湖北省孝感市高一数学上学期六校教学联盟期末联合考试试题理

2015-2016学年湖北省孝感市六校教学联盟高一（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．sin210°的值为（）A． B．﹣C．D．﹣【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题．【分析】所求式子中的角度变形后，利用诱导公式化简即可求出值．【解答】解：sin210°=sin=﹣sin30°=﹣．故选B【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2．下列各组的两个向量，平行的是（）A．=（﹣2，3），=（4，6）B．=（1，﹣2），=（7，14）C．=（2，3），=（3，2） D．=（﹣3，2），=（6，﹣4）【考点】平行向量与共线向量．【专题】计算题．【分析】判断两向量共线，利用共线向量定理，只需找到一个实数λ，使得=λ，另外零向量与任意向量平行，于是可得本题答案．【解答】解：对于﹣2×6≠3×4，所以两个向量不平行，对于B，因为1×14≠﹣2×7，所以两个向量不平行，对于C，因为2×2≠3×3，所以两个向量不平行，对于D，因为﹣3×（﹣4）=2×6，所以两个向量平行，故选D【点评】本题考查空间向量的概念，向量共线定理：存在实数λ，使得=λ的应用．3．下列函数是偶函数的是（）A．y=sinx B．y=xsinx C．y=x D．y=2x﹣【考点】函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据偶函数的定义进行判断即可．【解答】解：A．y=sinx是奇函数，不满足条件．B．f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）=xsinx=f（x）是偶函数，满足条件．C．y=x的定义域为[0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．D ．f （﹣x ）=﹣2x =﹣（2x ﹣）=﹣f （x ），函数是奇函数，不满足条件．故选：B【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据定义和函数奇偶性的性质是解决本题的关键．4．如图，在四边形ABCD 中，设，，，则=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】向量加减混合运算及其几何意义． 【专题】计算题；数形结合；平面向量及应用．【分析】利用平面向量的线性运算化简=﹣=+﹣．【解答】解： =﹣=+﹣ =+﹣， 故选A ．【点评】本题考查了平面向量线性运算的应用．5．已知α是第二象限角， =（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】同角三角函数间的基本关系． 【专题】三角函数的求值．【分析】由α为第二象限角，得到cos α小于0，根据sin α的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cos α的值．【解答】解：∵α为第二象限角，且sin α=，∴cos α=﹣=﹣．故选A【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．6．若sin α＞0，且tan α＜0，则角α的终边位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【考点】象限角、轴线角． 【专题】计算题．【分析】由sin α＞0，则角α的终边位于一二象限，由tan α＜0，则角α的终边位于二四象限，两者结合即可解决问题．【解答】解：∵sin α＞0，则角α的终边位于一二象限，∵由tanα＜0，∴角α的终边位于二四象限，∴角α的终边位于第二象限．故选择B．【点评】本题考查三角函数值的符号规律，属于基础题，合理地将条件化简，从而将问题转化为已知三角函数值的符号问题．7．若tanα=2，则等于（）A．﹣3 B． C． D．3【考点】三角函数的化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得所给式子的值．【解答】解：∵tanα=2，则===3，故选：D．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．8．函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（e，3）D．（e，+∞）【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】数形结合．【分析】分别画出对数函数lnx和函数的图象其交点就是零点．【解答】解：根据题意如图：当x=2时，ln2＜lne=1，当x=3时，ln3=ln＞=ln=，∴函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（2，3），故选B．【点评】此题利用数形结合进行求解，主要考查了函数的零点与方程根的关系，是一道好题．9．将函数y=cosx的图象经过怎样的平移，可以得到函数的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：把函数y=cosx=sin（x+）的图象向右平移个单位，可得y=sin（x﹣）=sin（x+）的图象；故选：C．【点评】本题主要考查诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．10．已知O，N，P在△ABC所在平面内，且|=，且，则点O，N，P依次是△ABC的（）A．