湖北省黄冈中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含解析

2015-2016学年湖北省黄冈市黄冈中学高二下学期第十一次练数学（理）试题 含解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列函数中，图象关于坐标原点对称的是( )A ．y ＝lg xB ．y ＝cos xC ．y ＝|x |D ．y ＝sin x【答案】D 【解析】y ＝|x |与y ＝cos x 为偶函数，y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，故A 、B 、C 都不对，选D ．2．已知a 、b 都是实数，则“0>-b a ”是“022>-b a ”的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】220a b a b ->⇔> A. 3. 若复数z 满足(1)42(z i i i +=-为虚数单位），则||z =答案：D解析：由复数的除法，42131iz i i-==-+，z \=4．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝3，则f (8)－f (4)的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2【答案】C 【解析】∵f (1)＝1，f (2)＝3，f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－1，f (－2)＝－3， ∵f (x )周期为5，∴f (8)－f (4)＝f (－2)－f (－1)＝－2.原题（必修1第四十五页复习参考题B 组第五题）证明：（1）若()f x a x b =+，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭；（2）若()2,g x x ax b =++则()()121222g x g x x x g ++⎛⎫≤⎪⎝⎭. 5.原题（必修1第四十五页复习参考题B 组第五题）改编2 如图所示，()(1,2,3,4)i f x i =是定义在［0，1］上的四个函数，其中满足性质：“对［0，1］中任意的1x 和2x ，任意1212[0,1],[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλλ∈+-≤+-恒成立”的只有（ ）1()f x 2()f x 3()f x 4()f xA ．1()f x 和3()f xB ．2()f xC ．2()f x 和3()f xD ．4()f x【答案】A.6．若(1)()42,(1)2xa x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是实数集R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(1,)+∞B ． [)4,8C ． (4,8)D ． (1,8)解析：依题意1402(4)2,2a a a a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪≥-+⎪⎩即1,8,312.a a a >⎧⎪<⎨⎪≥⎩故选B答案：B7．已知函数133,(1)()log ,(1)x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数y ＝f (1－x )的大致图象是()解析：由已知f (x )的图象如右图所示，∵y ＝f (1－x )＝f ，∴可先作出函数f (－x )的图象，也即作y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图形得y ＝g (x )＝f (－x )的图象，再将g (x )的图象向右平移一个单位即得y ＝g (x －1)＝f (1－x )的图形，比对选择可知选D ． 答案： D8．如图，点P 在边长为1的正方形ABCD 上运动，设点M 为CD 的中点，当点P 沿A →B →C →M 运动时，点P 经过的路程设为x ，△APM 面积设为y ，则函数y ＝f (x )的图象只可能是下图中的()解析： 据题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 0≤x ≤1 ，34－14x 1<x ≤254－12x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2<x ≤52，，易知只有A 选项符合条件．答案： A9．定义在R 上的函数f (x )满足(6)()f x f x +=，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2013)＝( )A ．338B ．337C ．1678D ．2013 【答案】B 【解析】∵定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋3)＝－f (x )， ∴f (x ＋6)＝f ＝－f (x ＋3)＝f (x )，∴f (x )是周期为6的周期函数．又当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x . ∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0,2013＝6×335＋3，故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2013)＝335(1＋2－1＋0－1＋0)＋1＋2－1＝337，选B ．10.原题（必修1第二十五页习题1.2B 组第三题）函数[x]f(x)=的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，4]5.3[-=-；2]1.2[=；当(]35.2，　-∈x 时，写出函数f(x)的解析式，并作出函数的图象． 10.原题（必修1第二十五页习题1.2B 组第三题）改编2 已知函数f (x )=x -, 其中表示不超过实数x 的最大整数. 若关于x 的方程f (x )=kx +k 有三个不同的实根, 则实数k 的取值范围是.（ ）111111111111A.[1,)(,]B.(1,][,)C.[,)(,1]D.(,][,1)243243342342- -⋃ - -⋃ - -⋃ - -⋃【答案】B.22.原题（必修1第八十二页复习参考题A 组第八题）已知()lg 1xf x x1-=+,,(1,1)a b ∈-,求证:（2）()()1a b f a f b f ab +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭. 11.改编 定义在(1,1)-上的函数()f x 满足对,(1,1)x y ∀∈-,都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++=⎪+⎝⎭成立,且当(1,0)x ∈-时，()0f x >，给出下列命题:①(0)0f =；②函数()f x 是奇函数；③函数()f x 只有一个零点；④111()()()5112f f f +<,其中正确命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C.【解析】①令0a b ==得(0)0f =,①正确；②令y x =,得()()(0)f x f x f +-=，()f x ∴是奇函数，②正确；③由②()()()1x y f x f y f xy --=-.又(1,0),()0x f x ∈->,令x y <,则01x yxy -<-,()()0f x f y ∴->,即()()f x f y >.∴函数()f x 在(1,1)-上为减函数，又(0)0f =,故③正确，④1111221511()()(),115117721511f f f f ⎛⎫+ ⎪+==< ⎪ ⎪+⨯ ⎪⎝⎭，由③知21()()72f f >.故答案：C.12.已知函数()()21ln ,2+==x x g e x f x，对()+∞∈∃∈∀,0,b R a ，使得()()b g a f =，则a b -的最小值为 A . 22ln 1+B ． 22ln 1- C ． 12-e D ．1-e 【答案】A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==t y tx 4（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标为)4sin(24πθρ+=，则直线l 和曲线C 的公共点有 个．