2019年全国硕士研究生招生考试数学(一)试题

2020年全国硕士研究生招生考试《数学一》真题及解析1. 【单项选择题】当x→0+时，下列无穷小量中是最高阶的是( )．A.B.C.D.正确答案：D参考解析：2. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：C参考解析：3. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：A 参考解析：4. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：A参考解析：5. 【单项选择题】若矩阵A经初等列变换化成B，则( )．A. 存在矩阵P，使得PA=BB. 存在矩阵P，使得BP=AC. 存在矩阵P，使得PB=AD. 方程组Ax=0与Bx=0同解正确答案：B参考解析：6. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：C 参考解析：7. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：D 参考解析：8. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：B参考解析：9. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：-1【解析】10. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】11. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：n+am【解析】12. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：4e13. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：a4-4a2【解析】14. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：15. 【解答题】求函数f(x，y)=x3+8y3-xy的极值．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：16. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：17. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：18. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：19. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：20. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：21. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：22. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：23. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：。

全国硕士研究生入学统一考试数学试题全国硕士研究生入学统一考试数学试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 极限xx x 20)]1ln(1[lim ++→=. (2)dx ex x x⎰--+11)(=.(3) 设0a >，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧== 而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=.(4) 设,A B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵. 已知2AB A B =+, 202040202B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则1)(--E A =.(5) 设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T Λα；E 为n 阶单位矩阵，矩阵T E A αα-=， T aE B αα1+=，其中A 的逆矩阵为B ，则a = .(6) 设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5,0EX EY == ,222==EY EX , 则2)(Y X E += .二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 曲线21x xe y = ( )(A) 仅有水平渐近线. (B) 仅有铅直渐近线.(C) 既有铅直又有水平渐近线. (D) 既有铅直又有斜渐近线. (2) 设函数)(1)(3x x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在1x =处连续，则0)1(=ϕ是()f x 在1x =处可导的 ( )(A) 充分必要条件. (B)必要但非充分条件.(C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. (3) 设可微函数(,)f x y 在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是 ( )(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. (B)),(0y x f 在0y y =处的导数大于零.(C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在.(4) 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001010100B .已知矩阵A 相似于B ，则秩(2)A E -与秩()A E -之和等于( )(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. (5) 对于任意二事件A 和B ( )(A) 若φ≠AB ，则,A B 一定独立. (B) 若φ≠AB ，则,A B 有可能独立.(C) 若φ=AB ，则,A B 一定独立. (D) 若φ=AB ，则,A B 一定不独立.(6) 设随机变量X 和Y 都服从正态分布，且它们不相关，则 ( )(A) X 与Y 一定独立. (B) (X ,Y )服从二维正态分布. (C) X 与Y 未必独立. (D) X +Y 服从一维正态分布.设 ).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ试补充定义(1)f 使得()f x 在]1,21[上连续.四 、(本题满分8分)设(,)f u v 具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂vfu f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求.2222y g x g ∂∂+∂∂ 五 、(本题满分8分) 计算二重积分.)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x+=⎰⎰-+-π其中积分区域22{(,)}.D x y x y π=+≤ 六、(本题满分9分)设1a >，at a t f t -=)(在),(+∞-∞内的驻点为).(a t 问a 为何值时，()t a 最小？并求出最小值.七、(本题满分9分)设()y f x =是第一象限内连接点(0,1),(1,0)A B 的一段连续曲线，(,)M x y 为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点. 若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM 的面积之和为3163+x ，求()f x 的表达式. 八、(本题满分8分)设某商品从时刻0到时刻t 的销售量为kt t x =)(，).0(],,0[>∈k T t 欲在T 时将数量为A 的该商品销售完，试求(1) t 时的商品剩余量，并确定k 的值；(2) 在时间段[0,]T 上的平均剩余量. 九、(本题满分13分)设有向量组(I)：T )2,0,1(1=α，T )3,1,1(2=α，T a )2,1,1(3+-=α和向量组(II)：T a )3,2,1(1+=β，T a )6,1,2(2+=β，.)4,1,2(3T a +=β 试问：当a 为何值时，向量组(I)与(II)等价？当a 为何值时，向量组(I)与(II)不等价？设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a A 11121112可逆，向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11b α是矩阵*A 的一个特征向量，λ是α对应的特征值，其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵. 试求,a b 和λ的值. 十一、(本题满分13分)设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f()F X 是X 的分布函数. 求随机变量()Y F X =的分布函数.十二、(本题满分13分)对于任意二事件A 和B ，1)(0,1)(0<<<<B P A P ， )()()()()()()(B P A P B P A P B P A P AB P -=ρ称作事件A 和B 的相关系数.(1) 证明事件A 和B 独立的充分必要条件是其相关系数等于零；(2) 利用随机变量相关系数的基本性质，证明.1≤ρ2003年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、填空题 (1)【答案】2e【详解】方法1：xx x 20)]1ln(1[lim ++→，属于∞1型未定式极限，可以考虑利用重要极限求解．首先凑成重要极限形式：()200002ln(1)1ln(1)2ln(1)2lim lim 2lim[1ln(1)]lim 1ln(1)xx x x x x x x x xx xx x e e e →→→→+⋅++=++=++==方法2：xx x 20)]1ln(1[lim ++→=2ln[1ln(1)]0lim x x x e++→=2ln[1ln(1)]2ln(1)limlim2x x x x xxeee →→+++==(注意：l n[1ln(1)]ln(1)x x +++:)(2)【答案】)21(21--e【分析】对称区间上的定积分，有0()2()()()0()a a aaaf x dx f x dxf x f x dx f x --⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰⎰当为偶函数当为奇函数【详解】dx ex x x⎰--+11)(=dx xedx ex xx⎰⎰----+1111=dx ex x--⎰11+012x xe dx -=⎰102x xde -=-⎰112[]xx xe e dx --=--⎰=)21(21--e ．(3)【答案】2a【详解】本题积分区域为全平面，但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，则二重积分只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分商积分即可，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可．⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=20101x y x a dxdy ≤≤≤-≤⎰⎰=1120x xa dx dy+⎰⎰1220[(1)]a x x dx a =+-=⎰(4)【答案】⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100 【详解】 应先化简，从2AB A B =+中确定1)(--E A ．2AB A B =+⇒222AB B A E E -=-+⇒E E A B E A 2)(2)(=---⇒E E B E A 2)2)((=--⇒E E B E A =-⋅-)2(21)(，所以 1)(--E A =)2(21E B -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100．(5) 【答案】-1【详解】这里T αα为n 阶矩阵，而22a T =αα为数，直接通过E AB =进行计算并注意利用乘法的结合律即可．由题设，有)1)((T T a E E AB αααα+-==T T T T a a E αααααααα⋅-+-1111()T T T T E a a αααααααα=-+-=T T T a a E αααααα21-+-1(12)T E a E aαα=+--+=，于是有0121=+--a a ，即0122=-+a a ，解得.1,21-==a a 已知0a <，故1a =-．