高中数学中求函数值域的几种方法
汝南双语学校
赵保刚
函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题.
定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄彼，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难。实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函数的理解，从而深化对函数本质的认识。
若有非空数集A到B的映射f:A→B，则函数：y=f(x)(x∈A,y∈B)的值域是自变量x在f作用下的函数值y的集合C，很明显，C B，求函数值域的方法要随函数式的变化而灵活掌握，同时应注重数形结合，等价转换，分类讨论等重要数学思想的理解与运用。下面通过八个方面的例题来加以说明。
题型一 定义法
要深刻领会映射与函数值域的定义。
例1．已知函数f:A→B（A，B为非空数集），定义域为M，值域为N，则A，B，M，N的关系：（ ）。
A．M＝A，N＝B B．M N，N＝B
C．M＝A，N B D．M A，N B
说明：函数的定义域是映射f：A→B中的原象集合A，而值域即函数值的集合是集合B的子集。
学必求其心得，业必贵于专精
导数法求闭区间函数值域
当我们在研究连续、可导函数的值域时，可以借助导数来讨论闭区间上函数的值域.其方法也比较固定，其本质就是先找到极值点与端点，再比较它们的大小。同学们应该熟练掌握这种方法，同时也对求导数的知识是一种巩固和复习。
先看例题：
1。求函数53yxx的值域
先确定定义域：35x
求导：11'2523yxx ,令'0y,得x=4
接下来只需要比较闭区间内的端点值和极值
只需要比较x=3，x=5，x=4时的函数值
得3,2;4,2;5,2xyxyxy
所以函数值域为[2,2]y
通过例题我们可以明确，在闭区间上的连续函数，一定会存在最大值、最小值，而必然出现在极值点和端点的位置。所以我们只需要比较端点值和极值的大小，就能找打最值,也能找到函数的值域。
2.已知函数41,32yxxx求其值域
24'1yx 学必求其心得，业必贵于专精
令'0,2yx
接下来只需要比较闭区间内的端点值和极值
当11,822xy
当13,43xy
当2,4xy
所以函数值域为1[4,8]2y
3.已知函数31()2,123gxxxx求其值域
先求导数2'()2gxx，令12'()0,2,2gxxx
因为12x不在定义域内，所以舍去不必考虑
接下来只需要比较闭区间内的端点值和极值
5424(1),(2),(2)333ggg
所以函数值域为442[,]33y
总结：
若f(x）为闭区间ks5ua，b]上的连续函数,则f（x）在ks5ua,b］上一定有最大、最小值
求最大、最小值的步骤:
(1）求f(x）在ks5ua，b］上的极值
(2)将f（x）的各极值与端点值比较,其中最大的即是最学必求其心得，业必贵于专精
大值,最小的即是最小值
练习：
1。已知函数2()sin(2)sin(2)2cos1,33fxxxxxR
1 函数定义域、值域求法总结
一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手：
（1）分母不为零
（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1
（5）y=xtan中2kx；y=xcot中x≠kπ等等。
( 6 )0x中x0
二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。
常用的求值域的方法：
（1）直接法
（2）图象法（数形结合）
（3）函数单调性法
（4）配方法
（5）换元法 （包括三角换元）
（6）反函数法（逆求法）
（7）分离常数法
（8）判别式法
（9）复合函数法
（10）不等式法
（11）平方法等等
这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
三、典例解析
1、定义域问题
例1 求下列函数的定义域：
① 21)(xxf；② 23)(xxf；③ xxxf211)(
2 例2 求下列函数的定义域：
① 14)(2xxf ②2143)(2xxxxf