【答案】1【解析】∵,404x tx y y t =⎧∴-+=⎨=+⎩；又)()422πρθθθ=+=+ 4sin 4cos θθ=+，2224sin 4cos ,44x y x y ρρθρθ∴=++=+，即22(4)(4)8x y -+-=．圆心（4,4）到直线x －y ＋4＝0的距离d r ===，所以直线与圆相切，只有一个交点．14．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2，若对任意x ∈，不等式f (x ＋a )≥f (3x ＋1)恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】(－∞，－5] 【解析】∵x ≥0时，f (x )＝x 2，∴f (x )在，∴a ≥2(a ＋2)＋1，∴a ≤－5. 15．已知函数)3(log )(221a ax x x f +-=在区间[)2,+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意函数2()3f x x ax a =-+在区间[)2,+∞上单调递增，且g （2）＞0，∴224230aa a ⎧≤⎪⎨⎪-+>⎩，解得-4＜a ≤4． 答案：（-4，4]16.原题（必修1第四十四页复习参考题A 组第八题）设221()1x f x x +=-，求证：（1）()()f x f x -=；（2）1()()f f x x=-. 16.原题（必修1第四十四页复习参考题A 组第八题）改编1 设定在R 上的函数()f x 满足：1(tan )cos2f x x=，则111(2)(3)(2012)()()()232012f f f f f f +++++++=.【答案】0.【解析】由2222221cos sin 1tan (tan )cos2cos sin 1tan x x x f x x x x x ++===--．得221()1x f x x +=- ．由所求式子特征考查：2221111()()011x x f x f x x x+++=+=--．111(2)(3)(2012)()()()0232012f f f f f f ∴+++++++= ．故答案0. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.在直角坐标系xOy 中, 过点)23,23(P 作倾斜角为α的直线l 与曲线1:22=+y x C 相交于不同的两点N M ,.(Ⅰ) 写出直线l 的参数方程;(Ⅱ) 求PNPM 11+ 的取值范围. 17. （Ⅰ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=ααsin 23cos 23t y t x t (为参数）…………………………………… 4分（Ⅱ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=ααsin 23cos 23t y t x t (为参数）代入122=+y x ，得 02)sin 3cos 3(2=+++t t αα ，36)6sin(0>+⇒>∆πα (]3,2)6sin(32)sin 3cos 3(1111212121∈+=+=+=+=+παααt t t t t t PN PM ……10分18．设函数)(x f 是定义在1[-，0)∪(0，]1上的奇函数，当x ∈1[-，0)时，)(x f =212xax +. (1) 求当x ∈(0，]1时，)(x f 的表达式；(2) 若a>-1，判断)(x f 在(0，]1上的单调性，并证明你的结论. 18.解答：(1)设x ∈(0，]1，则)01[，-∈-x ，所以f(-x)= 212xax +-， 又因为f(-x)=-f(x)，所以f(x)= 212x ax -x ∈(0，]1. (2) x ∈(0，]1时，f(x)= 212x ax -，3'22)(xa x f +=，x 3∈(0，]1，113≥∴x ， 又a>-1，所以322xa +>0，即0)('>x f ，所以f(x)在(0，]1上递增.19. 已知函数()log (1)(1)a f x x a =+>，若函数()y g x =图像上任意一点P 关于原点的对称点Q 的轨迹恰好是函数()y f x =的图象. （1）求函数()y g x =的解析式；（2）当01x ≤<时，总有()()f x g x m +≥成立，求m 的取值范围.19. （1）设函数()y g x =的图象上任意一点上(,)P x y .则点(,)x y --在函数()y f x =上，log (1)a y x ∴-=-+，11log ,()log 11aay g x x x∴=∴=--； （2）11()()log (1)log log 11a a a x f x g x m x m m x x++≥⇒++≥⇒≥--，1log 1a x m x +≥-对01x ≤<恒成立，即min 1(log )1a x m x+≤-当01x ≤<时，121[1,)11x x x +=-+∈+∞--，又1a >，min 1(log )log 10,01a a xm x +∴==∴≤-.20．（本小题满分12分）已知定义在R 上的函数()f x 满足：①对任意的x y ∈R 、，都有()()()f x f y f x y +=+；②当0x <时，有()0f x <．（1）利用奇偶性的定义，判断()f x 的奇偶性； （2）利用单调性的定义，判断()f x 的单调性；（3）若关于x 的不等式(3)(392)0x x x f k f ⋅+-->在R 上有解，求实数k 的取值范围．解析：（1）令0x y ==，得(0)(0)(0)f f f +=，得(0)0f =．将“y ”用“x -”代替，得()()(0)0f x f x f +-==，即()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数．（2）设1x 、2x ∈R ，且12x x <，则121212()()()()()f x f x f x f x f x x -=+-=-．∵12x x <，∴120x x -<，∴12()0f x x -<，即12()()f x f x <，∴()f x 在R 上是增函数． （3）方法1 由(3)(392)x x x f k f ⋅>-++得3392x x x k ⋅>-++，即2313x xk >+-对x ∈R有解．∵30x>，∴由对勾函数2y t t=+在(0,)+∞上的图象知当3x =，即3log x =时，min 2(31)13x x+-=，故1,)k ∈-+∞． 方法 2 由(3)(392)x x x f k f ⋅>-++得3392x x x k ⋅>-++，即23(1)320x x k -++<对x ∈R 有解．令3(0)x t t =>，则2(1)20t k t -++<对0t >有解．记2()(1)2g t t k t =-++，则10,2(0)20,k g +⎧<⎪⎨⎪=<⎩或2102(1)420,k k +⎧≥⎪⎨⎪∆=+-⨯>⎩，解得1k >． 21．甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛: 第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为12，且各局胜负相互独立.求： （1）打满3局比赛还未停止的概率；（2）比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望E ξ. 21解：令,,k k k A B C 分别表示甲、乙、丙在第k 局中获胜.（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为12312333111()().224P AC B P B C A +=+= （Ⅱ）ξ的所有可能值为2，3，4，5，6，且121222111(2)()(),222P P A A P B B ξ==+=+= 12312333111(3)()().224P P AC C P B C C ξ==+=+= 1234123444111(4)()().228P P AC B B P B C A A ξ==+=+= 123451234555111(5)()(),2216P P AC B A A P B C A B B ξ==+=+= 123451234555111(6)()(),2216P P AC B A C P B C A B C ξ==+=+= 故有分布列从而111114723456248161616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（局） 22.设函数)1ln()(2++=x a x x f .（Ⅰ）若函数)(x f y =在区间),1[∞+上是单调递增函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若函数)(x f y =有两个极值点21,x x ，且21x x <，求证：2ln 21)(012+-<<x x f . 