(6)【答案】6【分析】本题的核心是逆向思维，利用协方差公式()cov(,)()()E XY X Y E X E Y =+． 涉及公式：(1)22()()[()]D X E X E X =-，(2)()()()2cov(,)D X Y D X D Y X Y +=++(3)XY ρ=【详解】方法1：由方差定义的公式和相关系数的定义22()()[()]D X E X E X =-202,=-= 同理()2D Y =，1cov(,)212XY X Y ρ==⨯=．所以 222()()[()]()()E X Y D X Y E X Y D X Y EX EY +=+++=+++()()()2cov(,) 6.D X Y D X D Y X Y =+=++=方法2：由数学期望的线性可加性()()()E aX bY aE X bE Y +=+得：222()(2)E X Y E X XY Y +=++222()EX E XY EY =++42()E XY =+再利用()()()(,)E XY Cov X Y E X E Y =+⋅，得2)(Y X E +()()42[(,)]Cov X Y E X E Y =++⋅由方差定义的公式，有22()()[()]D X E X E X =-202,=-= 同理()2D Y =，再由相关系数的定义XY ρ=得，cov(,)XY X Y ρ=2)(Y X E +42420.52 6.XY ρ=+=+⨯⨯=二、选择题 (1)【答案】()D【分析】按照铅直、水平、斜渐近线三种情况分别考虑：先考虑是否有水平渐近线：lim (),()x f x c c →±∞=为常数，y c =为曲线的一条水平渐近线；若无水平渐近线应进一步考虑是否存在斜渐近线：()()lim,lim [()]x x x x x x yk b f x kx x →∞→∞→+∞→+∞→-∞→-∞==-，y kx b =+为曲线的一条斜渐近线；而是否存在铅直渐近线，应看函数是否存在无定义点，且00lim ,lim x x x x y y +-→→=∞=∞，则0x x =为曲线的一条垂直渐近线．【详解】1．y x ±∞→lim 极限均不存在，故曲线不存在水平渐近线；2．1lim lim 21==∞→∞→x x x e x y ，2221212001lim()lim1lim 0u u x x u u e u xe x u x e u uu -→∞→→--=-=:， 所以曲线有斜渐近线y x =．3．在0x =处21xxe y =无定义，且1222111ln 000lim lim lim lim xxx e xx xx x x x xe ee e ++++→→→→====∞，故 0x =为铅直渐近线．故曲线21x xe y =既有铅直又有斜渐近线，应选()D ．(2)【答案】()A【详解】被积函数中含有绝对值，应当作分段函数看待，利用()f x 在1x =处左右导数定义讨论即可．32111()(1)1lim lim ()lim(1)()3(1)11x x x f x f x x x x x x x ϕϕϕ+++→→→--=⋅=++⋅=--， 32111()(1)1lim lim ()lim(1)()3(1)11x x x f x f x x x x x x x ϕϕϕ---→→→--=-⋅=-++⋅=---， 由于()f x 在1x =处可导的充分必要条件是左、右导数相等，所以.0)1()1(3)1(3=⇔-=ϕϕϕ故应选()A ．(3)【答案】()A【详解】由函数(,)f x y 在点),(00y x 处可微，知函数(,)f x y 在点),(00y x 处的两个偏导数都存在，又由二元函数极值的必要条件即得(,)f x y 在点),(00y x 处的两个偏导数都等于零． 从而有000(,)(,)(,)0y y x y x y df x y f dyy==∂==∂选项()A 正确．(4)【答案】(C)【分析】 利用相似矩阵有相同的秩计算，秩(2)A E -与秩()A E -之和等于秩(2)B E -与秩()B E -之和．【详解】因为矩阵A 相似于B ， 又1B P AP -=，所以()111222P A E P P AP P EP B E ----=-=-，于是，矩阵(2)A E -与矩阵(2)B E -相似. 同理有()111P A E P P AP P EP B E ----=-=-所以，矩阵A E -与矩阵B E -相似. 又因为相似矩阵有相同的秩，而秩(2)B E -=秩3201010102=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---，秩()B E -=秩1101000101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--， 所以有秩(2)A E -+秩()A E -= 秩(2)B E -+秩()B E -=4，故应选(C)．(5)【答案】B【详解】本题考查独立与互斥事件之间的关系，事实上，独立与互斥事件之间没有必然的互推关系．当{}{}0,0P A P B ≠≠时，若,A B 相互独立，则一定有{}{}{}0P AB P A P B =≠，从而有AB ≠∅． 可见，当,A B 相互独立时，往往,A B 并不是互斥的．AB ≠∅推不出{}{}{}P AB P A P B =⋅， 因此推不出,A B 一定独立，排除(A);若AB =∅，则{}0P AB =，但{}{}P A P B 是否为零不确定，{}{}{}P AB P A P B ≠. 因此(C)，(D) 也不成立，故正确选项为(B)．(6)【答案】C ．【分析】本题考查正态分布的性质以及二维正态分布与一维正态分布之间的关系．只有(,)X Y 服从二维正态分布时，不相关与独立才是等价的．有结论如下：① 若X Y 与均服从正态分布且相互独立，则(,)X Y 服从二维正态分布．如果X Y 与都服从正态分布，甚至X Y 与是不相关，也并不能推出(,)X Y 服从二维正态分布．② 若X Y 与均服从正态分布且相互独立，则bY aX +服从一维正态分布． ③ 若(,)X Y 服从二维正态分布，则X Y 与相互独立⇔X Y 与不相关． 【详解】只有当(,)X Y 服从二维正态分布时，X Y 与不相关⇔X Y 与独立，本题仅仅已知X Y 与服从正态分布，因此，由它们不相关推不出X Y 与一定独立，排除(A);若X Y 与都服从正态分布且相互独立，则(,)X Y 服从二维正态分布，但题设并不知道,X Y 是否独立，可排除(B);同样要求X Y 与相互独立时，才能推出X Y +服从一维正态分布，可排除(D)．故正确选项为(C)．三【详解】为使函数()f x 在1[,1]2上连续，只需求出函数()f x 在1x =的左极限)(lim 1x f x -→，然后定义(1)f 为此极限值即可．11111lim ()lim[]sin (1)x x f x x x x πππ--→→=+-- 1111lim[]sin (1)x x x πππ-→=+--11(1)sin lim (1)sin x x xx xπππππ-→--=+- 令1u x =-，则当1x -→时，0u +→，所以1lim ()x f x -→01sin (1)lim sin (1)u u u u u πππππ+→--=+-1sin (1)lim (sin cos cos sin )u u u u u u ππππππππ+→--=+⋅⋅-⋅01sin (1)limsin u u u u uπππππ+→--=+⋅ 2201sin (1)lim u u u u ππππ+→--+等201cos (1)lim2u u uπππππ+→+-+洛 2201sin (1)lim 2u u ππππ+→-+洛110ππ+== 定义π1)1(=f ，从而有11lim ()(1)x f x f π-→==，()f x 在1x =处连续． 又()f x 在)1,21[上连续，所以()f x 在]1,21[上连续．四【详解】由复合函数[(,),(,)]z f x y x y ϕψ=的求导法则，得221()()2x y g f xy f x u x v x ⎛⎫∂- ⎪∂∂∂∂⎝⎭=+∂∂∂∂∂f f y x u v ∂∂=+∂∂ 221()()2x y g f xy f y u y v x ⎛⎫∂- ⎪∂∂∂∂⎝⎭=+∂∂∂∂∂.f f x y u v∂∂=-∂∂ 从而2222222222222222g f f f f f y y x x y x x u u v v u v v f f f f y xy x u u v v v ⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅++⋅+⋅⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂2222222222222222g f f f f f x x y y x y y u u v v u v v f f f f x xy y u u v v v⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂∂∂=⋅-⋅--⋅-⋅⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦∂∂∂∂=-+-∂∂∂∂∂所以 222222222222222222()()()()g g f f f f x y x y x y x y u v u v∂∂∂∂∂∂+=+++=++∂∂∂∂∂∂=.22y x +五【详解】从被积函数与积分区域可以看出，应利用极坐标进行计算．作极坐标变换：设θθsin ,cos r y r x ==，有2222222()22()22222220sin()sin()sin sin sin .2xy xy DDt r r r t I e x y dxdy e e x y dxdye e d r rdr d r dr e e tdt ππππππππθθπ-+--+=---=+=+=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰记tdt e A t sin 0⎰-=π，则000sin cos cos cos ttt t A e tdt e d t e t e tdt ππππ----⎡⎤==-=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 0001sin 1sin sin t t t e e d t e e t e tdt πππππ-----⎡⎤=---+=+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰=.1A e -+-π因此 )1(21π-+=e A ，).1(2)1(2πππππe e e I +=+=-六【详解】()f t 的驻点即满足()f t 的一阶导数为零的点，它是关于a 的函数．由0ln )(=-='a a a t f t ，得唯一驻点.ln ln ln 1)(aa a t -= 求()t a 的最小值，即求函数aaa t ln ln ln 1)(-=在1a >时的最小值， 22211111ln ln ln ln ln 1ln ln ln ()0(ln )(ln )(ln )a a aa a a a a a t a a a a a ⋅---'=-=-=-=得唯一驻点.e e a =当e e a >时，lnln 0,1lnln 0a a >-<，从而0)(>'a t ，这时()t a 单调递增；当e e a <时，lnln 0,1lnln 0a a <->，从而0)(<'a t ，这时()t a 单调递减. 因此当e a e =时()t a 为最小值，此时ee t e 11)(-=为极小值，也是最小值．七【分析】梯形OCMA 的面积可直接用梯形面积公式计算得到，曲边三角形CBM 的面积可用定积分计算，再由题设，梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM 的面积之和为3163+x ，可得一含有变限积分的等式，两边求导数，可转化为一阶线性微分方程，然后用通解公式计算即可． 【详解】由题意得1[1()]2OCMA S x f x =+，1()CBM x S f t dt =⎰ 所以 316)()](1[213+=++⎰x x dt t f x f x ． 两边关于x 求导2111[1()]()()222f x xf x f x x '++-=，即21()()2().f x xf x f x x '++-= 化简，当0≠x 时，得211()()x f x f x x x -'-=，即211.dy x y dx x x--⋅=利用一阶线性非齐次微分方程()()dyP x y Q x dx+=的通解公式 ()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=⋅+ ⎪⎝⎭⎰ 所以此方程为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为 y]1[)(121C dx e xx ex f dx x dxx+⎰-⎰=---⎰ =]1[ln 2ln C dx e xx ex x+--⎰ =)1(22C dx xx x +-⎰ Bx=.12Cx x ++曲线过点(1,0)B ，故0f =（1），代入，故有20C +=，从而2C =-． 