重心外心垂心B．重心外心内心C．外心重心垂心D．外心重心内心【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】据O到三角形三个顶点的距离相等，得到O是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有③④两个选项，只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以，移项相减，得到垂直，即得到P是三角形的垂心．【解答】解：∵||=||=||，∴O到三角形三个顶点的距离相等，∴O是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C，D两个选项，∴只要判断第三个条件可以得到三角形的内心或垂心就可以，∵，∴（）=0，=0，∴，同理得到另外两个向量都与边垂直，得到P是三角形的垂心，故选C．【点评】本小题主要考查向量的数量积的运算法则、三角形五心等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，本题是一个考查的向量的知识点比较全面的题目，把几种三角形的心总结的比较全面，解题时注意向量的有关定律的应用．11．奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，若f（﹣1）=0，则不等式f（x）＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）（∪1，+∞）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】作图题．【分析】根据题目条件，画出一个函数图象，再观察即得结果．【解答】解：根据题意，可作出函数图象：∴不等式f（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）故选A．【点评】本题主要考查函数的图象和性质，作为选择题，可灵活地选择方法，提高学习效率，培养能力．12．同时具有性质“周期为π，图象关于直线x=对称，在上是增函数”的函数是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】余弦函数的图象．【专题】函数思想；定义法；三角函数的图像与性质．【分析】根据函数周期性，对称性和单调性的性质进行判断即可．【解答】解：A ．函数的周期T=，不满足条件．B ．函数的周期T=π，当x=时，y=sin （+）=sin ≠±1，则函数关于x=不对称，不满足条件．C ．函数的周期T=π，当x=时，y=cos （﹣）=cos =0，则函数关于（，0）对称，不满足条件．D ．函数的周期T=π，当x=时，y=sin （﹣）=sin =1，该函数关于关于直线x=对称，在上是增函数，满足条件．故选：D ． 【点评】本题主要考查三角函数的性质，根据三角函数的周期性对称性和单调性的性质是解决本题的关键．一、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请将正确答案填在相应位置上． 13．A={x|﹣2≤x ≤5}，B={x|x ＞a}，A ⊆B ，则a 取值范围是 （﹣∞，﹣2） ． 【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】借助于子集概念得到两集合端点值的关系，求解不等式得到m的范围．【解答】解：因为A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|x＞a}，A⊆B，所以a＜﹣2，故答案为（﹣∞，﹣2）．【点评】本题考查了集合的包含关系判断及应用，体现了数形结合思想．14．若圆的半径是6cm，而15°的圆心角所对的弧长是，所对扇形的面积是．【考点】扇形面积公式；弧长公式．【专题】三角函数的求值．【分析】首先，将给定的度数化为弧度数，然后，结合弧长公式和扇形的面积公式求解．【解答】解：∵15°=，∴，∴15°的圆心角所对的弧长是；扇形的面积：=．∴所对扇形的面积是．故答案为：，．【点评】本题重点考查了弧度和角度的互化、扇形面积公式、弧长公式等知识，属于中档题．15．已知向量，，，若∥，则k=5．【考点】平面向量的坐标运算．【专题】计算题；规律型；平面向量及应用．【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．【解答】解：向量，，，若∥，可得3（3﹣k）=1﹣7，解得k=5．故答案为：5【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．16．某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数T=Asin（ωt+φ）+B（其中＜φ＜π）6时至14时期间的温度变化曲线如图所示，它是上述函数的半个周期的图象，那么图中曲线对应的函数解析式是y=10sin（x+）+20，x∈[6，14]．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由图中的最大值与最小值可求得b与A，由函数的周期可求得ω，由10ω+φ=2kπ，k∈Z，可求得φ．【解答】解：依题意，b==20，∵A＞0，∴30=A+b=A+20，∴A=10；又=14﹣6=8，ω＞0，∴T==16，∴ω=，∴y=f（x）=10sin（x+φ）+20，又f（10）=20，∴×10+φ=2kπ，（k∈Z），∵＜φ＜π，∴φ=．∴y=f（x）=10sin（x+）+20，x∈[6，14]．故答案为：y=10sin（x+）+20，x∈[6，14]．