浙江省2019年中考数学第三单元函数及其图象课时训练13二次函数的图象与性质(一)练习(新版)浙教版

1 课时训练(十三) 二次函数的图象与性质(一)

|夯实基础|

1.抛物线y=2x2,y=-2x2,y=x2的共同性质是 ( )

A.开口向上

B.对称轴是y轴

C.都有最高点

D.y随x的增大而增大

2.设二次函数y=(x-3)2-4的图象的对称轴为直线l.若点M在直线l上,则点M的坐标可能是 ( )

A.(1,0) B.(3,0)

C.(-3,0) D.(0,-4)

3.[2018·南宁] 将抛物线y=x2-6x+21向左平移2个单位后,得到新抛物线的解析式为 ( )

A.y=(x-8)2+5 B.y=(x-4)2+5

C.y=(x-8)2+3 D.y=(x-4)2+3

4.[2017·宁波] 抛物线y=x2-2x+m2+2(m是常数)的顶点在 ( )

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

5.[2018·潍坊] 已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为 ( )

A.3或6 B.1或6 2 C.1或3 D.4或6

6.[2017·广州] 当x= 时,二次函数y=x2-2x+6有最小值 .

7.[2018·黔三州] 已知二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示,那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是 .

x … -1 0 1 2 …

y … 0 3 4 3 …

8.已知常数a(a是整数)满足下面两个条件:

①二次函数y1=-(x+4)(x-5a-7)的图象与x轴的两个交点位于坐标原点的两侧;

②一次函数y2=ax+2的图象在一、二、四象限.

(1)求整数a的值;

(2)在所给直角坐标系中分别画出y1,y2的图象,并求出当y1

图K13-1

9.[2018·宜宾节选] 在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的顶点坐标为(2,0),且经过点(4,1),如图K13-2,直线y=x与抛物线交于A,B两点,直线l为y=-1. 3 (1)求抛物线的解析式;

(2)在l上是否存在一点P,使PA+PB取得最小值?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

图K13-2

10.[2017·温州] 如图K13-3所示,过抛物线y=x2-2x上一点A作x轴的平行线,交抛物线于另一点B,交y轴于点C,已知点A的横坐标为-2.

(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标;

(2)在AB上任取一点P,连结OP,作点C关于直线OP的对称点D.

①连结BD,求BD的最小值; 4 ②当点D落在抛物线的对称轴上,且在x轴上方时,求直线PD的函数表达式.

图K13-3

5

|拓展提升|

11.[2017·杭州] 设直线x=1是函数y=ax2+bx+c(a,b,c是实数,且a<0)的图象的对称轴, ( )

A.若m>1,则(m-1)a+b>0

B.若m>1,则(m-1)a+b<0

C.若m<1,则(m-1)a+b>0

D.若m<1,则(m-1)a+b<0

12.[2018·湖州] 在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx(a>0)的顶点为C,与x轴的正半轴交于点A,它的对称轴与抛物线y=ax2(a>0)交于点B.若四边形ABOC是正方形,则b的值是 .

图13-4

13.[2018·金华、丽水] 如图K13-5,抛物线y=ax2+bx(a≠0)过点E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左边),点C,D在抛物线上.设A(t,0),当t=2时,AD=4.

(1)求抛物线的函数表达式.

(2)当t为何值时,矩形ABCD的周长有最大值?最大值是多少?

(3)保持t=2时的矩形ABCD不动,向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线GH平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离.

6 图K13-5

7

参考答案

1.B 2.B 3.D

4.A [解析] 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(-,),∵-=-=1>0,==m2+1>0,故此抛物线的顶点在第一象限.故选A.

5.B [解析] 抛物线y=-(x-h)2,当x=h时,y有最大值0,而当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,故h<2或h>5.

当h<2时,若2≤x≤5,则y随x的增大而减小,

故当x=2时,y有最大值,此时-(2-h)2=-1,

解得h1=1,h2=3(舍去),此时h=1;

当h>5时,若2≤x≤5,则y随x的增大而增大,

故当x=5时,y有最大值,此时-(5-h)2=-1,

解得h1=6,h2=4(舍去),

此时h=6.

综上可知h=1或6.

故选择B.

6.1 5 [解析] ∵y=x2-2x+6=(x-1)2+5,

∴当x=1时,y最小值=5.

