福建省三明一中2014届高三上学期第一次月考 数学理试题

某某一中2013–2014学年度上学期第一学段考试试卷高三 理科数学试卷满分 150分 考试时间 120分钟第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置． 1.已知集合}2|{≤=x x A ，}0)3(|{<-=x x x B ，则B A =( ) A ．}20|{≤<x xB ．}0|{<x xC ．2|{≤x x ，或}3>xD ．0|{<x x ，或}2≥x2.已知a 为常数，则使得e 11d a x x>⎰成立的一个充分而不必要条件是( ) A ．0>a B ．0<a C ．e >a D ．e <a3.已知抛物线23x =的准线过双曲线2221x y m-=-的一个焦点，则双曲线的离心率为( )A.324 B.623D. 334.ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的边分别,,a b c ，且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列，则角B 等于（ ） A .030B. 060C.090D.01205.函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中A ＞0，2πϕ＜）的图象如图所示，为了得到()sin 2g x x=的图象，则只需将()f x 的图象（ ）A.向右平移6π个长度单位 B.向右平移3π个长度单位 C.向左平移6π个长度单位D.向左平移3π个长度单位6.已知O 为坐标原点，直线y x a =+与圆224x y +=分别交于,A B 两点．若2-=⋅OB OA ，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．1±D ．2±7.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，点O 是坐标原点，若||5AF =，则△AOB 的面积为（ ） A ．5 B ．52C ．32D ．1788.三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是（ ） A ．130B ．115C ．110D ．15【答案】C ． 【解析】试题分析：由已知把第二个及第三个学校的学生看做整体得同校学生排在一起共323323A A A 种方法，而三个学校的学生随便排有66A 种方法，有古典概型的概率计算公式得所求概率32332366110A A A P A ==，故选C ． 考点：古典概型的概率计算．9.设向量12(,)a a a =，12(,)b b b =，定义一运算：12121122(,)(,)(,)a b a a b b a b a b ⊗=⊗=,已知1(,2)2m =，11(,sin )n x x =．点Q 在()y f x =的图像上运动，且满足OQ m n =⊗ （其中O 为坐标原点），则()y f x =的最大值及最小正周期分别是（ ） A ．1,2πB ．2,πC ．1,42π D ．2,4π10.对于函数()f x 与()g x 和区间D ，如果存在0x D ∈，使00()()1f x g x -≤，则称0x 是函数()f x 与()g x 在区间D 上的“友好点”．现给出两个函数：①2()f x x =，22)(-=x x g ；②()f x x =，()2g x x =+；③xx f -=e )(，1()g x x=-；④()f x ln x =，x x g =)(，则在区间()0,+∞上的存在唯一“友好点”的是（ ） A ．①② B ．③④ C ． ②③ D ．①④第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.7312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为．12.已知随机变量2(0,)N ξσ，若(2)0.8P ξ<=，则(2)P ξ<-=．【答案】0.2． 【解析】试题分析：由正态分布曲线及其性质可得(2)(2)1(2)0.2P P P ξξξ<-=>=-<=． 考点：正态分布曲线及其性质．13.已知变量,x y 满足20230,0x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则2log (1)z x y =++的最大值是．试题分析：如图作出不等式组表示的可行域可知，当1,2x y ==时，z 取最大值，max 2log (121)2z =++=．考点：线性目标函数的最值问题．14.已知()41xf x =+，()4xg x -=，若偶函数()h x 满足()()()h x mf x ng x =+（其中m ，n 为常数），且最小值为1，则m n +=．【答案】23．【解析】试题分析：()h x 是偶函数，()()h x h x ∴-=，即()()414414x x x x m n m n --++⋅=++⋅，()()()()440,,441x x x x m n m n h x m --∴--=∴=∴=++．又()h x 的最小值为1，()()()112441244131,,,333x x x x h x m m m m n m m n --∴=++≥⋅==∴=∴==∴+=．考点：1．函数的奇偶性；2．函数的最值；3．均值不等式．15.对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三个条件：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②()11f =；③若12120,0,1,x x x x ≥≥+≤都有()()()1212f x x f x f x +≥+ 成立；则称函数()f x 为ϖ函数． 下面有三个命题：（1）若函数()f x 为ϖ函数，则()00f =；（2）函数()[]()210,1x f x x =-∈是ϖ函数； （3）若函数()f x 为ϖ函数，假定存在[]00,1x ∈，使得()[]00,1f x ∈，且()00f f x x =⎡⎤⎣⎦， 则()00f x x =； 其中真命题．．．是________．（填上所有真命题的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分13分） 已知函数21()cos3cos (0)2f x x x x ωωωω=->的最小正周期为π．（I ）求ω值及()f x 的单调递增区间；（II ）在△ABC 中，a b c 、、分别是三个内角C B A 、、所对边，若1a =，2b =，322A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求B 的大小．