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求得φ是难点，考查识图与应用的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知角α的终边经过点（1）求sinα；（2）求的值．【考点】任意角的三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】（1）根据角在坐标系的表示方法来求解，（2）求出sinα和cosα的值，进行化简来求解．【解答】解：（1）由α的终边经过点得，r==1，∴sinα=（2）由（1）知α是第四象限角；于是cosα=∴===【点评】考查了角在坐标系的表示以及三角函数的运算，属于基础题18．已知三个点A（2，1）、B（3，2）、D（﹣1，4）．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】（I）运用平面向量的数量积得出=1×（﹣3）+1×3=0，求解即可．（II）．，坐标得出点C的坐标为（0，5）．再运用数量积求解得出cosθ==＞0．【解答】解（Ⅰ）证明：A（2，1），B（3，2），D（﹣1，4）．∴=（1，1），=（﹣3，3）．又∵=1×（﹣3）+1×3=0，∴．（Ⅱ）∵，若四边形ABCD为矩形，则．设C点的坐标为（x，y），则有（1，1）=（x+1，y﹣4），∴即∴点C的坐标为（0，5）．由于=（﹣2，4），=（﹣4，2），∴=（﹣2）×（﹣4）+4×2=16，=2．设对角线AC与BD的夹角为θ，则cosθ==＞0．故矩形ABCD两条对角线所夹锐角的余弦值为．【点评】本题考查了运用向量解决平面直线的位置关系，平面几何中的边长，夹角问题，准确计算化简，属于中档题．19．（1）利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图．（2）并说明该函数图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样平移和伸缩变换得到的．【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；作图题．【分析】（1）先列表如图确定的值，后描点并画图，利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图．（2）依据y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到或把y=sinx的图象横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象．推出结果．【解答】解：（1）解、先列表，后描点并画图（2）把y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到的图象，再把所得图象的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象．或把y=sinx的图象横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象．再把所得图象上所有的点向左平移个单位长度，得到，即的图象．【点评】本题考查五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查计算能力，是基础题．20．证券交易所规定，股票交易价格每日的涨跌幅均不得超过前一日收盘价的10%，当日涨幅达到10%称为涨停，跌幅达到10%称为跌停．（1）某投资人购买的股票先经历了一个涨停，又经历了一个跌停，分析该投资人赢亏情况；（2）如果他希望自己的股票在资金上翻番，至少要等多少个交易日以后？（lg1.1=0.0414，lg2=0.3010）【考点】根据实际问题选择函数类型；函数解析式的求解及常用方法；函数的值．【专题】方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据条件建立方程关系进行比较即可．（2）根据条件解不等式，利用对数的运算法则进行求解．【解答】解：（1）设投资人购买的股票价格为m，经历一个涨停后价格为m（1+10%）=1.1m，又经历一个跌停后价格为1.1m（1﹣10%）=0.99m＜m，所以投资人有一定的亏损．（2）设至少要n个交易日以后资金才会翻番且投资人的资金为a，则a（1+10%）n≥2a即：1.1n≥2两边取常用对数得：nlg1.1≥lg2又lg1.1＞0∴故至少要8个交易日以后，资金才会翻番．【点评】本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数和方程关系是解决本题的关键．21．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x．（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）当x∈时，求函数f（x）的最大值和最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得解析式f（x）=2sin（2x﹣），利用周期公式可求最小正周期，由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，可得解得f（x）的单调增区间．（2）由，可得，利用正弦函数的图象和性质可求函数f（x）的最大值和最小值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），…∴T=π．