所以.)1(21)(22-=-+=x x x x f八【详解】(1) 在时刻t 的剩余量()y t 可用总量A 减去销量()x t 得到，即)()(t x A t y -==kt A -， ].,0[T t ∈再T 时刻将数量为A 的该商品销售完，得0A kT -=，即Ak T=．因此， ,)(t TAA t y -= ].,0[T t ∈ (2) 由于()y t 随时间连续变化，因此在时间段[0,]T 上的平均剩余量，即函数平均值可用积分⎰Tdt t y T 0)(1表示(函数()f x 在[,]a b 上的平均值记为⎰-ba dx x f ab .)(1)． 所以，)(t y 在[0,]T 上的平均值为⎰=T dt t y T y 0)(1=2-20011()()()22TT A A A T A t dt At t T T T T T T T -=-=-⎰牛莱公式=.2A 因此在时间段[0,]T 上的平均剩余量为.2A九【分析】两个向量组等价也即两个向量组可以相互线性表示；而两个向量组不等价，只需其中一组有一个向量不能由另一组线性表示即可．而线性表示问题又可转化为对应非齐次线性方程组是否有解的问题，这可通过化增广矩阵为阶梯形来判断．一个向量1β是否可由321,,ααα线性表示，只需用初等行变换化增广矩阵(1321,,βααα)为阶梯形讨论，而一组向量321,,βββ是否可由321,,ααα线性表示，则可结合起来对矩阵(321321,,,,βββααα)同时作初等行变换化阶梯形，然后类似地进行讨论即可．【详解】矩阵(321321,,,,βββααα)作初等行变换，有),,,,(321321βββαααM =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++-463232112110221111a a a a M M M (第一行乘以-1加到第三行，第二行乘以-1 加到第三行)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+--→111100112110111201a a a a M M M ． (1) 当1-≠a 时，有行列式12310a ααα=+≠，秩(3),,321=ααα，故线性方程组)3,2,1(332211==++i x x x i βααα均有唯一解． 所以321,,βββ可由向量组(I)线性表示．同样，行列式12360βββ=≠，秩(3),,321=βββ，故321,,ααα可由向量组(II)线性表示．因此向量组(I)与(II)等价．(2) 当1a =-时，有),,,,(321321βββαααM ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→202000112110111201M M M ． 由于秩(321,,ααα )≠秩(),,1321βαααM ，线性方程组1332211βααα=++x x x 无解，故向量1β不能由321,,ααα线性表示． 因此，向量组(I)与(II)不等价． 【评注1】涉及到参数讨论时，一般联想到利用行列式判断，因此，本题也可这样分析：因为行列式1,,321+=a ααα，06,,321≠=βββ，可见(1) 当1-≠a 时，秩3),,(),,(321321==βββαααr r ，因此三维列向量组321,,ααα与321,,βββ等价，即向量组(I)与(II)等价．(2) 当1a =-时，秩2),,(321=αααr ，而行列式04,,132≠=βαα，可见2),,(321=αααr ≠1231(,,,)r αααβ =3， 因此线性方程组1332211βααα=++x x x 无解，故向量1β不能由321,,ααα线性表示． 即向量组(I)与(II)不等价．【评注2】 向量组(I)与(II)等价，相当于321,,ααα与321,,βββ均为整个向量组321321,,,,,βββααα的一个极大线性无关组，问题转化为求向量组321321,,,,,βββααα的极大线性无关组，这可通过初等行变换化阶梯形进行讨论．十【分析】 题设已知特征向量，应想到利用定义：λαα=*A . 又与伴随矩阵*A 相关的问题，应利用E A AA =*进行化简．【详解】 矩阵*A 属于特征值λ的特征向量为α，由于矩阵A 可逆，故*A 可逆．于是0≠λ，0≠A ，且λαα=*A ．两边同时左乘矩阵A ，得αλαA AA =*⇒αλαAA =，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111111121112b A b a λ，由此，得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=+.1,22,3λλλA b a b A b A b )3()2()1(由式(1)，(2)解得1=b 或2-=b ；由式(1)，(3)解得 2.a =因此42311121112=-==a aA ，根据(1)式知，特征向量α所对应的特征值.343bbA +=+=λ 所以，当1=b 时，1=λ；当2-=b 时，.4=λ【评注】本题若先求出*A ，再按特征值、特征向量的定义进行分析，则计算过程将非常复杂．一般来说，见到*A ，首先应想到利用公式E A AA =*进行化简．十一【分析】先求出分布函数()F x 的具体形式，从而可确定()Y F X = ，然后按定义求Y 的分布函数即可．注意应先确定()Y F x =的值域范围)1)(0(≤≤X F ，再对y 分段讨论．【详解】易见，当1x <时，()0F x =; 当8x >时，()1F x =．对于]8,1[∈x ，有.131)(3132-==⎰x dt t x F x设()G y 是随机变量()Y F x =的分布函数． 显然，当0<y 时，()G y =0；当1≥y 时，()G y =1． 对于)1,0[∈y ，有})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤=31}{(1)}P y P X y =≤=≤+3[(1)].F y y =+=于是，()Y F x =的分布函数为0,0,(),01,1, 1.y G y y y y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩若若若十二【分析】A 和B 独立的充要条件是{}{}{}P AB P A P B =⋅，由此可以直接证明问题(1)；对于问题(2)，应先构造随机变量，不难看出与事件A 和A 联系的应是随机变量1, ,0, .A X A ⎧=⎨⎩若出现若不出现 随机变量X 和Y 的相关系数为XY E XY E X E Y ρ-==，需将P AB P A P B ρ-=转化为用随机变量表示. 显然，若有(){}E XY P AB =，(){}(){},E X P AE Y P B ==以及=，=即可，这只需定义1,,0, .A X A ⎧=⎨⎩ 若出现若不出现 1,0, .B Y B ⎧=⎨⎩若出现,若不出现 【详解】 (1) 由题给ρ的定义，可见0=ρ当且仅当{}{}{}0P AB P A P B ==，而这恰好是二事件A 和B 独立的定义，即0=ρ是A 和B 独立的充分必要条件．(2) 考虑随机变量X 和Y :1,0,A X A ⎧=⎨⎩若出现若不出现 1,0,B Y B ⎧=⎨⎩若出现若不出现由条件知，X 和Y 都服从01-分布：{}{}01~X P A P A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，{}{}01~.Y P B P B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 由离散型随机变量的数字特征，(){}1ni i i i E X x P X x ==⋅=∑，()()()22D X E X EX =-易见 (){}E X P A =，(){}E Y P B =；(){}{}D X P A P A =， (){}{}D Y P B P B =; 由协方差的定义()()(){}{}{}(,).Cov X Y E XY E X E Y P AB P A P B =-=-因此，事件A 和B 的相关系数就是随机变量X 和Y 的相关系数．于是由二随机变量相关系数的基本性质1ρ≤，所以题目中定义的 .1≤ρ。

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题及答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 1-=x y .【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标。

【详解】 由11)(ln =='='xx y ，得x=1, 可见切点为)0,1(，于是所求的切线方程为 )1(10-⋅=-x y ， 即 1-=x y .【评注】 本题也可先设切点为)ln ,(00x x ，曲线y=lnx 过此切点的导数为11=='=x y x x ，得10=x ，由此可知所求切线方程为)1(10-⋅=-x y ， 即 1-=x y . （2）已知xx xe e f -=')(，且f(1)=0, 则f(x)=2)(ln 21x . 【分析】 先求出)(x f '的表达式，再积分即可。

【详解】 令t e x=，则t x ln =，于是有t t t f ln )(='， 即 .ln )(x xx f =' 积分得 C x dx x x x f +==⎰2)(ln 21ln )(. 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，故所求函数为f(x)= 2)(ln 21x .（3）设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为π23 . 【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。

【详解】 正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，可表示为.20:,sin 2,cos 2πθθθ→⎩⎨⎧==y x于是θθθθθπd ydx xdy L]sin 2sin 22cos 2cos 2[220⋅+⋅=-⎰⎰=.23sin 2202πθθππ=+⎰d（4）欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dx y d x 的通解为 221x c x c y +=. 【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换te x =化为常系数线性齐次微分方程即可。

2019年硕士研究生入学考试数学一 试题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．设函数,0()ln ,0x x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则0x =是()f x 的（ ）（A ）可导点，极值点 （B ）不可导的点，极值点（C ）可导点，非极值点 （D ）不可导点，非极值点 3．设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ）（A ）1n n u n ∞=∑ （B ）11(1)n n n u ∞=-∑ (C ）111n n n u u ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ （D ）2211()n n n u u ∞+=-∑4．设函数2(,)xQ x y y=，如果对于上半平面(0)y >内任意有向光滑封闭曲线C 都有 (,)(,)0CP x y dx Q x y dy +=⎰Ñ那么函数(,)P x y 可取为（ ）（A ）22x y y - （B ）221x y y - （C ）11x y- （D ）1x y -5．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形是 （ ）（A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222123y y y ---6．如图所示，有三张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程123(1,2,3)i i i i a x a y a z d i ++==组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则（ ）（A ）()2,()3r A r A == （B ）()2,()2r A r A == （C ）()1,()2r A r A == （D ）()1,()1r A r A ==7． 设,A B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是 （ ）（A ）()()()P A B P A P B =+U （B ） ()()()P AB P A P B = （C ）()()P AB P B A = （D ）()()P AB P AB =8．设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从正态分布2(,)N μσ．