【答案】（1）[)+∞-,4，(2)构造法证明不等式见解析； 【解析】（Ⅰ）由题意，)('x f ＝2221x x ax +++0≥在区间[)+∞,1上恒成立，即x x a 222--≥ 在区间[)+∞,1上恒成立，而x x 222--在区间[)+∞,1上的最大值为4-故4-≥a ，经检验，当4-=a 时， 当[)+∞∈,1x 时，0)('≥x f ，所以满足题意的a 的取值范围是[)+∞-,4（Ⅱ）函数的定义域为()+∞-,1，)('x f ＝2221x x a x +++，依题意，方程0222=++a x x 在区间()+∞-,1上有两个不相等的实根，记a x x x g ++=22)(2，则有0,(1)0,g ∆>->，解得102a <<，2x 为方程0222=++a x x 的解，∴22222x x a --=.∵102a <<，021<<x x ，2x =-122+，∴2102x -<<，从而1x 0<，先证21()0f x x >，因为021<<x x ，即证2（x ）<0f ∵在区间),(21x x 内，)('x f 0<，在区间2(,0),x 内，)('x f 0>，∴)(2x f 为极小值，)(2x f <)0(f ，∴21()0f x x >成立，再证21()12f x x <-ln 2+，即证)(2x f 2211(ln 2)(1)(ln 2)(1)22x x >-+--=-+，222222211(22)ln(1)(ln 2)ln 222x x x x x -++-->-，令)(x g ＝221(22)ln(1)(ln 2)2x x x x x -++--，x ∈1(,0)2-，)('x g 2(1)12(42)ln(1)(ln 2)12x x x x x x +=-++---+2(21)ln(+1)x x =-+ 1（--ln2）2，又ln(+1)0x <，210x +>，1ln 202-<，∴)('x g 0>，即)(x g 在1(,0)2-上是增函数，)(x g >g 1()2-=11111(21)ln (ln 2)44222-⨯-+-=111111ln ln 422422++-=12ln 2-综上可得，21()10ln 22f x x <<-+成立。

一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑.1.已知集合}1|||lg ||R {<∈=x x A ，}082|Z {2<--∈=x x x B ，则=B A （ ） A. )4,101()101,2( -- B.)4,0()0,2( - C. }3,2,1,1{- D. }3,2,1,0,1{-3.将右图算法语句（其中常数e 是自然对数的底数）当输入x 为3时，输出y 的值为（ ） A. 1 B.5.1 C. 125.0 D. 859141.04.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线与抛物线x y 42=的准线分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，AOB ∆的面积为3，则双曲线的离心率=e （ ）A.21 B.27 C. 2 D. 3101=p ，即个位上出现3的可能性是10%. 考点：古典概型.6.命题R ,:∈∃βαp ，使βαβαs i n c o s )c o s (+=+；命题:q 直线01=++y x 与圆2)1(22=-+y x 相切.则下列命题中真命题为（ ）A. q p ∧B.)(q p ⌝∧C. )()(q p ⌝∧⌝D. q p ∧⌝)(8.函数)0)(sin(2)(>+=ωϕωx x f 的部分图象如图所示，若10=∙，则=ω（ ）A.3π B.8π C. 6π D. 12π10.已知C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，I 为PC 上一点，满足4||||=- ，10||=-，||||PB PA =，且)0||||(>+=λλAP AC ，||BA 的值为（ ）A. 2B.4C. 3D. 5二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（11-14） 11.若⎰=3211dx x S ，⎰=π022cos dx xS ，则1S 、2S 的大小关系为 .12.在电视节目《爸爸去哪儿》中，五位爸爸个带一名子（女）体验乡村生活.一天，村长安排1名爸爸带3名小朋友去完成某项任务，至少要选1个女孩（5个小朋友中3男2女）,Kimi(男）说我爸爸去我就去，我爸爸不去我就不去；石头（男）生爸爸的气，说我爸爸去我就不去，我爸爸不去，我就去；其他人没意见，那么可选的方案有 种.13.等差数列}{n a 的前n 项和记为n S ，若44≥S ，287≤S ，则10a 的最大值为 . 【答案】1614.定义在R 上的偶函数，)(x f 满足R ∈∀x ，都有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，18122)(2+-=x x x f .若函数)1(log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上有三个零点，则a 的取值范围是 .（二）选做题（请在夏明两题中任选一题作答，若两题都做，则按第15题计分）. 15.如图，在半径为7的圆O 中，弦AB 、CD 相交于P ，2==PB PA ，4=CP ，则圆心O 到弦CD 的距离为 .16.在直角坐标系xoy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数，0,0>>b a ）.在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的极坐标方程为23)3cos(=+πθρ，若直线l 与x 轴、y 轴的交点分别是椭圆C 的右焦点、短轴端点，则=a .令0=x ，则1=y ，令0=y ，则3=x ，∴3=c ，1=b ，4132=+=∴a ，2=∴a .考点：参数方程、极坐标方程与平面坐标方程的转化.三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题满分12分）等比数列}{n a 的前n 项和n S ，已知73=S ，31+a ，23a ，43+a 成等差数列. （1）求数列}{n a 的公比q 和通项n a ； （2）若}{n a 是递增数列，令128log 12+=n n a b ，求||||||21n b b b +⋅⋅⋅++.18.（本题满分12分） 设向量)cos 2),42sin(2(x x π+-=，)cos sin 3,1(x x b -=，R ∈x ，函数b a x f ∙=)(.（1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，62=b ，A B 2=，35)8(=+πA f ，求a 的值.19.（本题满分12分） 某英语学习小组共12名同学进行英语听力测试，随机抽取6名同学的测试成绩（单位：分），用茎叶图记录如下，其中茎为十位数，叶为个位数.（1）根据茎叶图计算样本均值；（2） 成绩高于样本均值的同学为优秀，根据茎叶图估计该小组12名同学中有几名优秀同学；（3）从该小组12名同学中任取2人，求仅有1人是来自随机抽取6人中优秀同学的概率.∴所求的概率为:1110221220106633C C P C === ………………………12分 考点：样本均值的求法，排列组合，古典概型.20.（本题满分12分）设关于x 不等式)R (|2|∈<-a a x 的解集为A ，且A ∈23，A ∉-21. （1）R ∈∀x ,a a x x +≥-+-2|3||1|恒成立，且N ∈a ，求a 的值；（2）若1=+b a ，求ab b ||||31+的最小值并指出取得最小值时a 的值.21.（本题满分13分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线)0(2:2>=p px y C ，设点)0,(n D ，)0,(m E ，M 为抛物线C 上的动点（异于顶点），连结ME 并延长交抛物线C 于点N ，连结MD 、ND 并分别延长交抛物线C 于点P 、Q ，连结PQ ，设MN 、PQ 的斜率存在且分别为1k 、2k .（1）若11=k ，2=m ，64||=MN ，求p ；（2）是否存在与p 无关的常数λ，是的12k k λ=恒成立，若存在，请将λ用m 、n 表示出来；若不存在请说明理由.【答案】（1）2；（2）21k m k nλ==.22.（本题满分14分）已知函数)1ln(||)(+--=x a x x x f .（1）当0=a 时，求函数)(x f 的单调区间；（2）当1-=a 时，若),0[+∞∈∀x ，2)1()(x k x f +≤恒成立，求实数k 的最小值；（3）证明)N (2)12ln(1221∑=*∈<+--ni n n i .【答案】（1）()f x 的单减区间是⎛- ⎝⎭，单增区间是⎫+∞⎪⎝⎭；（2）12；（3）详见解析.。