（II ）3,,.226A f a b A π⎛⎫=<∴= ⎪⎝⎭1,2,a b ==由正弦定理sin 2sin b A B a == ,a b <∴4B π=或34B π=． 考点：1．三角恒等变换（倍角公式）；2．三角函数的周期和单调性；3．正弦定理．17.（本小题满分13分）已知函数()323f x x x ax b =-++在1x =-处的切线与x 轴平行．(1)求a 的值和函数()f x 的单调区间；(2)若函数()y f x =的图象与抛物线231532y x x =-+恰有三个不同交点，求b 的取值X 围．18.（本小题满分13分）某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30 ，第6小组的频数是7 ．(I) 求这次铅球测试成绩合格的人数；(II) 用此次测试结果估计全市毕业生的情况.若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X 表示两人中成绩不合格．．．的人数，求X 的分布列及数学期望； (III) 经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率.【答案】(I) 这次铅球测试成绩合格的人数为50； (II)X 的分布列为数学期望714()22525E X =⨯=； (III) 甲比乙投掷远的概率116．【解析】218324(0)()25625P X ===，12718252(1)()()2525625P X C ===，2749(2)()25625P X ===.从而得X的分布列，进而求得X 的数学期望值；(III) 设甲、乙各投掷一次的成绩分别为x 、y 米，列出基本事件满足的区域：8109.510.5x y ⎧⎨⎩≤≤≤≤，事件A “甲比乙投掷远的概率”满足的区域为x y >，画出图形，利用几何概型公式()A P A =构成事件的区域的面积实验的全部结果所构成的区域的面积来求甲比乙投掷远的概率．试题解析：(I)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14， ∴此次测试总人数为7500.14=(人).…………（2分） ∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)………（4分） (II)X 的可能取值为0，1，2，此次测试中成绩不合格的概率为1475025=,∴X ～7(2,)25B .…………（5分218324(0)()25625P X ===，12718252(1)()()2525625P X C ===，2749(2)()25625P X ===. …………（7分） 所求的X 的分布列为X 0 12P32462525262549625714()22525E X =⨯=…………（9分）19.（本题满分13分）已知椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点)0,1(Q 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．点(4,3)P ，记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，当12k k ⋅最大时，求直线l 的方程．【答案】（Ⅰ）椭圆C 的方程为22142x y +=；（Ⅱ）直线l 的方程为10x y --=． 【解析】（Ⅱ）①当直线l 的斜率为0时，则12k k ⋅=33342424⨯=-+； …………………6分②当直线l 的斜率不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 的方程为1x m y =+，将1x m y =+代入22142x y +=，整理得22(2)230m ym y ++-=． 则12222m y y m -+=+，12232yy m -=+．…………………8分 又111x m y =+，221x m y =+， 所以，112134y k k x -⋅=-2234y x -⋅-1212(3)(3)(3)(3)y y m y m y --=--12122121293()93()y y y y m y y m y y -++=-++= 2232546m m m ++=+23414812m m +=++……………10分．令41t m =+，则122324225t kk t t ⋅=+-+32254()2t t=++-1≤所以当且仅当5=t ，即1=m时，取等号． 由①②得，直线l 的方程为10x y --=．……………13分． 考点：1．椭圆方程的求法；2．直线和椭圆位置关系中最值问题；3．均值不等式．20.（本小题满分14分）已知函数32()f x x x bx =-++，()ln g x a x x =+（0a ≠） （Ⅰ）若函数()f x 存在极值点，某某数b 的取值X 围； （Ⅱ）求函数()g x 的单调区间；（Ⅲ）当0b =且0a >时，令(),1()(),1f x x F x g x x x <⎧=⎨-≥⎩，P (11,()x F x )，Q (22,()x F x )为曲线()y F x =上的两动点，O 为坐标原点，能否使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y 轴上？请说明理由．y 轴上．则0OP OQ ⋅=且120x x +=．不妨设10x t =>．故(,())P t F t ，则32(,)Q t t t -+．232()()0OP OQ t F t t t ⋅=-++=，(*)该方程有解．下面分01t <<，1t =，1t >讨论，得方程(*)总有解．最后下结论，对任意给定的正实数a ，曲线上总存在,P Q 两点，使得POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y 轴上．试题解析：（Ⅰ）2()32f x x x b '=-++，若()f x 存在极值点，则2()320f x x x b '=-++=有两个不相等实数根．所以4120b =+>， ……………2分解得13b >-……………3分21．（本小题满分14分）本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题做答．如果多做，则按所做的前两题记分．21.（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换曲线221:1C x y +=在矩阵0(0,0)0a M a b b ⎛⎫=>>⎪⎝⎭的变换作用下得到曲线222:14x C y +=．（Ⅰ）求矩阵M ；（Ⅱ）求矩阵M 的特征值及对应的一个特征向量． 【答案】（Ⅰ）矩阵2001M ⎛⎫=⎪⎝⎭；（Ⅱ）矩阵M 的特征值1λ=或2λ=．当1λ=时，对应的特征向量为101α⎛⎫= ⎪⎝⎭；当2λ=时，对应的特征向量为210α⎛⎫= ⎪⎝⎭． 