二元函数及其偏导数的几何意义.doc

第二节 偏导数教学目的：使学生了解偏导数的概念及其几何意义；熟练掌握一阶及二阶偏导数的计算方法;了解偏导数存在与函数连续的关系。

教学重点：一阶及二阶偏导数的计算 教学过程:一、偏导数的定义及其计算法对于二元函数z =f （x , y )， 如果只有自变量x 变化， 而自变量y 固定, 这时它就是x 的一元函数， 这函数对x 的导数， 就称为二元函数z =f (x , y ）对于x 的偏导数。

定义 设函数z =f （x ， y ）在点（x 0， y 0）的某一邻域内有定义， 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量∆x 时, 相应地函数有增量f （x 0+∆x ， y 0)-f (x 0, y 0）.如果极限x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在， 则称此极限为函数z =f （x , y ）在点(x 0， y 0)处对x 的偏导数, 记作00y y x x x z==∂∂, 00y y x x x f ==∂∂, 00y y x x x z ==, 或),(00y x f x .例如x y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0000000.类似地， 函数z =f （x ， y )在点(x 0， y 0）处对y 的偏导数定义为y y x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim 00000,记作 00y y x x y z ==∂∂, 00y y x x y f==∂∂, 0y y x x yz ==, 或f y （x 0, y 0).偏导函数: 如果函数z =f （x , y ）在区域D 内每一点(x ， y )处对x 的偏导数都存在， 那么这个偏导数就是x 、y 的函数, 它就称为函数z =f （x ， y )对自变量x 的偏导函数, 记作x z ∂∂, xf ∂∂， xz , 或),(y x f x 。

第二节二元函数的一阶、二阶偏导数一、二元函数的一阶偏导数1、在某点处的一阶偏导数——已知二元函数z f(x ，y) 在点(x ，y 0)处及其附近有定义，若一元函数zf(x ，y 0)在点x 0处对x 可导，则称此导数值为二元函数z f(x ，y)在点(x 0，y 0)处对x 的一阶偏导数，记作f x (x 0，y 0) ，或z x |xx 0，或y y 0 f(x 0，y 0)z；，或 |x x xx yy若一元函数zf(x ，y 0 )在点y 0处对y 可导，则称此导数值为二元函数z f (x ，y)在点(x 0，y 0)处对y 的一阶偏导数，记作 f y (x 0，y 0)，或z y |xx 0，或f(x 0，y 0)，或 y y y 0z x 0。

|x yy y 0 2、可导与连续关系：尽管在某点处两个一阶偏导数都存在，却不能保证在该点处连续。

3、在某区域上的一阶偏导数——若二元函数zf(x ，y)在区域E 上每一点(x ，y)处都有对x ，对y 的一阶偏导数，则对于区域 E 上每一点(x ，y)都有一个对x 的一阶偏导数值和一个对 y 的一阶偏导数值与之对应，于是得到两个新的二元函数，这两个新的二元函数分别称为z f (x ，y)对x ，对y 的一阶偏导函数，简称一阶偏导数，分别记作 f x (x ，y)，或z x ，或 f(x ，y) z，或 和f y (x ，y)，或z y ，或f(x ，y)，或z。

x x yy 二、二阶偏导数1、定义——二元函数 zf(x ，y)一阶偏导数的一阶偏导数称为二元函数z f (x ，y)的二阶偏导数，共有四个，分别记作f xx (x ，y) (f x (x ，y))x ，或z xx ，或 f 2(x ，y)2zx 2 ，或x 22，2f xy (x ，y) (f x (x ，y))y ，或z xy ，或f(x y)，或 z y x x y2 ，2f yx(x，y) (f y(x，y))x，或z yx，或f(x y)，或zy xx yf yy(x，y) (f y(x，y))y，或z yy，或f2(x，y)，或2z。

二元函数的偏导数求解及其相关性分析二元函数是指具有两个自变量的函数，通常表示为f(x,y)，其中x和y分别是自变量，而f(x,y)则是对应的函数值。

对于这种函数，我们可以通过求偏导数来研究其性质和变化规律，这对于很多与数学及物理相关的领域都非常重要。

本文将介绍二元函数的偏导数的基础概念和求解方法，并且分析偏导数与函数相关性的一些特征。

一、偏导数的基础概念偏导数指的是在一个多元函数中，对于一个自变量求导数时，将其他变量视为常数进行求导。

在二元函数中，如果我们想要求f(x,y)关于x的偏导数，可以将其它的自变量y视为常数，从而得到以下求导方式：∂f/∂x = lim Δx → 0 [ f(x+Δx,y) - f(x,y) ] / Δx其中，左边的符号∂表示对于x的偏导数，右边的分数等于根据函数在横坐标方向上的斜率求得。

类似的，我们也可以对于y方向求导，得到：∂f/∂y = lim Δy → 0 [ f(x,y+Δy) - f(x,y) ] / Δy这样，我们就得到了关于x和y的两个偏导数。

二、偏导数的求解方法有些二元函数可能比较简单，求导也比较容易。

但是，有些函数可能很复杂或者不易用解析式表示，这时候就需要一些不同的求导方法。

1. 分步求导法：即将一个多元函数看做由多个一元函数组合而成的，将每个一元函数都求偏导数，最后在将结果组合起来。

2. 隐函数求导法：此方法是用于确定变量之间存在某种特定的关系时。

首先，将这个关系用方程形式，然后用求导法得出对应的偏导数。

3. 参数方程法：当无法使用简单的方程描述函数时，我们可以使用参数方程替代，并且可以将一个变量的变化看做另一个变量的函数关系。

这时可以使用链式法则、乘积法则和商法则等方法求偏导数。

三、偏导数和相关性的分析偏导数可以体现出二元函数某些值或属性的变化趋势，这对于分析函数性质及其相关性是非常有用的。

下面将介绍一些关于偏导数和相关性的分析方法。

1. 偏导数符号的意义：如果偏导数为正值，意味着函数值随着变量的增长而增长；如果偏导数为负值，意味着函数值随着变量的增长而减少；如果偏导数为0，说明函数在这一点斜率为0，表查函数在这一点上取得了局部最大值或局部最小值。

8
z y
(1, 2)
lim
y 0
f (1, 2 y) f (1, 2) y
12 3(2 y) (2 y) 2 11 lim y 0 y
7
z f ( x x , y) f ( x , y) lim x x 0 x
想想是什么问题 ?
对多元函数来说,函数的偏导数
存在与否与函数的连续性无必然关系.
这是多元函数与一元函数的
一个本质区别.
下面讨论 偏导数的 计算方法
多元函数的偏导数的计算方法的某一个看成变量,其余的 n－1个 自变量均视为常数, 然后按一元函数
f z ( x, y , z ) ?
(请自己写出)
若函数 f ( x , y) 在点 ( x0 , y0 ) 处关于 变量 x 和 y 的偏导数均存在 , 则称函数 f ( x , y) 在点 ( x0 , y0 ) 处可偏导. 若函数 f ( x , y) 在区域 内的任一点 处均可偏导 , 则称函数 f ( x , y) 在区域 内可偏导. 与一元函数的情况类似, 函数在区域上 的偏导数构成一个偏导函数, 一般仍称为函 数在区域上的偏导数.
z y
(1, 2)
(3 x 2 y )
(1,2)
7
例2
解2 定义法
求 z x 2 3xy y 2 在点 (1, 2) 处的偏导数.
z x lim f (1 x, 2) f (1, 2) x
(1, 2)
x 0
(1 x)2 6(1 x) 4 11 lim x 0 x
z f ( x, y ) , , z y , f y ( x, y ) , f 2 y y