3.4基本不等式

岳献平《3.4基本不等式》教学设计

课堂教学设计

主题：基本不平等AB？A.B2单元：内黄一中名称：岳显平

课堂教学设计表

科目：数学教师姓名：岳显平学名：内黄市第一中学教学班：10班，2022年级章名3.4席基本不等式AB？A.B（第一学时）2计划学时1。课程标准：必修数学课程标准5。2.本节教学目标：知识与能力：1。理解基本不平等的意义；２. 能够用基本不等式找到最大值；过程与方法：在推导基本不等式的过程中，培养学生的直观思维，培养学生观察、联想、类比等教学目标能力；情感态度和价值观：通过对基本不等式的研究，培养学生勇于探索、善于合作的意识，让学生学会用数学的眼光看世界，感受数学与生活的紧密联系，让学生热爱和理解数学，从而成为学习的主人。学习3.4-1第3.4-2项标记3.4-3来描述3.4-4个项目知识点，学习目标特定描述句子的编号，理解和理解重要不等式的推导（结论1）。掌握基本不等式的推导和证明（结论2）。掌握利用基本不等式求最大值的条件。扩大数学模型的建立，运用数学知识解决实际问题。内容解决方案：1。利用学生感兴趣的问题激发学生的求知欲；教学重点是基本不等式的推导和应用。2.引导学生独立尝试和发现，使学生获得知识，提高能力。3.通过形成性连接，使用和巩固公式的学习和掌握。使用黑板书写和PPT错误显示方法，引导学生亲自探索、发现和理解“当且仅当a？B应用和其他活动使学生能够在感知的基础上有效掌握等号”的意义。立法的意义。

知识点学习编号目标媒体类型媒体内容要点教学作用使用方式所得结论占用时间媒体来源多媒体国际数a、b、ga重要不等式8分钟多媒体课件学家大会会标3.4―1理解课件教学多媒体得出e、f课件典型多媒体应用课件例题；形成性练习多媒体理解课件问题be数学模型的建立5分钟自制hd运用基本不等式解决问题5分钟自制结论f不等式学生通过换元法得出基本20分钟多媒体课件媒3.4－2体（资3.4－3源）的3.4－4选择掌握①媒体在教学中的作用分为：a.提供事实，建立经验；b.创设情境，引发动机；c.举例验证，建立概念；d.提供示范，正确操作；e.呈现过程，形成表象；f.演绎原理，启发思维；g.设难置疑，引起思辨；h.展示事例，开阔视野；i.欣赏审美，陶冶情操；j.归纳总结，复习巩固；k.其它。②媒体的使用方式包括：a.设疑―播放―讲解；b.设疑―播放―讨论；c.讲解―播放―概括；d.讲解―播放―举例；e.播放―提问―讲解；f.播放―讨论―总结；g.边播放、边讲解；h.其它.板书设计1、结论1（重要不等式）2、结论2（基本不等式）3、探究24、公式的典型练习解析×××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××× 教学模式：启发式教学观察→ 认为→ 回答问题→ 实践→ 评估教学过程结构：开始设计课堂教学过程结构和实验要求？实验答：观察并分析会标中几何图形的面积和关系，总结实验，指导并证明1。大广场面积2。小广场面积引导学生得出结论，是否对22项课程标准p97a+B进行评论？2Ab演示形成性示例AB？A.B2学生完成练习、投影练习提示、错误指示和纠正归纳，并总结课程标准：课件显示、结束捆绑教学内容和

3．4基本不等式：2baab （均值不等式）

一、知识点：

1．定理：如果a，b是正数，那么 a ＋b2 ≥ab （当且仅当a＝b时取“＝”号）

我们称a ＋b2 为a，b的算术平均数，称ab 为a，b的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.故也叫均值不等式

说明：利用均值定理求最值时应注意三个条件：（1）函数式中各项必须都是正数;