…由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，可得解得：﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴f（x）的单调增区间为：（k∈z）．…（2）∵，∴，可得：，∴．…【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期公式的应用，考查了正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和数形结合思想，属于中档题．22．已知函数f（x）=lg（3+x）+lg（3﹣x）．（1）判断f（x）的奇偶性并加以证明；（2）判断f（x）的单调性（不需要证明）；（3）解关于m的不等式．f（m）﹣f（m+1）＜0．【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】方程思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断即可．（2）根据复合函数单调性的关系进行判断．（3）根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化即可．【解答】解：（1）由，得，即﹣3＜x＜3，∴函数f（x）的定义域为（﹣3，3）．函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=lg（3﹣x）+lg（3+x）=f（x），∴函数f（x）为偶函数．（2）f（x）=lg（9﹣x2），y=lgu为增函数，u=9﹣x2在（﹣3，0）上是增函数，在（0，3）上是减函数，∴f（x）在（﹣3，0）上是增函数，在（0，3）上是减函数；（3）由f（m）﹣f（m+1）＜0得f（m）＜f（m+1），∵f（x）是定义域为（﹣3，3）上的偶函数，∴不等式等价为f（|m|）＜f（|m+1|），由，，即∴﹣3＜m＜﹣．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断以及不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．2016年3月14日。

2023年湖北省孝感市高一1月期末考试高一数学试卷命题学校：安陆一中 命题教师：王昆 李梦斌 审题学校：安陆一中 考试时间：2022年1月11日下午15：00-17：00 试卷满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定的位置上。

2．回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需要改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项是符合题目要求的）1．设全集{}0,1,2,3,4U =，集合{||2|1}A x U x =∈-<，则UA =（ ）A ．{13}xx <<∣B ．{}13x x ≤≤∣C ．{}2D ．{}0,1,3,42．tan330=（ ）A ．B ． CD 3．下列函数中是偶函数且在区间()1,0-上是增函数的是（ ） A ．2y x =B ．1y x x=+C ．2y x -=D ．sin y x =4．函数2sin y x x =的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知某扇形的圆心角为12π，面积为24π，则扇形的弧长为（ ） A ．πB ．2πC ．3πD ．4π6．设02πα<<，02πβ<<，则“sin2sin2αβ=”是“αβ=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知0.2,log a b e c === A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．b c a >>8．已知定义在()1,1-上的函数()f x 满足：当0x >时，()0f x >，且对任意的(),1,1x y ∈-，均有()()()()()1f x y f x f y f x f y ⎡⎤+-=+⎣⎦，若()1ln 2f x f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则x 的取值范围是（e 是自然对数的底数）（ ） A．1e ⎛ ⎝B．C．)1e e ⎛⋃ ⎝D．)二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

∴ ，
当且仅当 时,即 时取等号，
∴当扇形的圆心角为2时,扇形的周长取得最小值32.
故选：B.
3、C
【解析】“若 ，则 ”的否定为“ 且 ”
【详解】根据命题的否定形式可得：原命题的否定为“ ”
故选：C
4、C
【解析】令 ，
∵ , .
∴函数 在区间 上有零点
∴ ．选C
5、C
【解析】试题分析：由已知得， ，去分母得， ，所以
则有 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】首先保证真数位置 在 上恒成立，得到 的范围要求，再分 和 进行讨论，由复合函数的单调性，得到关于 的不等式，得到答案.
【详解】函数 ，
所以真数位置上的 在 上恒成立，
由一次函数保号性可知， ，
20、（1） ， ； ，
（2）分析比较见解析；应该选择模型
【解析】（1）由 ， 求得 ；由 ， 求得 ；
（2）分别由 ， ， ，算出直线和对数增长的增长率与10%比较即可.
【小问1详解】
解：由题知： ， ，
所以 ，解得： ，
所以 ， ；
又 ， ，
所以 ，
解得： ，
所以 ， ；
【小问2详解】
若按照模型 ，到2025年时， ， ，
A.
B.
C.
D.