则{1}P X Y -<（ ） （A ）与μ无关，而与2σ有关 （B ）与μ有关，而与2σ无关 （C ）与μ，2σ都有关 （D ）与μ，2σ都无关二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．设函数()f u 可导，(sin sin )z f y x xy =-+，则11cos cos z z x x y y∂∂⋅+⋅=∂∂ ．10．微分方程2220yy y '--=满足条件(0)1y =的特解为y = ．11.幂级数1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑在(0,)+∞内的和函数()S x = . 看不清楚题目是1(1)(2)!n n n x n ∞=-∑还是0(1)(2)!n n n x n ∞=-∑，我以1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑给出解答． 12．设∑为曲面22244(0)x y z z ++=≥的上侧，则∑= ．13．设123(,,)A ααα=为三阶矩阵，若12,αα线性无关，且3122ααα=-+，则线性方程组0Ax =的通解为 ．14．设随机变量X 的概率密度为,02()20,xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，()F x 为其分布函数，()E X 其数学期望，则{()()1}P F X E X >-= ．三、解答题 15．（本题满分10分）设函数()y x 是微分方程22x y xy e-'+=满足条件(0)0y =的特解．（1）求()y x ；（2）求曲线()y y x =的凸凹区间及拐点．16．（本题满分10分）设,a b 为实数，函数222z ax by =++在点(3,4)处的方向导数中，沿方向34l i j=--v v v 的方向导数最大 ，最大值为10．（1）求常数,a b 之值；（2）求曲面222(0)z ax by z =++≥的面积． 17．（本题满分10分）求曲线sin (0)xy ex x -=≥与x 轴之间形成图形的面积．18．（本题满分10分）设1(0,1,2,)n a x n ==⎰L（1）证明：数列{}n a 单调减少，且21(2,3,)2n n n a a n n --==+L ；（2）求极限1lim n n n a a →∞-． 19．（本题满分10分）设Ω是由锥面222(2)(1)(01)x y z z +-=-≤≤与平面0z =围成的锥体，求Ω的形心坐标．20．（本题满分11分）设向量组1231112,3,123a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为3R 空间的一组基，111β⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标为1b c ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求,,a b c 之值；（2）证明：23,,ααβ也为3R 空间的一组基，并求23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵．21．（本题满分11分）已知矩阵22122002A x -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭与21001000B y ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似．（1）求,x y 之值；（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=．22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为：{1}P Y p =-=，{1}1P Y p ==-，(01)p <<．令Z XY =．（1）求Z 的概率密度；（2）p 为何值时，,X Z 不相关；（3）此时，,X Z 是否相互独立．23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为22()2,()0,x A e x f x x μσμσμ--⎧⎪≥=⎨⎪<⎩，其中μ是已知参数，σ是未知参数，A 是常数，12,,,n X X X L 是来自总体X 的简单随机样本． （1）求常数A 的值；（2）求2σ的最大似然估计量．2019年考研数学一真题解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】（C ）【详解】当0x →时，331tan ()3x x x o x =++，所以331tan ()3x x x o x -=-+，所以3k =． 2．设函数,0()ln ,0x x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则0x =是()f x 的（ ）（A ）可导点，极值点 （B ）不可导的点，极值点 （C ）可导点，非极值点 （D ）不可导点，非极值点【答案】（B ）【详解】（1）01ln(00)lim ln lim 0,(00)lim 0,(0)01x x x x f x x f x x f x++-→→→-+===-===，所以函数在0x =处连续；（2）0ln (0)lim x x xf x++→'==-∞，所以函数在0x =处不可导；（3）当0x <时，2(),()20f x x f x x '=-=->，函数单调递增；当10x e<<时，()1ln 0f x x '=+<，函数单调减少，所以函数在0x =取得极大值．3．设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ）（A ）1n n u n ∞=∑ （B ）11(1)n n n u ∞=-∑ (C ）111n n n u u ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ （D ）2211()n n n u u ∞+=-∑【答案】（D ）【详解】设{}n u 是单调增加的有界数列，由单调有界定理知lim n n u →∞存在，记为lim n n u u →∞=；又设n ∀，满足n u M ≤，则221111()()2()n n n n n n n n u u u u u u M u u ++++-=+-≤-，且2210n n u u +-≥，则对于正项对于级数2211()n n n uu ∞+=-∑，前n 项和：221111111()2()2()22nnn k kk k n n k k S uu M u u M u u Mu Mu ++++===-≤-=-≤→∑∑也就是2211()n n n uu ∞+=-∑收敛．4．设函数2(,)xQ x y y=，如果对于上半平面(0)y >内任意有向光滑封闭曲线C 都有 (,)(,)0CP x y dx Q x y dy +=⎰Ñ那么函数(,)P x y 可取为（ ）（A ）22x y y - （B ）221x y y - （C ）11x y- （D ）1x y -【答案】（D ）【详解】显然，由积分与路径无关条件知21P Q y x y ∂∂≡=∂∂，也就是1(,)()P x y C x y=-+，其中()C x 是在(,)-∞+∞上处处可导的函数．只有（D ）满足．5．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形是 （ ）（A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222123y y y ---【答案】（C ）【详解】假设λ是矩阵A 的特征值，由条件22A A E +=可得220λλ+-=，也就是矩阵A 特征值只可能是1和2-．而1234A λλλ==，所以三个特征值只能是1231,2λλλ===-，根据惯性定理，二次型的规范型为222123y y y --．6．如图所示，有三张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程123(1,2,3)i i i i a x a y a z d i ++==组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则（ ）（A ）()2,()3r A r A == （B ）()2,()2r A r A == （C ）()1,()2r A r A == （D ）()1,()1r A r A == 【答案】（A ）【详解】(1)显然三个平面没有共同交点，也就是非齐次方程组无解，从而()()r A r A <； （2）从图上可看任何两个平面都不平行，所以()2r A ≥；7． 设,A B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是 （ ）（A ）()()()P A B P A P B =+U （B ） ()()()P AB P A P B =（C ）()()P AB P B A = （D ）()()P AB P AB =【答案】（C ）【详解】选项（A ）是,A B 互不相容；选项（B ）是,A B 独立，都不能得到()()P A P B =； 对于选项（C ），显然，由()()(),()()()P AB P A P AB P B A P B P AB =-=-，()()()()()()()()P AB P B A P A P AB P B P AB P A P B =⇔-=-⇔=8．设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从正态分布2(,)N μσ．则{1}P X Y -<（ ）（A ）与μ无关，而与2σ有关 （B ）与μ有关，而与2σ无关 （C ）与μ，2σ都有关 （D ）与μ，2σ都无关【答案】（A ）【详解】由于随机变量X 与Y 相互独立，且均服从正态分布2(,)N μσ，则2~(0,2)X Y N σ-，从而{1}{11}21P X Y P X Y P -<=-≤-<=≤≤=Φ- 只与2σ有关．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．设函数()f u 可导，(sin sin )z f y x xy =-+，则11cos cos z zx x y y∂∂⋅+⋅=∂∂ ． 【答案】cos cos y xx y+解：cos (sin sin ),cos (sin sin )z zx f y x y y f y x x x y∂∂''=-⋅-+=⋅-+∂∂ 11cos cos cos cos z z y xx x y y x y∂∂⋅+⋅=+∂∂ 10．微分方程2220yy y '--=满足条件(0)1y =的特解为y = ．【答案】y =【详解】把方程变形2220yy y '--=得22()()20y y '--=，即222(2)22x d y dx y Ce y y +=⇒+=⇒=+由初始条件(0)1y =确定3C =，所以y =．11.幂级数1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑在(0,)+∞内的和函数()S x = . 看不清楚题目是1(1)(2)!n n n x n ∞=-∑还是0(1)(2)!n n n x n ∞=-∑，我以1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑给出解答． 【答案】1【详解】注意20(1)cos ,(,)(2)!n nn x x x n ∞=-=∈-∞+∞∑，从而有：110(1)(1)(1)11,(0,)(2)!(2)!(2)!n n n n nn n n n x x n n n ∞∞∞===---==-=∈+∞∑∑∑ 12．设∑为曲面22244(0)x y z z ++=≥的上侧，则∑= ．【答案】32.3【详解】显然曲面∑在xOy 平面的投影区域为22{(,)|4}xy D x y x y =+≤22220432dxdy dxdy 2sin 3x y y y d r dr πθθ∑∑+≤====⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 13．设123(,,)A ααα=为三阶矩阵，若12,αα线性无关，且3122ααα=-+，则线性方程组0Ax =的通解为 ．【答案】121x k -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，其中k 为任意常数．【详解】显然矩阵A 的秩()2r A =，从而齐次线性方程组0Ax =的基础解系中只含有一个解向量．由3122ααα=-+可知12320ααα-+-=也就是121x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭为方程组基础解系，通解为121x k -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，其中k 为任意常数．14．设随机变量X 的概率密度为,02()20,xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，()F x 为其分布函数，()E X 其数学期望，则{()()1}P F X E X >-= ．