7.(3,0) [解析] 由题表可知,抛物线上的点(0,3),(2,3)是对称点,所以对称轴是直线x=1,因为函数图象与x轴的一个交点是(-1,0),所以(3,0)是抛物线与x轴的另一个交点.

8.解:(1)由题意可知 8 解得-

(2)y1=-(x+4)(x-2),y2=-x+2,

画出图象如图所示.

当x<-1或x>2时,y1

9.解:(1)∵抛物线的顶点坐标为(2,0),

设抛物线的解析式为y=a(x-2)2.

∵该抛物线经过点(4,1),∴1=4a,解得a=,

∴抛物线的解析式为y=(x-2)2=x2-x+1.

(2)存在.根据题意,得:

解得或

∴点A的坐标为(1,),点B的坐标为(4,1). 9

作点B关于直线l的对称点B',连结AB'交直线l于点P,此时PA+PB取得最小值(如图所示).

∵点B(4,1),直线l为y=-1,

∴点B'的坐标为(4,-3).

设直线AB'的解析式为y=kx+b(k≠0),

将A(1,),B'(4,-3)的坐标代入y=kx+b,

得

解得

∴直线AB'的解析式为y=-x+,

当y=-1时,有-x+=-1,

解得x=,

∴点P的坐标为(,-1).

10.[解析] (1)知道抛物线的解析式,求对称轴:直线x=-=4,用待定系数法求出A(-2,5),B(10,5). 10 (2)①利用三角形三边关系可知当且仅当O,D,B三点共线时,BD取得最小值;

②根据轴对称和勾股定理求得D,P两点坐标,利用待定系数法求出直线PD的函数表达式.

解:(1)由抛物线的解析式y=x2-2x,得对称轴为直线x=-=4.

由题意知,点A的横坐标为-2,代入解析式求得y=5,

当x2-2x=5时,x1=10,x2=-2,

∴A(-2,5),B(10,5).

(2)①连结OD,OB,利用三角形三边关系可得BD≥OB-OD,

∴当且仅当O,D,B三点共线时,BD取得最小值.

由题意知OC=OD=5,OB==5,

∴BD最小值为:OB-OD=5-5.

②设对称轴与直线AB交于点M,与x轴交于点N,由题得点D在x轴上方的对称轴上,则点P是线段CD的垂直平分线与AB的交点.连结OD.

在Rt△ODN中,DN==3,∴D(4,3),DM=2.

设P(x,5),在Rt△PMD中,(4-x)2+22=x2,

得x=,∴P,5.

易得直线PD的函数表达式为y=-x+.

11.C [解析] ∵直线x=1是函数y=ax2+bx+c(a,b,c是实数,且a<0)的图象的对称轴,∴x=-=1,即2a+b=0,∵a<0,∴2a<0,b>0,当m<1时,(m-1)a>0,则(m-1)a+b>0.故选C. 11 12.-2 [解析] 由抛物线y=ax2+bx可知,点C的横坐标为-,纵坐标为-.

∵四边形ABOC是正方形,

∴-=.∴b=-2.

故填-2.

13.解:(1)设抛物线的函数表达式为y=ax(x-10).

∵当t=2时,AD=4,

∴点D的坐标是(2,4).

∴4=a×2×(2-10),

解得a=-.

∴抛物线的函数表达式为y=-x2+x.

(2)由抛物线的对称性得BE=OA=t,

∴AB=10-2t.

当x=t时,y=-t2+t.

∴矩形ABCD的周长=2(AB+AD)=2=-t2+t+20=-(t-1)2+.

∵-<0,0<1<10,

∴当t=1时,矩形ABCD的周长有最大值,最大值是. 12 (3)连结DB,取DB的中点,记为P,则P为矩形ABCD的中心,由矩形的对称性知,平分矩形ABCD面积的直线必过点P.连结OD,取OD中点Q,连结PQ.当t=2时,点A,B,C,D的坐标分别为(2,0),(8,0),(8,4),(2,4).

结合图象知,当点G,H分别落在线段AB,DC上且直线GH过点P时,直线GH平分矩形ABCD的面积.

∵AB∥CD,

∴线段OD平移后得到线段GH,线段OD的中点Q平移后的对应点是P.

∴抛物线的平移距离=OG=DH=QP.

在△OBD中,PQ是中位线,

∴PQ=OB=4.

∴抛物线向右平移的距离是4.