第三章 线性系统的运动分析
§3-1线性连续定常齐次方程求解
一、齐次方程和状态转移矩阵的定义
１、齐次方程
状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况（即没有输入作用的状况），设系统
的状态方程的齐次部分为：)()(t Ax t x
= 线性定常连续系统：Ax x =
２、状态转移矩阵的定义
齐次状态方程Ax x = 有两种常见解法：（1）幂级数法；（2）拉氏变换法。其解为
)0()(x e t x At ?=。其中At
e 称为状态转移矩阵（或矩阵指数函数、矩阵指数），记为：At e t =)(φ。
若初始条件为)(0t x ，则状态转移矩阵记为：)(00)(t t A e t t -=-Φ
对于线性时变系统，状态转移矩阵写为),(0t t φ，它是时刻t ，t 0的函数。但它一般不能写成指数形式。
（１）幂级数法
设Ax x
= 的解是t 的向量幂级数 +++++=k
k t b t b t b b t x 2210)(
式中 ，，，
，，k b b b b 210都是n 维向量，则
+++++=-1232132)(k k t kb t b t b b t x
)(2210 +++++=k
k t b t b t b b A
故而有：
?????
??????======00323021
201!1!31312121b A k b b A Ab b b A Ab b Ab b K K
且有0)0(b x =。 故
+++++=k
k t b t b t b b t x 2210)(
+++++=k k t b A k t b A t Ab b 020200!1
!21 )0()!
1!21(22x t A k t A At I k
k +++++=
定义：∑∞==+++++=022!
1
!1!21K k k k k At
t A k t A k t A At I e
则)0()(x e t x At ?=。
（２）拉氏变换解法
将Ax x
= 两端取拉氏变换，有 )()0()(s Ax x s sx =- )0()()(x s x A sI =- )0()()(1
x A sI s x ?-=-
拉氏反变换，有
)0(])[()(11
x A sI L t x ?-=-- 则
])[()(11---==A sI L e t At φ
【例3.1.1】 已知系统的状态方程为x x
??
?
???=0010 ，初始条件为)0(x ，试求状态转移矩阵和状态方程的解。
解：（１）求状态转移矩阵
++++
+==k k At t A k t A At I e t !
1
!21)(22φ 此题中：
??????=0010A ， ??
????====000032n
A A A
所以
?
?
?
???=??????+????
??=+==1010001001)(t t At I e t At φ （２）状态方程的解 )0(101)0()(x t x e t x At
???
?
???=?=
【例 3.1.2】 已知系统状态方程为x x
?
?
????--=3210
，初始条件为)0(x ，试求状态方程的解。
解：)0()(x e t x At ?= ?
?????+-=??????---????
??=-3213210
00s s s s A sI ??
??
??????++
+-++
+-+-
++-+=??????-+++=--22112
21221112112213)2)(1(1
)
(1
s s s s s s s s s s s s A sI ∴??
?
???+-+---=-==----------t t t
t t t t
t At
e e e
e e e e e A sI L e t 222211
2222])[()(φ 故而
)0(2222)0()(2222x e e e
e e e e e x e t x t t t
t t t t
t At ??
?
???+-+---=?=-------- 二、状态转移矩阵At e 的性质
++++
+==k k At
t A k t A At I e
t !
1
!21)(22φ （1）I =)0(φ
（2）A t t A t )()()(φφφ== A =)0(φ
（3）)()()()()(122121t t t t t t φφφφφ±=±=± 证明：)()()()()(1221)()()
(212121t t t t e e e
t t t A t A t t A φφφφφ±=±=?==±±±
（4）)()(1t t -=-φφ，)()(1
t t φφ=--
证明：)()()()()()0(1
t t I t t t t -=?=-=-=-φφφφφφ （5）)()()(00t x t t t x -=φ 证明：)0()()(x t t x φ=
)()()0()0()()(001
00t x t x x t t x ?=?=-φφ，代入上式
∴)()()()()()(00001
t x t t t x t t t x -=?=-φφφ
证毕。
（6）)()()(011202t t t t t t --=-φφφ
证明：)()()(0022t x t t t x -=φ………………………. …………………(1) )()()(0011t x t t t x -=φ……………………………………………(2) )()()()()()(001121122t x t t t t t x t t t x --=-=φφφ…………….(3) 比较（1）、(3)式，有)()()(011202t t t t t t --=-φφφ成立。证毕。
（7）[])()(kt t k
φφ=
证明：[])(][)()
(kt e
e e t kt A kAt k At k
φφ==== （8）若BA AB =，则At Bt Bt At t
B A e e e e e
?=?=+)( 若BA AB ≠，则At Bt Bt At t
B A e e e e e
?≠?≠+)(
（9）设)(t φ为Ax x
= 的状态转移矩阵，引入非奇异变换x P x =后的状态转移矩阵为： P e P t At
1
)(-=φ
证明：将x P x =代入Ax x
= 中，有 x AP P x 1-= APt P e t 1)(-=φ
++++
+=----k k APt
P t AP P k t AP P APt P I e
)(!
1
)(!21122111
++++
+=----k k t AP P k t AP P APt P P P )(!1
)(!2112211
1
P t A k t A At I P k k )!
1!21(221
+++++=-
P e P At
1-= ∴P e P t At
1
)(-=φ。证毕。
（10）两种常见的状态转移矩阵
①设],,,[21n diag A λλλ =，即A 为对角阵，且具有互异元素。则
?????
?
???
?
??=t t n e e t λλφ 00)(1 ②设A 为m m ?约当阵
m
m A ??????????
??
?=λλλ
11 ，则??
?
????
?
??
?????
??
??
?--=--t t m t t t m t t t e e
t m te e e t m e t te e
t λλλλλλλλφ
0)!
2(10)!
1(1!21)(212
【例3.1.3】 已知状态转移矩阵为 ??
?
???+-+---=--------t t t t t t t t At
e e e e e e e e e
22222222 试求)(1
t -φ
和A 。
解：（1）根据状态转移矩阵的性质4，可知
??
?
???+-+---=-=-t t t
t t t t
t e e e
e e e e e t t 222212222)()(φφ （2）根据状态转移矩阵的性质2，可知
??
????--==?????
?--+-+-==--------3210
0442222)0(2222t e e e e e e e e A t t t
t
t t t
t φ
【例3.1.4】 已知
4
401101
?????????????=λλλλA 试求状态转移矩阵At
e 。 解：根据状态转移矩阵的性质10，可知
??
?????
????????
?==t t t t t t t t t t At
e te e e t te e e t e t te e e
t λλλλλλλλλλφ0
0002106
121)(232
【例3.1.5】 验证如下矩阵是否为状态转移矩阵。
????
??????-t t t t sin cos 0cos sin 0001
解：利用性质（1）I =)0(φ
I t t t t t ≠????
?
?????-==??????????-010*******sin cos 0cos sin 0001，所以该矩阵不是状态转移矩阵。
【例3.1.6】 已知系统状态方程为Ax x
= ， 当???
???-=11)0(x 时，??????-=--t t e e t x 22)(
当???
