第9章（之1） （总第44次）
教学内容:§微分方程基本概念
*1． 微分方程7
3
59)(2xy y y y =''''-''的阶数是 （ ） （A ）3； （B ）4； （C ）6； （D ）7． 答案（A ）
解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数．
*2． 下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数，这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是 （ ） （A ）x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=； （B ）)2sin 1(2cos x x C y λ+=； （C ）x C k x kC y 2sin 12cos 22++=； （D ）)2cos(α+=x C y ． 答案 （D ）
解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数． （A ）中的函数只有一个任意常数C ；
（B ）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解；
（C ）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C 及k ，但当令kC C =时，函数就变成了
x C x C y 2sin 12cos 2
++=，实质上只有一个任意常数；
（D ）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解．
*3．在曲线族 x
x
e
c e c y -+=21中，求出与直线x y =相切于坐标原点的曲线．
解 根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y ， 由x
x
e c e c y -+=21， x
x e
c e c y --='21，可得1,02121=-=+c c c c ，
故21,2121-==c c ，这样就得到所求曲线为)(2
1
x x e e y --=，即x y sinh =．
*4．证明：函数y e x x =-2333212sin 是初值问题⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x y
x y 的解．
证明 '=-+--y e x e x x x 33323
2
1
21
2sin cos ， ''=----y e x e x x x 333232
1
21
2sin cos ，
代入方程得 ''+'+=y y y 0， 此外
，
，1)0(0)0(='=y y 故y e x x =-23332
1
2sin 是初始值问题的解．
*5．验证y e e t Ce x
t x
x =+⎰
20
d （其中C 为任意常数）是方程'-=+y y
e x x 2
的通解．
证明 '=+⋅+⎰
y e
e t e e Ce x t x
x x x 2
2
d =++y
e x x 2
， 即 2
x x e y y +=-'，说明函数确实
给定方程的解．
另一方面函数y e e t Ce x t x
x
=+⎰2
0d 含有一任意常数C ，所以它是方程的通解．
**6．求以下列函数为通解的微分方程： （1）31+=Cx y ；
解 将等式31+=Cx y 改写为13
+=Cx y ，再在其两边同时对x 求导，得C y y ='2
3，
代入上式，即可得到所求之微分方程为133
2-='y y xy ． （2）x
C x C y 2
1+
=． 解 因为给定通解的函数式中有两个独立的任意常数，所以所求方程一定是二阶方程，在方程等式两边同时对x 求两次导数，得
221x C C y -
='，3
2
2x C y =''．
从以上三个式子中消去任意常数1C 和2C ，即可得到所求之微分方程为
02=-'+''y y x y x ．
**7．建立共焦抛物线族)(42
C x C y +=（其中C 为任意常数）所满足的微分方程［这里的共焦抛物线族是以x 轴为对称轴，坐标原点为焦点的抛物线］．
解 在方程)(42
C x C y +=两边对x 求导有C y y 42='，从这两式中消去常数所求方程为)2(y y x y y '+'=．
**8．求微分方程，使它的积分曲线族中的每一条曲线)(x y y =上任一点处的法线都经过坐标原点．
解 任取)(x y y =上的点 ),(y x ，曲线在该点处的切线斜率为 y '=dx
dy
． 所以过点),(y x 的法线斜率为
y '-1， 法线方程为y Y -=y '
-1)(x X -， 因为法线过原点，所以=-y 0y '
-1
)0(x -从而可得所求微分方程为0='+y y x ．
第9章（之2）（总第45次）
教学内容：§9.2 .1可分离变量的方程； § .2一阶线性方程
**1．求下列微分方程的通解：
（1）2
1)1(x y x y +-=
'；
解： 分离变量
21d 1d x x x y y +=-，两边积分⎰⎰+=-21d 1d x x
x y y ， 得C x y ln )1ln(21
)1ln(2-+=
--，即211x
C y +-=．
（2）2
22y x e y
x y -=
'；