9．已知 ,则 =（）
A. B.
C. D.
10．已知 是减函数，则a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数 在 上是x的减函数，则实数a的取值范围是______

2016-2017学年湖北省孝感市七校教学联盟高一（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请在答题卡上填涂相应选项.1．设全集U={0，1，2，3}，集合A={0，2}，集合B={2，3}，则（∁U A）∪B=（）A．{3}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}2．已知角α的终边经过点（4，﹣3），则sinα=（）A．B．C．﹣ D．﹣3．sin15°cos15°的值是（）A．B．C．D．4．函数y=sin（2x+π）是（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数5．幂函数的图象过点，则该幂函数的解析式为（）A．y=x﹣1B．C．y=x2 D．y=x36．若且，则sin（π﹣α）（）A．B．C．D．7．为得到函数y=cos（2x+）的图象，只需将函数y=cos2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位8．方程log2x+x=0的解所在的区间为（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．[1，2]9．已知，则=（）A．2 B．C．1 D．10．已知a=cos61°•cos127°+cos29°•cos37°，，，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．a＜c＜b11．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，在区间（﹣∞，0）单调递增且f（﹣1）=0．若实数a满足，则实数a的取值范围是（）A．[1，2]B．C．（0，2] D．12．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A．1 B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清、模棱两可均不得分.13．若f（x）=，则f[f（3）]=．14．弧长为3π，圆心角为π的扇形的面积为．15．定义在R上的函数f（x），对任意x∈R，都有f（x+2）=f（x），当x∈（﹣2，0）时，f（x）=2x，则f（2017）=．16．已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知角α为第四象限角，且（1）求sinα+cosα的值； （2）求的值．18．（12分）已知．（1）求sinx 的值； （2）求的值．19．（12分）已经集合A={x |（8x ﹣1）（x ﹣1）≤0}；集合C={x |a ＜x ＜2a +5} （1）若，求实数t 的取值集合B ；（2）在（1）的条件下，若（A ∪B ）⊆C ，求实数a 的取值范围． 20．（12分）已知函数（1）求函数f （x ）的最小正周期； （2）求函数f （x ）的单调递减区间． 21．（12分）某同学用“五点法”画函数在区间[﹣，]上的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上表数据补充完整，并在给出的直角坐标系中，画出f （x ）在区间[﹣，]上的图象；（2）求f （x ）的最小值及取最小值时x 的集合； （3）求f （x ）在时的值域．22．（12分）某园林公司准备绿化一块半径为200米，圆心角为的扇形空地（如图的扇形OPQ区域），扇形的内接矩形ABCD为一水池，其余的地方种花，若∠COP=α，矩形ABCD的面积为S（单位：平方米）．（1）试将S表示为关于α的函数，求出该函数的表达式；（2）角α取何值时，水池的面积S最大，并求出这个最大面积．2016-2017学年湖北省孝感市七校教学联盟高一（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请在答题卡上填涂相应选项.1．设全集U={0，1，2，3}，集合A={0，2}，集合B={2，3}，则（∁U A）∪B=（）A．{3}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与并集的定义写出运算结果即可．【解答】解：全集U={0，1，2，3}，集合A={0，2}，集合B={2，3}，则∁U A={1，3}，所以（∁U A）∪B={1，2，3}．故选：C．【点评】本题考查了集合的定义与应用问题，是基础题目．2．已知角α的终边经过点（4，﹣3），则sinα=（）A．B．C．﹣ D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】直接利用三角函数的定义，求解即可．【解答】解：因为角α的终边经过点（4，﹣3），所以r=由任意角的三角函数定义得，sinα=﹣，故选C．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，基本知识的考查．3．sin15°cos15°的值是（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦．