排列组合两种经典解题方法

行测中数学问题之年龄、排列组合问题

解年龄问题，一般要抓住以下三条规律：

（1）不论在哪一年，两个人的年龄差总是确定不变的；

（2）随着时间向前（过去）或向后（将来）推移，两个人或两个以上人的年龄一定减少或增加相等的数量；

（3）随着时间的变化，两个人年龄之间的倍数关系一定会改变。

【例1】妈妈今年 43岁，女儿今年11岁，几年后妈妈的年龄是女儿的3倍？几年前妈妈的年龄是女儿的5倍？

【分析】无论在哪一年，妈妈和女儿的年龄总是相差

43-11=32（岁）

当妈妈的年龄是女儿的3倍时，女儿的年龄为

（43-11）÷（3-1）=16（岁）

16-11=5（岁）

说明那时是在5年后。

同样道理，由

11-（43-11）÷（5-1）=3（年）

可知，妈妈年龄是女儿的5倍是在3年前。

【例2】今年，父亲的年龄是女儿的4倍，3年前，父亲和女儿年龄的和是49岁。父亲、女儿今年各是多少岁？

【分析】从3年前到今年，父亲、女儿都长了3岁，他们今年的年龄之和为

49+3×2=55（岁）

由“55 ÷（4+1）”可算出女儿今年11岁，从而，父亲今年44岁。

【例3】陈辉问王老师今年有多少岁，王老师说：“当我像你这么大时，你才3岁；当你像我这么大时，我已经42岁了。”问王老师今年多少岁？

【分析】我们先要明白：如果我比你大a岁，那么“当我像你这么大时”就是在a年前，“当你像我这么大时”就在a年后。这样便可根据题意画出下图：

从图上可看出，a=13，进一步推算得王老师今年29岁。

排列组合问题I

一、知识点：

1分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有1m种不同的方法，在第二类办法中有2m种不同的方法，„„，在第n类办法中有nm种不同的方法那么完成这件事共有 12nNmmm种不同的方法

2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有1m种不同的方法，做第二步有2m种不同的方法，„„，做第n步有nm种不同的方法，那么完成这件事有12nNmmm种不同的方法

高考数学必考摆列组合题型及解题方法

（上）

摆列组合问题联系实质生动风趣，但题型多样，思路灵

活，所以解决摆列组合问题，第一要仔细审题，弄清楚是排

列问题、组合问题仍是摆列与组合综合问题；其次要抓住问

题的实质特点，采纳合理适合的方法来办理。

1.分类计数原理 (加法原理 )

达成一件事，有类方法，在第 1 类方法中有种不一样的方法，

在第 2 类方法中有种不一样的方法， ，在第类方法中有种不

同的方法，那么达成这件事共有：

种不一样的方法．

2.分步计数原理（乘法原理）

达成一件事，需要分红个步骤，做第 1 步有种不一样的方法，

做第 2 步有种不一样的方法， ，做第步有种不一样的方法，那

么达成这件事共有：

种不一样的方法．

分类计数原理分步计数原理差别

分类计数原理方法互相独立，任何一种方法都能够独立地成

这件事。分步计数原理各步互相依存，每步中的方法达成事

件的一阶段，不可以达成整个事件．决摆列组合综合性问题的

一般过程以下 :

仔细审题弄清要做什么事如何做才能达成所要做的事 ,即采

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取分步仍是分类 ,或是分步与分类同时进行 ,确立分多少步及

多少类。确立每一步或每一类是摆列问题 (有序 )仍是组合 ( 无

序)题,元素总数是多少及拿出多少个元素 .解决摆列组合综合性问题，常常类与步交错，所以一定掌一些常用的解题策略

特别元素和特别地点优先策略

1.由 0,1,2,3,4,5 能够构成多少个没有重复数字五位奇 .:因为末

位和首位有特别要求 ,应当优先安排 ,免得不合要的元素占了

这两个地点 .先排末位共有而后排首位共有最后排其余地点

共有由分步计数原理得

习题 :7 种不一样的花种在排成一列的花盆里 ,若两种葵花不种

在中间，也不种在两头的花盆里，问有多少不一样的种法？ .

相邻元素捆绑策略

2. 7 人站成一排 ,此中甲乙相邻且丙丁相邻 , 共有多少不一样的排法 .：可先将甲乙两元素捆绑成整体并当作一个复合元

解排列组合应用题的26种策略

排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握.解排列组合问题的基础是两个基本原理，分类用加法原理，分步用乘法原理，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时如何做到既不重复，又不遗漏，正确分每一步，这是比较困难的。要求我们周密思考，细心分析，理解并掌握解题的常用方法和技巧，掌握并能运用分类思想、转化思想、整体思想、正难则反等数学思想解决排列组合问题。 实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.

1、相邻排列——捆绑法：

n个不同元素排列成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，有多少种不同排法？

先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其它元素一起排列，共有

种排法．然后再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列，共有

种方法．由乘法原理得符合条件的排列，共

种．

例1.

五人并排站成一排，如果

必须相邻且

在

的右边，那么不同的排法种数有（ ）

A、60种 B、48种 C、36种 D、24种

解析：把

视为一人，且

固定在

的右边，则本题相当于4人的全排列，

种，答案：

.

例2 有3名女生4名男生站成一排，女生必须相邻，男生必须相邻，共有多少种不同的站法？

解：先把3名女生作为一个整体，看成一个元素，4名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排列成一排共有

种排法；女生内部的排法有

种，男生内部的排法有

种．故合题意的排法有

种．

2.相离排列——插空法：

元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

将n个不同元素排成一排，其中k个元素互不相邻

，有多少种排法？

先把

个元素排成一排，然后把k个元素插入

个空隙中，共有排法

种．

排列组合常用的十五种方法

一.特殊元素和特殊位置优先策略

例1.由0,1, 2, 3, 4, 5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这

两个位置.

先排末位共有C； .〔I.

然后排首位共有C： , 甲

最后排其它位置共有& | | J

由分步计数原理得C：C；A； = 288 C] A： C；

位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主，需 先安排特殊元素，再处理其它元素.若以位置分析为主，需先满足特殊位巻的要求，再处理其它位 宜。若有多个约朿条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 ___________________________

练习题：1. 7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也

不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？

二.相邻元素捆绑策略

例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一 个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。 由分步计数原理可得共有疋斎崙=480种不同的排法

要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题•即将需要相邻的元素合并 为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列.

练习题：2.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起 的情形的不同种数为 _____________ 三•不相邻问题插空策略

例3. 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱，舞蹈节目不能连续出场,

则节目的出场顺序有多少种？

解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有&种，第二步将4舞蹈插 入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种犹不同的方法， 由分步计数原理，节目的不同顺序共有貳处 ____________ 种