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偏导数得几何意义ﻫ实验目得：通过实验加深学生对偏导数定义得理解掌握偏导数得几何意义并从直观上理解二阶混合偏导数相等得条件ﻫ背景知识:一偏导数得定义在研究一元函数时、我们从研究函数得变化率引入了导数概念、对于多元函数同样需要讨论它得变化率、但多元函数得变化量不只一个,因变量与自变量得关系要比一元函数复杂得多、所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量得变化率，以二元函数= 为例，如果只有自变量变化,而自变量y固定(即瞧作常量），这时它就就是得一元函数,这函数对x 得导数，就称为二元函数ｚ对于得偏导数,即有如下定义定义设函数z= 在点得某一邻域内有定义，当y固定在，而在处有增量时,相应得函数有增量- ，如果（1)存在，则称此极限为函数＝在点处对得偏导数，记做, ，,或例如，极限(1)可以表为=类似得,函数z＝在点处对得偏导数定义为记做，，或如果函数= 在区域D内每一点( )处对得偏导数都存在，那么这个偏导数就就是得函数,它就称为函数= 对自变量得偏导函数,记做, ，,或类似得,可以定义函数= 对自变量得偏导函数,记做，，，或由偏导数得概念可知，在点处对得偏导数显然就就是偏导函数在点处得函数值，就像一元函数得导函数一样，以后在不至于混淆得地方也把偏导函数简称为偏导数、至于求=得偏导数,并不需要用新得方法，因为这里只有一个自变量在变动，另外一个自变量瞧作就是固定得,所以仍旧就是一元函数得微分法问题,求时,只要把暂时瞧作常量而对求导;求时，则只要把暂时瞧作就是常量，而对求导数、偏导数得概念还可以推广导二元以上得函数，例如三元函数在点（)处对得偏导数定义为=其中（)就是函数得定义域得内点，它们得求法也仍旧就是一元函数得微分法问题例求得偏导数解= ，=二偏导数得几何意义二元函数= 在点得偏导数得几何意义设为曲面= 上得一点,过点作平面,截此曲面得一曲线，此曲线在平面上得方程为= ,则导数，即偏导数，就就是这曲线在点处得切线对轴得斜率、同样,偏导数得几何意义就是曲面被平面所截得得曲线在点处得切线对得斜率三偏导数得几何意义我们知道,如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续，但对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续、这就是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴得方向趋于P 时，函数值趋于，但不能保证点Ｐ按任何方式趋于P 时,函数值都趋于、例如，函数= =｛在点（０，0）对得偏导数为同样有但就是我们在前面得学习中知道这函数在点（０，0)并不连续四二阶混合偏导数设函数= 在区域D内具有偏导数=, =那么在D内，都就是得函数、如果这里两个函数得偏导数也存在,则它们就是函数= 得二阶偏导数,按照对变量求导次序得不同有下列四个二阶偏导数:，，其中第二,第三个偏导数称为混合偏导数例2 设,求, ，，，从例子中，我们瞧到两个二阶混合偏导数相等,即,=我们再瞧用ｍaple作求得图形第一个图形为第二个图形为从图中我们瞧到两个连续得偏导函数，它们就是相等得这不就是偶然得,事实上我们有下述定理定理如果函数=得两个二阶混合偏导数及在区域D里连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必定相等换句话说，二阶混合偏导数在连续得条件下与求导得次序无关。
一、教学目标1. 知识与技能目标：（1）理解偏导数的概念，掌握偏导数的计算方法。
（2）学会运用偏导数求解多元函数的一阶偏导数和二阶偏导数。
（3）了解偏导数在实际问题中的应用。
2. 过程与方法目标：（1）通过实例分析，培养学生对偏导数的直观理解。
（2）通过实际问题，引导学生运用偏导数解决问题。
（3）培养学生分析问题、解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观目标：（1）激发学生对数学的兴趣，提高学生的数学素养。
（2）培养学生严谨、求实的科学态度。
（3）培养学生团结协作、勇于探索的精神。
二、教学内容1. 偏导数的概念及计算方法2. 偏导数的几何意义3. 偏导数的应用三、教学过程1. 导入新课通过实际问题引入偏导数的概念，如：求平面曲线在某点的切线斜率，激发学生的学习兴趣。
2. 偏导数的概念及计算方法（1）引导学生回顾导数的概念，类比一元函数的导数，引入偏导数的概念。
（2）通过实例讲解偏导数的计算方法，包括直接求导法和复合函数求导法。
（3）进行课堂练习，巩固所学知识。
3. 偏导数的几何意义（1）通过图形展示，让学生直观理解偏导数的几何意义。
（2）讲解偏导数与曲线切线斜率的关系，引导学生将偏导数应用于实际问题。
