最新18学年下学期高一期中考试数学试题(创新班)(附答案)
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江苏省邗江中学2017-2018学年度第二学期高一创新班数学期中试卷一、填空题（本题包括14小题，每小题5分，共70分）1．用符号表示“点A 在直线l 上，l 在平面α外”，下列表示正确的是 ．（写出所有正确的表达式的序号）○1,A l l α∈∉；○2,A l l α∈⊄；○3,A l l α⊂⊄；○4,A l l α⊂∉． 2、 函数(1)()cos cos22x x f x -=p p 的最小正周期为 ． 3、已知1sin()64x π+=，则25sin()sin ()63x x ππ-+-= 4. a 、b 、c 是空间中互不重合的三条直线，下面给出五个命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ； ③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交； ④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线； ⑤若a ，b 与c 成等角，则a ∥b. 上述命题中正确的是________．(填序号)5、 各项均为正数的等比数列{}n a 中，211a a -=．当3a 取最小值时，数列{}n a 的通项公式a n = ．6、 函数⎪⎭⎫⎝⎛-=4sin 2)(πx x f ，[]0,π-∈x 的单调递增区间为 。
7、 已知关于x 的一元二次不等式2 >0ax bx c ++的解集为()1 5-，，其中a b c ，，为常数．则不等式2 0cx bx a ++≤的解集为 ．8.如图所示,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别为棱C 1D 1,C 1C 的中点,有以下四个结论:①直线AM 与CC 1是相交直线;②直线AM 与BN 是平行直线; ③直线BN 与MB 1是异面直线; ④直线MN 与AC 所成的角为60°.其中正确的结论为 (注:把你认为正确的结论序号都填上).ABDC（第9题）9．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5， AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为 ．10、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知222222sin 2sin sin C b a c A C c a b --=---． 则角B 的大小11、数列{}n a 的前n 项和为n S ，存在常数A ，B ，C ，使得2n n a S An Bn C +=++对任意正整数n 都成立，若数列{}n a 为等差数列，则3A －B ＋C 的值为 12、已知数列{}n a 满足143a =，()*1422n n a n N a +-=∈+，则11ni ia =∑= ． 13、若正实数a ，b ，c 满足()a a b c bc ++=，则ab c+的最大值为 ． 14、在斜三角形ABC 中，若114tan tan tan A B C+=,则sinC 的最大值为 ． 二、解答题（本题包括6小题，共90分） 15. (本题满分14分) 已知函数21()(1)sin sin()sin()tan 44f x x m x x x ππ=+++-， (1) 当m=0时，求()f x 在区间(0,)2π上的取值范围；(2) 当tan 2α=时， 3()5f α=，求m 的值．16、（本题满分14分）已知函数f (x )=ax 2+(b x a ab ，当x ，∪(2，时，f (x )<0．(1)求f (x )的解析式；(2)若不等式f(x)<m 的解集为R ，求m 的取值范围； (3) 求不等式f(x)<m+18的解集．17.（本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A B C A B +=+．（1）求角C 的大小；（2）若△ABC 的外接圆直径为1，求22a b +的取值范围．18．（本小题满分16分）已知数列{}n a 中，15a =-，128n n a a +=+，n *∈N ．数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足221425n n n b b S ++=+，n *∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 能否为等差数列？若能，求其通项公式；若不能，试说明理由；19．如图，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设AB = y km ，并在公路同侧建造边长为x km 的正方形无顶中转站CDEF （其中边EF 在GH 上），现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知AB = AC 1，且∠ABC = 60o ．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km ，两条道路造价为3万元/km ，问：x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低？20、（本小题满分16分）已知各项均为正数的数列{}n a 满足22112,n n n n a a a a ++=+, 且24324a a a +=+,其中*n N ∈.