???-=12)0(x 时，??
????-=--t t e e t x 2)(
试求系统矩阵A 和状态转移矩阵At
e 。
解：由性质（2）可知：)0(φ
=A 由已知，有
)0()(x e t x At ?= ??
????--=??????--?----1121222At t t
t t
e e e
e e
∴??
?
???--??????--=??
????--???
???--=---------112121121
2221
22t t t t
t t t t At
e e e e e e e e e
??
?
???+-+---=--------t t t
t
t t t
t e e e
e e e e e 22222222
∴?????
?--=??????--+-+-===--------=3120
424222)(022220
t t t t
t
t t t t t e e e e e e e e t A φ
§3-2 线性连续定常非齐次状态方程的解
线性定常非齐次状态方程：Bu Ax x += ，求)(t x 。 1、直接积分法
Bu Ax x
+= 左乘At
e -，有
Bu e Ax x
e
At At
?=---)( 由于)()(Ax x
e x e dt
d At At
-=?-- 所以Bu e x e dt
d At
At ?=?--)(，两端同时积分，有
τττd Bu e x t x e
A t
At
)()0()(0
?=---?
∴τττd Bu e x e t x t A t
At
)()0()()(0
?+
=-?
τττφφd Bu t x t t )()()0()(0
?-+=? 注意：若取0t 作为初始时刻，积分可得： τττd Bu e t x e
t x e
A t
t At At
)()()(00
0?=----?
τττd Bu e t x e t x t A t t t t A )()()()(0)
(0
0?+=--?
2、拉氏变换法
Bu Ax x
+= ，两边同时取拉氏变换 )()()0()(s Bu s Ax x s sx +=- )()0()()(s Bu x s x A sI +=-
则 )()()0()()(1
1s Bu A sI x A sI s x ---+-= )]()[()0(])[()(1
1
1
1
s Bu A sI L x A sI L t x -----+-= 由拉氏变换卷积定理： ?
-=
-t
d f t f s F s F L 0
21211
)().()]().([τττ
在此1)(--A sI 视为)(1s F ，)(s Bu 视为)(2s F 。则
τττd Bu e
x e t x t A t
At )()0()()
(0
?+=-?
【例3.2.1】 已知系统状态方程为u x x ??
????+??????--=103210 ，输入)(1)(t t u =，
初始条件为?
?
?
???=)0()0()0(21x x x ，试求解此非齐次状态方程。 解：由已知有
τττd Bu e x e t x t A t
At
)()0()()(0
?+
=-?
（1）先求At
e ，由前面例题可知 ??
?
???+-+---=--------t t t t t t t t At
e e e e e e e e e
22222222
（2）求
τττd Bu e t A t
)()(0
?-?
ττττττττττττd e e e e e e e e d Bu e
t t t t t t t t t t A t
??
?
????????
?
?+-+---=???
-----------------102222)(0)(2)()(2)()(2)()
(2)()
(0
τττττd e e e e t t t t t
??
?
???+--=
--------?
)(2)()(2)(0
2 )(2)(2)()(2)(0
τττττ-??
?
???+---
=--------?
t d e e e e t t t t t
???
?????-+-=????????-+--=------------t t t t
t t t t e e e e t e e e e 22)(2)()(2)(2121021ττττ 故而
???
?????-+
-+?????????????+-+---=------------t
t t t
t t t
t t t t
t e e e e x x e e e
e e e e e t x 222122222121)0()0(2222)(
特别说明：若?
?????=??????=00)0()0()0(21x x x ，则???
?????-+-=----t t t t e e e e t x 222121)( 其状态轨迹图可以MABLAB 绘出：
%Example 3.2.1 matlab program:
grid;
xlabel('时间轴');
ylabel('x 代表x1，----*代表x2'); t=0:0.1:10;
x1=0.5-exp(-t)+0.5*exp(-2*t); x2=exp(-t)-exp(-2*t); plot(t,x1,'x',t,x2,'*') end
§3-3 状态转移矩阵At e 的计算
1、直接幂级数法
∑∞
==+++++=022!
1
!1!21K k k k k At
t A k t A k t A At I e
2、拉氏变换法
])[(11---=A sI L e At
3、利用性质，采用对角化的方法
【例3.3.1】 已知系统状态方程为x x
?
?
????--=3210
，试利用对角化的方法求At e 。 解：0)2)(1()det(=++=-λλλA I ，解出特征值11-=λ，22-=λ。 选用变换阵P ，使AP P 1-对角化。由于A 为友矩阵，故P 可选为： ??????--=??????=21111121λλP ， ??
????--=-11121
P
根据P e P e At
APt
P 1
1-=-可推出：11--=P Pe
e
APt
P At
而??
????==--??
????---t t t APt
P e e e
e
22001001
∴??
?
???+-+---==----------t t t
t t t t t APt
P At
e e e e e e e e P
Pe
e 22221
22221
4、利用Caylay-Hamilton 定理计算（待定系数法）
（1）Caylay-Hamilton 定理
设n 阶矩阵A 的特征多项式为：
0111)(a a a A I f n n n ++++=-=
--λλλλλ
则A 满足其特征方程，即
0)(011
1=++++=--I a A a A a A A f n n n
（2）推论1
矩阵A 的k （n k ≥）次幂，可表示为A 的)1(-n 阶多项式
∑-==
1
n m m m
k
A a
A ，n k ≥
【例如】 已知??
??
??=1021A ，求?100
=A 解：A 的特征多项式为：
12)(2+-=-=λλλλA I f
根据Caylay-Hamilton 定理，有
02)(2
=+-=I A A A f ， ∴I A A -=22
故I A A I A A A I A A AA A 23)2(22)2(2
2
3
-=--=-=-== I A A I A A A I A A AA A 342)2(323)23(2
3
4
-=--=-=-== 依次归纳，有：
I k kA A k
)1(--= 所以有：??
?
???=??????-??????=-=102001990099100020010099100100I A A
（3）推论2
状态转移矩At
e 可表示为A 的)1(-n 阶多项式 ∑-==1
)(n m m m At
A t a e
式中，)(,),(),(110t a t a t a n - 均为幂函数。
【例3.3.2】 已知系统状态方程为x x
?
?
????--=3210
， 试利用Caylay-Hamilton 定理求At
e 。
解：（1）求系统矩阵A 的特征值
0)det(=-A I λ 0)2)(1(=++?λλ， 解出11-=λ，22-=λ
（2）一般情况下，对于n 个互异的特征值n λλλ，，
， 21，写出如下方程组： ??????
?=++++=++++=++++------t n n n n n t n n t n n n e
a a a a e a a a a e a a a a λλλλλλλλλλλλ1122101
212222101112121102
1
并解出n a a a ，，
， 10即可。对于本例： ???=+=+t t e
a a e a a 21210110λλλλ ???=-=-?--t
t
e a a e a a 210102 解出t t e e a 202---=，t
t e e a 21---=
（3）对于系统具有n 个互异的特征值n λλλ，，
， 21的情况，按下式计算At
e ：
1
12210--++++=n n At A a A a A a I a e
对于本例有： ??