2014-2015学年湖北省襄阳市老河口市高级中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10题，每题5分，共计50分）1．（5分）已知曲线y=x3+，则在点P（2，4）的切线方程是（）A．4x﹣y﹣4=0B．x﹣4y﹣4=0C．4x﹣4y﹣1=0D．4x+y﹣4=0 2．（5分）若函数f（x）的定义域为R，那么“∃x0∈R，f（﹣x0）=﹣f（x0）”是“f （x）为奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，且无通票，问车票票价的种数是（）A．1B．2C．3D．64．（5分）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（）A．60个B．48个C．36个D．24个5．（5分）函数f（x）=的图象在x=4处的切线方程是（）A．x﹣2y=0B．x﹣y﹣2=0C．x﹣4y+4=0D．x+4y﹣4=0 6．（5分）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0等于（）A．e2B．e C．D．ln27．（5分）函数f（x）=在（0，1）处的切线方程是（）A．x+y﹣1=0B．2x+y﹣1=0C．2x﹣y+1=0D．x﹣y+1=0 8．（5分）双曲线，（n＞1）的两焦点为F1、F2，P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=2，则△PF1F2的面积为（）A．B．1C．2D．49．（5分）如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）已知p：关于x的不等式x2+2ax﹣a≥0的解集是R，q：﹣1＜a＜0，则p是q的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件二、填空题（本大题共5题，每题5分，共计25分）11．（5分）曲线f（x）=在点P（1，0）处的切线方程是．12．（5分）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．13．（5分）函数y=3x2﹣2lnx的单调减区间为．14．（5分）在复平面上，已知直线l上的点所对应的复数z满足|z+i|=|z﹣3﹣i|，则直线l的倾斜角为．（结果反三角函数值表示）15．（5分）观察下列等式照此规律，第6个等式可为．三、解答题（75分）16．（10分）已知两点，，满足条件|PF 2|﹣|PF1|=2的动点P的轨迹是曲线E，直线l：y=kx﹣1与曲线E交于A、B两点．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）如果，求直线l的方程．17．（14分）如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2．设直线l：x=my+1（m≠0）与椭圆C相交于A，B两点，点A关于x轴对称点为A′．（1）求椭圆C的方程；（2）若以线段AB为直径的圆过坐标原点O，求直线l的方程；（3）试问：当m变化时，直线A′B与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点的坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．18．（12分）已知椭圆的长轴长为4．（1）若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y=x+2相切，求椭圆焦点坐标；（2）若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率分别为k PM，k PN，当时，求椭圆的方程．19．（12分）某中学研究性学习小组，为了考察高中学生的作文水平与爱看课外书的关系，在本校高三年级随机调查了50名学生．调査结果表明：在爱看课外书的25人中有18人作文水平好，另7人作文水平一般；在不爱看课外书的25人中有6人作文水平好，另19人作文水平一般．（Ⅰ）试根据以上数据完成以下2×2列联表，并运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生的作文水平与爱看课外书有关系？高中学生的作文水平与爱看课外书的2×2列联表（Ⅱ）将其中某5名爱看课外书且作文水平好的学生分别编号为1、2、3、4、5，某5名爱看课外书且作文水平一般的学生也分别编号为1、2、3、4、5，从这两组学生中各任选1人进行学习交流，求被选取的两名学生的编号之和为3的倍数或4的倍数的概率．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．参考数据：20．（12分）在平面直角坐标系中，已知A1（﹣3，0），A2（3，0），P（x，y），M，O为坐标原点，若实数λ使向量，和满足：，设点P的轨迹为W．（Ⅰ）求W的方程，并判断W是怎样的曲线；（Ⅱ）当时，过点A1且斜率为1的直线与W相交的另一个交点为B，能否在直线x=﹣9上找到一点C，恰使△A1BC为正三角形？请说明理由．21．（15分）已知函数（1）若曲线C：y=f（x）在点P（0，1）处的切线L与C有且只有一个公共点，求m的值；（2）求证：函数f（x）存在单调减区间[a，b]，令t=b﹣a，求t的取值范围．2014-2015学年湖北省襄阳市老河口市高级中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10题，每题5分，共计50分）1．（5分）已知曲线y=x3+，则在点P（2，4）的切线方程是（）A．4x﹣y﹣4=0B．x﹣4y﹣4=0C．4x﹣4y﹣1=0D．4x+y﹣4=0【解答】解：y=x3+的导数为y′=x2，当x=2时，y′=4．∴切线的斜率为4．∴切线的方程为y﹣4=4（x﹣2），即4x﹣y﹣4=0．故选：A．2．（5分）若函数f（x）的定义域为R，那么“∃x0∈R，f（﹣x0）=﹣f（x0）”是“f （x）为奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若f（x）为奇函数，则恒有f（﹣x）=﹣f（x），即“∃x0∈R，f（﹣x0）=﹣f（x0）”成立，即必要性成立，若“∃x0∈R，f（﹣x0）=﹣f（x0）”，比如f（x）=x，x∈[﹣2，3]，存在f（﹣1）=﹣f（1），但f（x）不是奇函数．即充分性不成立，故“∃x0∈R，f（﹣x0）=﹣f（x0）”是“f（x）为奇函数”的必要而不充分条件，故选：B．3．（5分）甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，且无通票，问车票票价的种数是（）A．1B．2C．3D．6【解答】解：根据题意，由于车票的价格只与距离有关，则无需考虑两车站的顺序，只需考虑两个车站之间的距离，而三个车站相互之间的距离均不相等，且无通票，则三个车站之间的距离情况有种故有3种不同的价格；故选：C．4．（5分）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（）A．60个B．48个C．36个D．24个【解答】解：由题意，符合要求的数字共有2×3A33=36种故选：C．5．（5分）函数f（x）=的图象在x=4处的切线方程是（）A．x﹣2y=0B．x﹣y﹣2=0C．x﹣4y+4=0D．x+4y﹣4=0【解答】解：把x=4代入f（x）=得，f（4）=2，∴切点的坐标为：（4，2），由f′（x）=（）′=x，得在点x=4处的切线斜率k=f′（4）=，∴在点x=4处的切线方程为：y﹣2=（x﹣4），即x﹣4y+4=0故选：C．6．（5分）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0等于（）A．e2B．e C．D．ln2【解答】解：∵f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1，由f′（x0）=2，得lnx0+1=2，即lnx0=1，则x0=e，故选：B．7．（5分）函数f（x）=在（0，1）处的切线方程是（）A．x+y﹣1=0B．2x+y﹣1=0C．2x﹣y+1=0D．x﹣y+1=0【解答】解：∵f′（x）=，∴切线的斜率k=f′（x）|x=0=﹣1，切点坐标（0，1）∴切线方程为y﹣1=﹣（x﹣0），即x+y﹣1=0．故选：A．8．