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先设曲线221:1C x y +=上的任一点(),x y 在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为(),x y ''，则由0,0a x x b y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得,.x ax y by '=⎧⎨'=⎩再由点(),x y ''在曲线2C 上，21.（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2,(24x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数）．在极坐标系（与直角坐标取相同的长度单位，且以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为θθρcos 4sin 2=． （Ⅰ）求曲线2C 直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线1C 、2C 交于A 、B 两点，定点(0,4)P -，求PA PB +的值．21.（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲. 若c b a ,,为正实数且满足236a b c ++=． （1）求abc 的最大值为43；（212131a b c +++的最大值．。

2021届福建省三明市一中高三上学期第一次月考数学（文）试题考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟，满分150分． 2．本试卷包括必考．．和选考．．两部分．第22题为选考题，考生可在其中的（A ），（B ）两题中任选一题作答；其它试题为必考题，所有考生都必须作答．第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合2{|340},{|05}M x x x N x x =--<=≤≤，则M N =A.(0,4]B. [0,4)C. [1,0)-D. (1,0]-2. 在等差数列{}n a 中，若244,2a a ==，则8a = A ．2- B ．0C ．6D ．83．已知,a b c d >>，且,c d 不为0，则下列不等式成立的是 A.ad bc >B.ac bd >C.a c b d ->-D. a c b d +>+4．已知(5,2),(4,3)a b =-=--，若230a b c -+=，则c 的坐标为 A ．8(1,)3B ．138(,)33-C ．134(,)33D ．134(,)33-- 5．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A. 若//,//l l αβ，则//αβ B. 若,l l αβ⊥⊥，则//αβC. 若,//l l αβ⊥，则//αβD. 若,//l αβα⊥，则l β⊥6．若变量x ，y 满足100x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥，则目标函数2z x y =+的最大值为A. 0B. 1C. 2D.327．要得到函数sin(4)3y x π=-的图象，只需将函数sin 4y x =的图象A. 向左平移12π个单位 B. 向左平移3π个单位C. 向右平移3π个单位D. 向右平移12π个单位8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A. 8B. 12C.332 D. 403 9．已知0,0a b >>，且,a b 的等比中项为1，若11,m b n a a b=+=+，则m n +的最小值是A ．3B ．4C. 5D ．610．已知tan()16α+=π，则tan()6α-=πA. 23-B. 23+C. 23--D. 23-+11．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若243,15S S ==，则6S = A. 31B.32C. 63D. 6412．函数()sin(),(0,0)2f x x ωϕωϕπ=+><<在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是图象的最高点和最低点，O 为坐标原点，且0OM ON ⋅=，则,ωϕ的值分别是A.,362ππB.,3ππC.4π2,D. 1,3π 第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡的相应位置）13．已知向量,a b 均为单位向量，且<a ,b >=3π，则||a b += ____________． 14．已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，则数列{}n a 的通项公式是____________.15．在Rt ABC ∆中，2C π=，且角,,A B C 所对的边,,a b c 满足a b cx +=，则实数x 的取值范围是____________．16．已知四面体ABCD 内接于球O ，且2,2AB BC AC ===，若四面体ABCD 的体积为23，球心O 恰好在棱DA 上，则球O 的表面积是____________．三、解答题：（本大题共6小题，第17-21每题12分，第22题10分，共70分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程、演算步骤） 17．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量22(,),(sin ,cos ),(0,)22a b x x x =-=∈π．（1）若//a b ，求2sin 1sin 2x x+的值；（2）若a 与b 的夹角为3π，求x 的值．18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，12364a a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21(1)log n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：//PB 平面AEC ； （2）设1,3AP AD ==P-ABD 3，求点A 到平面PBC 的距离．20.（本小题满分12分）已知函数231()2cos ,2f x x x x =--∈R ． （1）求函数()f x 的最小正周期、最小值、对称轴、对称中心；（2）设ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且3,()0c f C ==，若B A sin sin 2=，求,a b 的值．