【答案】2.3【详解】20,01(){},0241,2x F x P X x x x x <⎧⎪⎪=≤=≤<⎨⎪≥⎪⎩，2204()23x E X dx ==⎰．012{()()1}{()}{133P F X E X P F X P X >-=>=>=-=三、解答题15．（本题满分10分）设函数()y x 是微分方程22x y xy e-'+=满足条件(0)0y =的特解．（1）求()y x ；（2）求曲线()y y x =的凸凹区间及拐点． 【详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程． 先求解对应的线性齐次方程0y xy '+=的通解：22x y Ce -=，其中C 为任意常数；再用常数变易法求22x y xy e-'+=通解，设22()x y C x e-=为其解，代入方程，得2222(),()1x x C x eeC x --''==，1()1C x dx x C ==+⎰，也就是通解为：221()x y x C e-=+把初始条件(0)0y =代入，得10C =，从而得到22().x y x xe -=（2）2222232222(),()(1),()(3)(x x x x y x xey x ex y x x x ex x x e----'''==-=-=令()0y x ''=得1230,x x x ===．当x <0x <<时，0y ''<，是曲线的凸区间；当0x <<或x >0y ''>，是曲线的凹区间．曲线的拐点有三个，分别为3322()--．16．（本题满分10分）设,a b 为实数，函数222z ax by =++在点(3,4)处的方向导数中，沿方向34l i j=--v v v的方向导数最大 ，最大值为10．（1）求常数,a b 之值；（2）求曲面222(0)z ax by z =++≥的面积． 【详解】（1）222z ax by =++，则2,2z zax by x y∂∂==∂∂；所以函数在点(3,4)处的梯度为()(3,4)(3,4)|,6,8z z gradf a b x y ⎛⎫∂∂==⎪∂∂⎝⎭；gradf = 由条件可知梯度与34l i j =--v v v方向相同，且10gradf ==．也就得到683410a b⎧=⎪--=解出11a b =-⎧⎨=-⎩或11a b =⎧⎨=⎩（舍）．即11a b =-⎧⎨=-⎩．（2）22202133Sx y S dS d ππθ+≤====⎰⎰⎰⎰⎰． 17．（本题满分10分）求曲线sin (0)xy ex x -=≥与x 轴之间形成图形的面积．【详解】先求曲线与x 轴的交点：令sin 0x e x -=得,0,1,2,x k k π==L 当2(21)k x k ππ<<+时，sin 0xy e x -=>；当2(22)k x k πππ+<<+时，sin 0x y e x -=<．由不定积分1sin (sin cos )2x xe xdx e x x C --=-++⎰可得 2221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππ+---=+⎰，22221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππππ+----+=-+⎰所求面积为22202200220022220sin sin sin 11(1)(1)2211111(1)(1)22121k k xxx k k k k k k k k k k S exdx e xdx e xdxe e e e e e e e e e ππππππππππππππππππ∞∞+∞++---+==∞∞-----==-∞-----===-=++++=+=+=--∑∑⎰⎰⎰∑∑∑18．（本题满分10分）设1(0,1,2,)n a x n ==⎰L（1）证明：数列{}n a 单调减少，且21(2,3,)2n n n a a n n --==+L ；（2）求极限1lim n n n a a →∞-． 【详解】（1）证明：1n a x=⎰，110(0,1,2,)n n a x n ++==⎰L当(0,1)x ∈时，显然有1n nxx +<，1110(0n n n n a a x x ++-=-<⎰，所以数列{}n a 单调减少；先设220sin cos ,0,1,2,nn n I xdx dx n ππ===⎰⎰L则当2n ≥时，12222202sin sin cos (1)sin cos (1)()nn n n n n I xdx xd x n x xdxn I I πππ---==-=-=--⎰⎰⎰也就是得到22,0,1,1n n n I I n n ++==+L 令sin ,[0,]2x t t π=∈，则122222201sin cos sin sin 2nnn n n n n a xt tdt dt tdt I I I n πππ++===-=-=+⎰⎰⎰⎰ 同理，2211n n n n a I I I n --=-=-综合上述，可知对任意的正整数n ，均有212n n a n a n --=+，即21(2,3,)2n n n a a n n --==+L ； （2）由（1）的结论数列{}n a 单调减少，且21(2,3,)2n n n a a n n --==+L 2111111222n n n n n a n n n a a a n n a n ------=>⇒>>+++ 令n →∞，由夹逼准则，可知1lim1nn n a a →∞-=．19．（本题满分10分）设Ω是由锥面222(2)(1)(01)x y z z +-=-≤≤与平面0z =围成的锥体，求Ω的形心坐标．【详解】先计算四个三重积分：22211120(2)(1)1(1)3zD x y z dv dz dxdy dzdxdy z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211120(2)(1)(1)12zD x y z zdv zdz dxdy zdzdxdy z z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211(2)(1)0zD x y z xdv dz xdxdy dzxdxdy Ω+-≤-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211120(2)(1)22(1)3zD x y z ydv dz ydxdy dzydxdy z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 0xdvx dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，2ydvy dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，14zdvz dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．从而设形心坐标为1(,,)(0,2,)4x y z =． 注：其实本题如果明白本题中的立体是一个圆锥体，则由体积公式显然13dv πΩ=⎰⎰⎰，且由对称性，明显0x =，2y =．20．（本题满分11分）设向量组1231112,3,123a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为3R 空间的一组基，111β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标为1b c ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求,,a b c 之值；（2）证明：23,,ααβ也为3R 空间的一组基，并求23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵．【详解】（1）由123b c βααα=++可得11231231b c b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解方程组，得32.2a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩且当3a =时，()123111111,,23301110123012ααα===≠，即123,,ααα线性无关，确实是3R 空间的一组基．（2）()23111111,,33100220231011ααβ==-=≠-，显然23,,ααβ线性无关，当然也为3R 空间的一组基． 设()()23123,,,,a P αβααα=，则从23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵为()()1123123111111011111110,,,,3312330.50.512330.501231123 1.50.501230.500P ααβααα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪===--=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21．（本题满分11分）已知矩阵22122002A x -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭与21001000B y ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似．（1）求,x y 之值；（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=． 【详解】（1）由矩阵相似的必要条件可知：A BtrA trB⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2(24)241x y x y --+=-⎧⎨-+=+⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩．（2）解方程组221232(2)(2)(1)002E A λλλλλλλ+--=--=+-+=+得矩阵A 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-；分别求解线性方程组()0(1,2,3)i E A x i λ-==得到分属三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：1231112,1,2004ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令()1123111,,212004P ξξξ-⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭，则1P 可逆，且11212P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；同样的方法，可求得属于矩阵B 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：1231100,3,00014ηηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令()2123110,,030001P ηηη-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则2P 可逆，且12212P BP -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；由前面111122P AP P BP --=，可知令112111212004P PP --⎛⎫⎪==-- ⎪⎪⎝⎭，就满足1P AP B -=． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为：{1}P Y p =-=，{1}1P Y p ==-，(01)p <<．令Z XY =．（1）求Z 的概率密度；（2）p 为何值时，,X Z 不相关；（3）此时，,X Z 是否相互独立．【详解】（1）显然X 的概率密度函数为,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩．先求Z XY =的分布函数：(){}{}{,1}{,1}(1){}{}1()(1())Z X X F z P Z z P XY z P X z Y P X z Y p P X z pP X z F z p F z =≤=≤=≤=+≥-=-=-≤+≥-=-+--（）再求Z XY =的概率密度：,0()(())()(1)()0,0(1),0z Z Z X X z pe z f z F z pf z p f z z p e z -⎧<⎪'==-+-==⎨⎪->⎩（2）显然()1,()1;()12E X D X E Y p ===-；由于随机变量,X Y 相互独立，所以()()()()12E Z E XY E X E Y p ===-；22()()()()24E XZ E X Y E X E Y p ===-；(,)()()()12COV X Z E XZ E X E Z p =-=-；要使,X Z 不相关，必须(,)()()()120COV X Z E XZ E X E Z p =-=-=，也就是0.5p =时,X Z 不相关； （3）,X Z 显然不相互独立，理由如下：设事件{1}A X =>，事件{1}B Z =<，则11(){1}x P A P X e dx e +∞--=>==⎰；11(){1}{1,1}{1,1}12P B P Z P X Y P X Y e -=<=>-=-+<==-；11(){1,1}{1,1}(1,}{1}{1}P AB P X Z P X XY P X Y P X P Y pe x -=><=><=><=>⋅=-=，当0.5p =时，显然()()()P AB P A P B ≠，也就是,X Z 显然不相互独立．23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为22()2,()0,x A e x f x x μσμσμ--⎧⎪≥=⎨⎪<⎩，其中μ是已知参数，σ是未知参数，A 是常数，12,,,n X X X L 是来自总体X 的简单随机样本． （1）求常数A 的值；（2）求2σ的最大似然估计量．【详解】（1）由()1f x dx +∞-∞=⎰可知222()201x Aedx ed μσμσ---+∞+∞===⎰⎰所以A =似然函数为212()22121,(,,;)(,)0,ni i X n n i n i n i A ex L X X X f x μσμσσσ=--=⎧∑⎪⎪≥==⎨⎪⎪⎩∏L 其他， 取对数，得22212211ln (,,,;)ln ln()()22nn ii n L X X X n A Xσσμσ==---∑L解方程221222221ln (,,,;)11()0()22()nn ii d L X X X n Xd σμσσσ==-+-=∑L ，得未知参数2σ的最大似然估计量为¶2211()n i i X n σμ==-∑．。