（2) 函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；（3）等号成立条件必须存在。

即：“一正二定三相等”这三个原则。可分别在“正”“定”“相等”三处设题

2、常用不等式有：

（1）2222211abababab(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；

（2）a、b、cR，222abcabbcca（当且仅当abc时，取等号）；

二、例题分析：

例1：已知)0(1xxxy，求 y的最值。（直用）

例2：已知x＞45,求函数y=4x-2 +541x的最小值 （变形应用）

变式1、求函数12xxxy（x>0）的值域。

变式2、当x为何值时，28(1)1xyxx有最小值

变式3、求函数41322xxy 的最小值。

例3：求函数2254xyx的最小值。

变式、求函数4sinsinyxx最小值（x∈（0，900］）

例4：当0＜x＜4时，求y=x(9-2x) 的最大值。（逆用）

例5：若,xyR，且2x+5y=20,求lglguxy的最大值。（应用）

变式、已知x+3y-2=0,求3271xy最小值。

例6：正数,xy满足21xy，求yx11的最小值为。（方法：“1”的代换）

例7：已知x＞0,y＞0且x+2y+xy=30,求xy的最大值

练习题

一、选择题

1、设x,y为正数，(x+y)(x1y4)的最小值为（ ）

A．6 B 9 C 12 D 15

1 3．4基本不等式（第一课时）

来宾高中数学组：卢红兰

教学目标

一、知识目标

1、探索并了解基本不等式的证明过程；

2、了解基本不等式的几何背景；

3、会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

二、能力目标

通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法。

三、情感目标

通过对基本不等式成立条件的分析，培养分析问题的能力及严谨的数学态度。

教学重、难点

重点：1、数形结合的思想理解基本不等式；

2、基本不等式成立的条件及应用。

难点：基本不等式成立的条件及应用 。

教学过程

一、创设情境，引入课题

探究一：如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计；将右图中的“风车”抽象成下图，比较4个直角三角形的面积与大正方形的面积，你能找到怎样的不等关系？

引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 2 设直角三角形的两条直角边长为a,b那么大正方形的边长为22ab。

我们考虑4个直角三角形的面积的和是abS21，大正方形的面积为222baS。

由图可知12SS，即abba222．

思考一：1、能否取到等号？什么时候取等号？（当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有222abab）

2、以上结论能否推广到任意实数a,b?

总结：重要不等式：一般地，对于任意实数 a、b，我们有222abab，当且仅当ab时，等号成立。

你能给出证明吗？

思考二：如果用a,b去替换abba222中的a,b能得到什么结论？

引导：为什么可以替换？a,b要满足什么条件？

结论：2abab )0,0(ba，当且仅当ba时取等号.

你能给出证明吗？

二、数形结合，深化认识

展示课题内容:

重要不等式．．．．．：若,abR，则abba222（当且仅当ba时，等号成立）

_3.4基本不等式：ab≤a＋b2

基本不等式

[提出问题]

问题1：若a、b∈R，则代数式a2＋b2与2ab有何大小关系？

提示：∵(a2＋b2)－2ab＝(a－b)2≥0.

∴a2＋b2≥2ab.

问题2：上述结论中，“＝”号何时成立？

提示：当且仅当a＝b时成立．

问题3：若以a，b分别代替问题1中的a，b，可得出什么结论？

提示：a＋b≥2ab.

问题4：问题3的结论中，“＝”何时成立？

提示：当且仅当a＝b时成立．

[导入新知]

1．重要不等式

当a，b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

2．基本不等式

1．有关概念：当a，b均为正数时，把a＋b2叫做正数a，b的算术平均数，把ab叫做正数a，b的几何平均数．

2．不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，等号成立．

(3)变形：ab≤a＋b22，a＋b≥2 ab(其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立)．

[化解疑难]

1．基本不等式成立的条件：a＞0且b＞0；其中等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号，即若a≠b时，则 ab≠a＋b2，即只能有ab＜a＋b2. 2．从数列的角度看，a，b的算术平均数是a，b的等差中项，几何平均数是a，b的正的等比中项，则基本不等式可表示为：a与b的正的等比中项不大于它们的等差中项．

利用基本不等式证明不等式

[例1] 已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.

[证明] 由基本不等式可得：

a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，

同理：b4＋c4≥2b2c2，

c4＋a4≥2a2c2，

∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，

从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.

[类题通法]

1．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．