21．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，2366,27a a a =+=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项的和n S ，且132nn n S T -=⋅，若对于一切正整数n ，总有n T m ≤成立，求实数m 的取值范围．22．（本小题满分10分，考生可在其中的（A ），（B ）两题中任选一题作答）（A ）4－4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为,(26x t t y t =⎧⎨=+⎩为参数)，以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设(,)M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围． （B ）4－5：不等式选讲已知函数()|||1|f x x a x =-++．（1）若2a =，求不等式()2f x x >+的解集；（2）如果关于x 的不等式()2f x <的解集不是空集，求实数a 的取值范围．2021届福建省三明市一中高三上学期第一次月考数学（文）试题参考答案一、选择题：（5×12=60）二、填空题：（4×5=20）13.14.2,121,2N*n n a n n n =⎧=⎨-∈⎩≥且15. 16. 16π三、解答题：（第17-21每题12分，第22题10分，共70分） 17.解： （1）∵2(,),(sin ,cos )22a b x x =-=且//a b0x x +=……2分 ∴tan 1x =-……4分 ∴2222sin 1cos 2sin 12tan 3sin 22sin cos 2tan 2x x x x x x x x +++===-……6分（说明：也可由tan 1x =-求出34x π=代入2sin 1sin 2x x +求得）（2）∵2(,),(sin ,cos )22a b x x =-= ∴||||1a b ==……7分∵a 与b 的夹角为3π∴1cos ,cos 32||||a ba b a b a b π⋅<>====⋅……8分∴1cos 222x x -= ……9分 ∴1sin()42x π-=……10分又(0,)x ∈π∴444x ππ3π-<-<∴46x ππ-=∴12x 5π=……12分F G18.解：（1）∵等比数列{}n a 满足12364a a a =∴3264a =，即24a =……3分 又等比数列{}n a 的公比为2∴数列{}n a 的通项公式为2*422,n n n a n -=⋅=∈N ．……6分 （2）由（1）知22111(1)log (1)log 2(1)n nn b n a n n n ===+++ ……8分 ∴111n b n n =-+……9分 ∴1111111223111n nS n n n n 1=-+-++-=-=+++ ……11分 ∴数列{}n b 的前n 项和1n nS n =+．……12分19. 解：（1）设AC 与BD 的交点为F ，连接EF……1分 ∵底面ABCD 为矩形∴点F 为BD 中点 ……2分 又E 为PD 的中点∴三角形PBD 中，//EF PB ……3分 又,AEC AEC EF PB ⊂⊄平面平面 ……5分 ∴//PB 平面AEC……6分（2）法一：直接法 过点A 作AG PB ⊥ ∵底面ABCD 为矩形∴AB BC ⊥ 又PA ⊥平面ABCD ∴PA BC ⊥又PA 与AB 是平面PAB 上两相交直线 ∴BC ⊥平面PAB 又AG PAB ⊂平面∴AG BC ⊥又PB 与BC 是平面PBC 上两相交直线 ∴AG ⊥平面PBC∴AG 是点A 到平面PBC 的距离 ……9分又1,3AP AD ==P-ABD 的体积为34∴11331324AB ⨯⨯⨯⨯= ∴32AB =∴22313()122PB =+= 由PB AG PA AB ⋅=⋅解得31313AG =∴点A 到平面PBC 的距离为31313．……12分法二：等体积法设点A 到平面PBC 的距离为h已知Rt PBC ∆中，13,32PB BC ==∴111339322Rt PBC S BC PB ∆=⋅=⨯⨯= ……8分∴由P ABC A PBC V V --=有113139313223h ⨯⨯⨯⨯=⨯ ∴31313h =……11分∴点A 到平面PBC 的距离为31313． ……12分20. 解： （1）∵31cos 21()sin 2222x f x x +=--=sin(2)16x π-- ……2分 ∴()f x 的最小正周期是22T π==π，最小值是-2. ……4分 令2,62x k k ππ-=+π∈Z ，则()f x 的对称轴为,32k x k ππ=+∈Z ……5分 令2,6x k k π-=π∈Z ，则()f x 的对称中心为(,1),212k k ππ+-∈Z……6分（2）()sin(2)106f C C π=--=,则sin(2)6C π-=10,022C C <<π∴<<π,112666C ππ∴-<-<π26C π∴-=2π, 解得3C π= ……8分 又sin 1sin 2A B =，由正弦定理得12a b = ①……10分由余弦定理得2222cos 3c a b ab π=+-，即3=22a b ab +- ② 由①②解得1,2a b ==.……12分21.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ∵2366,27a a a =+= ∴1162727a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：133a d =⎧⎨=⎩……2分∴数列{}n a 的通项公式为*3,n a n n =∈N……4分（2）由（1）知等差数列{}n a 的首项和公差均为3∴23322n S n n =+ ……5分∴2211332232322n n n n nn n S n n T --++===⋅⋅ ……6分又对于一切正整数n ，总有n T m ≤成立 ∴*max (),n T m n ∈N ≤……7分∴22111(1)1(1)(2)222n n n n n n n n n n n T T ++++++++--=-= ……8分∴当3n ≥时，1n n T T +≥且123312T T T =<==……10分 ∴n T 的最大值是32，即32m ≥ ……11分 ∴实数m 的取值范围是3[,)2+∞.……12分22.