?
???+-+---=+=--------t t t
t t t t
t At
e e e e e e e e A a I a e 2222102222
§3-4 离散系统状态方程的解
一、由差分方程建立动态方程
线性离散系统的动态方程可以充分利用差分方程建立，也可以利用线性连续动态方程的
离散化得到。
SISO 线性定常离散系统的差分方程一般形式为：
)
()1()1()()()1()1()(011011k u b k u b n k u b n k u b k y a k y a n k y a n k y n n n ++++-+++=++++-+++--
式中，k 表示kT 时刻；T 为采样周期；y(k)、u (k)分别为kT 时刻的输出量和输入量；i a 、i b （n i ，，，， 210=， 且1=n a ）为表征系统特征的常数。
考虑初始条件为零时的Z 变换关系有：
)()]([z y k y Z =， )()]([z y z n k y Z n
=+ 对上边式子两边取Z 变换，并整理为：
11
10
111)()()(a z a z a z b z b z b z b z u z y z G n n n
n n n n ++++++++==---- 0
1110
111a z a z a z z z b n n n n n n ++++++++
=---- βββ
)
(
)
(
z
D
z
N
b
n
+
=
按连续系统的方法，对)
(
/)
(z
D
z
N做串联分解，最后可得到离散系统状态空间表达式的一种形式：
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
)1
(
)1
(
)1
(
)1
(
1
2
1
1
2
1
1
2
1
k
u
k
x
k
x
k
x
k
x
a
a
a
a
k
x
k
x
k
x
k
x
n
n
n
n
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
-
-
-
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
+
+
+
-
-
-
[])(
)
(
)
(
1
2
1
k
u
b
k
x
k
y
n
n
+
=
-
β
β
β
β
简记为：
?
?
?
+
=
+
=
+
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)1
(
k
du
k
cx
k
y
k
hu
k
Gx
k
x
MIMO线性定常离散系统的动态方程为：
?
?
?
+
=
+
=
+
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)1
(
k
Du
k
Cx
k
y
k
Hu
k
Gx
k
x
离散系统的一般结构图
【例3.4.1】设某线性离散系统的差分方程为：
)
(
2
)1
(
)
(
16
.0
)1
(
)2
(k
u
k
u
k
y
k
y
k
y+
+
=
+
+
+
+
试写出系统的状态空间表达式。
解：离散系统的状态空间表达式为：
?
?
?
+
=
+
=
+
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)1
(
k
du
k
cx
k
y
k
hu
k
Gx
k
x
其中：?
?????--=116.010G ， ??
????=10h ， []12=c ， 0=d
二、线性定常连续系统动态方程的离散化
线性定常非齐次状态方程Bu Ax x
+= 在)(0t x 及)(t u 作用下的解为： τττd Bu e t x e
t x t A t
t t t A )()()()(0)
(0
0?+=--?
或τττφφd Bu t t x t t t x t
t )()()()()(0
00?-+-=?
令kT t =0，则)()()(0k x kT x t x ==
T k t )1(+=，则)1(])1[()(+=+=k x T k x t x 常数=+=)1()(k u k u ，于是 )(])1[()(])1[()1()1(k u Bd T k k x kT T k k x T
k kT
??-++-+=+?
+ττφφ
)(])1[()()()1(k u Bd T k k x T T
k kT
??-++=?
+ττφφ
记ττφBd T k T H T
k kT
?-+=
?
+)1(])1[()(
令ττ'=-+T k )1(，则代换后有 ττφττφBd Bd T H T
T
??
=''=
)()()(
故离散化状态方程为：)()()()()1(k u T H k x T G k x +=+ 输出方程为：)()()(k Du k Cx k y +=
【例3.4.2】试写出连续时间系统
u x x
?
?
?
???+??????-=102010 采样周期为T 的离散化状态方程。 解：先求At
e
1
111201])[()(----??
????+-=-==s s L A sI L e t At
φ
??
?
?
?
???
-=?????
?
??????++=---t
t e e s s s s L 2210)1(2
11
210)2(11
T
t t T T G ===)()()(φφ??
?
????
?
-=--T T e e 220)1(2
11 τττφττd e e Bd T H T
T
?????????????
?
-==?
?--100)1(211)()(0
220
τττd e e T ????
?????-=--022)1(21 0214121
22T e e ?
?????????-+=--τ
ττ??????????-+-=--T T e e T 222
121414121 所以：
)()()()()1(k u T H k x T G k x +=+
)(2121414121)()(0)1(211)1()1(22212221k u e e T k x k x e e k x k x T T T T
????
??
????-+-+??????????????-=??????++----
例3.4.2连续系统离散化MATLAB 程序：
%Example3.4.2 : Continuous to discrete system
A=sym('[0,1;0,-2]') B=sym('[0;1]') T='T'
[G,H]=c2d(A,B,T)
%example3.4.2的另一种MATLAB 程序： syms s t T;
A=sym('[0,1;0,-2]'); B=sym('[0;1]'); I=eye(2); L=inv(s*I-A) lap=ilaplace(L) G=subs(lap,'T')
H=int(symmul(lap,B),0,T)
三、离散系统状态方程的解
两种解法：递推法和Z 变换法。
递 推 法：又称迭代法，对于定常和时变系统都适用。 Z 变换法：只适用于定常系统。
1、递推法
)()()()()1(k u T H k x T G k x +=+ 依次令 ,2,1,0=k ，从而有
0=k )0()()0()()1(u T H x T G x += 1=k )1()()1()()2(u T H x T G x +=
)1()()0()()()0()(2
u T H u T H T G x T G ++=
2=k )2()()2()()3(u T H x T G x +=
)2()()1()()()0()()()0()(2
3
u T H u T H T G u T H T G x T G +++= ………… 依此类推。
递推公式为：
∑-=--+
=1
1)()()()0()()(k i i
k k
i u T H T G
x T G k x
其中)(T G k
称为线性定常离散系统的状态转移矩阵，记为)(k φ。 )()()(k kT T G k
φφ==
（)(k φ满足：)()1(k G k φφ=+； I =)0(φ）
【例3.4.3】已知某离散系统的状态方程是： )()()()()1(k u T H k x T G k x +=+ ????
??--=116.010G ，??????=11H ，初始状态?
?
????-=11)0(x ，1)(=k u ， 试用递推法求解)(k x 。 解：)0()()0()()1(u T H x T G x +=??????+??????-????
??--=1111116.010
?
?
????=84.10 )1()()1()()2(u T H x T G x +=??????+??????????
??--=1184.10116.010
??????-=84.084.2
)2()()2()()3(u T H x T G x +=??????+??????-????
??--=1184.084.2116.010
?
?