【分析】根据二倍角的正弦公式将sin15°cos15°化为sin30°，再进行求值．【解答】解：sin15°cos15°=sin30°=，故选B．【点评】本题考查了二倍角的正弦公式的应用，需要记住特殊角的三角函数进行求值．4．函数y=sin（2x+π）是（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据三角函数的周期公式即可求出函数的周期和函数的奇偶性．【解答】解：∵ω=2，∴函数的周期T=．∵y=sin（2x+π）=﹣sin2x，∴函数y=sin（2x+π）为奇函数，故函数y=sin（2x+π）是周期为π的奇函数，故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握函数的周期性和奇偶性的判断方法．5．幂函数的图象过点，则该幂函数的解析式为（）A．y=x﹣1B．C．y=x2 D．y=x3【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】利用幂函数的定义和待定系数法求出解析式即可．【解答】解：设幂函数f（x）=xα（α为常数），∵幂函数f（x）的图象过点（2，），∴2α=，即2α=，解得α=，∴y=f（x）==．故选：B．【点评】本题考查了幂函数的定义和性质的应用问题，是基础题．6．若且，则sin（π﹣α）（）A．B．C．D．【考点】诱导公式的作用；同角三角函数间的基本关系．【分析】已知等式利用诱导公式化简求出cosα的值，由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出s inα的值，所求式子利用诱导公式化简后，将sinα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵cos（2π﹣α）=cosα=，α∈（﹣，0），∴sinα=﹣=﹣，则sin（π﹣α）=sinα=﹣．故选B【点评】此题考查了诱导公式的作用，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．7．为得到函数y=cos（2x+）的图象，只需将函数y=cos2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可选得答案．【解答】解：令y=f（x）=cos2x，则f（x+）=cos2（x+）=cos（2x+），∴为得到函数y=cos（2x+）的图象，只需将函数y=cos2x的图象向左平移个长度单位；故选C．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于中档题．8．方程log2x+x=0的解所在的区间为（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．[1，2]【考点】函数零点的判定定理．【分析】设函数f（x）=log2x+x，则根据函数零点的判定讨论，即可得到结论．【解答】解：设函数f（x）=log2x+x，则函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，则f（）=log2+=﹣1+=﹣＜0，f（1）=log21+1=1＞0，则f（）f（1）＜0，即函数f（x）零点所在的区间为（，1），则方程log2x+x=0的解所在的区间为（，1），故选：B．【点评】本题主要考查函数零点区间的判定，利用方程和函数的关系，结合函数零点存在的判定条件是解决本题的关键．9．已知，则=（）A．2 B．C．1 D．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知利用两角差的正切函数公式即可计算得解．【解答】解：∵，∴=tan[（α+β）﹣（α+）]===1．故选：C．【点评】本题主要考查了两角差的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．10．已知a=cos61°•cos127°+cos29°•cos37°，，，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．a＜c＜b【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】利用诱导公式，两角差的正弦函数公式，二倍角的正切函数公式化简，进而利用正弦函数的单调性及单位圆即可得解．【解答】解：∵a=cos61°•cos127°+cos29°•cos37°=﹣cos61°•sin37°+sin61°•cos37°=sin（61°﹣37°）=sin24°，=sin26°，=sin25°，∴由y=sinx在（0°，90°）单调递增，利用单位圆的知识可得：sin24°＜sin25°＜sin26°＜tan26°，∴a＜c＜b．故选：D．【点评】本题主要考查了诱导公式，两角差的正弦函数公式，二倍角的正切函数公式，正弦函数的单调性的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．11．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，在区间（﹣∞，0）单调递增且f（﹣1）=0．若实数a满足，则实数a的取值范围是（）A．[1，2]B．C．（0，2] D．