2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷1）理科数学2019年聊通高筲学枝IW 上全国统与试理科数学1. 善巻啊.蛊生务愛耨自已的蚪化、齐生号霁垃q 在善變节*1弑嘗搭电他*上.2. 阿巻就卄虺uh 迤出禅小町善丽，用樹笔把仔国鬥tlSJ ■貝曲唇塞标号找事，如蒂改圍”用 檢皮崔「浄后・再选涂其它袴索标号"凤祎非选择期时.特嘗案耳在答理卡匕耳左血试卷匕无牡・3-苇试姑柬斤，将事试卷和書岂卡一弁宦回°、业獎砸：本翹弍垃小SL 爼水粗占分.共⑷分.在毎小題箱出的四个选亚中.人有--助超胡倉饉 目贾康的"】.己如能會M ■徉4< JT 莖工｝, N = |x -r-6<o|» HA/nJV =(A. [.r|-4 < x <3. (r-4 < x < -2^C.[ .v -1 < J <D. (JL |2 < A <d 试耳烈：満足：一F| = l*匚料珏罪血内时咻的戌対(斗y)・确r 】A.(x-i) +3'： =1B (J -1 + >2 - IC t' +( i -l)J =i D.r +(.V + 1)3 = 1弘已刘iM = 】Qg ；0£ b 二 0 • e-o^1' ・剧 i JA,.ti<h<ce. < f < bCvai^bu.Zt <c<a朽一]4,古希雅时朗.人怕认为星类人井的齊哺至肚睛的绘度勺肚1ft 帘足底的氏度之比是七一吕首的-瞬嘗聲抽飓・便艮则此Jtt>K 摊羌人体的久3证1%1/5噸的快度与咽麻奇tt 席酋长嵐之比也呈坐二.拧卓人厲址h.ifffif 黄童井制比桝.105cm.AJMSIF f F 韻的叹度为Mcrm 则K 甘岳町施址(1A,]lKcm B.l 75cm 匚185cm5,i 炯柱小｝壬二町・屁訂的側粉打)ccs r +□ 190cm*： 0.611!.轧爲竝；：寸乩比隣.*"tty氐我岡古代典攜（周SP用H卄”推述打物的堂比邯一“直5K山从卜之1齐列的EG弦爼获.Jt分为團爻■■一 -•- ■■右圈就是M・也所有重計中融机取£幷’则谍啃料惜盯于个们爻的栅率¥（〕5 II 2\IIA.—&.—C,— D.—16 竝竝169.记旺为:字衣吐列仏｝的前』」1杷L1畑二=0・山二5.驅CA.叫= 2rt 5B. = 3n 10CS =2n:D.S =-ft-2nh °2ltt已如«•■<；的世点为^（-W） . FW 过珂的fL^'j C丸于礼H阳点雷|娠卜2|两国,\AH=2|占F，則亡的力糧为（>①丿足腾咕救②/|町任邂的|彳，用）单闊理增③f （x I住区间［一亿訂f：F个-匸?.i ④/V）的赧（伯X-j 22/5 三三A,—Uu b）-i・则：与石的夹甬沟<fiSMEB・图中空白框*■ I丄rL缶航朗是求二己知羊零向鐵：* &WM 22/711.艾干诵豹f ix）= sin J* |>in A'| f」下述四个馆论t匚①④埠巴如三检推F —川封匸的四牛I 加的用商上，PA^PB^PC, AX5CMlt£^2 rn 止-M t £尸介別兄加「祐的中九 ZCEF = 90 ’则球O 的休机为（ t34vf )zr二 填空嵐：本鹽找4「|咂.毎小駆S 井”其加分达曲凹7 = 3（屮7片在点（（｝期社儿•:叫川沟 ________________ .地记屯为等比栽手|｛叫｝的前萌项和,若納二y tr? = a..则员= _____________________ .Je.屮.乙洒賦诜恬槪球比賽.光用七场西胜制.幄捲訓期比赛成细，屮认的主客甬安排粮抚旳"主主客 峯L 客广.设甲阻主场即胜的柢率为06辉场駅胖的觀率肯血窑（1各场比赛靖黑梱互1M 則甲駅以4： 1塡腔的槪率 ________________ .J甲W 已知或曲険C:肴-舊 “BI" 0）的底右儒点分別为耳迅.迁片的血线二匸的两最潮瓦钱甘 ^TA y B^F [A = AB. FR 化 S 則卍的离也那肯 ________________________________ .三' 解善題：M7C^・聲笞应写出文字说明、证明过程亚演算步骑L 第E1锂为必考麵.毎『试饉 老生都必顼作啤 闕瞬” 口罚为选老題・老主喂西英求作?£• （一）叱老證匸別分"17. <12山I&C 的内ftX.JJ,C 的柑边分别是ng 设（sin£ —sinQ 『 =sin 2/I-sm ffsiuC,ti ）求右；2）?7 ^2a + 6 = 2c .求*nJ “IS. （12 *、 斗呃直网檢哇卫处Q-月風CD 的虑曲是菱器*.11, = 41 AB = 2 ・ £BAD =■ 6O P . E,M r N^\^BC.RH 、 J Q ；勺中止”丸①②④-Ci5 / 36i）旺明i .,WA P//2)求_i加傩卫一址气一用的止強值.19”〔12 分｝己却删为尸，期卓为斗的直教却C的蛉伪小总，S轴的仝山为"Xi11務|/<尸| + 0F卜£ 求*的力軒;2*越乔二［两.求\AU .30.(12^)dfti^Si/(r)=(mx-hi(l + T). f(x)^i/(r)的#敷就削：⑴『匕)杞皿’—】.亍存杞唯…的极人值点；⑵血工”相农有2卒毒丸21- C12 分〉为冷疗革种臥両”研制了甲、乙两种折科，需型知洞那种軒药更TT故・为此进打动梅实越真验收fill心毎轮逸取詡卿自臥对貞1效进荷对比试鑿.对F闊！！勺就・RI机选•射只施氐乙罚. M MB HINNIA ffiBI卜--轮试戦.当齐中--忡童称直的白嵐出另咐> i门二h、；.： a」一- 就碎止试驰丼从曲治倉只數命的荊史有玆・为了方便描述问臥的定*对于厘Flit魅・若itu甲药的白艮治載且16玖兀药的白損耒谢蠢惰甲蘇禅I分，二药斜-】血若施以乙药时口瞬泊JftlL施以屮葯的白亂走冶愈刚乙罚堺lih甲冊-】4h若欄治竈诚暮水治壷嘲两种眦均鮒0分耳、£两种拘闱治愈率廿别记如和". 熾试猫申甲的的咼灯记沖Y.1)哦JV的少舟列t⑵ 若甲药、乙t?孫试验幵始时都瞋"井.期"=0J,2…問老示存甲苟的當计得分知仇最终儿为屮知比乙热屯白％”的槻典刖地=0，仇=1+冏=即严如+甲⑴(：=】2 <7｝,儿中芒=尸(,丫=0), f) -P(.¥ -0), < = P( A J/7-0>.:i)hi小—瓦｝"二12…⑺为鼻比故処；门门求齐.井規揣円的您駢痒试种试誥方當的合證性.4/5(二)粧电瓯：it 10^.请弋生在察2叭為赣中作讐.如睾第妣・则按所憎的策一晅计分.22.［选悔V 坐标集与題數晒(10井】"为需歎)息堂标底成O为駆点.石轴在帆角坐标纂呦冲*曲爼C的辩数方押为f -1 ~止半稱为槻轴建立璇坐标系.的概生桩方租为2“顷旧 + JJpsin日+丨1・0,11)*匚与』的直箱坐栋方程I:空痕匚上财点到F跑寄的最小值.21[4iU-5t不芳氏注讲]10 5Z)已抑臥he为壬敕・且胃足nhc- I.证弗(1)丄4■丄+丄羞应『卜胪+『和a b c!2)(a + ^)J + (A+r)- +(c+<J)' >245/58 / 362019年査通爲零学校招化全国统一考试文科数学注卷車顶：1.售卷前・考牛•务感将口己的姓洛号空号黑填垢在割S卡铀试卷指建位胃匕.孔河答址择期i・h旌出毎小童答案冶*期铅里把菩匙轻对应題目鸚I■如需盘4h用也皮攥「-净后.再选洙其它答慕标h昇回霜4延择题时.瘙椁家写隹粹朗卡上.写芒本试卷L：无效"3.考试轴束已将体试程和剳冒卡一件交同―、选擇慙；本駆共12小怂"程小融弓分*共60分在毎小融绐出的四个进念中* 口右一砺星轩合豔目要求的=2B.V3 c. 41ai1L1知#0U =①狛从氐7}・A ={234・5；,Z?二h・3百・7}・A=(】A ；L6（B-{1J| C. {6.7} D. {1,6,7} 乱已知a = lo^r DN・h = 2a2, c = 0.2in. IM t )A.ii <h<f R.ti<c<hC.c<ti<hD.^ <4 一古乖聊时训”人心认为於兀人侏的义顶至肚M的山A乌丄情孚足呸的li哽之比兄"匚‘^5-1*0.618.林为黄金分割比榊人着呂的•斷惮醴抽斯”良足JU此,此外.扯k扎障的久顶至啥2喉的fei44i咽喉至It脐的怪度立比也昱｛口+若臬人涌匸丨述两个扯金分削比悯*巨腿圧为KScm’2张顼奎聆『卜-端的悅度为265・耻其身禹町能足（>^lGSem B.175cm CJBScm D.190em 去汝嚼数/｛巧二竺斗■理［饥厅］的轻|他为（-COS J + X立科軸学10 / 36氐某学栈为r 解1 Q00宕新生怕刖悻當际将这些学牛編弓为眞2+ -+ 1000.^^^＜k 屮用系统抽枠 的加i 等距抽9U00名手空进行测试.若輻号学牛被抽轧 则下面4名宁主中被抽取的址（）A.B :^^T. B 200 号学中- C 616 ^4^1：D 81S 号即上&己划 忤向施.匸祸斗：=平.11币一和丄乳则门示的夹旳,1LAXSC 的内脚扎鼠匸的时处务刑是鸟氏c LliuasiiM- bsia&-4ca\nC . e«j» J = - T M* =4 cA.6B.5C.d a.3区L 2掠瞬闘匚的囁点为林一 1、创・rtkOl ・过巧的起缕耳匚交：■-」/ 九忆苦I”； =2|/'；^・I 姐=2）昭|・则（7的方程为＜）11 T 丁*■* 1 x'2 .犷 y .工” y .匕 A ' v .A . — + r = I玫一 + J 匸】匚一+ — = I& - -+ — = I232435 4-＞才空题；本题共4小題，霽小題5井，共20分.= ^x~ +扌片件点（0X ）牡的切纯方出为 ________________ .皿记比为等比數时就｝的斛丹顷和.若坷丄・衬=毎.则乂二 _______________________ .17. un 255 =【Rg 号学生 B 200号学生 C616号供主0415 v^tB. - ? ■ v'?i€-2"D 2 + V3■右— 的程序帼用.圈屮空口框屮应塡入］■応础戟（？:二—吴三财＞0上M ）的一柚f 近线的幢料角为口0 .则匕的离心莘为＜ abA. 2 sin 4(}B. 2 cos 40sin 50D. ---------cos 502 + 4CA =1*2#甲2/515 医靈/(P v)=siml v 4-—)-Jcnsx 的瑕小恆为_______________________值已如ZJCB二90’・P为芈迪A&C外规FC = 2 ■点尸到^ACB两边"G AB的距离均A I J5.廉么P到辛祈冲占“的护离为 ______________________ .三i離答孤共7C^解答內写出文字说馭证明讨幻走洁草梅第1严21孤为必老黑.岛个试耶不生都必须件答“第2氛刀就为选青！L电生觸据聲求作答.C-)必书迩；60分*17.(1Z 时)臬南场为提1W务櫛孟驰机调查了和粕男贼客神疔「窑立顒罂毎忖蹊客村谨商场恂审务给出満总戍平满意的泮比眸到下列列联祐D分別估计职女岡客对谐商场服务满强的槪執C2)能否有95%的把握认為?b女陵第对谁斷炀服务的评价有館异? 附宀——凹」竺——(tj + h)(c^-ii )(/T-*-L')(/J +18 <12 ^f)记&为零龙:数列®」的前舟驷h曲0罠=—令*1> 阻％軒帆｝他通项公戌*(2)若>?0・頼購£ 土斗術I刀取苟小范鬧.立理數学13 / 3619. (12如& 豐四變柱ABCD -叫垃3的旳如辛菱厢-AA,= 4 (AH-2. r£4匚*分别晁/?「.11歇..4、D的中点.[D 证I则v.w/TmcDFi[?＞求点＜到平[tic,n£的距离,竹、Ml 朗数 f (x) - 2 sin v - .vcos x~x , f f(x)为f(x)的冷 ft.[|＞证罔：_f{-r)托IK间®.JT)存序吋-话点t⑵占上£[0卫]时，/(.r)＞ax T求“的収價小也囤20, ＜12 分)已姐山彳.F艾尸叶函:口。

