模拟滤波器转换为数字滤波器的软件实现（课程设计）
摘要
脉冲响应不变不变法会的主要缺点是会产生频谱混叠现象，使数字滤波器的频响偏离模拟滤波器的频响特性。而双线性变换则不会，该法是通过对H (s~)进行常规z变换，求得数字滤波器的系统函数H (z)。而Ω和ω之间的非线性关系使数字滤波器频响曲线不能保真的模仿模拟滤波器的频响曲线形状，这是双线性变换的缺点。双线性变换公式是双线性变换的根本，经过公式替换，即是从s 平面映射到z平面的过程，进而得出幅频响应曲线。
关键词：双线性变换；双线性变换公式；幅频曲线
目录
1 课题描述 (1)
2.双线性变换原理 (1)
2.1 双线性变换 (1)
2.2 小结 (4)
2.2.1双线性变换的优点 (4)
2.2.2 双线性变换法的缺点 (5)
3.双线性变换具体运用 (6)
3.1双线性变换的公式运用 (6)
3.2频响曲线及性能分析 (6)
总结 (8)
参考文献 (9)
1 课题描述
为了克服脉冲响应不变法所存在的缺点，提出采用双线性变换法。该法的基本思想是首先按给定的指标设计一个模拟滤波器，其次将这个模拟滤波器的系统函数H (s)，通过适当的数学变换方法把无限宽的频带，变换成频带受限的系统函数 H (s ~)。最后再将H (s ~)进行常规z 变换，求得数字滤波器的系统函数H (z)。
2.双线性变换原理
2.1 双线性变换
脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆，这是从S 平面到Z 平面的标准变换z ＝esT 的多值对应关系导致的,为了克服这一缺点，设想变换分为两步：
第一步：将整个S 平面压缩到S1平面的一条横带里；
第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z 平面上去。 由此建立S 平面与Z 平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就消除了混淆现象。
为了将s 平面的jΩ轴压缩到s1平面jΩ轴上的-
一段上，可通过以
下的正切变换实现：
1t a n 2T C Ω⎛⎫
Ω=∙
⎪⎝⎭
（ 2.1.1）
这里C 是待定常数，下面会讲到用不同的方法确定C ，可使模拟滤波器的频率特性与数字滤波器的频率特性在不同频率点有对应关系。
经过这样的频率变换，当Ω1由时 ， Ω由 ，
即映射了整个jΩ轴。
图2.1 双线性变换的映射关系
将这一关系解析延拓至整个s 平面，则得到s 平面 平面的映射关系：
111121s T
s T
s T e s c th c e --⎛⎫
=∙= ⎪+⎝⎭
(2.2.2)
再将s1平面通过标准变换关系映射到z 平面，即令 。 通常取
C=2/T ，最后得S 平面与Z 平面的单值映射关系：
11
211z s T z
---=
+ （2.1.3）
()1(/2)1/2T s z T s
+=
- （2.1.4）
以上两式称为双线性变换。
现在我们再来看一看常数C 的取值方法：
双线性换法的主要优点是S 平面与Z 平面一一单值对应，S 平面的虚轴(整个
jΩ)对应于Z 平面单位圆的一周，S 平面的Ω=0处对应于Z 平面的ω=0处， 对应
即数字滤波器的频率响应终 止于折迭频率处，所以双线性变换不存
在混迭效应。
上面讲到，用不同的方法确定待定常数C ，可以使模拟滤波器的频率特性与数字滤波器的频率特性在不同频率点有对应关系。也就是说，常数C 可以调节频带间的对应关系。确定C 的常用方法有两种：
①保证模拟滤波器的低频特性逼近数字滤波器的低频特性。此时两者在低
频处有确切的对应关系，即
()tan /2c ωΩ=∙ （2.1.5）
因为Ω和ω都比较小，所以有：
/2c ωΩ≈ (2.1.6)
另外，根据归一化数字频率ω与模拟频率Ω的关系，，所
以有Ω=cΩT/2，所以，c=2/T
②保证数字滤波器的某一特定频率，如截止频率c c T ω=Ω，与模拟滤波器
的某一待定频率Ωc 严格对应，即：
()()tan /2tan /2c c c c c T ωΩ=∙=∙Ω （2.1.7）
()/tan /2c c c T =ΩΩ (2.1.8)
当截止频率较低时，有，所以一般取 。
现在我们看看，这一变换是否符合我们一开始所提出的由模拟滤波器设计数字滤波器时，从S 平面到Z 平面映射变换的二个基本要求：
① 当
时，代入式（1.1.4）得：
()212tan /21j j e s j j T e
T
ωω
ω---=
=
=Ω
+ (2.1.9)
即S 的虚轴映射到Z 平面正好是单位圆。
②
代入z 表达式，得：
()()1/2/21/2/2
T j T z T
j T σσ++Ω=
--Ω （2.1.10）
z
=
（2.1.11）
当 时，∣z ∣<1; 时，∣z ∣>1 ，即s 左半平面映射在单位圆内，
s 右半平面映射在单位圆外，因此稳定的模拟滤波器通过双线性变换后，所得到的数字滤波器也是稳定的。看前面双线性变换的映射关系图。
2.2 小结
2.2.1双线性变换的优点
与脉冲响应不变法相比，双线性变换的主要优点：
靠频率的严重非线性关系得到S 平面与Z 平面的单值一一对应关系，整个jΩ轴单值应于单位圆一周，这个关系就是式
所表示的，其中ω
和Ω为
非线性关系。如图图中看到，在零频率附近，Ω～ω接近于线性关系，
Ω进一步增加时，ω增长变得缓慢，
(ω终止于折叠频率处)，所以双线性
变换不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象。
图2.2 双线性变换的频率非线性关系