（A ）4－4：坐标系与参数方程 解：（1）∵直线l 的参数方程为,(26x t t y t =⎧⎨=+⎩为参数)∴直线l 的普通方程为260x y -+=……2分又曲线C的极坐标方程为ρθ=∴曲线C的直角坐标方程为220x y +-=……4分（2）由（1）知曲线C是以的圆∴圆C的参数方程为：,(x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数) ……5分∴可设圆C 上的点(,)M x y的坐标为)θθ，即x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……6分∴2sin()4x y θθθπ+=+=+ ……8分∵1sin()14θπ-+≤≤∴22sin()24θπ-++≤22x y -++≤ ……9分∴x y +的取值范围是[22-++．……10分（B ）4－5：不等式选讲解：（1）当2a =时，()|2||1|f x x x =-++ ∴不等式化为|2||1|2x x x -++>+当1x -≤时，不等式可化为31x >-，解得：13x <-，此时不等式的解集为{|1}x x -≤； ……1分 当12x -<<时，解不等式得1x <，即此时不等式的解集为{|11}x x -<<； ……2分 当2x ≥时，解不等式得3x >，即此时不等式的解集为{|2}x x ≥； ……3分 综上述，原不等式的解集为{|12}x x x <或≥.……4分（2）若关于x 的不等式()2f x <的解集不是空集，即不等式()2f x <有解 ∴,|||1|2x x a x ∃∈-++<R 成立 ①……6分考虑命题①的否定：,|||1|2x x a x ∀∈-++R ≥ ∴|||1||1||1||1|x a x x a x a a -++---=--=+≥ 当且仅当()(1)0x a x -+≤时，等号成立……8分∴|1|2a +≥，解得：3a -≤或1a ≥……9分 ∴命题①成立时，实数a 的取值范围是(3,1)-．……10分。

高三上第一次月考理科数学试卷 第 1 页 共 6 页2三明一中 2018—2019 学年度高三上学期第一次月考理科数学试卷（考试时间：120 分钟 满分：150 分）一、选择题（每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，仅有一个选项是正确的．）1．已知 a 、b 都是实数，那么“ a > b ”是“ 2a > 2b ”的（ ） A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知函数 f ( x ) = 2x 2 + mx 1 在区间[1, +∞ ) 上单调递减，则 m 取值的集合为（ ）A ．{4}B ．{m | m < 4}C ．{m | m ≤ 4}D ．{m | m ≥ 4}3．已知幂函数 y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则函数 y ＝f (x )的图象是( )4．设集合 M = {x | y = log (x 2 + 3x + 2)} ，集合 N = ⎧x ( 1) x ≤ 4⎫，则 M N = （）．2⎨ ⎬⎩⎭A ．{x x ≥ 2}C ． {x x ≤ 2}B ．{x x > 1}D ． R5．已知 m ，n 是两条不同直线，α，β 是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A ．若 α，β 垂直于同一平面，则 α 与 β 平行B ．若 m ，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行C ．若 α，β 不．平．行．，则在 α 内不．存．在．与 β 平行的直线D ．若 m ，n 不．平．行．，则 m 与 n 不．可．能．垂直于同一平面6．给出下列函数：①f ( x) =x sin x ；②f (x) =e x +x ；③f (x) =ln x) ．对∀a > 0 ，a使得⎰ f ( x)dx = 0 的函数是（）aA．①B．②C．③D．①③7．已知命题p：∃x∈R，x>ln x+2，命题q：∀x∈R+，log2x≥0，则()A．命题p∨q 是假命题B．命题p∧q 是真命题C．命题p∨( ⌝q)是假命题D．命题p∧( ⌝q)是真命题38．若偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，a＝f(log23)，b＝f(log45)，c＝f(2 2 )，则a，b，c 满足()A．a<b<c B．b<a<cC．c<a<b D．c<b<a⎪⎧x2＋2x，x＜0，9．设函数f(x)＝⎨若f(f(a))≤3，则实数a 的取值范围是()⎩⎪－x2，x≥0，A．(－∞，3] B．[－3∞)C．[－3，3] D．(－∞，－3)10．标准的围棋棋盘共19 行19 列，361 个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3361 种不同的情况；我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即1000052 ，下列数据最接近3361的是（）（lg 3 ≈ 0.477 ）1000052A．10 37B．10 36C．10 35D．10 34高三上第一次月考理科数学试卷第2 页共6 页高三上第一次月考理科数学试卷 第 3 页 共 6 页11．把函数 f (x ) = log 2 (x + 1) 的图象向右平移一个单位，所得图象与函数 g (x ) 的图象关于直 线 y = x 对称；已知偶函数 h (x )满足 h (x 1) = h ( x 1) ，当 x ∈ [0,1] 时， h (x ) = g (x ) 1 ； 若函数 y = kf (x ) h (x ) 有五个零点，则 k 的取值范围是（）A ． (log 3 2,1)B ． [log 3 2,1)⎛1 ⎫ C ． l og 6 2, ⎪⎝ 2 ⎭ ⎛D ． l og 6 2, ⎝1 ⎤2 ⎥⎦12．如图，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，已知其俯视图是边长为 2 的正三角形，则该四棱锥的外接球的表面积是（ ）．19π A ．3B ．22π 3C ．19πD ． 22π第 12 题图二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把答案填在答题卡相应的位置上．) 13．与向量 a ＝(3，4)同方向的单位向量为 b ，又向量 c ＝(－5，5)，则 b ·c ＝ ．2 1 214．化简的结果为.⎧(1 2a ) x + 3a , x < 1,15．已知函数 f ( x ) = ⎨的值域为 R ，则实数 a 的取值范围是 ．⎩2x 1, x ≥ 1.16．若函数 f (x )＝2x ＋sin x 对任意的 m ∈[－2,2]，f (mx －3)＋f (x )＜0 恒成立，则 x 的取值范围是．三、解答题（本大题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．）17．(本小题满分12 分)已知曲线y =1x3 +4．