2019全国硕士研究生考研数学一真题及答案解析(官方）一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则=k A.1. B.2. C.3.D.4.2.设函数⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x x x x x f 则0=x 是)(x f 的A.可导点，极值点.B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点.D.不可导点，非极值点.3.设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是A..1∑∞=n n nu B.nn nu 1)1(1∑∞=-. C.∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111n n n u u . D.()∑∞=+-1221n n n u u.4.设函数2),(y xy x Q =，如果对上半平面（0>y ）内的任意有向光滑封闭曲线C 都有⎰=+Cdy y x Q dx y x P 0),(),(，那么函数),(y x P 可取为A.32yx y -.B.321yx y -. C.y x 11-. D.yx 1-. 5.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+，且4=A ，则二次型Ax x T 的规范形为A.232221y y y ++.B.232221y y y -+.C.232221y y y --.D.232221y y y ---.6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程)3,2,1(321==++i d z a y a x a i i i i组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A A ,，则A..3)(,2)(==A r A rB..2)(,2)(==A r A rC..2)(,1)(==A r A rD..1)(,1)(==A r A r7.设B A ,为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是 A.).()()(B P A P B A P += B.).()()(B P A P AB P = C.).()(A B P B A P = D.).()(B A P AB P =8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2σμN ，则{}1<-Y X P A.与μ无关，而与2σ有关. B.与μ有关，而与2σ无关. C.与2,σμ都有关. D.与2,σμ都无关.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. 9. 设函数)(u f 可导，,)sin (sin xy x y f z +-=则yz cosy x z cosx ∂∂⋅+∂∂⋅11= . 10. 微分方程02'22=--y y y 满足条件1)0(=y 的特解=y .11. 幂级数nn n x n ∑∞=-0)!2()1(在)0∞+，（内的和函数=)(x S .12. 设∑为曲面)0(44222≥=++z z y x 的上侧，则dxdy z x z⎰⎰--2244= .13. 设），，（321αααA =为3阶矩阵.若21αα，线性无关，且2132ααα+-=，则线性方程组0=x A 的通解为 .14. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其他，020,2)(x xx f ）（x F 为X 的分布函数，X E 为X 的数学期望，则{}=->1X X F P E ）（ . 三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）设函数)(x y 是微分方程2'2x e xy y -=+满足条件0)0(=y 的特解.（1）求)(x y ；（2）求曲线)(x y y =的凹凸区间及拐点.16.（本题满分10分）设b a ,为实数，函数222by ax z ++=在点（3，4）处的方向导数中，沿方向j i l 43--=的方向导数最大，最大值为10.（1）求b a ,；（2）求曲面222by ax z ++=（0≥z ）的面积.17.求曲线)0(sin ≥=-x x e y x与x 轴之间图形的面积.18.设dx x x a n n ⎰-=1021，n =（0，1，2…）（1）证明数列{}n a 单调减少，且221-+-=n n a n n a （n =2，3…） （2）求1lim-∞→n nn a a .19.设Ω是锥面())10()1(2222≤≤-=-+z z y x 与平面0=z 围成的锥体，求Ω的形心坐标.20.设向量组TT T a )3,,1(,)2,3,1(,)1,2,1(321===ααα，为3R 的一个基，T)1,1,1(=β在这个基下的坐标为Tc b )1,,(.（1）求c b a ,,.（2）证明32,a a ，β为3R 的一个基，并求,,32a a β到321,,a a a 的过度矩阵.21.已知矩阵⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----=20022122x A 与⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=y B 00010012相似（1）求y x ,.（2）求可可逆矩阵P ，使得.1B AP P =-22.设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为{}{}),10(,11,1<<-===-=p p Y P p Y P 令XY Z =（1）求z 的概率密度.（2）p 为何值时，X 与Z 不相关. （3）X 与Z 是否相互独立?23.（本题满分11分） 设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=,0,2)(),(222μμσσA σx x u x e x f 其中μ是已知参数，0>σ是未知参数，A 是常数，n X …X X ，，21来自总体X 的简单随机样本.（1）求A ；（2）求2σ的最大似然估计量2019年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析1.C2.B3.D4.D5.C6.A7.C8.A9.yx x y cos cos + 10.23-x e 11.x cos 12.332 13. ，T)1,2,1(-k k 为任意常数. 14.3215. 解：（1）)()()(2222c x ec dx e ee x y x xdxx xdx+=+⎰⎰=---⎰，又0)0(=y ，故0=c ，因此.)(221x xex y -=（2）22221221221)1(x x x ex ex ey ----=-='，222221221321221)3()3()1(2x x x x ex x ex x xe x xey -----=-=---=''，令0=''y 得3,0±=x所以，曲线)(x y y =的凹区间为)0,3(-和),3(+∞，凸区间为)3,(--∞和)3,0(,拐点为)0,0(，)3,3(23---e，)3,3(23-e .16. 解：（1）)2,2(by ax z =grad ，)8,6()4,3(b a z =grad ，由题设可得，4836-=-ba ，即b a =，又()()108622=+=b a z grad ，所以，.1-==b a（2）dxdy y z x z S y x ⎰⎰≤+∂∂+∂∂+=22222)()(1=dxdy y x y x ⎰⎰≤+-+-+22222)2()2(1 =dxdy y x y x ⎰⎰≤+++22222441 =ρρρθπd d ⎰⎰+202241=20232)41(1212ρπ+⋅=.313π 17.18.19.由对称性，2,0==y x ，⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--===ΩΩ102102101)1()1(dz z dz z z dxdy dz dxdy zdz dv zdv z zzD D ππ=.4131121)1()1(1212==--⎰⎰dz z dz z z20.（1）123=b c βααα++即11112311231b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得322a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩.（2）()23111111=331011231001ααβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，所以()233r ααβ=，，，则23ααβ，，可为3R 的一个基.()()12323=P αααααβ，，，，则()()1231231101=0121002P ααβααα-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，，，，.21.（1）A 与B 相似，则()()tr A tr B =，A B =，即41482x y x y -=+⎧⎨-=-⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩（2）A 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=20α⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；2=1λ-，22=10α-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；3=2λ-，31=24α-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.所以存在()1123=P ααα,,，使得111212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. B 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=00ξ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭；2=1λ-，21=30ξ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；3=2λ-，30=01ξ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.所以存在()2123=P ξξξ,,，使得122212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 所以112211=P AP P AP --=Λ，即1112112B P P APP P AP ---== 其中112111212004P PP --⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 22.解：（I ）Z 的分布函数(){}{}{}{}(){},1,11F z P XY z P XY z Y P XY z Y pP X z p P X z =≤=≤=-+≤==≥-+-≤从而当0z ≤时，()zF z pe =；当0z >时，()()()()1111z z F z p p e p e --=+--=--则Z 的概率密度为()(),01,0zzpez f z p e z -⎧<⎪=⎨->⎪⎩. （II ）由条件可得()()()()()()()()()22E XZ E X E Z E X E Y E X E Y D X E Y -=-=，又()()1,12D X E Y p ==-，从而当12p =时，(),0Cov X Z =，即,X Z 不相关.（III ）由上知当12p ≠时，,X Z 相关，从而不独立；当12p =时，121111111111,,,,2222222222112P X Z P X XY P X X P X X F e -⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤=≤≤=≤≥-+≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭而12112P X e -⎧⎫≤=-⎨⎬⎩⎭，121111112222222P Z P X P X e -⎛⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤=≤+≥-=-⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭，显然1111,2222P X Z P X P Z ⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤≠≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，即,X Z 不独立. 从而,X Z 不独立. 23. 解：（I ）由()2221x Aedx μσμσ--+∞=⎰t =201t e dt +∞-==⎰，从而A =（II ）构造似然函数()()22112212,,1,2,,,,,,0,ni i n x i n A e x i nL x x x μσμσσ=--⎧∑⎛⎫⎪≥= ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩其他，当时，取对数得()22211ln ln ln 22nii n L n A x σμσ==---∑，求导并令其为零，可得()22241ln 1022ni i d L n x d μσσσ==-+-=∑，解得2σ的最大似然估计量为()211n i i x n μ=-∑.,1,2,,i x i nμ≥=。