（3）进行课堂练习，巩固所学知识。
4. 偏导数的应用（1）通过实例讲解偏导数在求解多元函数极值、拐点等方面的应用。
（2）引导学生运用偏导数解决实际问题，如：求多元函数的最值、最优化问题等。
（3）进行课堂练习，巩固所学知识。
5. 总结与反思（1）回顾本节课所学内容，总结偏导数的概念、计算方法及应用。
（2）引导学生反思自己在学习过程中的收获与不足，提出改进措施。
6. 布置作业（1）完成课后练习题，巩固所学知识。
（2）思考偏导数在实际问题中的应用，撰写一篇小论文。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的学习态度、参与程度等。
2. 作业完成情况：检查学生完成课后练习题的情况，了解学生对知识的掌握程度。
3. 小论文：评价学生运用偏导数解决实际问题的能力。
偏导数的几何意义
偏导数的几何意义
实验目的：通过实验加深学生对偏导数定义的理解掌握偏导数的几何意义并从直观上理解二阶混合偏导数相等的条件
背景知识：
一偏导数的定义
在研究一元函数时.我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于多元函数同样需要讨论它的变化率.但多元函数的变化量不只一个,因变量与自变量的关系要比一元函数复杂的多.所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率,以二元函数= 为例,如果只有自变量变化,而自变量y固定(即看作常量),这时它就是的一元函数,这函数对x的导数,就称为二元函数z对于的偏导数,即有如下定义
定义设函数z= 在点的某一邻域内有定义,当y固定在,而在处有增量时,相应的函数有增量
- ,
如果 (1)
存在,则称此极限为函数= 在点处对的偏导数,记做
, , ,或
例如,极限(1)可以表为
=
类似的,函数z= 在点处对的偏导数定义为
记做, , 或
如果函数= 在区域D内每一点( )处对的偏导数都存在,那么这个偏导数就是的函数,它就称为函数= 对自变量的偏导函数,记做
, , ,或
类似的,可以定义函数= 对自变量的偏导函数,记做
, , ,或
由偏导数的概念可知, 在点处对的偏导数显然就是偏导函数在点处的函数值,就像一元函数的导函数一样,以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数.
至于求= 的偏导数,并不需要用新的方法,因为这里只有一个自变量在
变动,另外一个自变量看作是固定的,所以仍旧是一元函数的微分法问题,求
时,只要把暂时看作常量而对求导;求时,则只要把暂时看作是常量,而对求导数.
偏导数的概念还可以推广导二元以上的函数,例如三元函数在点( )处对的偏导数定义为
=
其中( )是函数的定义域的内点,它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题
例求的偏导数
解= ,
=
二偏导数的几何意义
二元函数= 在点的偏导数的几何意义
设为曲面= 上的一点,过点作平面,截此曲面得一曲线,此曲线在平面上的方程为= ,则导数
,即偏导数,就是这曲线在点处的切线对
轴的斜率.同样,偏导数的几何意义是曲面被平面所截得的曲
线在点处的切线对的斜率
三偏导数的几何意义
我们知道,如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续,但对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续.这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P 时,函数值趋于,但不能保证点P按任何方式趋于 P 时,函数值都趋于.例如,函数
= ={
在点(0,0)对的偏导数为
同样有
但是我们在前面的学习中知道这函数在点(0,0)并不连续
四二阶混合偏导数
设函数= 在区域D内具有偏导数
= , =
那么在D内, 都是的函数.如果这里两个函数的偏导数也存在,则它们是函数= 的二阶偏导数,按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数:
,
,
其中第二 ,第三个偏导数称为混合偏导数
例2 设,求, , ,
,
从例子中,我们看到两个二阶混合偏导数相等,即, =
我们再看用maple作求的图形
第一个图形为
第二个图形为
从图中我们看到两个连续的偏导函数，它们是相等的
这不是偶然的,事实上我们有下述定理
定理如果函数= 的两个二阶混合偏导数及在区域D里连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必定相等
换句话说,二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。
