数学建模第六章
第六章 军事模型
§6、1 核武器竞赛
问题:甲乙双方(两国),均将对方视为假想敌,在某种“国家安全”的定义下发展核武器,展开核军备竞赛。问题:在这场核军备竞赛中,双方拥有的核武器会无限增长呢,还就是存在某种平衡状态？
一. 模型假设
1. 分别以、表示甲乙双方拥有的核武器数目,这里视之为非负实数(即连续型变量),以、表示甲乙双方对对方施行一次致命性打击所需的核武器数目;
2. 甲乙双方的“国家安全”概念均采用保守定义:即在招到对方“倾泻性”核打击后,保证有足够的核武器被保存下来以给对方致命的还击;
3. 分别以、()表示甲乙双方,其一枚核弹头在遭受对方一枚核弹头袭击后有可能被保存下来的概率,这里假定不同核弹头在遭受对方一枚核弹头袭击后有可能被保存下来的机会就是相对独立的。
二. 模型建立
定性分析模型:应当存在二函数、,分别表示当甲乙双方拥有的核武器数目为、时,对方在遵照模型假设中所给出的有关“国家安全”概念,乙方、甲方所应拥有最少的核武器数目。即当甲方拥有的核武器数目为时,须有时,乙方才会确认自己就是安全的。显然,、均应当为单调增函数。 这里称为双方安全区,就是核军备竞赛的稳定区域。问:就是否为空集？若为空集,即说明核军备竞赛就是没有尽头的,其终究构成人类持久与平愿望的最大威胁。
所附四图仅仅就是在双方安全曲线满足单调增函数的条件下给出的四种可能情形,有阴影存在的区域表示存在双方安全区。但实际当中应当就是哪一种呢？
数学建模第六章
定量分析模型:在前述模型假设的基础上,不难得到: , 即、分别为甲乙双方的安全曲线,而上面附图的后三幅给出的三种可能的典型情形,显然第四幅表示与两者至少有一个满足时方可出现。
在模型中涉及到的几个参数的取值,比如影响的主要因素可以考虑双方的国土、一枚核弹爆炸的破坏力,以及各自的防空能力。
三. 模型分析
通过定量分析模型得到的结果表明,核武器竞赛就是不容乐观的,要么不存在稳定区域,要么稳定区域就是一有界区域。也即表明建立在本文“安全概念”基础上的核武器竞赛从根本上应当撇弃,因为即使在稳定区域非空,由于某一方(或双方)不克制的态度最终导致核武器竞赛的灾难性后果。
８０ 福建中学数学 ２０１４年第１、２期
Ｃｎ…－Ｉ，取ｒ＝１得Ｃｎ １，即ｒ＝０，１时也适合，因此
得到： 定理将ｍ个名额分配到 个单位去，每个单位 至少ｒ（ｒ ０，ｍ ｇｔＦ）个名额，共有Ｃ ｎ １ 。种不同分
配方案． 例１在一次工资套改中，编号为ｋ（ｋ＝ｌ，２，３，４，
５，６，７，８）的８位职工的工资ｆ（ｋ）取自于１６００、
１６５０、１７５０、ｌ９００、２１Ｏ０、２３００等六个档次，且满 足ｆ（ｋ）≤ｆ（ｋ＋１），这８位职工工资的所有可能情况
的种数是多少？ 解法１ ８位职工的工次取自于六个等级中的一 个或二个或三个或四个或五个或六个，考虑一般情
况，从６个等级中取ｒ（ｒ＝１，２，３，４，５，６）个等级有
种取法，再将取出的ｒ个等级（可看作名额）依序（要 求满足ｆ（ｋ） ｆ（ｋ＋１）分给８个职工，用插板法将排
成一排的职工编号１，２，３，４，５，６，７，８分成 个组 （每组依次对应一个等级），有ｃ ：：种分法．由分步
计数原理，从取到分有ｃ：ｃ； 种情形，再由分类计数
原理可知，８位职工工资的所有不同可能情况种数是
ｃ １ｃ ＋ｃ ２Ｌ１ ＋ｃ：ｃ；＋ｃ：ｃ；＋ｃｉｃ；＋ｃ：ｃ；＝１２８７．
解法２逆向思考，把职工（看作名额）依序分
到工资档（看作单位）中去，允许部分档次没有分 到职工（名额），如职工１，２，３，４，５，６，７，８全分给
１６００，意即ｆ（１）＝／’（２）一一ｆ（８）＝１６００；再如把１，２，
３，４，５分给ｌ６５０，６，７，８分给２１００，意即．厂（１）＝ｆ（２）
＝／（３）＝ｆ（４）＝ｆ（５）＝１６５０＜ｆ（６）＝＿厂（７）＝＿厂（８）＝２１００． 于是原问题等价于：将８个名额（依序）分配到６
个单位中去，允许部分单位没有分到名额，由本文 定理知，共有Ｃ…ｎ １ ＝Ｃ…６ １一 ＝ｃ５］＝１２８７．
例２（选自参考文１）在某次数学测验中，学 号为ｉ（ｉ＝１，２，３，…，ｒ）的ｒ位同学的考试成绩 ｆ（ｉ）∈（ｉ＝１，２，３，…，ｇ／一１，ｎ），且满足ｆ（１） ｆ（２） ・・・
§6.1 第1课时 两个计数原理及其简单应用
教学目标
1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.