????=386.116.0
显然，用递推法求解所得到的不是一个封闭的解析形式，而是一个解序列。
采用MATLAB 语言，求解例3.4.3：
%Example 3.4.3 G=[0,1;-0.16,-1]; H=[1;1]; U=1;
X1=[1;-1]; hold on; for k=1:400 X1=G*X1+H*U plot(X1(1),X1(2),'*'); end
2、Z 变换法
设定常离散系统的状态方程是： )()()1(k Hu k Gx k x +=+ 两边取Z 变换：
)()()0()(z Hu z Gx zx z zx +=-，整理有 )()0()()(z Hu zx z x G zI +=-
∴)()()0()()(1
1z Hu G zI zx G zI z x ---+-= 两边取Z 反变换：
)]()[()]0()[()(1
1
1
1
z Hu G zI Z zx G zI Z k x -----+-=
【例3.4.4】已知某离散系统的状态方程是： )()()()()1(k u T H k x T G k x +=+ ????
??--=116.010G ，??????=11H ，初始状态??
????-=11)0(x ，1)(=k u ，
试用Z 变换法求解)(k x 。 解：
11
116.01)
(--??
????+-=-z z
G zI ??
??
?
?
??????
++++-+++++=)8.0)(2.0()
8.0)(2.0(16.0)8.0)(2.0(1)8.0)(2.0(1z z z z z z z z z z
??????
????????+++-+++-+-+++-+
+=8.0342.0318.01542
.0154
8.0352.035
8.031
2
.034
z z z z z z z z
而 )]()0([)()(1
z Hu zx G zI z x +-=- 1
)(-=
z z
z u ????
?
???
????
-+--=??????????--+??????-=+12111)()0(22z z z z z z z z z z z z Hu zx ∴?????
???????-+++--+++=)1)(8.0)(2.0()84.1()1)(8.0)(2.0()2()(2
2z z z z z z z z z z
z z x
?
?????????-++-+-++++-=)1(187)8.0(96.17)2
.0(64.3)1(1825)8.0(922)2.0(617
z z z z z z z z z z z z 对)(z x 取z 反变换，有
?????????
?+-+-+-+--=187)8.0(96.17)2.0(64.31825)8.0(922)2.0(617)(k k k
k k x
非齐次线性方程组同解的讨论 摘要 本文主要讨论两个非齐次线性方程组有相同解的条件，即如何判定这两个非齐次线性方程组有相同的解. 关键词 非齐次线性方程组 同解 陪集 零空间 引言 无论是解齐次线性方程组，还是解非齐次线性方程组.所用的方法都是消元法，即对其系数矩阵或增广矩阵施以行的初等变换，而得到比较简单的同解方程组.用矩阵理论来说，就是系数矩阵或增广矩阵左乘以可逆矩阵后所得线性方程组与原线性方程组据有相同的解.这仅为问题的一面，而问题的反面是，如果两个非齐次线性方程组同解，则它们的系数矩阵或增广矩阵之间是否存在一个可逆矩阵？答案是肯定的，此即是本文主要解决的问题。 下面是一个非齐次线性方程组，我们用矩阵的形式写出 11121121222212n n m m mn m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++=? 令 A= 111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ???????????? ，b= 12m b b b ???????????? 。 即非齐次线性方程组可写成Ax b =。 一 、线性方程组同解的性质 引理 1 如果非齐次线性方程组Ax b =与Bx d =同解，则矩阵[]A b 与[]B d 的秩相等. 证明 设非齐次线性方程组Ax b =的导出组的基础解系为111,,,r ξξξ ，其中1 r 为矩阵[]A b 的秩，再设非齐次线性方程组Bx=d 的导出组的基础解系为 2 12,,,r ηηη ，其中2r 为矩阵[]B d 的秩，如果*η是非齐次线性方程组Ax=b 与Bx=d 特解，由于这两个方程组同解，所以向量组1*11,,,,r ξξξη 与向量组2*12,,,,r ηηηη 等价。从而这两个线性无关的向量组所含的向量个数相等，于是有12,r r =则矩阵[]A b 与[]B d 的秩相等. 引理[1]2 设A 、B 为m n ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =与0Bx =同解的充
第2章 控制系统的状态方程求解 要点： ① 线性定常状态方程的解 ② 状态转移矩阵的求法 ③ 离散系统状态方程的解 难点： ① 状态转移矩阵的求法 ② 非齐次状态方程的解 一 线性定常系统状态方程的解 1 齐次状态方程的解 考虑n 阶线性定常齐次方程 ? ? ?==0)0()()(x x t Ax t x & （2-1） 的解。 先复习标量微分方程的解。设标量微分方程为 ? ??==0)0(x x ax x & （2-2） 对式（2-2）取拉氏变换得 )()(0s aX X s sX =- 移项 0)()(x s X a s =- 则 a s x s X -= )(
取拉氏反变换，得 00 0!)()(x k at x e t x k k at ∑∞ === 标量微分方程可以认为是矩阵微分方程当n=1时的特征，因此矩阵微分方程的解与标量微分方程应具有形式的不变性，由此得如下定理： 定理2-1 n 阶线性定常齐次状态方程（2-1）的解为 00 0!)()(x k At x e t x k k At ∑∞ === （2-3） 式中，∑∞ ==0 !)(k k At k At e 推论2-1 n 阶线性定常齐次状态方程 ???==00 )()()(x t x t Ax t x & （2-4） 的解为 0)(0 )(x e t x t t A -= （2-5） 齐次状态方程解的物理意义是)(0 t t A e -将系统从初始时刻0t 的初始 状态0x 转移到t 时刻的状态)(t x 。故)(0 t t A e -又称为定常系统的状态转移 矩阵。 (状态转移矩阵有四种求法：即定义（矩阵指数定义）法、拉氏反变换法、特征向量法和凯来-哈密顿（Cayly-Hamilton ）法) 从上面得到两个等式 ∑∞ ==0 !)(k k At k At e ])[(11---=A sI L e At 其中，第一式为矩阵指数定义式，第二式可为At e 的频域求法或拉氏反变换法