求：3 3（1）曲线在点P (2，4)处的切线方程；（2）曲线过点P (2，4)的切线方程．（参考公式：x3 3x2 + 4 =(x+1)(x 2)2 ）18．(本小题满分12 分)x＋1已知函数f(x)＝lnx－1(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；(2)对于x∈[2，6]，f(x) >ln m（x－1）（7－x）（m>0）恒成立，求实数m 的取值范围.高三上第一次月考理科数学试卷第4 页共6 页高三上第一次月考理科数学试卷 第 5 页 共 6 页19．(本小题满分 12 分)如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中， ∠A = 90︒ ， BC = 6 ， D , E 分别是 AC , AB 上的点，CD = BE ， O 为 BC 的中点．将 ∆ADE 沿 DE 折起，得到如图 2 所示的四棱锥A ' BCDE ，其中 A 'O(1) 证明: A 'O ∞ 平面 BCDE ;(2) 求二面角 A ' CD B 的平面角的余弦值．CO ．BA 'DECOBA DE图 1图 220．(本小题满分 12 分)某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利 200 元，如果生产出一件次品则损失100 元 ． 已 知 该 厂 制 造 电 子 元 件 的 过 程 中 ， 次 品 率 p 与日产量 x 的函数关系是：p =3x 4x + 32( x ∈ N * ) ； （1）将该厂的日盈利额 T （元）表示为日产量 x （件）的函数；（2）为获得最大盈利，该厂的日产量应为多少件？21．(本小题满分12 分)已知函数f ( x) = ln( x+ 1ax ，其中a ∈ R 且a ≠ 0 . a（1）讨论f ( x) 的单调性；（2）若直线y =ax 的图象恒在函数f ( x) 图象的上方，求a 的取值范围；1（3）若存在 <x1 < 0 ，x2 >0，使得f (x1 ) =f (x2 ) = 0 ，求证：x1 +x2 >0.a选考题：共10 分．请考生在第22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10 分)选修4—4：坐标系与参数方程⎧x= 2 cosθ已知直线l 的方程为y =x + 4 ，圆C 的参数方程为⎨⎩y = 2 + 2 s in θ(θ为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求直线l 与圆C 的交点的极坐标；（2）若P 为圆C 上的动点，求P 到直线l 的距离d 的最大值．23．(本小题满分10 分)选修4—5：不等式选讲已知函数f ( x) =| x 2 | +a ，g (x) =| x + 4 | ，a ∈R．（1）解不等式f ( x) <g (x) +a ；（2）任意x ∈R ，f (x) +g(x) >a2 恒成立，求a 的取值范围．高三上第一次月考理科数学试卷第6 页共6 页高三上第一次月考理科数学试卷第7 页共6 页高三上第一次月考理科数学试卷第8 页共6 页高三上第一次月考理科数学试卷第9 页共6 页高三上第一次月考理科数学试卷第10 页共6 页高三上第一次月考理科数学试卷第11 页共6 页高三上第一次月考理科数学试卷第12 页共6 页。

三明一中2017-2018学年第一学期第一次月考考试高三理科数学试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上． 1．已集合{}1A x x =<，{}lg B x y x ==，则（ ）.A ．{}01AB x x =<< B ．{}1A B x x =< C ．A B B = D ．A B =∅ 2．已知53cos 25πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos 2α=（ ）. A ．725-B ．725C ．35-D ．353．函数()ln f x ex x =-在1x =处的切线方程为（ ）.A ．()110e x y ---=B ．()110e x y --+=C ．()110e x y ---=D ．()110e x y --+= 4． “αβ≠”是“sin sin αβ≠”的（ ）.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()26log f x x x=-，则一定包含()f x 零点的区间是（ ）. A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,4 D ．()4,+∞ 6．已知函数()sin(2)3f x x π=+，下列说法正确的是（ ）.A ．关于直线512x π=-对称 B ．关于点(,0)12π对称 C ．()f x 是定义在R 上的奇函数 D ．最小正周期为2π 7．下列函数中，图象的一部分如右图所示的是( ).A ．sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．cos 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭8．已知1sin 44πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）. A ．78-B ．78 C．D9．已知0,0a b >>，4a b +=，则4a by ab+=的最小值为（ ）. A ．52 B ．54 C ．92 D ．9410．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若2cos22B a cc+=，则ABC ∆的形状为（ ）.A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形11．设,x y 满足约束条件4805010x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，若目标函数()0z ax y a =+>的最大值为6，则a 的值为（ ）.A ．3B ．2C ．54 D ．54或2 12．已知对任意的1x >，()3ln 1kf x x k x=++-大于零恒成立，若k Z ∈，则k 的最大值为（ ）.A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案写在答题卷相应位置上． 13．(11x dx -=⎰．14．已知tan 2α=，则sin cos sin cos αααα+=- ．15．已知函数()323f x x ax =--在区间[]1,2上是单调函数，则实数a 的取值范围为 ．16．