(1) 求数列{}n a 的通项公式； (2)设数列}{n b 满足nnn n na b 2)12(⋅+=,是否存在正整数, (1)m n m n <<，使得nm b b b ,,1成等比数列？若存在，求出所有的,m n 的值；若不存在，请说明理由.(3) 令22(1)1(1)n n n c n n a +++=+,记数列}{n c 的前n 项和为n S ,其中*n N ∈,证明：51162n S ≤<.公 路HGF E DCB A答案：1、○2；2、2；3、1916；4、①；5、12n -；6、,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；7、115⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，；8、③④；910、3π；11、0；12、224n n +；131415．解：（1）当m=0时，22cos ()(1)sin sin sin cos sin xf x x x x x x=+=+ 1cos 2sin 22x x -+=1)1]24x π=-+，由已知(0,)2x π∈，得32(,)444x πππ-∈-从而得：()f x 的值域为………7分 （2）2cos ()(1)sin sin()sin()sin 44x f x x m x x x ππ=+++- 化简得：11()[sin 2(1)cos 2]22f x x m x =-++ 当tan 2α=，得：2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos 1tan 5a a a a a a a ===++，3cos 25a =- 代入上式，m=-2. ………14分16、（1）f(x)=-3x 2-3x+18, ………5分 (2)m>754, ………9分(3)m>34时解集为R,m=34时解集为；11---+22∞∞（，）（，）Um<34时，解集为-)∞+∞（U … ……14分 17、解：(1)因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A B C A B+=+，所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+， 即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，得 sin()sin()C A B C -=-． ……………………………………………4分 所以C A B C -=-，或()C A B C π-=--(不成立)．即 2C A B =+, 得 3C π=． ……………………………7分 (2)由πππ,,,333C A B αα==+=-设2πππ0,,333A B α<<<<知-．因2sin sin ,2sin sin a R A A b R B B ====， …………………………………8分故22221cos 21cos 2sin sin 22A B a b A B --+=+=+=12π2π11cos(2)cos(2)1cos 22332⎡⎤-++-=+⎢⎥⎣⎦ααα． …………11分ππ2π2π,2,3333αα<<<<由-知-1cos 212α-<≤，故223342a b <+≤．……………14分18．（1）由128n n a a +=+，得182(8)n n a a ++=+，……………………………………3分又15a =-，所以{8}n a +是首项为3，公比为2的等比数列，则1832n n a -+=⋅，故1328n n a -=⋅-，n *∈N ．……………………………6分（2）由2214+25n n n b b S ++=，得22+12+14+25n n n b b S ++=，两式相减得22124n n n b b b ++=-，即1224()()n n n n n b b b b b +++=+-．①若{}n b 是等差数列，设公差为d ，则1144n n b db ++=，因为10n b +≠，所以1d =．…………………………………………………10分又221214+25b b S +=，即22111+14+25b b b +=（），解得13b =-，或14b =．当13b =-时，4n b n =-，满足条件2214+25n n n b b S ++=；当14b =时，3n b n =+，也满足条件2214+25n n n b b S ++=．故4n b n =-，或+3n b n =． ………………………………………………16分19．解：（1）∵AB = y ，AB = AC1，∴AC = y 1．在直角三角形BCF 中，∵CF = x ，ABC = 60， ∴CBF = 30，BC = 2x ． 由于2x + y1 > y ，得12x >． 在△ABC 中，∵2222cos60AC AB BC AB BC =+-⋅︒， ∴222(1)42y y x xy -=+-．则2412(1)x y x -=-．由y ＞ 0，及12x >，得x ＞ 1．即y关于x的函数解析式为2412(1)xyx-=-（x＞1）．………8分（2）21233(21)4341xM y x xx-=-+=-+-．令x 1 = t，则212(1)3934(1)162549 tM t tt t+-=-++=++≥，在34t=，即74x=，152y=时，总造价M最低．答：74x=时，该公司建中转站围墙和道路总造价M最低．………16分20、（1）4分（2）6分（3）6分。