计算方法实验报告1 【课题名称】 用列主元高斯消去法和列主元三角分解法解线性方程 【目的和意义】 高斯消去法是一个古老的求解线性方程组的方法，但由它改进得到的选主元的高斯消去法则是目前计算机上常用的解低阶稠密矩阵方程组的有效方法。 用高斯消去法解线性方程组的基本思想时用矩阵行的初等变换将系数矩阵A 约化为具有简单形式的矩阵（上三角矩阵、单位矩阵等），而三角形方程组则可以直接回带求解 用高斯消去法解线性方程组b Ax =（其中A ∈Rn ×n ）的计算量为：乘除法运算步骤为 32(1)(1)(21)(1)(1)262233n n n n n n n n n n n MD n ----+= +++=+-，加减运算步骤为 (1)(21)(1)(1)(1)(25) 6226 n n n n n n n n n n AS -----+= ++= 。相比之下，传统的克莱姆 法则则较为繁琐，如求解20阶线性方程组，克莱姆法则大约要19 510?次乘法，而用高斯消去法只需要3060次乘除法。 在高斯消去法运算的过程中，如果出现abs(A(i,i))等于零或过小的情况，则会导致矩阵元素数量级严重增长和舍入误差的扩散，使得最后的计算结果不可靠，所以目前计算机上常用的解低阶稠密矩阵方程的快速有效的方法时列主元高斯消去法，从而使计算结果更加精确。 2、列主元三角分解法 高斯消去法的消去过程，实质上是将A 分解为两个三角矩阵的乘积A=LU ，并求解Ly=b 的过程。回带过程就是求解上三角方程组Ux=y 。所以在实际的运算中，矩阵L 和U 可以直接计算出，而不需要任何中间步骤，从而在计算过程中将高斯消去法的步骤进行了进一步的简略，大大提高了运算速度，这就是三角分解法 采用选主元的方式与列主元高斯消去法一样，也是为了避免除数过小，从而保证了计算的精确度 【计算公式】 1、 列主元高斯消去法 设有线性方程组Ax=b ，其中设A 为非奇异矩阵。方程组的增广矩阵为 第1步（k=1）：首先在A 的第一列中选取绝对值最大的元素 1l a ，作为第一步的主元素: 111211212222112[,]n n n l n nn n a a a a b a a a b a a a b ?? ???? ?? =?????? ?? ????a b
三角分解法解线性方程组 #include
第三章 系统的分析——状态方程的解 §3-1线性连续定常齐次方程求解 一、齐次方程和状态转移矩阵的定义 １、齐次方程 状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况（即没有输入作用的状况），设系统的状态方程的齐次部分为： )()(t Ax t x =& 线性定常连续系统： Ax x =& 初始条件：00x x t == ２、状态转移矩阵的定义 齐次状态方程Ax x =&有两种常见解法：（1）幂级数法；（2）拉氏变换法。其解为 )0()(x e t x At ?=。其中At e 称为状态转移矩阵（或矩阵指数函数、矩阵指数），记为： At e t =)(φ。 若初始条件为)(0t x ，则状态转移矩阵记为：) (0 0)(t t A e t t -=-Φ 对于线性时变系统，状态转移矩阵写为),(0t t φ，它是时刻t ，t 0的函数。但它一般不能写成指数形式。 （１）幂级数法——直接求解 设Ax x =&的解是t 的向量幂级数 Λ ΛΛΛ+++++=k k t b t b t b b t x 2210)( 式中ΛΛ，，， ，，k b b b b 210都是n 维向量，是待定系数。则当0=t 时， 000b x x t === 为了求其余各系数，将)(t x 求导，并代入)()(t Ax t x =&，得： Λ ΛΛΛ&+++++=-1232132)(k k t kb t b t b b t x )(2210ΛΛΛΛ+++++=k k t b t b t b b A
上式对于所有的t 都成立，故而有： ????? ??????======00 3 230 21201!1!31312121b A k b b A Ab b b A Ab b Ab b K K M 且有：00x b = 故以上系数完全确定，所以有： Λ ΛΛΛ+++++=k k t b t b t b b t x 2210)( ΛΛ++++ +=k k t b A k t b A t Ab b 020200! 1 !21 )0()! 1!21(22x t A k t A At I k k ΛΛ+++++= 定义（矩阵指数或矩阵函数）： ∑∞==+++++=022! 1!1!21K k k k k At t A k t A k t A At I e ΛΛ 则 )0()(x e t x At ?=。 （２）拉氏变换解法 将Ax x =&两端取拉氏变换，有 )()0()(s AX X s sX =- )0()()(X s X A sI =- )0()()(1X A sI s X ?-=- 拉氏反变换，有 )0(])[()(1 1x A sI L t x ?-=--
1 / 3 第四节 线性方程组解的判定 从本节开始,讨论含有n 个未知量、m 个方程的线性方程组的解. 11112211211222221122n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++= ? (13—2） 主要问题是要判断出方程组（13-2）何时有解？何时无解?有解时解有多少?如何求出方程组的解。 线性方程组有没有解，以及有怎样的解，完全决定于方程组的系数和常数项。因此，将线性方程组写成矩阵形式或向量形式，以矩阵或向量作为讨论线性方程组的工具,将带来极大的方便。 方程组（13-2)中各未知量的系数组成的矩阵111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ??????=?????? 称为方程组（13-2）的系数矩阵.由各系数与常数项组成的矩阵，称为增广矩阵，记作A ，即 11121121 222212n n m m mn m a a a b a a a b A a a a b ??????=?????? 方程组(13-2)中的未知量组成一个n 行、1列的矩阵（或列向量）,记作X ；常数项组成一个m 行、1列 的矩阵（或列向量），记作b ，即12n x x X x ??????=??????,12m b b b b ??????=?????? 由矩阵运算,方程组（13—2)实际上是如下关系111212122212 n n m m mn a a a a a a a a a ????????????12n x x x ????????????=12m b b b ???????????? 即 AX=b
第2章 系统的状态空间描述 输入输出：可测量，欠全面 §2.1 基本概念 例2.1 密封水箱 1 ()(),y t x t μ = 1 d [()()]d [()()]d c x u t y t t u t x t t μ ?=-?=-? 即 μ 2 (m ) c 3 ()(m /s)u t 3 ()(m /s)y t ()(m) x t
11 ()()()x t x t u t c c μ'=-+. 解 t t c c x t x u c 001()e ()e d τμμττ- ??=+ ? ??? ?. 若()u t r ≡, 则 0()e 1e ,()t t c c x t x r r t μμμμ--??=+-?→∞ ? ? ??, 若想()x h ∞=, 只要()h u t μ =.
