§3.3 导数的应用(二)
1．当f′(x)在某个区间内个别点处为零，在其余点处均为正(或负)时，f(x)在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的，例如：在(－∞，＋∞)上，f(x)＝x3，当x＝0时，f′(x)＝ ，当x≠0时，f′(x)＞0，而f(x)＝x3显然在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．
2．可导函数求最值的方法
f′(x)＝0⇒x＝x1，x2，…，xn，x∈[a，b]．
直接比较f(a)，f(b)，f(x1)，…，f(xn)，找出__________和____________即可．在此基础上还应注意：
(1)结合____________可减少比较次数．
(2)含参数的函数求最值时分类：
①按____________分类；
②按____________分类．
3．实际问题中的导数，常见的有以下几种情形：
(1)加速度是速度关于________的导数；
(2)线密度是质量关于________的导数；
(3)功率是功关于________的导数；
(4)瞬时电流是电荷量关于________的导数；
(5)水流的瞬时速度是流过的水量关于________的导数；
(6)边际成本是成本关于________的导数．
4．N型曲线与直线y＝k的位置关系问题
如图，方程f(x)＝0有三个根x1，x2，x3时，极大值f(a)＞0且极小值f(b)＜0.
曲线y＝f(x)与直线y＝k(k是常数)有一个交点时，见图中的直线①或直线②，极大值f(a)______k或极小值f(b)______k；
曲线y＝f(x)与直线y＝k(k是常数)有两个交点时，见图中的直线③或直线④，极大值f(a)______k或极小值f(b)______k；
曲线y＝f(x)与直线y＝k(k是常数)有三个交点时，见图中的直线⑤.
以上这些问题，常见于求参数的取值范围、讨论不等关系等形式的题目．
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1．0 2．最小值 最大值 (1)单调性 (2)单调性 极值点
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第 1 页 共 13 页 金太阳新课标资源网 2012届高三数学一轮复习单元检测试题（3）：导数及其应用（人教A）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)
1．(2011·烟台调研)三次函数f(x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是( )
A．m<0 B．m<1
C．m≤0 D．m≤1
[答案] A
[解析] f′(x)＝3mx2－1，由条件知f′(x)≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，
∴ m<0Δ＝12m≤0，∴m<0，故选A.
2．(文)(2011·山东淄博一中期末)曲线y＝13x3＋x在点1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )
A．1 B.19
C.13 D.23
[答案] B
[解析] ∵y′＝x2＋1，
∴曲线y＝13x3＋x在点(1，43)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝1＋1＝2，
∴k＝2，切线方程为y－43＝2(x－1)，即6x－3y－2＝0，
令x＝0得y＝－23，令y＝0得x＝13，∴S＝12×13×23＝19.
(理)(2011·辽宁沈阳二中检测)由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的平面图形的面积为( )
A.329 B．2－ln3
C．4＋ln3 D．4－ln3
[答案] D 金太阳新课标资源网
第 2 页 共 13 页 金太阳新课标资源网 [解析] 如图，平面图形的面积为13y－1ydy＝[12y2－lny]|31＝4－ln3.
[点评] 本题考查定积分求曲边形的面积，关键是根据定积分的几何意义把求解的面积归结为函数在区间上的定积分，再根据微积分基本定理求解．在把曲边形面积转化为定积分时，可以以x为积分变量、也可以以y为积分变量，如果是以x为积分变量，则被积函数是以x为自变量的函数，如果是以y为积分变量，则被积函数是以y为自变量的函数．本题如果是以x为积分变量，则曲边形ABC的面积是不如以y为积分变量简明．
§12.3 合情推理与演绎推理
1．两种基本的推理
推理一般包括__________和__________两类．
2．合情推理
(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由__________到整体、由__________到一般的推理．
(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由________到________的推理．
(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行__________、__________，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．
3．演绎推理
(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由__________到__________的推理．
(2)“__________”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
“三段论”可以表示为：
大前提：M是P.
小前提：S是M.
结论：S是P.
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1．合情推理 演绎推理
2．(1)部分 个别 (2)特殊 特殊
(3)归纳 类比
3．(1)一般 特殊 (2)三段论
关于归纳推理，下列说法正确的是( )
A．归纳推理是由一般到一般的推理
B．归纳推理是由一般到特殊的推理
C．归纳推理的结论一定是正确的
D．归纳推理的结论不一定正确
解：归纳推理是由特殊到一般的推理，但结论未必正确．故选D.
下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的性质；
②由等差数列的性质类比出等比数列的性质；
③由三角形的面积公式类比出三棱锥的体积公式；
§3.3 导数的应用(二)
1．当f′(x)在某个区间内个别点处为零，在其余点处均为正(或负)时，f(x)在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的，例如：在(－∞，＋∞)上，f(x)＝x3，当x＝0时，f′(x)＝ ，当x≠0时，f′(x)＞0，而f(x)＝x3显然在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．
2．可导函数求最值的方法
f′(x)＝0⇒x＝x1，x2，…，xn，x∈[a，b]．
直接比较f(a)，f(b)，f(x1)，…，f(xn)，找出__________和____________即可．在此基础上还应注意：
(1)结合____________可减少比较次数．
(2)含参数的函数求最值时分类：
①按____________分类；
②按____________分类．
3．实际问题中的导数，常见的有以下几种情形：
(1)加速度是速度关于________的导数；
(2)线密度是质量关于________的导数；
(3)功率是功关于________的导数；
(4)瞬时电流是电荷量关于________的导数；
(5)水流的瞬时速度是流过的水量关于________的导数；
(6)边际成本是成本关于________的导数．
4．N型曲线与直线y＝k的位置关系问题
如图，方程f(x)＝0有三个根x1，x2，x3时，极大值f(a)＞0且极小值f(b)＜0.
曲线y＝f(x)与直线y＝k(k是常数)有一个交点时，见图中的直线①或直线②，极大值f(a)______k或极小值f(b)______k；
曲线y＝f(x)与直线y＝k(k是常数)有两个交点时，见图中的直线③或直线④，极大值f(a)______k或极小值f(b)______k；
曲线y＝f(x)与直线y＝k(k是常数)有三个交点时，见图中的直线⑤.
以上这些问题，常见于求参数的取值范围、讨论不等关系等形式的题目．
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1．0 2．最小值 最大值 (1)单调性 (2)单调性 极值点
