2013年全国高考数学试题及答案、解析-江苏卷
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Y
N
输出n 开始
1a2n， 1nn 32aa20a 结束
（第5题） 试题和答案、解析
2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。
1．函数)42sin(3xy的最小正周期为 ．
【答案】π
【解析】T＝|2πω |＝|2π2 |＝π．
2．设2)2(iz（i为虚数单位），则复数z的模为 ．
【答案】5
【解析】z＝3－4i，i2＝－1，| z |＝＝5．
3．双曲线191622yx的两条渐近线的方程为 ．
【答案】xy43
【解析】令：091622yx，得xxy431692．
4．集合}1,0,1{共有 个子集．
【答案】8
【解析】23＝8．
5．右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是 ．
【答案】3
【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4．
6．抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：
运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲 87 91 90 89 93
乙 89 90 91 88 92
则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ．
【答案】2
【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：9059288919089x．
方差为：25)9092()9088()9091()9090()9089(222222S．
7．现在某类病毒记作nmYX，其中正整数m，n（7m，9n）可以任意选取，则nm， 都取到奇数的概率为 ．
【答案】6320
【解析】m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则nm，都取到奇数的概率为63209754．
8．如图，在三棱柱ABCCBA111中，FED，，分别是1AAACAB，，的中点，设三棱锥ADEF的体积为1V，三棱柱ABCCBA111的体积为2V，则21:VV ．
【答案】1：24
【解析】三棱锥ADEF与三棱锥ABCA1的相似比为1：2，故体积之比为1：8．
又因三棱锥ABCA1与三棱柱ABCCBA111的体积之比为1：3．所以，三棱锥ADEF与三棱柱ABCCBA111的体积之比为1：24．
9．抛物线2xy在1x处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界) ．若点),(yxP是区域D内的任意一点，则yx2的取值范围是 ．
【答案】[—2，12 ]
【解析】抛物线2xy在1x处的切线易得为y＝2x—1，令z＝yx2，y＝—12 x＋z2 ．
画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，zmin＝—2，过点(12 ，0)时，zmax＝12 ．
10．设ED，分别是ABC的边BCAB，上的点，ABAD21，BCBE32，
若ACABDE21（21，为实数），则21的值为 ．
【答案】12 y
x O y＝2x—1
y＝—12 x A B C 1A
D E F 1B 1C y
x l
B
F O c b a 【解析】)(32213221ACBAABBCABBEDBDE
ACABACAB213261
所以，611，322，2112 ．
11．已知)(xf是定义在R上的奇函数。当0x时，xxxf4)(2，则不等式xxf)( 的解集用区间表示为 ．
【答案】(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)
【解析】做出xxxf4)(2 (0x)的图像，如下图所示。由于)(xf是定义在R上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x＜0的图像。不等式xxf)(，表示函数y＝)(xf的图像在y＝x的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)。
12．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为)0,0(12222babyax，右焦点为
F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为1d，F到l的距离为2d，若126dd，则椭圆C的离心率为 ．
【答案】33
【解析】如图，l：x＝ca2，2d＝ca2－c＝cb2，由等面积得：1d＝abc。若126dd，则cb2＝6abc，整理得：06622baba，两边同除以：2a，得：0662abab，解之得：ab＝x y
y＝x
y＝x2—4 x P(5,5)
Q(﹣5, ﹣5) 36，所以，离心率为：331e2ab．
13．在平面直角坐标系xOy中，设定点),(aaA，P是函数xy1（0x）图象上一动点，
若点AP，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为 ．
【答案】1或10
【解析】
14．在正项等比数列}{na中，215a，376aa，则满足nnaaaaaa2121的
最大正整数n的值为 ．
【答案】12
【解析】设正项等比数列}{na首项为a1，公比为q，则：3)1(215141qqaqa，得：a1＝132 ，q＝2，an＝26－n．记521212nnnaaaT，2)1(212nnnnaaa．nnT，则2)1(52212nnn，化简得：5211212212nnn，当5211212nnn时，12212113n．当n＝12时，1212T，当n＝13时，1313T，故nmax＝12．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
已知)sin,(cos)sin,(cosba，＝，0．
（1）若2||ba，求证：ba；
（2）设)1,0(c，若cba，求,的值．
解：（1）a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，
|a－b|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝2，
所以，cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0，
所以，ba．
（2）②1sinsin①0coscos，①2＋②2得：cos(α－β)＝－12 ． 所以，α－β＝32，α＝32＋β，
带入②得：sin(32＋β)＋sinβ＝23cosβ＋12 sinβ＝sin(3＋β)＝1，
所以，3＋β＝2．
所以，α＝65，β＝6．
16．（本小题满分14分）
如图，在三棱锥ABCS中，平面SAB平面SBC，BCAB，ABAS，过A作SBAF，垂足为F，点GE，分别是棱SCSA，的中点．求证：
（1）平面//EFG平面ABC；
（2）SABC．
证：（1）因为SA＝AB且AF⊥SB，
所以F为SB的中点．
又E，G分别为SA，SC的中点，
所以，EF∥AB，EG∥AC．
又AB∩AC＝A，AB面SBC，AC面ABC，
所以，平面//EFG平面ABC．
（2）因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，
AF平面ASB，AF⊥SB．
所以，AF⊥平面SBC．
又BC平面SBC，
所以，AF⊥BC．
又AB⊥BC，AF∩AB＝A，
所以，BC⊥平面SAB．
又SA平面SAB，
所以，SABC．
17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，点)3,0(A，直线42:xyl．
设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线1xy上，过点A作圆C的切线，
求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使MOMA2，求圆心C的横坐
标a的取值范围．
解：（1）联立：421xyxy，得圆心为：C(3，2)．
设切线为：3kxy， A
B C S
G
F E
x y
A l
O d＝11|233|2rkk，得：430kork．
故所求切线为：3430xyory．
（2）设点M(x，y)，由MOMA2，知：22222)3(yxyx，
化简得：4)1(22yx，
即：点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D．
又因为点M在圆C上，故圆C圆D的关系为相交或相切．
故：1≤|CD|≤3，其中22)32(aaCD．
解之得：0≤a≤125 ．
18．（本小题满分16分）
如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径。一种是从A沿直线步行
到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两
位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为min/50m．在甲出发min2后，乙从
A乘缆车到B，在B处停留min1后，再从匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的
速度为min/130m，山路AC长为m1260，经测量，1312cosA，53cosC．
（1）求索道AB的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，
乙步行的速度应控制在什么范围内？
解：（1）如图作BD⊥CA于点D，
设BD＝20k，则DC＝25k，AD＝48k，
AB＝52k，由AC＝63k＝1260m，
知：AB＝52k＝1040m．
（2）设乙出发x分钟后到达点M，
此时甲到达N点，如图所示．
则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，
由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2 AM·ANcosA＝7400 x2－14000 x＋10000，
其中0≤x≤8，当x＝3537 (min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．
（3）由（1）知：BC＝500m，甲到C用时：126050 ＝1265 (min)．
若甲等乙3分钟，则乙到C用时：1265 ＋3＝1415 (min)，在BC上用时：865 (min) ．
此时乙的速度最小，且为：500÷865 ＝125043 m/min．
若乙等甲3分钟，则乙到C用时：1265 －3＝1115 (min)，在BC上用时：565 (min) ． C B A
D M
N