例2.2 LRC 123()()();i t i t i t =+ ()()()()()L R L C u t v t v t v t v t =+=+ 选1()()C i t v t 和； 则： 1 1()()()1()()()C C C Li t v t u t Cv t i t v t R '=-+???'?=-? 其余 2()()/, C i t v t R = ()()(),()(). L C R C v t u t v t v t v t =-=)(t v C ) (t v L L R C )(1t i )(t u )(2t i )(3t i 2.2 图
1. 系统的状态变量 状态变量: 完全表征系统,个数最少的一组变量 未来()x t ：由0()x t 和0t t ≥的()u t 完全确定. 对定常, 常取00t =. 2. 状态向量和状态空间 状态向量：12()(),(),()T n x t x t x t x t =???? 状态空间：()x t 取值范围 状态轨线：()x t 的轨迹(无时间轴) 3．几点说明
摘要：近年来，线性代数在自然科学和工程技术中的应用日益广泛，而线性方程组求解问题是线性代数的基本研究内容之一，同时它也是贯穿线性代数知识的主线。本文探究了线性方程组一般理论的发展，用向量空间和矩阵原理分析了线性方程组解的情况及其判别准则。介绍了线性方程组理论在解决解析几何问题中的作用，举例说明了线性方程组解的结构理论在判断空间几何图形间位置关系时的便利之处。 关键字:线性方程组；解空间；基础解系；矩阵的秩 Abstract:In recent years, linear algebra in science and engineering application, and wide linear equations solving problems is the basic content of linear algebra, at the same time, it is one of the main knowledge of linear algebra.This article has researched the development of system of linear equations theory,discussed the general theory of linear equations, vector space with the development and matrix theory to analyze the linear equations and the criterion of the situation. Introduces the theory of linear equations in solving the problem of analytic geometry, illustrates the role of linear equations of structure theory in judgment space relation between the geometry of the convenience of position. space geometric figure between time the position relations with theory of the system of linear equation with examples. Key words: linear equations, The solution space, Basic solution, Matrix rank
列主元高斯消去法和列主元三角分解法解线性方程
计算方法实验报告1 【课题名称】 用列主元高斯消去法和列主元三角分解法解线性方程 【目的和意义】 高斯消去法是一个古老的求解线性方程组的方法，但由它改进得到的选主元的高斯消去法则是目前计算机上常用的解低阶稠密矩阵方程组的有效方法。 用高斯消去法解线性方程组的基本思想时用矩阵行的初等变换将系数矩阵A 约化为具有简单形式的矩阵（上三角矩阵、单位矩阵等），而三角形方程组则可以直接回带求解 用高斯消去法解线性方程组b Ax =（其中A ∈Rn ×n ）的计算量为：乘除法运算步骤为 32(1)(1)(21)(1)(1)262233 n n n n n n n n n n n MD n ----+= +++=+-，加减运算步骤为 (1)(21)(1)(1)(1)(25) 6226 n n n n n n n n n n AS -----+= ++= 。相比之 下，传统的克莱姆法则则较为繁琐，如求解20阶线性方程组，克莱姆法则大约要19 510?次乘法， 而用高斯消去法只需要3060次乘除法。
在高斯消去法运算的过程中，如果出现abs(A(i,i))等于零或过小的情况，则会导致矩阵元素数量级严重增长和舍入误差的扩散，使得最后的计算结果不可靠，所以目前计算机上常用的解低阶稠密矩阵方程的快速有效的方法时列主元高斯消去法，从而使计算结果更加精确。 2、列主元三角分解法 高斯消去法的消去过程，实质上是将A 分解为两个三角矩阵的乘积A=LU ，并求解Ly=b 的过程。回带过程就是求解上三角方程组Ux=y 。所以在实际的运算中，矩阵L 和U 可以直接计算出，而不需要任何中间步骤，从而在计算过程中将高斯消去法的步骤进行了进一步的简略，大大提高了运算速度，这就是三角分解法 采用选主元的方式与列主元高斯消去法一样，也是为了避免除数过小，从而保证了计算的精确度 【计算公式】 1、 列主元高斯消去法 设有线性方程组Ax=b ，其中设A 为非奇异矩阵。方程组的增广矩阵为 1112112122221[,]n n l a a a a b a a a b ?????? ??=? ? ?? ??? ?a b L L M L L M M M M M M M M M
求解系统的状态方程 一、实验设备 PC计算机，MATLAB软件，控制理论实验台 二、实验目的 (1)掌握状态转移矩阵的概念。学会用MATLAB求解状态转移矩阵 (2)学习系统齐次、非齐次状态方程求解的方法，计算矩阵指数，求状态响应； (3)通过编程、上机调试，掌握求解系统状态方程的方法，学会绘制输出响应和状态响应曲线； (4)掌握利用MATLAB导出连续状态空间模型的离散化模型的方法。 三、实验原理及相关基础 (1)参考教材P99~101“3.8利用MATLAB求解系统的状态方程” (2)MATLAB现代控制理论仿真实验基础 （3）控制理论实验台使用指导 四、实验内容 (1)求下列系统矩阵A对应的状态转移矩阵 （a）
（b） 代码： syms lambda A=[lambda 0 0;0 lambda 0;0 0 lambda];syms t;f=expm(A*t) （c） 代码： syms t;syms lambda;A=[lambda 0 0 0;0 lambda 1 0;0 0 lambda 1;0 0 0 lambda];f=expm(A*t) (2) 已知系统
a) 用MATLAB求状态方程的解析解。选择时间向量t，绘制系统的状态响应曲线。观察并记录这些曲线。 （1） 代码： A=[0 1; -2 -3]; B=[3;0]; C=[1 1]; D=[0]; u=1; syms t; f=expm(A*t);%状态转移矩阵 x0=0; s1=f*B*u; s2=int(s1,t,0,t)%状态方程解析解 状态曲线： （2）A=[0 1;-2 -3]; syms t; f=expm(A*t); X0=[1;0]; t=[0:0.5:10]; for i=1:length(t); g(i)=double(subs(f(1),t(i))); end plot(t,g)
第四章 习题答案 1。用Gauss 消去法解方程组 1231231 2323463525433032 x x x x x x x x x ++=?? ++=??++=? 解:方程组写成矩阵形式为12323463525433032x x x ?????? ? ? ? = ? ? ? ? ? ????? ?? 对其进行Gauss 消去得12323441 4726002x x x ?? ???? ? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ?????-?? 得方程组12312323 32346 131 44 822 24 x x x x x x x x x ++=?=-???? -=-?=????=?-=-?? 2。用Gauss 列主元素消去法解方程组 1233264107075156x x x -?????? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ?-???? ?? 解：因为第一列中10最大,因此把10作为列主元素 1233264107075156x x x -?????? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ?-??????12r r ????→1231070732645156x x x -?????? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ?-???? ?? 21 3113 10122 31070716106101055052 2r r r r x x x +-? ??? ? ?-?? ? ? ? ? ????→-= ? ? ? ? ? ??? ? ?????23 r r ????→123107075505221 61061010x x x ? ??? ? ?-?? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ?? ? ?-????