2019年全国硕士入学统考数学（一）试题及解析一、填空题〔此题共6小题，每题4分，总分值24分.把答案填在题中横线上〕〔1〕)1ln(12)(cos lim x x x +→=e1.【分析】∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】)1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ， 故原式=.121ee=-【详解2】因为2121lim)1ln(1)1(cos lim 22020-=-=+⋅-→→x xx x x x ， 因此原式=.121ee=-〔2〕曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x . 【分析】待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程,而切点坐标可依照曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】令22),,(y x z z y x F --=，那么x F x 2-='，y F y 2-='，1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，那么切平面的法矢量为}1,2,2{00y x --，其与平面042=-+z y x 平行，因此有 11422200-=-=-y x ， 可解得2,100==y x ，相应地有.520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即542=-+z y x .〔3〕设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，那么2a =1.【分析】将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，其系数计算公式为⎰=ππ0cos )(2nxdx x f a n .【详解】依照余弦级数的定义，有x d x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ=⎰⋅-πππ2]22sin 2sin [1xdx x xx=⎰⎰-=πππππ]2cos 2cos [12cos 1xdx xx x xd=1.〔4〕从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132. 【分析】n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足 [nβββ,,,21 ]=[nααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[121],,,-n ααα [],,,21n βββ .【详解】依照定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡- 〔5〕设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=那么=≤+}1{Y X P 41. 【分析】二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.【详解】由题设，有=≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=-⎰dx x x y 1 D O211x 〔6〕)1,(μ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40(cm)，那么μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39(.(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ 【分析】方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行可能，可依照)1,0(~1N nX μ-，由αμα-=<-1}1{2u nX P 确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间. 【详解】由题设，95.01=-α，可见.05.0=α因此查标准正态分布表知.96.12=αu 此题n=16,40=x ,因此，依照95.0}96.11{=<-nX P μ，有 95.0}96.116140{=<-μP ，即95.0}49.40,51.39{=P ，故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39(.【二】选择题〔此题共6小题，每题4分，总分值24分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内〕〔1〕设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如下图，那么f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D)三个极小值点和一个极大值点.[C]yOx【分析共4.【3个，而x=0那么是导数不存在的点.一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).〔2〕设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,那么必有(A)n n b a <对任意n 成立.(B)n n c b <对任意n 成立. (C)极限n n n c a ∞→lim 不存在.(D)极限n n n c b ∞→lim 不存在.[D]【分析】此题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可马上排除(A),(B)；而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，那么可马上排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).〔3〕函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，那么 (A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D)依照所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.[A]【分析】由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零依旧变号.【详解】由1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0,且222)(),(y x xy y x f +≈-y x ,(充分小时〕，因此.)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈-可见当y=x 且x 充分小时，04)0,0(),(42>+≈-x x f y x f ；而当y=-x 且x 充分小时，04)0,0(),(42<+-≈-x x f y x f .故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).〔4〕设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，那么 (A)当s r <时，向量组II 必线性相关.(B)当s r >时，向量组II 必线性相关. (C)当s r <时，向量组I 必线性相关.(D)当s r >时，向量组I 必线性相关. [D]【分析】此题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：假设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，那么当s r >时，向量组I 必线性相关.或其逆否命题：假设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，那么必有s r ≤.可见正确选项为(D).此题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，那么21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，那么21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C).故正确选项为(D).〔5〕设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题： ①假设Ax=0的解均是Bx=0的解，那么秩(A)≥秩(B)； ②假设秩(A)≥秩(B)，那么Ax=0的解均是Bx=0的解； ③假设Ax=0与Bx=0同解，那么秩(A)=秩(B)； ④假设秩(A)=秩(B)，那么Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的选项是 (A)①②.(B)①③. (C)②④.(D)③④.[B]【分析】此题也可找反例用排除法进行分析，但①②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③与④，迅速排除不正确的选项.【详解】假设Ax=0与Bx=0同解，那么n-秩(A)=n-秩(B),即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可排除(A),(C)；但反过来，假设秩(A)=秩(B)，那么不能推出Ax=0与Bx=0同解，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ，那么秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除(D),故正确选项为(B).〔6〕设随机变量21),1)((~X Y n n t X =>，那么 (A))(~2n Y χ.(B))1(~2-n Y χ. (C))1,(~n F Y .(D)),1(~n F Y .[C] 【分析】先由t 分布的定义知nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，再将其代入21XY =，然后利用F 分布的定义即可. 【详解】由题设知，nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，因此21XY ==122U n V U n V =，那个地方)1(~22χU ，依照F 分布的定义知).1,(~12n F X Y =故应选(C). 三、〔此题总分值10分〕过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及x 轴围成平面图形D. (1) 求D 的面积A;(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积V.【分析】先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A;旋转体体积可用一大立体〔圆锥〕体积减去一小立体体积进行计算，为了关心理解，可画一草图.【详解】(1)设切点的横坐标为0x ，那么曲线y=lnx 在点)ln ,(00x x 处的切线方程是).(1ln 000x x x x y -+= 由该切线过原点知01ln 0=-x ，从而.0e x =因此该切线的方程为.1x ey =平面图形D 的面积⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y 〔2〕切线x ey 1=与x 轴及直线x=e 所围成的三角形绕直线x=e 旋转所得的圆锥体积为.3121e V π=曲线y=lnx 与x 轴及直线x=e 所围成的图形绕直线x=e 旋转所得的旋转体体积为dy e e V y 212)(⎰-=π，因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππy1 D O1ex四、将函数x x f 21arctan )(+=∑∞=+-012)1(n n n 的和.【分析】幂级数展开有直截了当法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用幂级数展开的情形。