一矩阵初等变换及其应用
1.两个矩阵的等价
定义：若矩阵A经过一系列初等行变换化为矩阵B，则称A与B行等价；若经过一系列初等列变换，则称为A与B列等价。若矩阵A经过一系列初等变换化为矩阵B，
则称A与B等价(相抵)，记为A->B.
定理：任意m*n矩阵A总可以经初等行变换化成行阶梯型矩阵及行最简型矩阵。
应用：求一个矩阵的秩；求线性无关组；判断矩阵是否可逆。
2.两个矩阵的乘积
条件：例如，A*B，那么A的列数必须等于B的行数。C(m*p)=A(m*n)B(n*p),
注意事项：A*B一般不等于B*A，即矩阵乘法不具有交换律。但n阶单位矩阵E和任何n阶方阵乘法可交换。
3.将矩阵化为行阶梯型、行最简型、标准型
化为行阶梯型：反复对矩阵进行三种初等行变换，直到矩阵满足行阶梯型矩阵的形式。
化为行最简型：在矩阵已经化为行阶梯型的基础上将首非零元化为“1”
4.求矩阵的秩
将矩阵化为行阶梯型矩阵，其秩为非零行行数。
5求可逆矩阵的逆矩阵
如果矩阵A可逆，求其逆矩阵，可构造矩阵（A|E），用处等行变换将其化为（E|B）的形式，其中B就是A的逆矩阵。
6.求线性方程组的解
对于n元线性方程组Ax=b，先判断R（A）是否等于R（B）,B为增广矩阵。
有解的充要条件是R（A）=R（B）；有唯一解的充要条件是R(A)=R(B)=n；
有无穷多个解的充要条件是R(A)=R(B)将系数矩阵化为最简阶梯型矩阵，写出与原方程组等价的方程组，再根据具体情况分析求解。
7.判断向量组的线性相关性
向量组a1,a2,…..,am线性相关的充要条件是它构成的矩阵A=（a1,a2,……am）的秩小于向量个数m；线性无关的充要条件是R(A)=m。
如果一个向量组的某个部分组线性相关，那么该向量组必线性相关。
当m>n时，m个n维向量组成的向量组a1,a2,…..am,一定线性相关。
含有零向量的向量组一定线性相关。
8.求向量组的极大无关组与秩
设向量组T的一个部分组a1,a2,….,ar,满足
1．a1,a2,…..,ar线性无关。
2．向量组T中每一个向量都可以由a1,a2,……ar线性表示。
则称a1,a2,…..ar是向量组T的一个极大线性无关组，其中所含向量的个数称为该向量组的秩。
求法：
1.将a1,a2,…..ar,按列排成矩阵A。
2.对A进行有限次初等行变换化为阶梯型矩阵J。
3.该向量组的极大线性无关组是J的各个首非零元所在列对应的向量组成。
9.求矩阵的对角化矩阵（采用行初等变换，对角线元素为特征值）
1.先求矩阵A的特征值a1,a2,….,an.
2.求（aiE-A）x=0的基础解系b1,b2,….bt.
3.令P=（b1,b2,….bt）,P^-1AP=∧,矩阵∧主对角线上的值对应于A的特征值。
10.分块矩阵的初等变换
类似与普通矩阵的初等变换.
二．高等代数在实际中的应用举例见纸质版