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据条件可得到f（1）=f（﹣1）=0，，从而由可以得到f（log2a）≤0，而由条件知，f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上都为增函数，从而需讨论a：a＞1时，可得到f（log2a）≤f（1），进而得到log2a≤1，这样即可得出1＜a≤2，同样的方法，当0＜a＜1时，又可以求得一个a的范围，这两个a的范围求并集便可得出实数a的取值范围．【解答】解：f（x）为奇函数；∴f（1）=﹣f（﹣1）=0，且；∴由得，2f（log2a）≤0；∴f（log2a）≤0；①若a＞1，log2a＞0，根据题意f（x）在（0，+∞）上单调递增；∴由f（log2a）≤0得，f（log2a）≤f（1）；∴log2a≤1；∴1＜a≤2；②若0＜a＜1，log2a＜0，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增；∴由f（log2a）≤0得，f（log2a）≤f（﹣1）；∴log2a≤﹣1；∴；∴综上得，实数a的取值范围是．故选D．【点评】考查奇函数的定义，奇函数在对称区间上的单调性特点，对数的换底公式，对数函数的单调性，以及增函数的定义．12．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A ．1B ．C ．D ．【考点】由y=Asin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图象可得A=1，由周期公式可得ω=2，代入点（，0）可得φ值，进而可得f （x ）=sin （2x +），再由题意可得x 1+x 2=，代入计算可得．【解答】解：由图象可得A=1， =，解得ω=2，∴f （x ）=sin （2x +φ），代入点（，0）可得sin （+φ）=0∴+φ=kπ，∴φ=kπ﹣，k ∈Z又|φ|＜，∴φ=，∴f （x ）=sin （2x +），∴sin （2×+）=1，即图中点的坐标为（，1），又，且f （x 1）=f （x 2）（x 1≠x 2），∴x 1+x 2=×2=，∴f （x 1+x 2）=sin （2×+）=，故选：D【点评】本题考查三角函数的图象与解析式，属基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清、模棱两可均不得分.13．若f （x ）=，则f [f （3）]=．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】先求出f（3）来，再求f[f（3）]，一定要注意定义域选择好解析式．【解答】解：f（3）=1﹣2×3=﹣5f[f（3）]=f（﹣5）=sin（）=﹣故答案为﹣．【点评】本题主要考查分段函数求函数值，本题要注意两点，一是要根据定义域选择好解析式，二是当多重求值时，要从内到外求解．14．弧长为3π，圆心角为π的扇形的面积为6π．【考点】扇形面积公式．【分析】根据扇形面积公式，则必须知道扇形所在圆的半径，设其半径是r，则其弧长是，再根据弧长是3π，列方程求解．【解答】解：设扇形的半径是r，根据题意，得：=3π，解，得r=4．则扇形面积是=6π．故答案为：6π．【点评】此题考查了扇形的面积公式以及弧长公式，求出扇形的半径是解题关键．15．定义在R上的函数f（x），对任意x∈R，都有f（x+2）=f（x），当x∈（﹣2，0）时，f（x）=2x，则f（2017）=．【考点】函数的值．【分析】由已知得f（2017）=f（1）=f（﹣1），由此能求出结果．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x），对任意x∈R都有f（x+2）=f（x），当x∈（﹣2，0）时，f（x）=2x，∴f（2017）=f（1）=f（﹣1）=2﹣1=．故答案为：．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．16．已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．【考点】函数的零点与方程根的关系；分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】将方程的零点问题转化成函数的交点问题，作出函数的图象得到m的范围．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣m=0，得m=f（x）作出y=f（x）与y=m的图象，要使函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则y=f（x）与y=m的图象有3个不同的交点，所以0＜m＜1，故答案为：（0，1）．【点评】本题考查等价转化的能力、利用数学结合解题的数学思想方法是重点，要重视．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（2016秋•孝感期末）已知角α为第四象限角，且（1）求sinα+cosα的值；（2）求的值．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，cosα的值，即可得解；（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．【解答】解：（1）因为角α为第四象限角，且，∴，…则．…（2）原式=．…（10分）【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18．（12分）（2016秋•孝感期末）已知．