用待定系数法求二次函数的解析式教案
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1 22.1 用待定系数法求二次函数的解析式
教学目标：
知识技能
利用已知点的坐标用待定系数法求二次函数的解析式
数学思考
学生了解二次函数的一般式，顶点式，交点式三种形式
问题解决
学生了解二次函数的三种形式，如何灵活的选择解析式
情感态度
在求解过程中，体会解决问题的方法，培养学生思维的灵活性
重难点：
重点：待定系数法求二次函数的解析式
难点：选择恰当的解析式求法
教学准备：
教师准备：制作课件，精选习题
学生准备：复习有关知识，预习本节课内容
教学过程：
一、忆（回顾旧知）
1、顶点式 y=a(x-h) +k 的五种性质。
2、一般式 y=ax2+bx+c 的五种性质。
【设计意图】
使学生更加熟练一般式和顶点式，因为它是本章的重点。
二、导（导入新课）
已知一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），求这个一次函数的解析式。
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b,
因为一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），
所以 2
解得 k=5，b=-2
一次函数的解析式为y=5x-2.
【设计意图】由简单到复杂，由已知到未知，由旧知到新知，符合学生认知的规律。
三、求（求解析式）
例1 已知一个二次函数的图象过点（－1，10）、
（1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式.
解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c
由已知得：
解方程得：a=2, b=-3, c=5
因此：所求二次函数是：
y=2x2-3x+5
本题小结：
求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值。
由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。
例2 已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y轴的交点为（0，－5），3 求抛物线的解析式。
解：因为抛物线的顶点为（-1，-3），
所以，设所求的二次函数的解析式为 y=a(x＋1)2-3
因为点（0，-5 ）在这个抛物线上，
所以a-3=-5， 解得a=-2
故所求的抛物线解析式为 y=－2(x＋1)2-3
即：y=－2x2- 4x－5
顶点式y=a(x-h)2+k(a、h、k为常数，a≠0).
若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点的坐标时，通过设函数的解析式为顶点式y=a(x-h)2+k.
特别地，当抛物线的顶点为原点是，h=0,k=0,可设函数的解析式为y=ax2.
当抛物线的对称轴为y轴时，h=0,可设函数的解析式为y=ax2+k.
当抛物线的顶点在x轴上时，k=0，可设函数的解析式为y=a(x-h)2.
例3 已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（1,0）并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？
解：因为抛物线与x轴的交点为A(－1，0)，B(1，0) ，
所以设所求的二次函数为 y=a(x＋1)(x－1)
又∵ 点M( 0,1 )在抛物线上
∴ a(0+1)(0-1)=1
解得： a=-1
故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1)
即：y=－x2+1 4 交点式y=a(x-x1)(x-x2).（a、x1、x2为常数a≠0）
当抛物线与x轴有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时，二次函数y=ax2+bx+c可以转化为交点式y=a(x-x1)(x-x2).因此当抛物线与x轴有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时，可设函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，再把另一个点的坐标代入其中，即可解得a，求出抛物线的解析式。
交点式y=a(x-x1)(x-x2). x1和x2分别是抛物线与x轴的两个交点的横坐标，这两个交点关于抛物线的对称轴对称，则直线
就是抛物线的对称轴.
【设计意图】学生体会什么情况下用用一般式，顶点式，交点式。为下一节做了铺垫，难点提前。
四、练（知识升华）
有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式．
解法一：设抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋c，
根据题意可知抛物线经过(0，0)，(20，16)和(40，0)三点
5
教师点评：通过利用给定的条件列出a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值，从而确定函数的解析式．过程较繁杂。
解法二：设抛物线为y=a(x-20)2＋16
根据题意可知∵ 点(0，0)在抛物线上，
∴ 所求抛物线解析式为
教师点评：通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点式求解，方法比较灵活。
解法三：设抛物线为y=a（x-0）(x-40）
根据题意可知∵ 点(20，16)在抛物线上，
教师点评：选用两根式求解，方法灵活巧妙，过程也较简捷。
【设计意图】使学生在实际问题中体会解析式的求法，让学生独立思考，并求解析式，交流结果，让快速完成的同学体验成功的喜悦，出现问题的学生自查并反思、加深印象。
五、结（知识小结）
求二次函数解析式的一般方法：
1.已知图象上三点或三对的对应值，
通常选择一般式
2.已知图象的顶点坐标、对称轴、最值和另一个点的坐标
通常选择顶点式
3.已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2和另一个点的
坐标
通常选择交点式
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式.
【设计意图】提炼观点、知识升华
六、链（链接中考） 6 已知二次函数y=(m2－2)x2－4mx+n的图象的对称轴是直线x=2,且最高点在直线y=12x+1上,求这个二次函数的表达式.
[变式练习]：将上例中其它条件不变,“最高点”改为“顶点”求二次函数解析式
(分a＞0和a＜0两种情)
【设计意图】知识拓展，提升难度，使不同的学生得到不同的发展。
本节小结：我学会了______________；我知道了________________。
七、作（作业设计）
必做题：设计求解析式（一般式、顶点式）
选做题：设计求解析式（一般式、顶点式、交点式）
【设计意图】分类布置作业，因材施教。
八、书（板书设计）
【设计意图】呈现本节课的重点、难点内容，帮助学生理解、消化。