在某海滨城市附近海面上有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南θ方向300km 的海面P 处，并以20/km h 的速度向西偏北45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并且以10/km h 的速度不断增大，问该城市受台风侵袭的时间共 小时.()4cos 455θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭其中：三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分） 已知,αβ均为锐角，且()31sin ,tan 53ααβ=-=-. （Ⅰ）分别求()sin αβ-及()cos αβ-的值； （Ⅱ）求sin β的值.18.（本小题满分12分）已知函数()sin 2cos 22sin cos 36f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =在[]0,π上的单调递减区间.19.（本小题满分12分） 已知函数()2421x x f x a =⋅--. （Ⅰ）当1a =时，解不等式()0f x ≥；（Ⅱ）当[]0,1x ∈时，关于x 的方程()0f x =有解，求a 的取值范围.20.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，3B π=,AC =D 为BC 边上一点.（Ⅰ）2AD =,DAC S ∆=DC 的长； （Ⅱ）若AB AD =，求ADC ∆的周长的最大值.21.（本小题满分12分）已知函数()21xf x e x ax =---.（Ⅰ）当0a =时，求证()0f x ≥；（Ⅱ）当0x ≥时，若不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围; （III ）若0x >，证明()()21ln 1x e x x -+>.注意：请考生在22、23题两题中任选一道．．．．题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是48cos 4sin 0ρθθρ-++=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴x 轴为正半轴，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系xOy ，直线l 经过()5,2P -,倾斜角3πα=.（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （Ⅱ）设l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB 的值.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()f x x a =-，（Ⅰ）若2a =，不等式()1f x c x ≥--对任意的x R ∈恒成立，求实数c 的取值范围；（Ⅱ）若()1f x ≤的解集为[]2,4，且()20,0m n a m n +=>>，求224m n +的最小值.三明一中2017-2018学年（上）第一次月考高三理科数学试卷参考答案一、选择题：每小题5分，共60分．二、填空题：每小题5分，共20分. 13.2π14. 3 15.____362a a a ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或_____; 16.___12___.三、解答题：第17题10分，第18-22题，每题12分. 17.解：（Ⅰ）因为0,022ππαβ<<<<，所以22ππαβ-<-<，又因为()1tan 03αβ-=-<，所以02παβ-<-<，………2分()()sin 0,cos 0αβαβ-<-> (3)分所以()()()()()22sin 1tan cos 3sin cos 1αβαβαβαβαβ⎧--==-⎪-⎨⎪-+-=⎩， 得()sin 10αβ-=-，()cos 10αβ-=. ………8分 （Ⅱ）因为α为锐角，所以4cos 5α=. ………9分()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ=--=---⎡⎤⎣⎦ (10)分3451051050=⨯+⨯=. ………12分18.解： 解：（Ⅰ）()11sin 222sin 2sin 222f x x x x x x =+--()12sin 22cos 2sin 222f x x x x x ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭2cos 2cos sin 2sin 2cos 2666x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ………3分所以函数()f x 的最小正周期为π， ………4分 令2,6x k k Z ππ+=∈,得函数()f x 的对称轴方程为,122k x k Z ππ=-+∈. …6分 （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位后所得图象的解析式为2cos 22cos 21263y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()12cos 22cos 233g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ………9分 令223k x k ππππ≤+≤+，所以22233k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈ 又[]0,x π∈，所以()y g x =在[]0,π上的的单调递减区间为20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ………12分 19.解： ()()22221x x f x a =⋅--,（Ⅰ）当1a =时，()0f x ≥，即()222210x x ⋅--≥，所以()()212220x x -⋅+≥，又20x>，所以21x ≥，即0x ≥. ………4分所以原不等式解集为{}0x x ≥. ………5分 （Ⅱ）()()222210x x f x a =⋅--=,即()22221x x a ⋅=+，所以()2221112222xxxx a ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫==+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， ………7分 设11122x t t ⎛⎫⎛⎫=≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()221124g t t t t ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， ………9分当112t ≤≤时()2g t t t =+是增函数，所以()324g t ≤≤， 所以3224a ≤≤，即318a ≤≤. a 的取值范围为318a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. ………12分20.