Richard组合数学第5版-第4章课后习题答案(英文版)

应⽤回归分析,第4章课后习题参考答案第4章违背基本假设的情况思考与练习参考答案4.1 试举例说明产⽣异⽅差的原因。

答：例4.1：截⾯资料下研究居民家庭的储蓄⾏为Y i=?0+?1X i+εi其中：Y i表⽰第i个家庭的储蓄额，X i表⽰第i个家庭的可⽀配收⼊。

由于⾼收⼊家庭储蓄额的差异较⼤，低收⼊家庭的储蓄额则更有规律性，差异较⼩，所以εi的⽅差呈现单调递增型变化。

例4.2：以某⼀⾏业的企业为样本建⽴企业⽣产函数模型Y i=A i?1K i?2L i?3eεi被解释变量：产出量Y，解释变量：资本K、劳动L、技术A，那么每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。

由于每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异⽅差性。

这时，随机误差项ε的⽅差并不随某⼀个解释变量观测值的变化⽽呈规律性变化，呈现复杂型。

4.2 异⽅差带来的后果有哪些？答：回归模型⼀旦出现异⽅差性，如果仍采⽤OLS估计模型参数，会产⽣下列不良后果：1、参数估计量⾮有效2、变量的显着性检验失去意义3、回归⽅程的应⽤效果极不理想总的来说，当模型出现异⽅差性时，参数OLS估计值的变异程度增⼤，从⽽造成对Y的预测误差变⼤，降低预测精度，预测功能失效。

4.3 简述⽤加权最⼩⼆乘法消除⼀元线性回归中异⽅差性的思想与⽅法。

答：普通最⼩⼆乘估计就是寻找参数的估计值使离差平⽅和达极⼩。

其中每个平⽅项的权数相同，是普通最⼩⼆乘回归参数估计⽅法。

在误差项等⽅差不相关的条件下，普通最⼩⼆乘估计是回归参数的最⼩⽅差线性⽆偏估计。

然⽽在异⽅差的条件下，平⽅和中的每⼀项的地位是不相同的，误差项的⽅差⼤的项，在残差平⽅和中的取值就偏⼤，作⽤就⼤，因⽽普通最⼩⼆乘估计的回归线就被拉向⽅差⼤的项，⽅差⼤的项的拟合程度就好，⽽⽅差⼩的项的拟合程度就差。

由OLS 求出的仍然是的⽆偏估计，但不再是最⼩⽅差线性⽆偏估计。

所以就是：对较⼤的残差平⽅赋予较⼩的权数，对较⼩的残差平⽅赋予较⼤的权数。

第1章习题1.1(2) 简单命题（3），（4），（5）不是命题(6) 复合命题1.5p∧，其中，p：2是偶数，q：2是素数。

（1）qp→，其中，p：天下大雨，q：他乘公共汽车上班（5）qq→，其中，p，q的含义同（5）（6）pq→，其中，p，q的含义同（5）（7）p1.7（1）对（1）采用两种方法判断它是重言式。

真值表法表1.2给出了（1）中公式的真值表，由于真值表的最后一列全为1，所以，（1）为重等值演算法→)p∨∨q(rp∨⇔（蕴含等值式）∨⌝qp∨(r)p∨⌝⇔)(（结合律）p∨∨rqp⇔1（排中律）∨rq∨⇔（零律）1由最后一步可知，（1）为重言式。

（3）用等值演算法判（3）为矛盾式(→⌝)p∧qq⌝⇔)(（蕴含等值式）⌝q∨qp∧⇔（德·摩根律）⌝∧p∧qq∧⇔（结合律）⌝(q)qp∧0∧⇔p （矛盾律）0⇔（零律）由最后一步可知，（3）为矛盾式。

（10）非重言式的可满足式 1.8（1）从左边开始演算)()(q p q p ⌝∧∨∧)(q q p ⌝∨∧⇔ （分配律）1∧⇔p （排中律） .p ⇔ （同一律）（2）从右边开始演算)(r q p ∧→)(r q p ∧∨⌝⇔ （蕴含等值式） )()(r p q p ∨⌝∧∨⌝⇔ （分配律） ).()(r p q p →∧→⇔ （蕴含等值式）1.9（1）))((p q p →∧⌝ ))((p q p ∨∧⌝⌝⇔ （蕴含等值式）p q p ⌝∧∧⇔（德·摩根律） q p p ∧⌝∧⇔)(（结合律、交换律）q ∧⇔0 （矛盾式）.0⇔（零律）由最后一步可知该公式为矛盾式。

（2）)())()((q p p q q p ↔↔→∧→)()(q p q p ↔↔↔⇔（等价等值式）由于较高层次等价号两边的公式相同，因而此公式无成假赋值，所以，它为重言式。

