数学答案

习题解答

第一讲 自然数的基数理论与序数理论

1、在自然数的基数理论中，证明自然数的乘法满足交换律

证明：对于{(,)|,}ABabaAbB与{(,)|,}BBbabBaA，

定义AB到BA的映射为：(,)(,),(,),(,)fabbaabABbaBA

显然这个映射是AB到BA的一一映射，所以ABBA，于是按定义有：

ABBA，即乘法满足交换律。

2、利用最小数原理证明定理14.

定理14的内容是：设()pn是一个与自然数有关的命题，如果：（1）命题()pn对无穷多个自然数成立；（2）假如命题对0()nkkn成立时，能够推出命题对1nk也成立，那么对一切自然数不小于n0的自然数n，命题()pn必然成立。

证明：如果命题不真，设使命题不成立的自然数构成集合M，那么M非空，因此，M中必有一个最小数000()rrn。

此时，由于不大于0r的自然数只有有限个，按照条件（1），至少有一个自然数0()rrr，命题在r处成立；于是由条件（2），命题对1r也成立，连锁应用条件（2），那么命题在12,,,,,rrrrk处都成立，而这个序列是递减的，因此0r必然出现在这个序列中，这与0r的假定不符，这个矛盾说明定理14成立。

3、用序数理论证明3+4=7

证明：313432313145,(),

33323256(),

34333367()

4、设平面内两两相交的n个圆中，任何三个不共点，试问这n个圆将所在的平面分割成多少个互不相通的区域？，证明你的结论。

解：设这n个圆将所在平面分割成()fn个部分，显然1224(),()ff；

如果满足条件的n个圆把平面分割成()fn个部分，那么对于满足条件的n+1个圆

来说，其中的n个圆一定已经把平面分割成()fn个部分，而最后一个圆由于与前面的每个圆都相交，并且由于任何三个圆不共点，所以这最后的圆与前面的n个圆必然产生2n个交点，这2n个交点必然把这最后一个圆分割成2n段圆弧，这些圆弧每一段都把自己所在的一个区域一分为二，从而12()()fnfnn，

第 一 页 共 六 页 试卷答案

1.【答案】B

【解析】{1,2}A

=

，

|12Bxx=−

，AB

=

1

，故选：B.

2.

【答案】D

【解析】全称命题的否定是特称命题，因此命题“2

,0xxx+N”的否定是2

,0xxx+N，因

此命题“2

,0xxx+N”的否定是：2

,0xxx+N，故选：D.

3.【答案】A

【解析】

(1)1f−=，

((1))(1)134fff−==+=，故选：A.

4.【答案】B

【解析】根据不等式的性质，可知若ab，则33

ab，故选：B.

5.【答案】B

【解析】

||1x1x或

1x−，因此p

是q

的必要不充分条件，故选：B.

6.【答案】B

【解析】1||yxx=+2

21,0

1,0xx

xx

+



=



−



，故可根据解析式画出函数图象，如选项B所示，故选：B.

7.【答案】C

【解析】

0x时

()0fx即为2

30xx−，解得

03x，又

()fx是奇函数，图象关于原点对称，

所以

0x时

()0fx的解是

3x−，故选：C.

8.【答案】B

【解析】由

2222222mnmnmn+

+=

，所以有

2222mnmn+

+

，即

222mnmn++

，得

24mn+

，

所以

2mn+，当且仅当

1mn==时等号成立.所以2

122127mn

mn+

+++++=.故选：B.

9.【答案】ACD

【解析】A中

x不一定大于0，故错误；C中

0a=时不等式显然恒成立，故错误；D中

0c时结

论错误.故选：ACD.

10.【答案】BD

【解析】化简得

,[1,)AB==+R，可知

BA,所以

AB,

ABB

=,故选：BD.

11.【答案】BC

【解析】

()fx的图象可由

|21|x

y=−通过上下平移得到，作出

|21|x

y=−的图象如下图：

第 二 页 共 六 页

可知下移小于1个单位则

()fx图象与

x轴有两个交点，所以A错误;

下移超过1个单位，则只有一个交点，故B正确;

- 1 - 习题1.1

2222222222222222223.33,,.3,3.3,,3132.961,9124,31.3,93,3,3.,,.,,,,pppqpqpqqppkpkpkkpkkppkkqqkqpqppaapabpapbbb证明为无理数若不是无理数,则为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数证明是无理数设为互素自然数,则素证

2.证 1.2222222,,.,..,:(1)|||1|3.\;(2)|3|2.0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)papaapkpkpbpkbpbabxxxxxxxxxxxxxxxX数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解

(1)222(1,3/2).(2)232,15,1||5,1||5,(1,5)(5,1).,(1)||||||;(2)||1,||||1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||xxxxxabababababaabbabbabbababababbabb设为任意实数证明设证明证4.,|1.(1)|6|0.1;(2)||.60.160.1.5.96.1.(,6.1)(5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,).11,01,.1,1.11nnnnxxalxxxxXlXalallxalXaaannaabaa解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若显然解(1)证5.:6.120000(1)(1)(1).(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|},10{|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10nnnnnnnnnnnnnabbnaababnbamAAmAabABCBAxxbCAxxaBmmCbammZ设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数 满足考虑有理数集合= 若则中有最小数-=证7.(,),(,).1/10.{2|}.10nnnnababmnbaAmZ,此与的选取矛盾.

数学分析答案

第一章 实数集与函数

§1实数

1、设a

为有理数，x

为无理数，试证明：

⑴xa

是无理数.

⑵当0a

时，ax

是无理数.

证： ⑴ 假设xa

是有理数，则xaxa)(

是有理数，这与题设x

为无理数相矛盾，

故xa

是无理数.

⑵假设ax是有理数，则x

aax



为有理数，这与题设x

为无理数相矛盾

故ax

是无理数.

1、 试在数轴上表示出下列不等式的解：

⑴ 0)1(2

xx

；⑵⑶

2、 设a

、Rb

.证明：若对任何正数

有ba

，则ba

.

证:用反证法.倘若结论不成立,则根据实数集有序性,有ba

或ba

;

若ba

,则又由绝对值定义知

:baba

.

令ba

,则

为正数,

但这与baba

矛盾;

若ba

,则又由绝对值定义知

:abba

.

令ab

,则

为正数,

但这与abba

矛盾;

从而必有ba

.

3、 设0x

,

证明21



xx

,并说明其中等号何时成立.

证:因x与

x1

同号,

从而21

211



xx

xx

xx

,

等号当且仅当

xx1



,即1x

时成立.

数学分析答案

4、 证明:对任何Rx

,有

⑴

121xx

；⑵2321xxx

证:

⑴因为21111xxx

,

所以121xx

.

⑵因为21132xxxx

,

所以2321xxx

5、 设a

、b

、

Rc

(

R

表示全体正实数的集合),证明

:cbcaba2222

证:对任意的正实数a

、b

、c

有)(22222

cbabca

,

两端同时加244

cba

,有22422222224

2cbacababcacba

,

即))(()(222222

cababca

bccabaa2))((2222222



,

两端再同加22

cb

,

则有cbcaba2222

其几何意义为:当cb

时,以),(ba

,),(ca