第三章导数及其应用
【励志导学】
注意细节其实是一种功夫，这种功夫是靠日积月累培养出来的。谈到日积月累，就不能不涉及到习惯，
因为人的行为的95%都是受习惯影响的，在习惯中积累功夫，培养素质。爱因斯坦曾说过这样一句有意思的话：如果人们已经忘记了他们在学校里所学的一切，那么所留下的就是教育。”也就是说忘不掉的是真
正的素质”。而习惯正是忘不掉的最重要的素质之一。
微分和积分的思想在古代就已经产生了。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究
解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐
含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，我国古代的数学家庄周和刘
徽都做出了巨大的贡献。至厅十七世纪，有许多科学问题需要解决，如物体在研究运动
时，求即时速度的问题，求曲线的切线的问题，求函数的最大值和最小值问题。十七世
纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工
作，这也就成了促使微积分产生的因素，他们为微积分的创立做出了贡献。十七世纪下
半叶，在前人研究的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国
度里细心钻研，独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他
们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中
心问题），一个是求积问题（积分学的中心问题），微积分学的创立，极大地推动了数
学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，
运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。自己也奠定了在微积分理论方
面的坚实基础。
本章主要由三部分，导数的概念及其几何意义、导数的基本运算、导数在研究函数中的应用以及生活中的优化问题，在学习本章时，应注意以下几个方面的问题：（1）导数是建立在极限基础上的，并用极限定义
的基本概念，它在微积分中有极其重要的地位，导数也就是函数的变化率，可直接反映出实际问题中函数变化的快慢，如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率等；（2）导数的方法涉及导数定义、常用求导
公式、四则运算法则等求导方法，因此重点应为导数的概念与计算。学习时应熟练掌握直接利用法则和公式求导，应熟记导数公式与运算法则；（3）倒数的应用比较广泛，利用导数可以求函数的单调区间、极值、最大值与最小值问题，还可以用来解决实际生活中的某些应用问题，所在学习导数时，要注重于前面所学函数知识的联系，对于以前学过的一些函数问题，可尝试着用导数的方法做一做，从而达到熟练应用导数的目的。
导数
故选B 。
【思维导图】
/平均变化率 平均变化率 瞬时速度
瞬时变化率
割线斜率 切线斜率
•基本初等函数导数公式、 ________________
导数运算法则
＞3数的國
导数与函数的单调性
_____________ 厶导数与函数的极值
导数的应岐肯数与函数的最值
【成功细节】
生活中的优化问题
§3.1.1函数的平均变化率
林佳瑞谈变化率与导数的学习方法
本节主要学习函数的变化率、导数的概念以及导数的几何意义，概念比 较多，我认为学习本节知识应注意以下几个方面：
（1）理解平均变化率与瞬
时变化率之间的关系；（2）理解导数的定义以及求解导数的基本步骤； （3） 明确导数的两个意义------几何意义与物理意义，尤其是几何意义； （4）明确
导函数与导函数值之间的关系的；（4）若曲线y 二f x 在点P x 0,f X ）处 的导数不存在，但
有切线，则切线与
X 轴垂直，所以曲线在某点处存在导数
是在该点处有切线的充分不必要条件； （5）注意导数的几何意义的灵活应用。
如，
（2007年新疆省模拟自测）.若函数y = f （X ）在区间（a,b ）内可导，且x 0・（a,b ）则
f （x o h ） - f （X 。-h ）
im --------------------------- 的值为（ ）
1 0 h
f （x
）
2 f （X ） -2 f （X ） 0
本题主要考查导数的定义，解题时要注意 “ =（x 0 • h ） -（x 0 - h ） = 2h ，：一y = f （x 0 • h ） - f （x 0 -
h ）
f (x ° h) - f (x ° -h)
h
血 h) - f (x ° -h)
2h
]=2li h
m
f (x ° h) - f (x ° -h)
2h
=2f (x °),
【高效预习】（核心栏目）
“要养成学生阅读书籍的习惯就非教他们预习不可”。——叶圣陶
【领会•感悟】
平均变化率是对平均膨胀率和平均速 度等变化率的抽象概括，是指函数值的变 化与自变量的变化之间的关系。
【提炼•发现】 定义法求函数的导数，有三步： （1
） 求函数的改变量
y = f (x =x) - f (x)；
(2
) 求平均变化率
_ f(x
：x) - f (x).
极限，得导数y /
【学习细节】（核心栏目）
A .基础知识
知识点1平均变化率
【情景引入】 我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程。开始可以轻松的吹进气体，并且气球半径增 加的较快；随着气球的变大，吹进一口气往往要使出吃奶的力气，气球大小变化却不明显。也就是说 随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢.
【思考】你能用所学的数学知识解释这个现象吗？
数在X = X 。出的值.