1.12 (1) 设(1)中公式为A.)())((r q p r q p A ∧∧→∧∨⇔ )())((r q p r q p A ∧∧∨∧∨⌝⇔)()(r q p r q p A ∧∧∨⌝∨⌝∧⌝⇔ )()()(r q p r p q p A ∧∧∨⌝∧⌝∨⌝∧⌝⇔)())(())((r q p r q q p r r q p A ∧∧∨⌝∧⌝∨∧⌝∨∨⌝∧⌝∧⌝⇔)()()()()(r q p r q p r q p r q p r q p A ∧∧∨⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝⇔)()()()(r q p r q p r q p r q p A ∧∧∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝⇔7210m m m m A ∨∨∨⇔于是,公式A 的主析取范式为7210m m m m ∨∨∨易知,A 的主合取范式为6543M M M M ∨∨∨A 的成真赋值为000, 001, 010, 111A 的成假赋值为011,100,101,110(2)设(2)中公式为B)()(p q q p B ∨⌝→→⌝⇔ )()(p q q p ∨⌝→∨⌝⌝⇔ )()(p q q p ∨⌝→∨⇔ )()(p q q p ∨⌝∨∨⌝⇔ p q q p ∨⌝∨⌝∧⌝⇔)())(())(()(q q p q p p q p ⌝∨∧∨⌝∧⌝∨∨⌝∧⌝⇔)()()()()(q p q p q p q p q p ∧∨⌝∧∨⌝∧∨⌝∧⌝∨⌝∧⌝⇔ )()()(q p q p q p ∧∨⌝∧∨⌝∧⌝⇔320m m m ∨∨⇔所以,B 的主析取范式为320m m m ∨∨.B 的主合取范式为1M B 的成真赋值为00,10,11. B 的成假赋值为01. 1.14 设p:A 输入;设q:B 输入; 设r:C 输入;由题的条件,容易写出C B A F F F ,,的真值表,见表1.5所示.由真值表分别写出它们的主析范邓范式,而后,将它们都化成与之等值的}{↓中的公式即可.)()()()(r q p r q p r q p r q p F A ∧∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨⌝∧⌝∧⇔)()()()(r r q p r r q p ∨⌝∧∧∨∨⌝∧⌝∧⇔)()(q p q p ∧∨⌝∧⇔ )(q q p ∨⌝∧⇔ p ⇔)()(r q p r q p F B ∧∧⌝∨⌝∧∧⌝⇔)()(r r q p ∨⌝∧∧⌝⇔ )(q p ∧⌝⇔ )(q p ∧⌝⌝⌝⇔ )(q p ⌝∨⌝⇔q p ⌝↓⇔)(q q p ↓↓⇔. )(r q p F C ∧⌝∧⌝⇔r q p ∧∨⌝⇔)(r q p ∧↓⇔)( ))((r q p ∧↓⌝⌝⇔ ))((r q p ⌝∨↓⌝⌝⇔ r q p ⌝↓↓⌝⇔)()())()((r r q p q p ↓↓↓↓↓⇔1．19 (1)证明 ①r q ∨⌝ 前提引入②r ⌝ 前提引入③q ⌝ ①②析取三段论 ④)(q p ⌝∧⌝ 前提引入 ⑤q p ∨⌝ ④置换⑥p ⌝ ③⑤析取三段论 (2)附加前提证明法：证明 ①r 附加前提引入 ②r p ⌝∨ 前提引入③p ①②析取三段论④)(s q p →→ 前提引入 ⑤s q → ③④假言推理 ⑥q 前提引入 ⑦s ⑤⑥假言推理 (5)归缪法：证明 ①q 结论的否定引入②s r ∨⌝ 前提引入 ③s ⌝ 前提引入④r ⌝ ②③析取三段论 ⑤r q p →∧)( 前提引入 ⑥)(q p ∧⌝ ④⑤拒取式 ⑦q p ⌝∨⌝ ⑥置换⑧p 前提引入⑨q ⌝ ⑦⑧析取三段论 ⑩q q ⌝∧ ①⑨合取 ⑪0 ⑩置换 1.20 设p ：他是理科生q ：他是文科生 r ：他学好数学 前提 r p q r p ⌝→⌝→,,结论q通过对前提和结论的观察，知道推理是正确的，下面用构造证明法给以证明。

第2章 鸽巢原理2.4 练习题1、关于本节中的应用4，证明对于每一个=k 1，2，…，21存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完k 局棋（情形=k 21是在应用4中处理的情况）。

能否判断：存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完22局棋？证明：设i a 表示在前i 天下棋的总数若正好有i a =k ,则命题得证。

若不然,如下：∵共有11周，每天至少一盘棋，每周下棋不能超过12盘∴有 771≤≤i ，且13217721≤<<<≤a a a {}21,,2,1 ∈∀k 有kk a k a k a k +≤+<<+<+≤+13217721 观察以下154个整数：ka k a k a a a a +++77217721,,,,,,, 每一个数是1到k +132之间的整数，其中153132≤+k 由鸽巢原理，这154个数中至少存在两个相等的数∵7721,,,a a a 都不相等，k a k a k a +++7721,,, 都不相等∴j i ,∃，使i a =ka j +即这位国际象棋大师在第1+j ，2+j ，…，i 天总共下了k 盘棋。

综上所述，对于每一个=k 1，2，…，21存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完k 局棋。

□当k =22时，132+k =154，那么以下154个整数22,,22,22,,,,77217721+++a a a a a a在1到154之间。

ⅰ）若这154个数都不相同则它们能取到1到154的所有整数，必然有一个数是22∵2222>+i a ，771≤≤i ∴等于22的数必然是某个i a ，771≤≤i则在前i 天，这位国际象棋大师总共下了22盘棋。

ⅱ）若这154个数中存在相同的两个数∵7721,,,a a a 都不相等，k a k a k a +++7721,,, 都不相等∴j i ,∃，使i a =ka j +即这位国际象棋大师在第1+j ，2+j ，…，i 天总共下了k 盘棋。