（1）求sinx的值；（2）求的值．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】（1）由已知可求范围，利用同角三角函数基本关系式可求sin（x﹣），利用两角和的正弦函数公式即可计算得解．（2）利用同角三角函数基本关系式可求cosx，进而利用倍角公式可求sin2x，cos2x的值，根据两角和的正弦函数公式可求的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）因为，所以，…（1分）于是……=．…（2）因为．故．…（8分），．…（10分）所以中．…（12分）【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19．（12分）（2016秋•孝感期末）已经集合A={x|（8x﹣1）（x﹣1）≤0}；集合C={x|a＜x＜2a+5}（1）若，求实数t的取值集合B；（2）在（1）的条件下，若（A∪B）⊆C，求实数a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．【分析】（1）求出集合A的等价条件，结合指数不等式的性质进行求解即可．（2）根据集合的基本运算以及集合关系建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：由已知集合A={x|（8x﹣1）（x﹣1）≤0}={x|≤x≤1}…（2分）（1）若，即|≤（）t≤1，即2﹣3≤2﹣2t≤20…则﹣3≤﹣2t≤0，即0≤t≤，故集合B=[0，]…（2）在（1）的条件下，A∪B=[0，]…（8分）由（A∪B）⊆C，即[0，]⊆（a，2a+5），∴，…（11分）解得：﹣≤a ≤0…（12分）【点评】本题主要考查集合的基本运算以及集合关系的应用，根据不等式的性质求出 集合的等价条件是解决本题的关键．20．（12分）（2016秋•孝感期末）已知函数（1）求函数f （x ）的最小正周期； （2）求函数f （x ）的单调递减区间．【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论．（2）利用正弦函数的单调性，求得函数f （x ）的单调递减区间． 【解答】解：（1）∵=====，所以，函数f （x ）的最小正周期是． （2）由2kπ+≤2x ﹣≤2kπ+，求得kπ+≤x ≤kπ+，可得函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k ∈Z ．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的周期性和单调性，属于中档题．21．（12分）（2016秋•孝感期末）某同学用“五点法”画函数在区间[﹣，]上的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上表数据补充完整，并在给出的直角坐标系中，画出f （x ）在区间[﹣，]上的图象；（2）求f （x ）的最小值及取最小值时x 的集合； （3）求f （x ）在时的值域．【考点】五点法作函数y=Asin （ωx +φ）的图象；正弦函数的单调性；三角函数的最值．【分析】（1）先把数据补全，利用描点法能在给出的直角坐标系中，画出f （x ）在区间[﹣，]上的图象．（2）利用正弦函数的图象及性质能求出函数的最小值及取最小值时x 的集合． （3）当时，，从而，由此能求出f （x ）在时的值域．【解答】解：（1）数据补全如下表：…故f（x）在区间[﹣，]上的图象如图所示．…（2）当，即时，f（x）取最小值﹣1．取最小值时x的集合为．…（8分）（3）当时，，…（9分）故…（11分）所以，即f（x）在时的值域为．…（12分）【点评】本题考查三角函数的图象的画法，考查三角函数的最小值及取最小值时x的集合的求法，考查三角函数的值域的求法，涉及到三角函数的图象及性质等知识点，是中档题．22．（12分）（2016秋•孝感期末）某园林公司准备绿化一块半径为200米，圆心角为的扇形空地（如图的扇形OPQ区域），扇形的内接矩形ABCD为一水池，其余的地方种花，若∠COP=α，矩形ABCD的面积为S（单位：平方米）．（1）试将S表示为关于α的函数，求出该函数的表达式；（2）角α取何值时，水池的面积S最大，并求出这个最大面积．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）在Rt△OBC中，OB=200cosα，BC=200sinα，求出BC=200sinα，AB=200cosα﹣200sinα，得到S=，即可．（2）利用三角函数的最值，求解时，水池的面积S最大，最大面积为平方米．【解答】解：（1）在Rt△OBC中，OB=200cosα，BC=200sinα…（1分）在Rt△OAD中，，∴OA=DA=BC=200sinα…（2分）∴AB=OB﹣OA=200cosα﹣200sinα，…故S=AB•BC=（200cosα﹣200sinα）•200sinα=40000sinαcosα﹣40000sin2α=20000sin2α﹣20000（1﹣cos2α）=20000（sin2α+cos2α）﹣20000…=，…（8分）（2）由，得，所以当，即时，…（9分）S最大=…（11分）因此，当时，水池的面积S最大，最大面积为平方米…（12分）【点评】本题考查函数的函数的实际应用，三角函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．。