（5分）双曲线，（n＞1）的两焦点为F1、F2，P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=2，则△PF1F2的面积为（）A．B．1C．2D．4【解答】解：不妨设F1、F2是双曲线的左右焦点，P为右支上一点，|PF1|﹣|PF2|=2①|PF1|+|PF2|=2②，由①②解得：|PF1|=+，|PF2|=﹣，得：|PF1|2+|PF2|2=4n+4=|F1F2|2，∴PF1⊥PF2，又由①②分别平方后作差得：|PF1||PF2|=2，故选：B．9．（5分）如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意得f′（x）≥则曲线y=f（x）上任一点的切线的斜率k=tanα≥结合正切函数的图象由图可得α∈故选：B．10．（5分）已知p：关于x的不等式x2+2ax﹣a≥0的解集是R，q：﹣1＜a＜0，则p是q的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：∵不等式x2+2ax﹣a≥0的解集是R，∴△=（2a）2﹣4×（﹣a）≤0，∴p：﹣1≤a≤0，又q：﹣1＜a＜0，∴q⇒p，反之则不能，∴p是q的必要非充分条件，故选：B．二、填空题（本大题共5题，每题5分，共计25分）11．（5分）曲线f（x）=在点P（1，0）处的切线方程是y=x﹣1．【解答】解：求导数，可得，∴f′（1）=1∴曲线f（x）=在点P（1，0）处的切线方程是y﹣0=x﹣1，即y=x﹣1故答案为：y=x﹣1．12．（5分）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有390种（用数字作答）．【解答】解：用2色涂格子有C62×2=30种方法，用3色涂格子，第一步选色有C63，第二步涂色，从左至右，第一空3种，第二空2种，第三空分两张情况，一是与第一空相同，一是不相同，共有3×2（1×1+1×2）=18种，所以涂色方法18×C63=360种方法，故总共有390种方法．故答案为：39013．（5分）函数y=3x2﹣2lnx的单调减区间为．【解答】解：函数y=3x2﹣2lnx的定义域为（0，+∞），求函数y=3x2﹣2lnx的导数，得，y′=6x﹣，令y′＜0，解得，0＜x＜，∴x∈（0，）时，函数为减函数．∴函数y=3x2﹣2lnx的单调减区间为故答案为14．（5分）在复平面上，已知直线l上的点所对应的复数z满足|z+i|=|z﹣3﹣i|，则直线l的倾斜角为．（结果反三角函数值表示）【解答】解：∵|z+i|=|z﹣3﹣i|∴复数z对应的点Z到点A（0，﹣1）与到点B（3，1）的距离相等．∴点Z的轨迹是线段AB的垂直平分线．∴k•k AB=﹣1，又k AB=∴k=∴．15．（5分）观察下列等式照此规律，第6个等式可为13+23+33+43+53+63=441．【解答】解：观察各个等式的左端，为n个连续自然数的立方和，右端依次为：，故．故答案为：13+23+33+43+53+63=441三、解答题（75分）16．（10分）已知两点，，满足条件|PF 2|﹣|PF1|=2的动点P的轨迹是曲线E，直线l：y=kx﹣1与曲线E交于A、B两点．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）如果，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线E是以为焦点的双曲线的左支且，易知b=1．故曲线E的方程为x2﹣y2=1（x＜0）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意建立方程组消去y，得（1﹣k2）x2+2kx﹣2=0又已知直线与双曲线左支交于两点A，B，则解得．即k的取值范围是．（6分）（Ⅱ）∵===（8分）依题意得，整理后得28k4﹣55k2+25=0，解得或又，∴，故直线AB的方程为．17．（14分）如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2．设直线l：x=my+1（m≠0）与椭圆C相交于A，B两点，点A关于x轴对称点为A′．（1）求椭圆C的方程；（2）若以线段AB为直径的圆过坐标原点O，求直线l的方程；（3）试问：当m变化时，直线A′B与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点的坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可得，解得：a=2，b=1，∴椭圆C的方程为；（2）联立，消去x、整理得：（m2+4）y2+2my﹣3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∵AB以线段AB为直径的圆过坐标原点O，∴，即x1x2+y1y2=0，∴，∴，即，解得：，故所求直线l的方程为；（3）结论：当m变化时，直线A'B与x轴交于定点（4，0）．理由如下：由（2）知：A'（x1，﹣y1）则直线A'B的方程为，令y=0，得x=•y1+x1===+1=+1=3+1=4，这说明：当m变化时，直线A'B与x轴交于定点（4，0）．18．（12分）已知椭圆的长轴长为4．（1）若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y=x+2相切，求椭圆焦点坐标；（2）若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率分别为k PM，k PN，当时，求椭圆的方程．【解答】解：（1）由…（2分）又因为2a=4，所以a=2，又a2=4，b2=2…（4分）所以c2=a2﹣b2=2，∴…（6分）（2）由于过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N交于坐标原点对称不妨设：M（x0，y0），N（﹣x0，﹣y0），P（x，y）因为M，N，P在椭圆上，所以它们满足椭圆方程，即有两式相减得：．…（8分）由题意它们的斜率存在，则…（10分）故所求椭圆的方程为…（12分）19．（12分）某中学研究性学习小组，为了考察高中学生的作文水平与爱看课外书的关系，在本校高三年级随机调查了50名学生．调査结果表明：在爱看课外书的25人中有18人作文水平好，另7人作文水平一般；在不爱看课外书的25人中有6人作文水平好，另19人作文水平一般．（Ⅰ）试根据以上数据完成以下2×2列联表，并运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生的作文水平与爱看课外书有关系？高中学生的作文水平与爱看课外书的2×2列联表（Ⅱ）将其中某5名爱看课外书且作文水平好的学生分别编号为1、2、3、4、5，某5名爱看课外书且作文水平一般的学生也分别编号为1、2、3、4、5，从这两组学生中各任选1人进行学习交流，求被选取的两名学生的编号之和为3的倍数或4的倍数的概率．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．参考数据：【解答】解：（I）2×2列联表∵K2==11.538＞10.828∴有1﹣0.001=99.9%的把握认为中学生的作文水平与爱看课外书有关系；（II）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是5×5=25种结果，满足条件的事件是被选取的两名学生的编号之和为3的倍数，可以列举出共有（1，2）（1，5）（2，4）（2，1）（3，3）（4，2）（5，1）（3，3）（5，4）共有9种结果，∴被选取的两名学生的编号之和为3的倍数的概率是，被选取的两名学生的编号之和为4的倍数事件数是6，∴被选取的两名学生的编号之和为4的倍数的概率是，∴被选取的两名学生的编号之和为3的倍数或4的倍数的概率为+=．20．（12分）在平面直角坐标系中，已知A 1（﹣3，0），A2（3，0），P（x，y），M，O为坐标原点，若实数λ使向量，和满足：，设点P的轨迹为W．（Ⅰ）求W的方程，并判断W是怎样的曲线；（Ⅱ）当时，过点A1且斜率为1的直线与W相交的另一个交点为B，能否在直线x=﹣9上找到一点C，恰使△A1BC为正三角形？请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由已知得λ2（x2﹣9）=x2﹣9+y2，即（λ2﹣1）x2﹣y2=9（λ2﹣1）…（2分）①λ2＞1，方程为，焦点在x轴上的双曲线②λ2=0，圆心在原点，半径为3的圆③0＜λ2＜1，，焦点在x轴上的椭圆④λ2=1，直线y=0…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）设直线A1B方程为y=x+3，由可得5x2+18x+9=0…（10分）∴A1（﹣3，0），B（﹣）∴，在直线x=﹣9上，离A1（﹣3，0），最短距离为6，∴|A1C|＞，故无法形成正三角形∴在直线x=﹣9上不存在点C，恰使△A1BC为正三角形…（12分）21．