常微分方程的比较定理及其应用.pdf
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常微分方程的比较定理及其推广
数学与计算机科学学院 数学与应用数学专业
105012005155 许小燕 指导教师：余赞平
【摘要】本文在比较定理的基础上，利用上下界定函数的方式，研究一阶微分方程初值问题和二阶微分方程初值问
题的解的存在性及其估计.
【关键词】一阶微分方程；二阶微分方程；初值问题；比较定理；微分不等式
1．前言
常微分方程的比较定理是解决常微分方程初值问题的一类重要定理，关于比较定理及其应用的研
究，已有一些进一步的结果 [1]
−[3]
，本文将通过上下界定函数的方式，对一阶微分方程的初值问题
dy
f (x, y)
dx
y( x ) y
0
0
和二阶微分方程的初值问题
1 − 1
1 − 2
y''
f ( x, y, y'
)
1 − 3
, y'
( x
0 ) y
0'
1 − 4
y( x
0 ) y
0
的解的存在性及其估计进行研究.
定义1 [4]
设 f
(x,
y)
在矩形区域
R {(x, y) R2
:| x − x
0 |≤ a, | y − y
0 |≤ b}
上连续，令 M
max{|
f
(
x,
y) |: (
x,
y) R}, h min{a, b
}
.再设ϕ( x)
和φ( x)
分别是初值问题
M
1 − 1
，
1 − 2
在区间 I [x
0 − h, x
0 h]
上的两个解，使得对初值问题
1 − 1
，
1 − 2
的
任意一
个解ψ
(x)
，都有当 x
[x
0 −
h,
x
0
h]
时，
ϕ( x) ≤ ψ ( x) ≤ φ( x)
，
则称ϕ(
x)
和φ(
x)
分别是初值问题
1
−
1
的最小解和最大解.
以下介绍几个重要的引理：
1.1 皮亚诺存在定理
皮亚诺于1886年率先证出一阶微分方程 y'
f
(
x,
y)
可解的唯一条件是 f
(x,
y)
的连续性.
引理1 [5]
设函数 f
(x,
y)
在矩形区域
R : | x − x
0 |≤ a, | y − y
0 |≤ b
内连续，则初值问题
1
−
1
，
1
−
2
在区间 |
x
−
x
0 |≤ h
上至少有一个解 y y( x)
，其中常数
h min(a, b
),
而 M max | f ( x, y) |
.
M
( x, y ) R
1.2 解的延拓定理
由于皮亚诺定理只能保证局部范围内初值问题解的存在性，而研究解在大范围内的存在性就需要
用 到以下的解的延拓定理.
引理2 [6]
设函数 f
(x,
y)
在区域 R
上连续， P
0 为区域 R
内任一点，并设 Γ
为微分方程
1
−
1
经过
P
0
点的任一条积分曲线，则积分曲线 Γ
将在区域 R
内延伸到边界（换句话说，对于任何有界闭区域
R
1
（ P
0 R
1 R
），积分曲线 Γ
将延伸到 R
1
之外）.
1.3 比较定理
在微分方程初值问题的研究中，还有一类重要的定理——比较定理.
引理3
[6]
（第一比较定理） 设函数 f
(x,
y)
与 F(x,
y)
都在平面区域 R
内连续且满足不等式
f (x, y) F ( x, y), ( x, y) R
；
又设函数 y
ϕ(x)
与 y
φ(
x)
在区间 a
x
b
上分别是初值问题
dy
f (x, y), y( x
0 ) y
0
dx
与
dy
F (x, y), y( x
0 ) y
0
dx
的解，其中 (
x
0 ,
y
0 ) R
.则有
ϕ( x) φ(x),
当 x
0 x b;
ϕ( x) φ( x),
当 a x x
0 .
引理4
[6]
（第二比较定理） 设函数 f
(x,
y)
与 F(x,
y)
都在平面区域 R
内连续且满足不等式
f (x, y) ≤ F( x, y), (x, y) R
；
又设函数 y
ϕ(x)
与 y
φ(
x)
在区间 a
x
b
上分别是初值问题
dy
f (x, y), y( x
0 ) y
0
1 − 5
dx
与
dy
F (x, y), y( x
0 ) y
0
1 − 6
dx
的解，其中 (
x
0 ,
y
0 ) R
,并且 y ϕ(x)
是
1 − 5
的右行最小解和左行最大解（或者： y φ
( x)
是
2
1 − 6
的右行最大解和左行最小解），则有如下比较关系：
ϕ( x) ≤ φ( x),
当 x
0 ≤ x b;
ϕ( x) ≥ φ( x),
当 a x ≤ x
0 .
2．比较定理在一阶微分方程初值问题中的推广
2.1 第一比较定理的推广
定理1
设ϕ(
x)、φ(x) C1
[x
0 , a],ϕ( x) ≤ φ( x),ϕ '
(x) f [x,ϕ( x)],φ '
( x) f [x, φ( x)], x
[x
0 , a], ϕ( x
0 ) ≤ y
0 ≤ φ( x
0 );
且 f (x, y)
在包含闭区域[x
0 , a] × [ϕ(x),φ(x)]
的区域 D
上连续，则初值
问题
1
−
1
，
1
−
2
的任一解 y(x)
，在其右侧存在区域 [x
0 ,
a]
上，必有ϕ(
x)
≤
y(
x)
≤
φ
(
x)
.
证明
由皮亚诺定理可知，解 y( x) 在 [x
0 , c](c ≤ a) 上存在.
下证ϕ(
x)
≤
y(
x)
≤
φ(
x)
，为此采用反证法.
先证 y(
x)
≤
φ(
x)
， x [x
0 , c]
.若不然，则存在 x
1 (x
0 , c]
使得
y( x
1 ) φ( x
1 )
.令 x
2 sup{x
[x
0 , x
1 ] | y( x) ≤ φ( x)}
.
显然， x
0 ≤
x
2
x
1 ，且 y(
x
2 )
φ(
x
2 )
.而当 x ( x
2 , x
1 ] 时， y( x) φ( x) ；若
令 h( x) y(x) −
φ(x)
，则 h( x
2 ) 0
，且当 x ( x
2 , x
1 ]
时， h(x) 0
，所以， h'
(x
2 ) ≥ 0
.但另一方面，
h'
(x
2 ) y'
( x
2 ) − φ '
( x
2 ) f [x
2 , y( x
2 )] − f [x
2 ,φ(x
2 )] 0
，
这与 h'
(
x
2 )
≥
0
产生矛盾.
这表明， y(
x)
≤
φ(
x)
， x [x
0 , c]
；同理可证，ϕ( x)
≤ y( x)
， x
[x
0 , c] .
再由解的延拓定理可知，解 y
y(
x)
在整个 [x
0 ,
a]
上存在，且满足ϕ(
x)
≤
y(
x)
≤
φ(
x)
。
定理2
设ϕ(
x)、φ(x) C1
[b, x
0 ],ϕ( x) ≤ φ( x),ϕ '
( x) f [x,ϕ( x)],φ '
( x) f [x, φ( x)]
， x
[b, x
0 ], ϕ( x
0 ) ≤ y
0 ≤ φ( x
0 );
且 f (x, y)
在包含闭区域 [x
0 , a] × [ϕ(x),φ(x)]
的区域 D
上连续，则初值