解：（Ⅰ）因为DAC S ∆=，所以1sin 2AD AC DAC ⋅⋅∠=,所以1sin 2DAC ∠=. 又因为2033DAC BAC πππ<∠<∠<-=,所以6DAC π∠=. ………3分 在ADC ∆中，由余弦定理得2222cos DC AD AC AD AC DAC =+-⋅⋅∠,所以24482228DC =+-⨯⋅=，所以DC = ………6分 （Ⅱ）法一：因为AB AD =，3B π=，所以ABD ∆是正三角形. (7)分在ADC ∆中，根据正弦定理得sin sin sin 33AD DCC C π==⎛⎫- ⎪⎝⎭, 所以8sin AD C =,8sin 3DC C π⎛⎫=-⎪⎝⎭, ………8分 所以ADC ∆的周长为8sin 8sin 3AD DC AC C C π⎛⎫++=+-+⎪⎝⎭18sin sin 2C C C ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭18sin cos 22C C ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭8sin 3C π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ………10分因为23ADC π∠=，所以2333C πππ<+<,所以当32C ππ+=即6C π=时，ADC ∆的周长最大，最大为8+ (12)分法二：因为AB AD =，3B π=，所以ABD ∆是正三角形. (7)分所以在在ADC ∆中，设AD m =，DC n =，0,0m n >>,由余弦定理得2222cos AC AD AC AD DC ADC =+-⋅⋅∠, ………9分即222482cos3m n mn π=+-⋅，即()248m n mn =+-， 又因为()24m n mn +≤，所以()248m n mn =+-()()()222344m n m n m n ++≥+-=， 所以()264m n +≤，即8m n +≤，当且仅当4m n ==时等号成立， ………11分所以ADC ∆的周长为8m n +++即当4AD DC ==时，ADC ∆的周长最大，最大为8+ ………12分21.解： （Ⅰ）当0a =时，()1xf x e x =--，()1xf x e '=-. ……………1分当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减，当0x >时，()0f x '>，()f x 单调递增.2分所以()()0010f x f e ≥=-=，即()0f x ≥. (3)分（Ⅱ）()21xf x e x ax =---，()12x f x e ax '=--，()2xf x e a ''=-，①当21a ≤即12a ≤时，因为0x ≥，所以()20xf x e a ''=-≥，所以()12x f x e ax '=--在[)0,+∞上是增函数.又()00f '=，所以()0f x '≥，所以()21x f x e x ax =---在[)0,+∞上是增函数.所以()()2100x f x e x ax f =---≥=，即()0f x ≥恒成立. ……5分②当21a >即12a >时,令()20xf x e a ''=-=，ln 2x a =， 当()0,ln 2x a ∈，()0f x ''<，所以()f x '是减函数，()()00f x f ''<=，所以()f x 在()0,ln 2a 是减函数.所以()()00f x f <=，与()0f x ≥恒成立矛盾，舍去.综合①②可知，实数a 的取值范围12a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭. ……………7分（III ）由（2）得，当12a =时，2112x e x x -≥+， 当0x >时，()ln 10x +>,所以要证()()21ln 1x e x x -+>，只需证()221ln 12x x x x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭, 只需证()()2ln 120x x x ++-> . ……………8分设()()()2ln 12h x x x x =++-（0x >），()()()21ln 12ln 1111x h x x x x x +'=++-=++-++， ……………9分 ()()()22110111x h x x x x ''=-=>+++，所以()h x '在()0,+∞上是增函数， 所以()()00h x h ''>=，所以()()()2ln 12h x x x x =++-在()0,+∞上是增函数， 所以()()()()2ln 1200h x x x x h =++->=，即()()2ln 120x x x ++->成立. 所以当0x >，()()21ln 1x e x x -+>成立. ……………12分22.解：（Ⅰ）因为曲线C 的极坐标方程是48cos 4sin 0ρθθρ-++=，即28cos 4sin 40ρρθρθ-++=， ……………1分 由cos ,sin x y ρθρθ==可得，即228440x y x y +-++=，即曲线C 的直角坐标方程()()224216x y -++=. …3分 直线l的参数方程为1522x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）. ……………5分（Ⅱ）将l 的参数方程代入曲线C 的直线坐标方程，整理得2150t t +-=. ………6分21415610∆=+⨯=>,则121t t +=-，1215t t ⋅=-， ……………8分 所以12AB t t ∴=-. ……………10分 23.解：（Ⅰ）因为2x -1c x ≥--，所以21x x c -+-≥，所以2121211x x x x -+-≥--+=-=，所以c 的取值范围为{}1c c ≤; ……………5分 （Ⅱ）因为1x a -≤，所以11a x a -≤≤+，所以1213a a -=⎧⎨+=⎩，即3a =， ……6分 所以23m n +=，所以()()()222222211941142222m n m n m n +=++≥+=， 当且仅当322m n ==即33,24m n ==时等号成立. ……………9分 所以224m n +的最小值为92. ……………10分。