（15分）已知函数（1）若曲线C：y=f（x）在点P（0，1）处的切线L与C有且只有一个公共点，求m的值；（2）求证：函数f（x）存在单调减区间[a，b]，令t=b﹣a，求t的取值范围．【解答】解：（1）易知f（x）定义域（﹣1，+∞），∴k2=﹣1∴切线L：y=﹣x+1∵切线L与C有且只有一个公共点，∴有且只有一个实数解，显然x=0时成立．令，则①当m=1时，g′（x）≥0，函数在（﹣1，+∞）上单调增，x=0是方程唯一实数解；②当m＞1时由g′（x）=0得），从而有x=x2是极大值点且g（x2）＞g（0）=0，又当x→﹣1时，g（x）→﹣∝因此g（x）=0在（﹣1，x2）内也有一解，矛盾综上知，m=1．（2）∵∴f′（x）＜0⇔mx2+（m﹣2）x﹣1＜0（x ＞﹣1）令h（x）=mx2+（m﹣2）x﹣1＜0（x＞﹣1），∴h（x）=0在（﹣1，+∞）有两个不等实数解a，b，即h（x）=mx2+（m﹣2）x﹣1＜0（x＞﹣1）得解集为（a，b），故存在单调减区间[a，b]，则，∵m ≥1，∴，∴赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在yxo[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

湖北省黄冈中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．1．（5分）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）A．35 B．25 C．15 D．72．（5分）下列各数中最小的数为（）A．33（4）B．1110（2）C．122（3）D．21（5）3．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．2πB．3πC．4πD．5π4．（5分）下列说法中正确的是（）A．频率是概率的近似值，随着试验次数增加，频率会越来越接近概率B．要从1002名学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2名学生，这样对被剔除者不公平C．根据样本估计总体，其误差与所选取的样本容量无关D．数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的一半5．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元）4 2 3 5销售额y（万元）49 263954根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元6．（5分）设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题：①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；②若α⊥β，m∥α，则m⊥β；③若m⊥α，m⊥n，则n∥α；④若n⊥α，n⊥β，则β∥α．其中，真命题的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④7．（5分）从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有二个红球8．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是（）A．n＞5 B．n＞4 C．n＞3 D．n＞29．（5分）动点P到点A（8，0）的距离是到点B（2，0）的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为（）A．x2+y2=32 B．x2+y2=16 C．（x﹣1）2+y2=16 D．x2+（y﹣1）2=1610．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．11．（5分）空间直角坐标系中与点P（2，3，5）关于yoz平面对称的点的坐标为．12．（5分）已知一组数据1，2，m，4的平均数是3，则这组数据的方差为．13．（5分）根据如图算法语句，当输出y的值为31时，输入的x值为．14．（5分）若曲线x2+y2+2x﹣4y+1=0上的任意一点关于直线2ax﹣by+2=0（a，b∈R+）的对称点仍在曲线上，则的最小值是．15．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，若正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是2，则F的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段长是．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）如图所示：下列程序框图的输出结果构成了数列{a n}的前10项．（1）求数列的第3项a3、第4项a4以及数列的递推公式；（2）证明：数列{a n+1}为等比数列；并求数列{a n}的通项公式．17．（12分）2014-2015学年高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩在区间湖北省黄冈中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．1．（5分）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）A．35 B．25 C．15 D．7考点：分层抽样方法．专题：计算题；概率与统计．分析：先计算青年职工所占的比例，再根据青年职工抽取的人数计算样本容量即可．解答：解：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7：5：3，所以样本容量为=15．故选C．点评：本题考查分层抽样的定义和方法，求出每个个体被抽到的概率，用个体的总数乘以每个个体被抽到的概率，就得到样本容量n的值．2．（5分）下列各数中最小的数为（）A．33（4）B．1110（2）C．122（3）D．21（5）考点：进位制．专题：计算题．分析：把各数都转化为十进制数即可比较大小．解答：解：33（4）=15，1110（2）=14，122（3）=17，21（5）=11故选：D．点评：本题考查的知识点是不同进制数之间的转换，解答的关键是熟练掌握不同进制之间数的转化规则．3．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．2πB．3πC．4πD．5π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：根据三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据和公式求解几何体的表面积即可．解答：解：综合三视图可知，几何体是一个半径r=1的半个球体．且表面积是底面积与半球面积的和，其表面积S==3π．故选B．点评：本题考查三视图与几何体的直观图的关系，几何体的表面积的求法，考查计算能力与空间想象能力．4．（5分）下列说法中正确的是（）A．频率是概率的近似值，随着试验次数增加，频率会越来越接近概率B．要从1002名学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2名学生，这样对被剔除者不公平C．根据样本估计总体，其误差与所选取的样本容量无关D．数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的一半考点：命题的真假判断与应用．专题：概率与统计．分析：通过频率与概率的关系，系统抽样当剔除几个个体时的公平性，样本估计总体与样本容量的关系，以及方差的计算即可判断每个选项的正误，并找出正确选项．解答：解：A．正确，这可通过实验得到该结论．B．错误，系统抽样对每个学生而言被抽到概率相等；C．错误，样本容量越大，误差越小；D．错误，数据2，3，4，5的方差为，数据4，6，8，10的方差为5；∴数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的．故选A．点评：考查频率与概率的关系，系统抽样的过程及公平性，样本估计总体与样本容量的关系，以及方差的概念及计算公式．5．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元）4 2 3 5销售额y（万元）49 263954根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预报出结果．