线性方程组的公共解 问题：如何求解线性方程组的公共解？ 线性方程组是高代学习的一个重点内容，它的一般形式为 ???????=+++=+++=+++bs asnxn x as x as b nxn a x a x a b nxn a x a x a ...2211... ,22...222121,11...212111 而线性方程组的求解也是这部分学习的重点和难点。其中求解线性方程组的公共解也是高等代数学习所必须掌握的一个知识点。 例1、证明：对于n 元齐次线性方程组（Ⅰ）AX=0与（Ⅱ）BX=0，有非零公共解的充要条件是r(B A ) ???=-=+0 42031x x x x 又已知某齐次线性方程组（Ⅱ）的通解为 k1(0,1,1,0)’+k2(-1,2,2,1)’ 问（Ⅰ）与（Ⅱ）是否有非零公共解？若有，则求出所有公共解，若没有，则说明理由。（出自2005年中科院） 解：方法一：将（Ⅱ）的通解代入方程组（Ⅰ）得 ???=+=+0 21021k k k k 解得k1=-k2,故方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）有非零公共解，所有非零公共解为k （1,1,1,1）’，k ≠0为任意常数 方法二：令方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的通解相同，即 k1（0,1,1，0）’+k2(-1,2,2,1)’=k3(-1,0,1,0)’+k4(0,1,0,1)’ 得到关于k1,k2,k3,k4的一个方程组 ???????=-=-+=-+=-0 420 422103221032k k k k k k k k k k 可求其通解为（k1,k2,k3,k4)’=k(-1,1,1,1)’ 将k1=-1,k2=k 代入（Ⅰ）的通解可得所有非零公共解为k （1,1,1,1）’，k ≠0为任意常数 方法三：方程组（Ⅱ）可以是 ? ??=+=+-041032x x x x 解（Ⅰ）与（Ⅱ）的联立方程组可得所有非零公共解为k （1,1,1,1）’，k ≠0为任意常数 韩梦雪 20132113429 本章介绍了线性方程组有解的充要条件和求解的方法；为了在理论上深入的研究与此有关的问题，本章还引入了向量和向量空间的基本概念，介绍了向量的线性运算，讨论向量间的线性关系，向量的内积等有关概念和性质，并在此基础上，研究线性方程组解的性质和解的结构等问题。 一、一、线性方程组 1、Cramer法则 教材p64，定理2.1 2、线性方程组有解的判别定理 教材p72，定理2.3 3、线性方程组的消元解法 步骤：（1）对线性方程组的增广矩阵施以初等行变换，将其化为阶梯型矩阵 （2）如果系数矩阵的秩与增广矩阵的秩不相等，表明方程组无解； 如果相等，则表明有解，继续对阶梯型矩阵进行初等行变换，求出 方程的解。【详见p68】 初等行变换： （1）（1）交换两方程的位置； （2）（2）用一个非零数乘某一方程； （3）（3）把一方程的若干倍加到另一方程去 4、消元法与Cramer法则的异同：在条件的限制上，Cramer法则仅适用于 方程数与未知数相等并且系数行列式不为零的情况，而消元法对此没有限制。即便是满足Cramer法则的要求，用消元法可以区分方程组无解还是有无穷多解，而Cremer法则却不能区分 二、二、向量及向量间的线性关系 （一）向量的定义 1、向量、行向量、列向量【教材p77，定义2.1】 2、零向量【教材p78,定义2.2】 3、向量的相等【教材p78,定义2.3】 4、向量的加法、减法【教材p78,定义2.3】 5、数乘向量【教材p78,定义2.5】 6、n维向量空间【教材p78,定义2.6】 7、n维向量空间的子空间【教材p78,定义2.7】 （二）向量间的线性关系 1、线性组合 （1）一个向量可表为一个向量组的线性组合，或称此向量可由此向量组线性表出【教材p80,定义2.8 （2）一个向量可表为一向量组的线性组合的充要条件：由它们做系数及常数项组成的线性方程组有解【教材p81】 （3）几个结论 a、n维零向量是任一n维向量组的线性组合 b、任一n维向量可由n 维基本单位向量组线性表示 c、向量组中的任一向量可由此向量组线性表示 2、向量组的线性相关与线性无关 （1）向量组的线性相关与线性无关的定义【教材p82:定义2.9,2.10】 (2)几个充要条件 Ⅰ向量组线性相关的充要条件由它们做系数组成的齐次线性方程组有非零解【教材p83】 Ⅱ向量组线性无关的充要条件由它们做系数组成的齐次线性方程组仅有零解【教材p83】 Ⅲ一个向量组线性相关的充要条件是由它们做系数组成的齐次线性方程组的系数行列式等于零【教材p83】 Ⅳ一个向量组线性无关的充要条件是由它们做系数组成的齐次线性方程组的系数行列式不等于零【教材p83】： Ⅴ一个向量组线性相关的充要条件是此向量组中至少有一个向量可以表为其余向量的线性组合【教材p85：定理2.6】 Ⅵ一个向量组线性无关的充要条件是此向量组中每一个向量都不能表为其余向量的线性组合【教材p86：定理2.6 的推论】 Ⅶ若一向量可由一向量组线性表出，则表示法唯一的充要条件是此向量组线性无关 三、向量组 第四节 线性方程组解的判定 从本节开始，讨论含有n 个未知量、m 个方程的线性方程组的解。 11112211211222 22 11 22n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+ ++= ????+++=? （13—2） 主要问题是要判断出方程组（13-2）何时有解？何时无解？有解时解有多少？如何求出方程组的解。 线性方程组有没有解，以及有怎样的解，完全决定于方程组的系数和常数项。因此，将线性方程组写成矩阵形式或向量形式，以矩阵或向量作为讨论线性方程组的工具，将带来极大的方便。 方程组（13-2）中各未知量的系数组成的矩阵11121212221 2 n n m m mn a a a a a a A a a a ? ?? ? ? ?=?? ?? ? ? 称为方程组（13-2）的系数矩阵。由各系数与常数项组成的矩阵，称为增广矩阵，记作A ，即 11121121 222212 n n m m mn m a a a b a a a b A a a a b ?? ????=??? ??? 方程组（13-2）中的未知量组成一个n 行、1列的矩阵（或列向量），记作X;常数项组成一个m 行、1 列的矩阵(或列向量），记作b ，即12n x x X x ??????=?????? ,12 m b b b b ?? ????=?????? 由矩阵运算，方程组(13-2)实际上是如下关系111212122212 n n m m mn a a a a a a a a a ? ?? ? ? ? ?? ?? ? ? 12n x x x ???????????? =12m b b b ???????????? 即 AX=b 对线性方程组条件数的讨论 [摘要] 本文主要研究了线性方程组的病态问题，讨论衡量线性方程组病态问题的一个量—条件数，条件数对解的影响及条件数对数值算法中停机条件的影响；以Hilbert矩阵为例进行验证和讨论。 [关键字] 病态问题条件数范数奇异值分解 1.前言 在许多工程物理与力学问题中经常碰到的病态线性方程组[2]的求解问题，病态线性方程组在不同情形下需要不同的解法，才能得到更好的效果，当病态线性方程组较小型时，使用传统的数值算法求解会减轻求解过程中的计算量及避免浪费资源．但当遇到大型病态线性方程组时，因为其条件数太大，此算法的收敛性很差，若继续使用传统的数值算法求解，而很难得到满意的结果．诸如此类的问题,均可从数学上归结为病态问题。 2.病态问题 对某数学问题本身，如果输入数据有微小扰动（即误差），引起输出数据（即问题的解）的很大扰动，称此数学问题为病态问题[1]。这是数学问题本身的性质决定的，与算法无关。例如： 即有0.01的扰动，对结果产生232.67倍的误差。这里并没涉及具体的算法，是问题本身的性质造成的。实际上1.5接近，而在附近，是一个病态问题。 算法的稳定性 如果误差增长并不是数学问题本身引起，而是算法选择不当所致。则称此算法稳定性不好。例如： 选择用差商近似代替微商，取步长，用四位有效数字作近似计算 ， 结果明显很差。这里并不是因为取得不够小的原因，如，将只能得到，结果更差。这是因为用相近数相减，损失了大量有效数位的原故。 3. 条件数 线性代数计算中,如求线性方程组的解，计算得到的解（计算解）通常是近似的。其原因一是系数矩阵和右端项往往由观测或计算得到，因而产生（数据）误差；另一个是求解计算过程出现舍入误差。