≥　

ｊ　

ｌ０　８　｝６　专４　２　０　

１ｏｏＯＯ一５０００　０　５０００　１ＯＯ１）ｏ　Ｄ／ｆｓ２　

（ａ）ｐｕｌｓｅ　ｗｉｄｔｈ　

１００００—５０００　０　５０００　ｌ００００　Ｄ｝　２　

（ｂ）ｐｕｌｓｅ　ｃｈｉｒｐ　

图３　激光特性随腔内色散和吸收的变化曲线　Ｆｉｇ．３　Ｌａｓｅｒ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　ｖｅｒｓｕｓ　ｔｈｅ　ｉｎｔｒａｃａｖｉｔｙ　ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ　ａｎｄ　ａｂｓｏｒｐｔｉｏｎ．　对于正色散区，随着色散量的增大，脉宽变宽９·　随着饱和吸收强度的增大，脉宽变窄；啁啾随色散增　大而增大．　２．２激光介质的增益带宽对锁模脉冲的影响　我们在Ｏｔ　：１０　附近范围内取一些值，看增益带宽　对激光器输出脉冲的影响．图４为色散取正、负值时　的情况．从图中可看出，在正色散区，脉宽、啁啾随色　散的增大而增大，随增益带宽的增大而增大，且幅度　变化较大；在负色散区，脉宽随色散增大而增大，随　

增益带宽增大而减小，变化不大；啁啾随色散增大而　减小，随增益带宽增大而减小．