第十二讲 矩形 菱形

课题矩形菱形的题目研究教学目标矩形的概念矩形的性质应用矩形的判定重点矩形的性质与判定难点矩形的性质与判定特殊的平行四边形知识点梳理：1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

（长方形和正方形都是矩形）一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、判定：①矩形：有三个角是直角的四边形。

对角线相等的平行四边形②菱形：四条边相等的四边形。

对角线互相垂直的平行四边形。

③正方形：按照定义。

3、性质：①矩形：四个角都是直角，对角线相等。

②菱形：四条边都相等，对角线互相垂直并且每条对角线平分一组对角。

③正方形：四个角都是直角，四条边相等，对角线相等，互相垂直平分并且每条对角线平分一组对角。

一、矩形—A组1、（2011•肇庆）如图．矩形ABCD的对角线相交于点O．DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）若∠ACB=30°，菱形OCED的而积为38，求AC的长．2、（2011•湘西州）如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠ACB=30°，AB=2．（1）求AC的长．（2）求∠AOB的度数．（3）以OB、OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积．3、（2011•厦门）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点．求证：∠EBC=∠ECB．4、（2011•泉州）如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把△ACD 沿CA 方向平移得到111D C A △．（1）证明：B CC AD A 111≌△△；（2）若∠ACB=30°，试问当点1C 在线段AC 上的什么位置时，四边形11D ABC 是菱形．（直接写出答案）5、（2011•清远）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE=BC ，DF ⊥AE ，垂足为F ，连接DE ．（1）求证：AB=DF ；（2）求证：△ABE ≌△DFA ；6、（2010•泰州）如图，四边形ABCD 是矩形，∠EDC=∠CAB ，∠DEC=90°．（1）求证：AC ∥DE ；（2）过点B 作BF ⊥AC 于点F ，连接EF ，试判别四边形BCEF 的形状，并说明理由．7、（2010•丹东）如图，已知矩形ABCD 中，E 是AD 上的一点，F 是AB 上的一点，EF ⊥EC ，且EF=EC ，DE=4cm ，矩形ABCD 的周长为32cm ，求AE 的长．8、（2010•北海）在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AE ⊥BD ，且AE 平分∠BAO ．求∠AOB 度数．9、（2010•百色）已知矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 是对角线BD 上的两点，且BF=DE ．（1）按边分类，△AOB 是_________三角形；（2）猜想线段AE 、CF 的大小关系，并证明你的猜想．10、（2009•中山）如图所示，在矩形ABCD 中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O ．以OB 、OC 为邻边作第1个平行四边形C OBB 1，对角线相交于点1A ；再以11B A 、C A 1为邻边作第2个平行四边形C C B A 111，对角线相交于点1O ；再以11B O 、11C O 为邻边作第3个平行四边形1211C B B O …依此类推．（1）求矩形ABCD 的面积；（2）求第1个平行四边形C OBB 1，第2个平行四边形和第6个平行四边形的面积．11、（2009•衢州）如图，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方，点Q 在矩形内．求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ．12、（2009•防城港）如图，矩形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，△DEF为等腰直角三角形，∠DEF=90°，AD+CD=10，AE=2，求AD的长．13、（2008•张家界）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．14、（2008•常州）已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED，EF⊥ED．求证：AE平分∠BAD．二、矩形—Ｂ组1、（2011•乌鲁木齐）如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，点E、F分别是CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明．2、（2011•青岛）在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．（1）求证：△BEC≌△DFA；（2）连接AC，当CA=CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论．3、（2011•滨州）如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF．那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．4、（2010•肇庆）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O，∠1=∠2．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠BOC=120°，AB=4cm，求四边形ABCD的面积5、（2010•聊城）如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．（1）求∠CAE的度数；（2）取AB边的中点F，连接CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．6、（2010•常州）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．7、（2010•安顺）已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为点E ，（1）求证：四边形ADCE 为矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．