待定系数法求二次函数解析式
一、用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法：
1．已知抛物线过三点，设一般式为y＝ax2＋bx＋c．
2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y＝a(x－h)2＋k．
3．已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐
标），
设两根式：y＝a(x－x1)(x－x2) ．（其中x1、x2是抛物线与x轴交点的
横坐标）
例题分析
例1 已知抛物线经过点A（－1，0），B（4，5），C（0，－3），求抛
物线的解析式．
例2 已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线
的解析式．
例3 已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点
（2，－3）．
求抛物线的解析式．
二、应用迁移 巩固提高
1.已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三
点，求此二次函数的解析式。
2.二次函数，=－2时=－6, =2时=10, =3时=24,求此函数的解析式。
3.已知抛物线的顶点（－1，－2）且图象经过（1，10），求此抛物线
解析式。
4.已知抛物线的顶点坐标为（4，－1），与轴交于点（0，3），求这条
抛物线的解析式
5.二次函数的对称轴为=3，最小值为－2，且过（0，1），求此函数的
解析式。
6.抛物线的对称轴是=2，且过（4，－4）、（－1，2），求此抛物线的解析式。
7.已知二次函数的图象与轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经
过（3，－4），求解析式
8.抛物线的顶点为（－1，－8），它与轴的两个交点间的距离为4，求
此抛物线的解析式。
9. 二次函数，当x＜6时随的增大而减小，＞6时随的增大而增大，其最
小值为－12，其图象与轴的交点的横坐标是8，求此函数的解析式。
10、已知直线y=x-3与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象经
过A、B两点，且对称轴方程为x=1，求这个二次函数的解析式。
11、 已知二次函数y1 = ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象交于两
1 / 5 1 2 北师大版九年级下册数学第 7 讲《待定系数法求二次函数的解析式》知识点梳理
【学习目标】
1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；
2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．
【要点梳理】
要点一、用待定系数法求二次函数解析式
1. 二次函数解析式常见有以下几种形式 ：
(1)一般式： y ax2 bx c (a，b，c 为常数，a≠0)；
(2)顶点式： y a(x h)2 k (a，h，k 为常数，a≠0)；
(3)交点式： y a(x x1 )(x x2 ) ( x1 ， x2 为抛物线与 x 轴交点的横坐标，a≠0)．
2. 确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下
第一步，设：先设出二次函数的解析式，如 y ax2 bx c 或 y a(x h)2 k ，
或 y a(x x1 )(x x2 ) ，其中 a≠0；
第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；
第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；
第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．
要点诠释：
在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为 y ax2 bx c ；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为y
a(x h)2 k ；③当已知抛物线与 x 轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为 y a(x x )(x x ) ．
【典型例题】
类型一、用待定系数法求二次函数解析式
课题：22.1.4 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质
第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
一、教学目标：
知识与能力：
掌握二次函数解析式的表达方式。
会用待定系数法求二次函数的解析式。
学会利用二次函数解决实际问题。
过程与方法：能根据二次函数的图像及性质解决生活中的实际问题。
二、教学重难点
重点：会用待定系数法求二次函数的解析式
难点：会选用适当函数表达式求二次函数的解析式
三、媒体运用
班班通
四、教学设计
（一）温故而知新
我们知道，在学习一次函数的过程中，已知同一直线上的不同两点的坐标，我们可以求出这条直线的解析式.
例如：已知直线y=ax+b经过点A（1.1），点 B（-1，-1），那么这条直线的解析式为：y=x.
（二）探究
（1）由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？
（2）如果一个二次函数的图象经过（-1,10），（1,4），（2,7）三个点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式.
分析：
（1）确定一次函数.用待定系数法，求出k,b的值，从而确定一次函数解析式.类似的，我们可以写出这个二次函数的解析式y=ax2+bx+c，求出a,b,c的值.由不共线三点（三点不在同一直线上）的坐标，列出关于a,b,c的三元一次方程组就可以求出a,b,c的值.
（2）设所求二次函数为y=ax2+bx+c由已知，函数图象经过（-1,10），（1,4），（2,7）三点，得关于a,b,c的三元一次方程组
.724,4,10cbacbacba
解这个方程组，得
a=2,b=-3,c=5
所求二次函数是y=2x2-3x+5
（三）方法小结
用待定系数法确定二次函数解析式的基本方法分四步完成：
一设、二代、三解、四还原
一设:指先设出二次函数的解析式；
二代:指根据题中所给条件，代入二次函数的解析式，得到关于a、b、c的方程组
求二次函数解析式的三种基本方法
四川 倪先德
二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
二次函数的解析式有三种基本形式：
1、一般式：y=ax2+bx+c (a≠0)。
2、顶点式：y=a(x－h)2+k (a≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h。
3、交点式：y=a(x－x1)(x－x2) (a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。
求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：
1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式。
探究问题，典例指津：
例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(和)1,1(．求这个二次函数的解析式．
分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax2+bx+c (a≠0)。
解：设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c (a≠0)
依题意得：145cbaccba 解这个方程组得：432cba
∴这个二次函数的解析式为y=2x2+3x－4。
例2、已知抛物线cbxaxy2的顶点坐标为)1,4(，与y轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。
分析：此题给出抛物线cbxaxy2的顶点坐标为)1,4(，最好抛开题目给出的cbxaxy2，重新设顶点式y=a(x－h)2+k (a≠0)，其中点(h,k)为顶点。
解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x－4)2－1 (a≠0)
又抛物线与y轴交于点)3,0(。
∴a(0－4)2－1=3 ∴a=41
∴这个二次函数的解析式为y=41(x－4)2－1，即y=41x2－2x+3。
