直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习
一、基础知识
1．直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)
相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0
几何观点 d＞r d＝r d＜r
2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)
相离 外切 相交 内切 内含
图形
量的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2|
二、常用结论
(1)圆的切线方程常用结论
①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)直线被圆截得的弦长
弦心距d、弦长l的一半12l及圆的半径r构成一直角三角形，且有r2＝d2＋221l.
三、考点解析
考点一 直线与圆的位置关系
考法(一) 直线与圆的位置关系的判断
例、直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
[解题技法]
判断直线与圆的位置关系的常见方法：
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
考法(二) 直线与圆相切的问题
例、(1)过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为( )
A．3x＋4y－4＝0 B．4x－3y＋4＝0 C．x＝2或4x－3y＋4＝0 D．y＝4或3x＋4y－4＝0
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1 / 15 §9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
最新考纲 考情考向分析
1.能判断直线与圆的位置关系.
2.能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.
3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的X围、最值、几何量的大小等.题型主要以选择、填空题为主，难度中等，但有时也会在解答题中出现.
1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系.(最重要)
dr⇔相离.
(2)代数法：――――→判别式Δ＝b2－4ac >0⇔相交＝0⇔相切<0⇔相离
2.圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，
O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)
方法
位置关系 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况
外离 d>r1＋r2 无解
外切 d＝r1＋r2 一组实数解
相交 |r1－r2|
内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解
内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解
概念方法微思考
1.在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？
提示 应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在word
2 / 15 圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条. 2.用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系？
提示
不能，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和内切两种可能情况，当方程组无解时，两圆有外离和内含两种可能情况.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”)
(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.( √ )
(2)若两圆相切，则有且只有一条公切线.( × )
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( × )
第1页（共4页） 16.3直线与圆、圆与圆的位置关系练习（1） 16.3 直线与圆、圆与圆的位置关系练习（1）
1. 已知圆C的方程为2282120xyxy，则过圆内一点(3,0)的最长弦的长为 ，最短弦的长为 ，最长弦所所在直线方程为 ，最短弦所在直线方程为 .
2. 过圆222xyr外一点00(,)Pxy作圆的两条切线，切点分别为,MN，则直线MN的方程为 .
3. 直线3230xy截得圆224xy的劣弧所对圆心角为 .
4. 设圆上的点(2,3)A关于直线20xy的对称点仍在圆上，且与直线10xy相交的弦长为22，则圆的方程为 .
5. 与圆22(2)1xy相外切，且与y轴相切的动圆圆心P的轨迹方程为 .
6. 点(4.3)A是ABO直角顶点，O为坐标原点，已知AB=2OA，且点B的纵坐标大于0，
（1） 求向量AB的坐标；
（2） 求与圆2212435xyxy外切，又与直线OB相切的所有圆中半径最小的圆
7. 已知2(,)(,0)ttRtt为圆心的圆与x轴交于,OA，与y轴交于,OB，其中O为原点，
（1） 求证：AOB的面积为定值；
（2） 设直线24yx与圆交于点,MN，若OMON，求圆C方程.
第2页（共4页） 16.3直线与圆、圆与圆的位置关系练习（1） 8. 已知平面区域00240xyxy被圆C及其内部所覆盖.
（1） 当圆C的面积最小时，求圆C的方程；
（2） 若斜率为1的直线l与（1）中的圆C交于不同的两点A,B，且满足CACB，求直线l的方程.
9. 已知圆22:(2)1,(,)CxyPxy为圆上任意一点，求
（1）21yx的最值； （2）2xy的最值.
2018版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 第3讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 理
1 2018版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 第3讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 理
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2018版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 第3讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 理
2 第3讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
一、选择题
1．已知集合A＝｛(x，y)｜x，y为实数，且x2＋y2＝1｝，B＝{（x，y）｜x，y为实数，且x＋y＝1｝，则A∩B的元素个数为( ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
解析 法一 （直接法)集合A表示圆，集合B表
示一条直线，又圆心(0，0)到直线x＋y＝1的距离
d＝错误!＝错误!＜1＝r，所以直线与圆相交，故选C。
法二 （数形结合法）画图可得，故选C.
答案 C
2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a）2＋y2＝2有公共点,则实数a的取值范围是
（ ）．
A．[－3,－1］ B．［－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞,－3］∪［1，＋∞）
解析 由题意可得,圆的圆心为（a,0），半径为错误!，