8、（2009•聊城）如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作MN ∥BC ，交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ．（1）求证：OC=21EF ； （2）当点O 位于AC 边的什么位置时，四边形AECF 是矩形？并给出证明．9、（2009•衡阳）如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 、AE 分别是∠BAC 和∠BAC 和外角的平分线，BE ⊥AE ． （1）求证：DA ⊥AE ；（2）试判断AB 与DE 是否相等？并证明你的结论．10、（2009•安顺）已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交于BE 的延长线于点F ，且AF=DC ，连接CF ．（1）求证：D 是BC 的中点；（2）如果AB=AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．11、（2008•宿迁）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ．（1）求证：AB=CF ；（2）当BC 与AF 满足什么数量关系时，四边形ABFC 是矩形，并说明理由．12、（2008•南京）如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 为BC 上两点，且BE=CF ，AF=DE ． 求证：（1）△ABF ≌△DCE ；（2）四边形ABCD 是矩形．13、（2007•衡阳）已知，如图，▱ABCD 中，BE ，CF 分别是∠ABC 和∠BCD 的一平分线，BE ，CF 相交于点O ．（1）求证：BE ⊥CF ；（2）试判断AF 与DE 有何数量关系，并说明理由；（3）当△BOC 为等腰直角三角形时，四边形ABCD 是何特殊四边形？（直接写出答案）14、（2006•成都）已知：如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是线段BC 延长线上一点，过点A 作BE 的平行线与线段ED 的延长线交于点F ，连接AE ，CF ．（1）求证：AF=CE ；（2）若AC=EF ，试判断四边形AFCE 是什么样的四边形，并证明你的结论．15、（2004•贵阳）如图，四边形ABCD 中，AC=6，BD=8且AC ⊥BD ．顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形1111D C B A ；再顺次连接四边形1111D C B A 各边中点，得到四边形2222D C B A …如此进行下去得到四边形n n n n D C B A（1）证明：四边形1111D C B A 是矩形；（2）写出四边形1111D C B A 和四边形2222D C B A 的面积；（3）写出四边形n n n n D C B A 的面积；（4）求四边形5555D C B A 的周长．16、如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF=BD ，连接BF ．（1）求证：BD=CD ；（2）如果AB=AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论17、如图，O 是菱形ABCD 对角线的交点，作DE ∥AC ，CE ∥BD ，DE 、CE 交于点E ，四边形OCED 是矩形吗？说说你的理由．34、请阅读下列材料：问题：如图，在正方形ABCD 和平行四边形BEFG 中，点A ，B ，E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接PG ，PC ．探究：当PG 与PC 的夹角为多少度时，平行四边形BEFG 是正方形？小聪同学的思路是：首先可以说明四边形BEFG 是矩形；然后延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理可以探索出问题的答案．请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题．（1）求证：四边形BEFG 是矩形；（2）PG 与PC 的夹角为＿＿＿度时，四边形BEFG 是正方形．理由：18、如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若E ，F 是AC 上两动点，分别从A ，C 两点以相同的速度向C 、A 运动，其速度为1cm/s ．（1）当E 与F 不重合时，四边形DEBF 是平行四边形吗？说明理由；（2）若BD=12cm ，AC=16cm ，当运动时间t 为何值时，以D 、E 、B 、F 为顶点的四边形是矩形？19、如图，△ABC 中，D 为边AC 的中点，过点D 作MN ∥BC ，CE 平分∠ACB 交MN 于E ，CF 平分∠ACG 交MN 于F ，求证：（1）ED=DF ；（2）四边形AECF 为矩形．20、我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的中点．（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；（2）如果我们对四边形ABCD 的对角线AC 与BD 添加一定的条件，则可使四边形EFGH 成为特殊的平行四边形，请你经过探究后直接填写答案：①当AC=BD 时，四边形EFGH 为_____________；②当AC _______BD 时，四边形EFGH 为矩形；③当AC=BD 且AC ⊥BD 时，四边形EFGH 为________________21、如图，DB ∥AC ，且DB=21AC ，E 是AC 的中点， （1）求证：BC=DE ；（2）连接AD 、BE ，若要使四边形DBEA 是矩形，则给△ABC 添加什么条件，为什么？22、如图，梯形ABCD中，AD=18cm BC=24cm点P从点A开始沿AD以1cm/秒速度向D点运动，点Q从C点开始沿BC以2cm/秒的速度向B点运动，假设点P、Q同时开始运动，设其运动时间为t秒，求：（1）t为多少秒时，四边形ABQP为矩形？（2）t为多少秒时，四边形PQCD为等腰梯形？23、如图．平行四边形ABCD中，AD=2AB，M、N分别为AD、BC的中点，AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q．求证：（1）四边形ABNM为菱形；（2）四边形PNQM为矩形．24、如图，已知△ABC为等边三角形，CF∥AB，点P为线段AB上任意一点（点P不与A、B重合），过点P作PE∥BC，分别交AC、CF于G、E．（1）四边形PBCE是平行四边形吗？为什么？（2）求证：CP=AE；（3）试探索：当P为AB的中点时，四边形APCE是什么样的特殊四边形？并说明理由．作业巩固1、如图，平行四边形ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，BE⊥DE于E。