2.会利用两个计数原理分析和解决一些简单的计数问题.
知识梳理
知识点一 分类加法计数原理(加法原理)
完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法.那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法.
知识点二 分步乘法计数原理(乘法原理)
完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法.
题型探究
一、分类加法计数原理
例1 高二·一班有学生50人，男生30人；高二·二班有学生60人，女生30人；高二·三班有学生55人，男生35人.
(1)从中选一名学生任学生会主席，有多少种不同选法？
(2)从一班、二班男生中，或从三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？
解 (1)要完成“选一名学生任学生会主席”这件事有三类不同的选法：
第一类，从高二·一班选一名，有50种不同的方法；
第二类，从高二·二班选一名，有60种不同的方法；
第三类，从高二·三班选一名，有55种不同的方法.
根据分类加法计算原理，共有N＝50＋60＋55＝165(种)不同的选法．
(2)要完成“选一名学生任学生会体育部长”这件事有3类不同的选法：
第一类，从高二·一班男生中选，有30种不同的方法；
第二类，从高二·二班男生中选，有30种不同的方法；
第三类，从高二·三班女生中选，有20种不同的方法.
根据分类加法计数原理共有N＝30＋30＋20＝80(种)不同的选法．
反思感悟 应用分类加法计数原理应注意如下问题
(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些方法，怎样才算是完成这件事.
(2)无论哪类方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而不需要再用到其他的方法.即各类方法之间是互斥的，并列的，独立的. (3)不同方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须做到既“不重复”也“不遗漏”.
编写意图
本章内容属于《课程标准（2021年版）》选择性必修课程的“主题三概率与统计”，既相对独立，又是后续概率与统计内容学习的基础．通过本章的学习，学生能够理解两个基本计数原理，能够理解排列、组合、二项式定理与两个计数原理的关系，能够运用计数原理推导排列、组合、二项式定理的相关公式，并能够运用它们解决简单的实际问题，特别是概率中的某些问题．虽然两个计数原理是人们在大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律，几乎可以说它们是一种常识，简单又朴素，易学、能懂、好用．但是从常识抽象到数学原理，从数学原理逐步推导出各种公式，再从原理、公式到灵活应用，并不容易．因此本章编写时，既注重知识发生发展过程的展开，又注重分析、抽象、推理和论证等思维能力的运用，从而提升学生的数学抽象与逻辑推理素养．
1．采用归纳式的概念建构方式，加强对概念的理解，提升数学抽象素养
本章涉及两个计数原理、排列和排列数、组合和组合数以及与二项式定理相关的一些概念．这些概念都有一定的抽象性，如何使学生建立理解这些概念的认知基础，是教科书编写过程中重点考虑的问题．总的来说，教科书采取“归纳式”来构建概念的理解过程，即先引导学生分析一些典型事例，从中抽象出共同特征，再进一步概括出本质特征，最后还以一定量的应用题示例，在应用中加深对概念的理解．
例如两个计数原理，计数是人类最基本、最原始和最古老的数学实践活动，“一个个地数”的过程所产生的烦琐而且容易出错，促使人们寻找方便、快捷的方法，即设法“不通过一个个地数”而达到正确、迅速地计数的目的．教科书就以此作为研究两个计数原理的基本出发点，先在引言中介绍了研究计数原理的上述目的，由此激发学生的学习欲望，然后采取了“问题情境—引导探究—抽象概括”的方式，安排了从具体例证中归纳两个计数原理的活动，以引导学生经历原理的概括过程．同样地，在排列与组合中，仍然沿用“减少重复、避免烦琐、简便计数”的想法，安排学生熟悉的问题情境（“从3名学生中选2名分别参加上、下午的活动”“从1，2，3，4中取三个不同数字排成三位数”等），引导学生详细分析计数过程，并抽象概括出排列、组合的概念及其计数公式；在二项式定理的探究中，也安排了“用两个计数原理分析n＝2时二项式的展开式—学生独立分析n＝3，4时二项式的展开式—猜想并说明二项式定理”的过程．