下面来研究方程组的数据（或）的 ***学院数学分析课程论文 线性方程组解的判定与解的结构 院系数学与统计学院 专业数学与应用数学（师范） 姓名******* 年级 2009级 学号200906034*** 指导教师 ** 2011年6月 线性方程组解的判定与解的结构 姓名****** （重庆三峡学院数学与计算机科学学院09级数本？班） 摘 要：线性方程组是否有解，用系数矩阵和增广矩阵的秩来刻画．在方程组有解且有 多个解的情况下，解的结构就是了解解与解之间的关系． 关键词：矩阵； 秩； 线性方程组； 解 引言 通过系数矩阵和增广矩阵的秩是否相同来给出判定线性方程组的解的判别条件．在了解了线性方程组的判别条件之后，我们进一步讨论解的结构．对于齐次线性方程组，解的线性组合还是方程组的解．在线性方程组有无穷个解时可用有限多个解表示出来．另外以下还涉及到线性方程组通解的表达方式． 1 基本性质 下面我们分析一个线性方程组的问题，导出线性方程组有解的判别条件． 对于线性方程组 1111221121122222 1122n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++???+=??++???+=???????++???+=? (1) 引入向量 112111s αααα??????=?????????，122222s αααα??????=?????????，…12n n n sn αααα??????=????????? ，12s b b b β?? ?? ??=??????? ?? 方程（1）可以表示为 1122n n x x x αααβ++???+= 性质 线性方程组⑴有解的充分必要条件为向量β可以表成向量组α1,α2,…，αn 的线性组合. 定理1 线性方程组⑴有解的充分必要条件为它的系数矩阵 第三章 线性系统的运动分析 §3-1线性连续定常齐次方程求解 一、齐次方程和状态转移矩阵的定义 １、齐次方程 状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况（即没有输入作用的状况），设系统的状态方程的齐次部分为：)()(t Ax t x = 线性定常连续系统：Ax x = ２、状态转移矩阵的定义 齐次状态方程Ax x = 有两种常见解法：（1）幂级数法；（2）拉氏变换法。其解为)0()(x e t x At ?=。 其中At e 称为状态转移矩阵（或矩阵指数函数、矩阵指数），记为：At e t =)(φ。 若初始条件为)(0t x ，则状态转移矩阵记为：)(00 )(t t A e t t -=-Φ 对于线性时变系统，状态转移矩阵写为),(0t t φ，它是时刻t ，t 0的函数。但它一般不能写成指数形式。 （１）幂级数法 设Ax x = 的解是t 的向量幂级数 +++++=k k t b t b t b b t x 2210)( 式中 ，，， ，，k b b b b 210都是n 维向量，则 +++++=-1232132)(k k t kb t b t b b t x )(2210 +++++=k k t b t b t b b A 故而有： ????? ?? ????== ====003 230 2 12 01!1! 3131 2 121b A k b b A Ab b b A Ab b Ab b K K 且有0)0(b x =。 故 +++++=k k t b t b t b b t x 2210)( ++ +++=k k t b A k t b A t Ab b 02 02 00! 1! 21 )0()! 1!21(22 x t A k t A At I k k ++ ++ += 定义：∑ ∞ == ++ +++=0 2 2! 1! 1!21K k k k k At t A k t A k t A At I e 则)0()(x e t x At ?=。 （２）拉氏变换解法 将Ax x = 两端取拉氏变换，有 )()0()(s Ax x s sx =- )0()()(x s x A sI =- )0()()(1x A sI s x ?-=- 拉氏反变换，有 )0(])[()(11x A sI L t x ?-=-- 则 ])[()(11---==A sI L e t At φ 【例3.1.1】 已知系统的状态方程为x x ?? ? ???=00 10 ，初始条件为)0(x ，试求状态转移矩阵和状态方程的解。 解：（１）求状态转移矩阵 ++ ++ +==k k At t A k t A At I e t ! 1! 21)(2 2φ 此题中： ???? ??=00 10A ， ?? ? ???====00 0032n A A A 所以 设有三元非齐次线性方程组 线性方程组解的几何意义 ???????=++=++=++,,,)1(22221111m m m m d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a 我们来讨论一下三元非齐次线性方程组解的几何意义. 2) 有唯一解这时方程组(1) 中的m 个方?? ???=+--=--=+,423, 32,123z y x y x z x 该方程组有唯一解.817,21,4 7??? ??--则方程组(1) 的解有以下三种情况: 1) 无解这时方程组(1) 中的m 个方程所表示的平面既不交于一点, 也不共线、共面. 程所表示的平面交于一点. 例如 其几何意义如图3 -11 所示. 2x-y=-3 3x+2z=-1 x-3y+2z=4 图3-11 交直线所确定.3) 有无穷多组解这时又可分为两种情形:情形一自由变量, 基础解系中有两个向量，其一般解的形式为 γ=c 1η1+ c 2η2+ γ0(c 1, c 2为任意常数).这时方程组的所有解构成一个平面, 而这个平面是由过点γ0且分别以η1、η2为方向向量的两条相A 的秩=A 的秩= 1 .此时，有两个γ=c 1η1+ c 2η2+ γ0 称为平面的参数方程. 例如, 设保留方程组为 x + y + z = 3, 则可求得其通解为 . 11110101121???? ? ??+????? ??-+????? ??-=c c x 则过点P (1,1,1) 分别以(1,-1,0)T , (1,0,-1)T 为方向,1 10111:,01111 1:21--=-=--=--=-z y x L z y x L 则这两条相交直线L 1, L 2所确定的平面的方程即向量的两直线的方程分别为 为x + y + z = 3 . 如图3-12 1、λ为何值时，线性方程组123412341 23251321383x x x x x x x x x x x λ++-=??+++=??++=?有解，并求一般解。 2、λ为何值时，线性方程组123412341 2341222 44x x x x x x x x x x x x λ+++=??-+-=??+++=?有解，并求一般解。 3、λ为何值时，线性方程组123412341232312341x x x x x x x x x x x λ++-=??++-=-??++=? 有解，并求一般解。 4、λ为何值时，线性方程组123412341 234233221 25x x x x x x x x x x x x λ+-+=??++-=??++-=?有解， 并求一般解。 填空： 1、若()4r A =，则齐次线性方程组 45510A X ??=解的情况为（ ）。 A ．有唯一零解 B ．有非零解 C ．无解 D ．不能确定是否有非零解 2、设非齐次线性方程组(0)AX b b =≠有无穷多解，那么齐次线性方程组0AX =（ ） A. 只有零解 B. 有非零解 C. 无解 D. 不能确定是否有解 3、设A 为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，且22A A E O -+=，则1A -=（ ） A. 2E A - ； B. 2A - ； C. 2A - ； D. A E - 4、设A ，B 均为n 阶方阵，则下列结论不正确的是（ ） A ()222 A B AB = B . 222()A B A AB BA B -=--+ C . T T T A B AB =)( D . 若A 、B 都可逆,，则()111AB B A ---=本章介绍了线性方程组有解的充要条件和求解的方法
线性方程组解的判定
对线性方程组条件数的讨论
线性方程组解的判定与解的结构
第三章线性系统状态方程的解
线性方程组解的几何意义.
1、 为何值时,线性方程组 有解,并求一般解
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