讲义矩形和菱形龙文教育学科教师辅导讲义线（虚线）剪开，那剪下的①这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为 .【答案】3:2例1. 如图，菱形ABCD中，AC和BD交于点O，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OG⊥CD于G，OH⊥AD于H，试说明四边形EFGH为矩形。

分析：四边形EFGH与已知条件有关的主要是对角线，如果能够证明对角线EG和HF相等且互相平分，那么就能够判定四边形EFGH是矩形，根据菱形的对角线平分每一组对角，知AC是∠DAB和∠DCB的角平分线，DE是∠ADC和∠ABC的角平分线，因为OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，OH⊥AD，根据角平分线的性质很容易得出OE＝OF＝OG＝OH解：∵四边形ABCD是菱形∴AC、BD平分对角∴O点在∠DAB、∠BCD、∠CDA、∠ABC的角平分线上又∵OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，OH⊥AD∴OE＝OF＝OG＝OH又∵AB//CD∴OE⊥CD又∵OG⊥OD∴直线OE与OG重合即E、O、G三点共线同理可证H、O、F共线∴EFGH是平行四边形又∵HF=EG ∴四边形EFGH是矩形点拨：（1）用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形。

（2）用对角线判定一个四边形是矩形也必须同时满足两个条件：一是对角线相等，二是平行四边形。

例2．如图，□ABCD中，AE、BF、CG、DH分别是各内角的平分线，E、F、G、H为它们的交点，求证：四边形EFGH的矩形。

例3．如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，︒=∠120AOD，AB=4cm，求此矩形的面积。

DACBHGFE例4．如图，矩形ABCD 中，BD CE ⊥，E 为垂足，1:3:=∠∠ECB DCE ，则ACE ∠等于多少？【巩固练习】1、在矩形中，对角线具有的性质是（ ）A ．相等且互相垂直B ．相等且互相平分C ．互相垂直且互相平分D ．互相垂直且平分内角2、下列说法错误的是（ ）．（A ）矩形的对角线互相平分 （B ）矩形的对角线相等（C ）有一个角是直角的四边形是矩形 （D ）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 3、矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ） （A ）2对 （B ）4对 （C ）6对 （D ）8对4、①矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是②已知矩形的一条对角线与一边的夹角为 30°，则矩形两条 对角线相交所得的四个角的度数分为 、 、 、 ．③已知矩形的一条对角线长为10cm ， 两条对角线的一 个交角 为120°，则矩形的边长分别 为 cm ， cm ， cm ， cm5. （2011甘肃兰州，20，4分）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。

矩形、菱形和正方形的相互关系简介矩形、菱形和正方形是几何学中常见的形状。

它们具有一些相似之处，但也有一些区别。

了解它们之间的关系可以帮助我们更好地理解它们的特点和性质。

矩形矩形是一个具有四条边和四个角的四边形。

矩形的对边长度相等且平行，且相邻两边的角度为90度。

矩形的特点是面积容易计算，即面积等于长度乘以宽度。

我们可以使用公式A = l * w来计算矩形的面积。

菱形菱形也是一个具有四条边和四个角的四边形。

与矩形不同的是，菱形的对边长度相等，但相邻两边的角度不一定为90度。

菱形的特点是它的对角线相互垂直且相等。

我们可以使用公式A = (d1 *d2) / 2来计算菱形的面积，其中d1和d2是菱形的对角线长度。

正方形正方形是一个特殊的矩形，它的四条边长度相等且每个角度都为90度。

正方形的特点是它的对角线长度相等且相互垂直。

正方形的面积计算也非常简单，即面积等于边长的平方。

我们可以使用公式A = s^2来计算正方形的面积，其中s是正方形的边长。

相互关系矩形和正方形是有关系的，可以说正方形是矩形的一种特殊情况。

正方形是一种特殊的矩形，其边长相等。

因此，矩形的特性同样适用于正方形。

菱形和矩形之间也有一些关系。

由于菱形的对角线相互垂直，因此它可以划分成四个直角三角形。

这些三角形的特性也适用于菱形。

总结一下，矩形和菱形可以有一些共同的特点和性质，而正方形则是矩形的一种特殊形式。

结论矩形、菱形和正方形之间有一些相似之处，但也有一些区别。

矩形和正方形之间的关系是正方形是矩形的一种特殊情况。

菱形则具有特殊的对角线性质，可以划分成四个直角三角形。

了解这些形状的特性和相互关系可以帮助我们更好地理解几何学的基础概念。

周长
正方形的周长是其四个边的总和，即周长 = 4 × 边长 。
正方形的判定
定义判定
根据正方形的定义，我们可以知道正方形的 一组邻边相等且夹角为直角。因此，判定一 个四边形是否为正方形的方法之一是检查其 是否满足上述条件。
对角线判定
正方形的对角线相等且互相平分，因此我们 可以通过对角线的性质来判定一个四边形是 否为正方形。如果一个四边形的对角线相等 且互相平分，那么这个四边形就是正方形。
标注尺寸
在菱形内标注表示边长选择一个中心点，以 此为中心放置正方形 。
绘制两条对角线
从中心点出发，分别 连接正方形的两个对 角顶点，形成对角线 。
确定边长
根据需要确定正方形 的边长，并标记在正 方形的四个顶点上。
连接边长
使用直尺或画笔连接 正方形四个顶点上的 边长，形成正方形的 四条边。
菱形的面积与周长
面积
菱形的面积等于其对角线乘积的一半。 即菱形面积 = (边长 × 边长) × 对角线长 度的一半。
VS
周长
菱形的四条边都相等，所以周长 = 边长 × 4。
菱形的判定
定义判定
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线判定
对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
03
正方形
定义与性质
定义
标注尺寸
在矩形内标注表示长和宽的尺寸。
作菱形的方法
绘制两条对角线
从中心点出发，分别连接菱形 的两个对角顶点，形成对角线 。
连接边长
使用直尺或画笔连接菱形两个 对角顶点上的边长，形成菱形 的四条边。
确定中心
选择一个中心点，以此为中心 放置菱形。
确定边长
根据需要确定菱形的边长，并 标记在菱形的两个对角顶点上 。