解答：解：∵=3.5，=42，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，∴42=9.4×3.5+a，∴=9.1，∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5，故选：B．点评：本题考查线性回归方程．考查预报变量的值，考查样本中心点的应用，本题是一个基础题，这个原题在2011年山东卷第八题出现．6．（5分）设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题：①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；②若α⊥β，m∥α，则m⊥β；③若m⊥α，m⊥n，则n∥α；④若n⊥α，n⊥β，则β∥α．其中，真命题的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题．分析：根据线线平行、线面垂直和面面垂直的判定定理，对四个选项进行一一判断；解答：解：①若m⊥α，n⊥α，则m∥n，也即垂直于同一平面的两条直线平行，故①正确；②若α⊥β，m∥α，也可以推出m⊂β，故②错误；③若m上α，m⊥n，也可以推出n⊂α，故③错误；④若n⊥α，n⊥β，则β∥α，一条直线同时垂直于两个平面，故④正确；故选B；点评：此题主要考查命题的真假判断与应用，空间立体几何也是高考必考的内容，此题是一道基础题；7．（5分）从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有二个红球考点：互斥事件与对立事件．专题：探究型．分析：分析出从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球的所有不同的情况，然后利用互斥事件和对立事件的概念逐一核对四个选项即可得到答案．解答：解：从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：3个球全是红球；2个红球1个白球；1个红球2个白球；3个球全是白球．选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；选项C中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的交事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；选项D中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有二个红球”互斥不对立．故选：D．点评：本题考查了互斥事件和对立事件，关键是对概念的理解，是基础的概念题．8．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是（）A．n＞5 B．n＞4 C．n＞3 D．n＞2考点：程序框图．专题：计算题．分析：分别计算n=1，2，3时的s的值，进而即可得出判定框①中的条件．解答：解：由s=0，n=1得出s←（0+1）×1；由s=1，n=2得出s←（1+2）×2；由s=6，n=3得出s←（6+3）×3．此时s=27，为输出结果，应终止循环，而n←4，因此判定框①中应为n＞3．故选C．点评：正确理解循环结构和判断框的功能是解题的关键．9．（5分）动点P到点A（8，0）的距离是到点B（2，0）的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为（）A．x2+y2=32 B．x2+y2=16 C．（x﹣1）2+y2=16 D．x2+（y﹣1）2=16考点：轨迹方程．专题：计算题；直线与圆．分析：设P为（x，y），依据题中条件动点P到点A（8，0）的距离是到点B（2，0）的距离的2倍，列关于x，y的方程式，化简即可得点P的轨迹方程．解答：解：设P（x，y），则由题意可得，化简整理得x2+y2=16．故选：B点评：求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一条直角边为1，斜边为b的直角三角形，另一条直角边是，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，由勾股定理可知这条边是，表示出体积，根据不等式基本定理，得到最值．解答：解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一条直角边为1，斜边为b的直角三角形，∴另一条直角边是，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，由勾股定理可知这条边是，∴几何体的体积是V=∵在侧面三角形上有a2﹣1+b2﹣1=6，∴V=，当且仅当侧面的三角形是一个等腰直角三角形，故选D．点评：本题考查由三视图求几何体的体积，考查基本不等式的应用，本题是一个比较综合的题目，注意创造基本不等式的使用条件，得到结果．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．11．（5分）空间直角坐标系中与点P（2，3，5）关于yoz平面对称的点的坐标为（﹣2，3，5）．考点：空间中的点的坐标．专题：空间位置关系与距离．分析：根据关于yOz平面对称，x值变为相反数，其它不变这一结论直接写结论即可．解答：解：根据关于坐标平面yOz的对称点的坐标的特点，可得点P（2，3，5）关于坐标平面yOz的对称点的坐标为：（﹣2，3，5）．故答案为：（﹣2，3，5）．点评：本题考查空间向量的坐标的概念，考查空间点的对称点的坐标的求法，属于基础题．12．（5分）已知一组数据1，2，m，4的平均数是3，则这组数据的方差为2.5．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据平均数与方差的概念，进行计算即可．解答：解：∵数据1，2，m，4的平均数是3，∴==3，解得m=5；∴这组数据的方差为s2=．故答案为：2.5．点评：本题考查了平均数与方差的应用问题，解题时应根据平均数与方差的公式进行计算，是基础题．13．（5分）根据如图算法语句，当输出y的值为31时，输入的x值为60．考点：选择结构．专题：算法和程序框图．分析：分析算法语句可知其功能是求分段函数的值，其解析式为，故可求x的值．解答：解：执行算法语句知程序的功能是求分段函数的值，其解析式为，故解得当y的值为31时，x的值为60．故答案为：60．点评：本题主要考察了程序框图和算法，根据语句写出函数的解析式是关键，属于基础题．14．（5分）若曲线x2+y2+2x﹣4y+1=0上的任意一点关于直线2ax﹣by+2=0（a，b∈R+）的对称点仍在曲线上，则的最小值是4．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：由题意，曲线x2+y2+2x﹣4y+1=0表示的是以（﹣1，2）为圆心的圆，则直线2ax ﹣by+2=0（a，b∈R+）过圆心，从而可得a+b=1（a，b∈R+），利用利用不等式即可．解答：解：曲线x2+y2+2x﹣4y+1=0表示的是以（﹣1，2）为圆心的圆，故由曲线x2+y2+2x﹣4y+1=0上的任意一点关于直线2ax﹣by+2=0（a，b∈R+）的对称点仍在曲线上可得，直线2ax﹣by+2=0（a，b∈R+）过点（﹣1，2），则﹣2a﹣2b+2=0，即a+b=1（a，b∈R+），则=+=2++≥4．（当且仅当a=b=时，等号成立）故答案为：4．点评：本题考查了恒成立问题及圆的结构特征，同时考查了基本不等式的应用，属于中档题．15．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，若正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是2，则F的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段长是．考点：平面的基本性质及推论；棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点．分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，可证出平面A1MN∥平面D1AE，从而得到A1F是平面A1MN内的直线．由此得到F的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段是线段MN．解答：解：设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，则∵A1M∥D1E，A1M⊄平面D1AE，D1E⊂平面D1AE，∴A1M∥平面D1AE．