1.4利用轴对称解决最短路径问题(2014年)

13.4轴对称之最短路径问题人教版2024—2025学年八年级上册二、例题讲解例1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知线段AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE最小？最小为多少？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式的最小值．变式1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8．（1）请问点C什么位置时AC+CE的值最小？最小值为多少？（2）设BC＝x，则AC+CE可表示为，请直接写出的最小值为．例2.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A．B．C．D．变式1.如图，在⊥ABC中，BA＝BC，BD平分⊥ABC，交AC于点D，点M、N 分别为BD、BC上的动点，若BC＝10，⊥ABC的面积为40，则CM+MN的最小值为．变式2.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF 上一动点，则⊥CDM的周长的最小值为（）A．7B．8C．9D．10变式3.如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．（1）点D的坐标为；（2）若E为边OA上的一个动点，当⊥CDE的周长最小时，求点E的坐标．例3.如图，⊥AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若⊥PMN的周长是6cm，则P1P2的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm变式1.已知点P在⊥MON内．如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P 关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．（1）若⊥MON＝50°，求⊥GOH的度数；（2）如图2，若OP＝6，当⊥P AB的周长最小值为6时，求⊥MON的度数．变式2.如图，⊥MON＝45°，P为⊥MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当⊥P AB的周长取最小值时，⊥APB的度数为（）A．45°B．90°C．100°D．135°变式3.如图，⊥AOB＝30°，P是⊥AOB内的一个定点，OP＝12cm，C，D分别是OA，OB上的动点，连接CP，DP，CD，则⊥CPD周长的最小值为．变式4.如图，在五边形中，⊥BAE＝140°，⊥B＝⊥E＝90°，在边BC，DE上分别找一点M，N，连接AM，AN，MN，则当⊥AMN的周长最小时，求⊥AMN+⊥ANM 的值是（）A．100°B．140°C．120°D．80°例4.如图，在⊥ABC中，AB＝AC，⊥A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，⊥DNM+⊥EMN的大小是（）A．45°B．90°C．75°D．135°变式1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（4，0），C（m+2，2），D（m，2），当四边形ABCD的周长最小时，m的值是（）A．B．C．1D．变式2.如图，在四边形ABCD中，⊥B＝90°，AB⊥CD，BC＝3，DC＝4，点E 在BC上，且BE＝1，F，G为边AB上的两个动点，且FG＝1，则四边形DGFE 的周长的最小值为．例5.如图，⊥AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记⊥MPQ＝α，⊥PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10°B．20°C．40°D．60°变式1.如图，∠AOB＝20°，M，N分别为OA，OB上的点，OM＝ON＝3，P，Q分别为OA，OB上的动点，求MQ+PQ+PN的最小值。

13.4课题学习：最短路径问题教学目标：1.理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定。

2.能利用轴对称平移解决实际问题中路径最短的问题。

3.通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。

教学重点：将实际问题转化成数学问题，运用轴对称平移解决生活中路径最短的问题，确定出最短路径的方法。

教学难点：探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及原理。

导学过程：一、创设情景，引入新知。

前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究实际生活中的最短路径问题。

二、自主学习，探究新知。

问题1 话说灰太狼从羊村落魄回来途中，不小心掉进茅厕坑，为了不让老婆看到自己落魄不堪的样子，于是决定去河边先洗个澡，冲洗掉身上的脏物，然后再回家，如图所示，请你设计一种路线，教教可怜的灰太狼，告诉他走那条路线回家最近吗？茅厕河边你能将这个问题抽象为数学问题吗？追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 将A ，B 两地抽象为两个点，将河ｌ 抽象为一条直线．追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？（1）从A 地出发，到河边ｌ洗澡，然后到B 地；（2）在河边洗澡的地点有无穷多处，把这些地点与A ，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到洗澡地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线ｌ上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在ｌ 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）．问题2 如图，点A ，B 在直线ｌ 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在ｌ 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？我们不妨先考略这个问题:·Aｌ如图，点A，B 在直线ｌ的异侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在ｌ的什么位置时，AC 与CB 的和最小？·B追问1 对于问题2，如何将点B“移”到ｌ的另一侧B′处，满足直线ｌ上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？追问2 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？作法：（1）作点B 关于直线ｌ的对称点B′；（2）连接AB′，与直线ｌ相交于点C．则点C 即为所求．问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？证明：如图，在直线ｌ上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′．∴AC +BC= AC +B′C = AB′，AC′+BC′= AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC +BC＜AC′+BC′．即AC +BC 最短．追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？三、课堂小结（1）本节课你有什么收获？（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？四、课堂练习：1.如图：点A和点B分别在直线ｌ的异侧，在直线ｌ上求作一点C使AC+BC最小.A·ｌB·2.如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短.3.如下图，牧马营地在点p处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃草，再到河边b饮水，最后回到营地，请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短.4.如图，<AOB内有两点P，Q，在OA、OB上分别找一点M、N，使四边形PQMN的周长最小。

轴对称最短路径问题7种类型
轴对称最短路径问题是一种经典的计算几何问题，其目标是在给定图形中找到从起点到终点的最短路径。

根据不同的条件和限制，轴对称最短路径问题可以分为以下七种类型：
1. 简单轴对称最短路径问题：给定一个轴对称图形，起点和终点分别位于对称轴的两侧，求最短路径。

2. 带有障碍物的轴对称最短路径问题：在轴对称图形中存在一些障碍物，起点和终点在障碍物两侧，求最短路径。

3. 多个起点和终点的轴对称最短路径问题：给定多个起点和终点，每个起点和终点都在对称轴的两侧，求所有起点到所有终点的最短路径。

4. 带有权值的轴对称最短路径问题：在轴对称图形中，不同的点或边具有不同的权值，求起点到终点的最短路径。

5. 动态规划解决轴对称最短路径问题：使用动态规划算法解决轴对称最短路径问题，将问题分解为子问题，逐步求解。

6. A*搜索算法解决轴对称最短路径问题：使用A*搜索算法，通过估价函数指导搜索方向，加速求解速度。

7. 双向搜索解决轴对称最短路径问题：从起点和终点同时进行搜索，通过比较两个方向的搜索结果得到最短路径。

以上七种类型是轴对称最短路径问题的常见分类，每种类型都有其特定的解决方法，需要根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。

A
a 3、连接PA，PB，由对称轴 的性质知，PA= P1A，
P1
PB=P2B
∴先到点A处吃草，再到点B
处饮水，最后回到营地，
这时的放牧路线总路程最
短，即 (PB+BA+AP)min
• 证明：
P2
b ∵ PA1+A1B1+B1P
B1 B
.P
河
= P1A1+A1B1+B1P2 > P1A+AB+BP2
前面和右面
D D1
③
A 1 A1
C1
2
4
B1
AC1 =√52+22 =√29
左面和上面
• 1、如图是一个长方体木块，已知 AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁 在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 7 4 。
D
4
C
A
5
B3
• 2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点 与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽 度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面 圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的 最小值为 10cm 。
在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B
的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥
要与河垂直）
.A M
作法： 1、将点B沿垂直与河岸的方
向平移一个河宽到E
N
2、. E连接AE交河对岸与点M,则
.点BM为建桥的位置，MN为 所建的桥。
A C
M ND E
B
• 证明： ∵ AC+CD+DB = AC+CD+CE = AC+CE+CD > AE+CD = AM+ME+CD = AM+NB+MN ∴ AC+CD+DB > AM+NB+MN