② )(xfx11111 ④xxxxf0)1()(
⑤373132xxy
\例3 若函数aaxaxy12的定义域是R，求实数a 的取值范围
例4 若函数)(xfy的定义域为[1，1]，求函数)41(xfy)41(xf的定义域
3 例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x－1)的定义域。
例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x2)的定义域。
练习：设)(xf的定义域是[3，2]，求函数)2(xf的定义域
例7已知f(2x－1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域
课外阅读 函数值域的求法 张志朝 （壶关县第一中学校，山西壶关０４７５００） 求函数的值域问题是高中数学学习中的基本问题，也是进 一步学习其它数学知识的基础，求函数的值域，要求同学们具 有坚实的数学基础，具有严谨，全面分析问题，和灵活解决问 题的能力，下面介绍几种求值域的常用方法： 一，直接观察法 有的函数的结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不 等式的性质直接观察求出函数的值域。 例１（１）求函数Ｙ＝ｘ 一１＋４１一 的值域。 ｌ （２）求函数 一 的值域。 广Ｘ 一１ ０ 解：（１）先求函数的定义域：列不等式组ｔ １－Ｘ２≥０ 解得：ｘ＝±ｌ 所以函数的定义域为：｛一１，１｝ 而当ｘ＝±１， ｙ＝Ｏ 所以函数的值域为：｛０｝ （２）函数的定义域为：Ｒ １ １ 因为 ≥ｏ．．．． ２＋２ ２所以：０ ｉ— ＜ ／ １］ 所以函数的值域为：ｌ ｏ，｛ｆ 注：利用观察法求函数的值域要熟练掌握一些基本函数的 性质，如Ｙ＝Ｘ２ Ｙ＝ ，Ｙ＝√ ，Ｙ＝ａ ｘ（Ⅱ＞ｏ ｒ＆ａ≠１），Ｙ：ｌｏｇａ （Ⅱ＞０ ≠１） 等函数的基本性质。 二、二次函数法（配方法） 二次函数或可转化为形如：Ｆ（ｘ）＝ （ ）＋ｂｆ（ ）＋ｃ（ａ≠０） 类的函数值域问题均可用此法解决。 例２（１）求函数Ｙ＝ 一Ｘ＋ｌ（ｘ≥１）的值域。 （２）求函数Ｙ＝９ 一２－３ ＋５的值域。 解：（１）解１：函数 ＝Ｘ 一 ＋１的对称轴 。＝ １硭［１，＋ ）， 所以原函数在［１，＋ｏｏ）上单调递增，有最小值ｆ（１）：１，无 最大值。 故原函数的值域为［１，＋∞）。 ， １、， ３ 解２：Ｊ， （ 一 ） 十一４ ・．。 １，．・． 一 ≥ ，贝０，（ — １ ２ １，．・． ｌ 故原函数的值域为［１，＋∞）。 （２）令ｔ＝３ ，则ｆ＞０ Ｙ＝ｔ ＋６ｆ＋５，ｔ∈（０，＋∞） （以下略） 三，换元法 运用整体代换将所给函数的值域转化为值域容易确定的函 数，从而求得原函数的值域。 例３（１）求函数 ＝６ｘ＋１十２√３ —ｌ的值域。 （２）求甬数 ＝ｌｇ （ ＋２）一ｌｇ（ｘ ＋２） ＋ａＭ值域。 解：（１）令：ｔ： 一１，Ｏ≥０），则３ ＝ｔ ＋１ Ｙ＝２ｔ。＋２＋１＋２ｔ＝２ｔ ＋２ｔ＋３（ｔ∈ ，＋ｏ。）） （以下略） （２）Ｙ＝［１ｇ（ ＋２）］２—２１ｇ（ ２＋２）＋３ 令：ａ＝ｌｇ（ｘ ＋２１ ・．’Ｘ ＋２≥２．．・．ａ≥ｌｇ２ 所以原函数可化为：Ｙ＝口 十２ａ＋３，口∈［１ｇ２，＋ｏ。） （以下略） 注：换元法足一种非常重工的数学解题方法，它可以使复 杂问题简单化，但是在解题的过程中一定要注意换元后新元的 取值范嗣。 四 逆求法 用函数的自变量（定义域）与函数值（值域）之间的相互 的磨励，对弱者爱护，也是一种文化事实。 （２）历史的公正。蒙冤的人，坚强的活下来，就是对自 己的生命认真的表现。随着时代的振荡、置疑，否定之否定， 真相最终会浮出水面。制造冤案的人，最终会受到历史的唾弃 与遣责。 （３）认识自己。蒙冤的人，面对人生的逆境，反而更坚 信自己是怎样的人。这才是真正的勇气与自信。 （４）定风波。蒙冤的人，会变得沉稳。大风大浪，闲定 自如，一言一语定风波。或许冤情最末，他说出的，只是淡淡 一句言语，却是最平淡的真实。它是风雨之后，心灵从容、淡 定的天籁，息风宁火的温情与淡泊，如淳朴的语言、山地民 歌，显出人生的旷达与辽阔。望峰生息，欲望止步。 人生至美。历程，却是艰难的。 经历沙漠的人，方能体验绿洲的怀抱；经历寒冬的人，方 知春天的美好。 这，也许是历史冤案，给予人们的一生的祝福与祈祷。