同理可得MN∥平面D1AE，∵A1M、MN是平面A1MN内的相交直线∴平面A1MN∥平面D1AE，由此结合A1F∥平面D1AE，∴直线A1F⊂平面A1MN，∴F的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段是线段MN．∴F的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段长MN=．故答案为：．点评：本题给出正方体中侧面BCC1B1内动点F满足A1F∥平面D1AE，求F的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段长，着重考查了正方体的性质，解题时要注意空间思维能力的培养．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）如图所示：下列程序框图的输出结果构成了数列{a n}的前10项．（1）求数列的第3项a3、第4项a4以及数列的递推公式；（2）证明：数列{a n+1}为等比数列；并求数列{a n}的通项公式．考点：程序框图．专题：等差数列与等比数列；算法和程序框图．分析：（1）根据该程序给出的数列关系，得a n+1=2a n+1，a1=1，由此能求出a3=7，a4=15．（2）由已知得到的数列的递推公式为：a1=1，且a n+1=2a n+1，从而a n+1+1=2（a n+1），由此能求出a n=2n﹣1．解答：解：（1）a1=1，a2=3，a3=7，a4=15，a n+1=2a n+1．（2）证明：a1=1，∵a n+1=2a n+1∴a n+1+1=2（a n+1），所以数列为等比{a n+1}比数列，．点评：本题考查数列的第3项a3和第4项a4的求法，求数列的递推公式求出其通项公式a n，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用，本题属于基础题．17．（12分）2014-2015学年高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩在区间解答：解：（1）根据频率分布直方图知，成绩在18．（12分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．（1）求证：MN∥平面BCC1B1．（2）求证：MN⊥平面A1B1C．（3）求三棱锥M﹣A1B1C的体积．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：证明题；综合题；转化思想．分析：（Ⅰ）连接BC1，AC1，通过M，N是AB，A1C的中点，利用MN∥BC1．证明MN∥平面BCC1B1．（Ⅱ）说明四边形BCC1B1是正方形，连接A1M，CM，通过△AMA1≌△AMC．说明MN⊥A1C 然后证明MN⊥平面A1B1C．（Ⅲ）由（Ⅱ）知MN是三棱锥M﹣A 1B1C的高．在直角△MNC中．求出．即可解得．解答：（Ⅰ）证明：连接BC1，AC1，∵在△ABC1中，M，N是AB，A1C的中点∴MN∥BC1．又∵MN不属于平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1．（Ⅱ）解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∴四边形BCC1B1是正方形．∴BC1⊥B1C．∴MN⊥B1C．连接A1M，CM，△AMA1≌△BMC．∴A1M=CM，又N是A1C的中点，∴MN⊥A1C．∵B1C与A1C相交于点C，∴MN⊥平面A1B1C．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知MN是三棱锥M﹣A1B1C的高．在直角△MNC中，，∴．又．．点评：本题是中档题，考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．19．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，C=2A，cosA=．（1）求cosC，cosB的值；（2）若S△ABC=，求边AC的长．考点：余弦定理的应用；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由C=2A，利用二倍角的余弦函数公式化简，把cosA的值代入求出cosC的值，确定出sinC与sinA的值，利用诱导公式求出cosB的值即可；（2）利用三角形面积公式列出关系式，把sinB的值代入求出ac=24，利用正弦定理得到a 与c的关系式，联立求出a与c的值，再利用余弦定理求出b的值，即为AC的长．解答：解：（1）∵C=2A，cosA=，∴cosC=2cos2A﹣1=，∴sinC=，sinA=，则cosB=﹣cos（A+C）=sinAsinC﹣cosAcosC=；（2）∵S△ABC=，sinB=，∴acsinB=，即ac=24①，又由正弦定理=得：c=a②，联立①②，解得：a=4，c=6，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=25，解得：b=5．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20．（13分）如图所示，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．（1）求证：平面BDE⊥平面ACE；（2）已知CE=1，点M为线段BD上的一个动点，直线EM与平面ABCD所成角的最大值为．①求正方形ABCD的边长；②在线段EO上是否存在一点G，使得CG⊥平面BDE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．考点：平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）证明BD⊥AC，BD⊥EC，从而证明平面BDE⊥平面ACE．（2）由EC是平面ABCD的垂线，当M为O点时，直线EM与平面ABCD所成角的最大，从而求正方形ABCD的边长；当G为EO中点时，存在CG⊥平面BDE．解答：解：（1）证明：∵底面ABCD是正方形∴BD⊥AC，∵EC⊥底面ABCD∴BD⊥EC∴BD⊥平面ACE，∴平面BDE⊥平面ACE．（2）①点M为线段BD上的一个动点，∵EC⊥底面ABCD∴直线EM与平面ABCD所成角为∠EMC，．当CM最小时，直线EM与平面ABCD所成角的最大，当BD⊥CM时，即M为O点时，直线EM与平面ABCD所成角的最大．此时CO=1，正方形ABCD的边长为．②存在，当G为EO中点时，即=时，CG⊥平面BDE．∴BD⊥平面ACE∴BD⊥CG，又∵△ECO为等腰三角形∴CG⊥EO，∴CG⊥平面BDE．点评：本题主要考查线面垂直、面面垂直、线面角等知识，属于中档题．21．（14分）已知圆x2+y2﹣x=0与直线x+y﹣1=0交于P，Q两点，动圆C过P，Q两点．（1）若圆C圆心在直线y=x上，求圆C的方程；（2）求动圆C的面积的最小值；（3）若圆C与x轴相交于两点M，N（点N横坐标大于1）．若过点M任作的一条与圆O：x2+y2=4交于A，B两点直线都有∠ANM=∠BNM，求圆C的方程．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（1）由题意可设圆C方程为x2+y2﹣x+λ（x+y﹣1）=0，圆C圆心在直线y=x上即可得出λ．（2）由（1）可得，即可得出动圆C的面积的最小值．（3）设圆C方程为x2+y2﹣x+λ（x+y﹣1）=0，令y=0，x2+（λ﹣1）x﹣λ=0，可得x M=1，x N=﹣λ，﹣λ＞1．设直线AB的方程为y=k（x﹣1），代入x2+y2=4得，（1+k2）x2﹣2k2x+k2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得根与系数的关系，由于∠ANM=∠BNM，可得，代入解出即可．解答：解：（1）设圆C方程为x2+y2﹣x+λ（x+y﹣1）=0，=．∵，解得λ=﹣1．∴圆C方程为x2+y2﹣2x﹣y+1=0．（2）由（1）可得，∴动圆C的面积的最小值为．（3）设圆C方程为x2+y2﹣x+λ（x+y﹣1）=0，令y=0，x2+（λ﹣1）x﹣λ=0，∴（x﹣1）（x+λ）=0，x M=1，x N=﹣λ，﹣λ＞1．设直线AB的方程为y=k（x﹣1），代入x2+y2=4得，（1+k2）x2﹣2k2x+k2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），从而．∵，而（x1﹣1）（x2+λ）+（x2﹣1）（x1+λ）=2x1x2﹣（﹣λ+1）（x2+x1）﹣2λ==，∵∠ANM=∠BNM，∴，即=0，得λ=﹣4．当直线AB与x轴垂直时也成立．∴圆C的方程为x2﹣5x+y2﹣4y+4=0．点评：本题考查了直线与圆的相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。