第三章习题
安庆师范学院 胡云峰
3.1对某地区的6名2周岁男婴的身高、胸围、上半臂进行测量。得样本数据如表3.1所示。
假设男婴的测量数据X （a ）（a=1，…，6）来自正态总体N 3(μ,∑) 的随机样本。根据以往的资料，该地区城市2周岁男婴的这三项的均值向量μ0=（90,58,16）’，试检验该地区农村男婴与城市男婴是否有相同的均值向量。
表3.1 某地区农村2周岁男婴的体格测量数据
解
1．预备知识 ∑未知时均值向量的检验： H 0：μ=μ0 H 1：μ≠μ0
H 0成立时
122)(0,)(1)(1,)
()'((1)))()'()(,1)(1)1(,)
(1)P P X N n S W n n X n S X n X S X T p n n p T F P n p n p
μμμμμ---∑--∑⎪⎩∴----=-----+∴-- 当
2
(,)(1)
n p T F p n p p n α-≥--或者22T T α≥拒绝0H
当
2
(,)(1)
n p T F p n p p n α-<--或者22T T α<接受0H
这里2
(1)
(, )p n T F p n p n p
αα-=
--
2．根据预备知识用matlab 实现本例题 算样本协方差和均值
程序x=[78 60.6 16.5;76 58.1 12.5;92 63.2 14.5;81 59.0 14.0;81 60.8 15.5;84 59.5 14.0]; [n,p]=size(x); i=1:1:n;
xjunzhi=(1/n)*sum(x(i,:)); y=rand(p,n); for j=1:1:n
y(:,j)= x(j,:)'-xjunzhi'; y=y; end
A=zeros(p,p); for k=1:1:n;
A=A+(y(:,k)*y(:,k)'); end
xjunzhi=xjunzhi' S=((n-1)^(-1))*A 输出结果xjunzhi =
82.0000 60.2000 14.5000 S =
31.6000 8.0400 0.5000 8.0400 3.1720 1.3100 0.5000 1.3100 1.900 然后u=[90;58;16];
t2=n*(xjunzhi-u)'*(S^(-1))*(xjunzhi-u) f=((n-p)/(p*(n-1)))*t2 输出结果t2 = 420.4447 f =
84.0889
所以2
1
()'()T n X S X μμ-=--=420.4447
2
(1)
n p F T p n -=
-=84.0889
查表得F 3,3(0.05)=9.28<84.0889 F 3,3(0.01)=29.5<84.0889 因此在a=0.05或 a=0.01时拒绝0H 假设
3.2 相应于表3.1再给出该地区9名2周岁女婴的三项指标的测量数据如表3.2所示。假设
女婴的测量数据Y (a)(a=1,…，9)来自正态总体N 3(μ,∑)的随机样本。试检验2周岁男婴与女婴的均值是有无显著差异
表3.2 某地区农村2周岁女婴体格测量数据
女婴 身高（X1）cm
胸围身高(X2)cm
上半臂围身高（X3）cm
1 80 58.4 14
2 75 59.2 15
3 78 60.3 15
4 7
5 57.4 13 5 79 59.5 14
6 78 58.1 14.5
7 75 5
8 12.5 8 64 55.5 11 9
80
59.2 12.5
解
1. 预备知识
有共同未知协方差阵∑时
012:H μμ= 112:H μμ≠
在0H 成立的情况下且两样本独立
1
112)(0,)(2)(1)(1)(2,)(2))((2)))))()'()(,2)21(P X Y P
X Y N n m S n S m S W n m n m n m S n m T P n m n m
n m p p n ---⎧-∑⎪
⎨
⎪+-=-+-+-∑⎩'⎤⎤∴+--+--⎥⎥
⎦⎦
'⎤⎤
=--⎥⎥
⎦⎦⋅=--+-++--+∴X Y X Y X Y S X Y X Y S X Y 2(,1)
2)
T F P n m p m +--+- 给定检验水平α，查F 分布表，使{}p F F αα>=，可确定出临界值αF ，再用样本值计算出F ，若F F α>，则否定0H ，否则接受0H 。 2．根据预备知识用matlab 实现本例题 由上一题知道 xjunzhi = 82.0000 60.2000
14.5000
Sx =
31.6000 8.0400 0.5000
8.0400 3.1720 1.3100
0.5000 1.3100 1.900
类似程序
xjunzhi=[82;60.2;14.5];
Sx=[31.6 8.04 0.5;8.04 3.1720 1.3100;0.5 1.31 1.9];
n=6;
y=[80.0 58.4 14.0;75.0 59.2 15;78 60.3 15;75.0 57.4 13.0;79 59.5 14.0;78 58.1 14.5;75 58.0 12.5;64 55.5 11.0;80 59.2 12.5];
[m,p]=size(y);
i=1:1:m;
yjunzhi=(1/m)*sum(y(i,:));
z=rand(p,m);
for j=1:1:m
z(:,j)= y(j,:)'-yjunzhi';
z=z;
end
B=zeros(p,p);
for k=1:1:m;
B=B+(z(:,k)*z(:,k)');
end
Sy=((m-1)^(-1))*B;
yjunzhi=yjunzhi'
S=(1/(n+m-2))*((n-1)*Sx+(m-1)*Sy)
得到结果yjunzhi =
76.0000
58.4000
13.5000
S =
27.2308 6.5615 2.8462
6.5615 2.4323 1.4000
2.8462 1.4000 1.8462
然后
t=((n*m)/(n+m))*((xjunzhi-yjunzhi)')*(S^(-1))*(xjunzhi-yjunzhi)
F=((n+m-p-1)/(p*(n+m-2)))*t
输出结果t =
5.3117
F =
1.4982
查表得F0.05(3，11)=3.59>1.4982 F0.01(3，11)=6.22>1.4982
H假设
因此在a=0.05或a=0.01时接受
