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概率论习题解答

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第4章习题答案

三、解答题

1. 设随机变量X的分布律为

X – 2 0 2

pi

求)(XE，)(2XE，)53(XE．

解：E (X ) = 1iixp= 24.0+03.0+23.0=

E (X 2 ) = 12iipx= 44.0+ 03.0+ 43.0=

E (3 X +5) =3 E (X ) +5 =32.0+5 =

2. 同时掷八颗骰子，求八颗骰子所掷出的点数和的数学期望．

解：记掷1颗骰子所掷出的点数为Xi，则Xi 的分布律为

6,,2,1,6/1}{iiXP

记掷8颗骰子所掷出的点数为X ，同时掷8颗骰子，相当于作了8次独立重复的试验，

E (Xi ) =1/6×(1+2+3+4+5+6)=21/6

E (X ) =8×21/3=28

3. 某图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p1，借阅乙种图书的概率为p2，设每人借阅甲乙图书的行为相互独立，读者之间的行为也是相互独立的．

(1) 某天恰有n个读者，求借阅甲种图书的人数的数学期望．

(2) 某天恰有n个读者，求甲乙两种图书至少借阅一种的人数的数学期望．

解：(1) 设借阅甲种图书的人数为X ，则X~B(n, p1),所以E (X )= n p1

(2) 设甲乙两种图书至少借阅一种的人数为Y , 则Y ~B(n, p),

记A ={借甲种图书}， B ={借乙种图书}，则p =｛A ∪ B｝= p1+ p2 - p1 p2

所以E (Y )= n (p1+ p2 - p1 p2 )

4. 将n个考生的的录取通知书分别装入n个信封，在每个信封上任意写上一个考生的姓名、地址发出，用X表示n个考生中收到自己通知书的人数，求E(X)．

解：依题意，X~B(n，1/n)，所以E (X ) =1.

5. 设)(~PX，且}6{}5{XPXP，求E(X)．

解：由题意知X～P（），则X的分布律P kX=ekk!，k = 1,2,...

又P5X=P6X, 所以 ee!6!565 解得 6，所以E(X) = 6.

6. 设随机变量X的分布律为,,4,3,2,1,6}{22kkkXP问X的数学期望是否存在

解：因为级数11212112211)1(6)6)1(()6)1((kkkkkkkkkk， 而

11kk发散，所以X的数学期望不存在.

7. 某城市一天的用电量X（十万度计）是一个随机变量，其概率密度为

.0,0,91)(3/其它xxexfx

求一天的平均耗电量．

解：E(X) =03/203/9191)(dxexdxxexdxxfxxx=6.

8. 设某种家电的寿命X（以年计）是一个随机变量，其分布函数为

.0,5,251)(2其它xxxF

求这种家电的平均寿命E(X)．

解：由题意知，随机变量X的概率密度为)()(xFxf

当x>5时，)(xf 3350252xx，当x?5时，)(xf0.

E(X) =10|5050)(5-53xdxxxdxxxf

所以这种家电的平均寿命E(X)=10年.

9. 在制作某种食品时，面粉所占的比例X的概率密度为

.0,10,)1(42)(5其它xxxxf

求X的数学期望E(X)．

解：E(X) =dxxxdxxxf-1052)1(42)(=1/4

10. 设随机变量X的概率密度如下，求E(X)．

.010,)1(2301)1(23)(22其它，，，，xxxxxf

解：0)1(1023)1(0123)()(22dxxxdxxxdxxxfXE. xy1xy11. 设),4(~pBX，求数学期望)2(sinXE．

解：X的分布律为knkknppCkXP)1(}{， k = 0，1，2，3，4，

X取值为0，1，2，3，4时，2sinX相应的取值为0，1，0，-1，0，所以

)21)(1(4)1(1)1(1)2(sin13343114pppppCppCXE

12. 设风速V在(0，a)上服从均匀分布，飞机机翼受到的正压力W是V的函数：2kVW，（k > 0，常数），求W的数学期望．

解：V的分布律为其它 ,00 ,1)(avavf，所以

aavakdvakvdxvfkvWE03022|)31(1)()(231ka

13. 设随机变量(X, Y )的分布律为

Y X 0 1 2

0 3/28 9/28 3/28

1 3/14 3/14 0

2 1/28 0 0

求E(X)，E(Y )，E(X – Y )．

解：E(X)=0×(3/28+9/28+3/28）+1×(3/14+3/14+0)+ 2×(1/28+0+0)= 7/14=1/2

E(Y)=0×（3/28+3/14+1/28）+1×(9/28+3/14+0)+ 2×(3/28+0+0)=21/28=3/4

E(X-Y) = E(X)- E(Y)=1/2-3/4= -1/4.

14. 设随机变量(X，Y)具有概率密度其它,01,10,10,24),(yxyxxyyxf，求E(X)，E(Y)，E(XY)

解：E(X)= 101022424xDydydxxxydxdyx

dxxx1022)1(2124dxxxx10432)2412(52)51264(10543xxx

.152)34524638()1(31242424)(5/22424)(106543101010322210102xxxxdxxxdydxyxxydxdyxyXYExdxdyyxydxdyyYEDxDy 15. 某工厂完成某批产品生产的天数X是一个随机变量，具有分布律

X 10 11 12 13 14

pi

所得利润（以元计）为)12(1000XY,求E(Y)，D(Y)．

解： E(Y) = E［1000(12-X)］

=1000×[(12-10)×+(12-11)]×+(12-12)×+(12-13)×+(12-14)×] = 400

E(Y2) = E［10002(12-X)2］

=10002[(12-10)2×+（12-11）2×+（12-12）2×+（12-13）2×

+（12-14）2×]=×106

D(Y)=E(Y2)-［E(Y)］2=×106- 4002=×106

16. 设随机变量X服从几何分布 ，其分布律为,,2,1,)1(}{1kppkXPk

其中0 < p < 1是常数，求E(X)，D(X)．

解：令q=1- p ,则

111111)()}{()(kkkkkkkdqdqpqkppqkkXPkXE

pqdqdpqdqdpkk/1)11(0

1111112122])1([)()}{()(kkkkkkkqkqkkppqkkXPkXE

pqkkpqkk/1)1(12pqdqdpqpqdqdpqkkkk/1)(/1012222

ppqpqpqpqdqdpq/1/2/1)1(2/1)11(2322

D(X) = E(X2)- E(X) =2q/p2+1/p-1/p2 = (1-p)/p2

17. 设随机变量X的概率密度为其它,01||,11)(2xxxf，试求E(X)，D(X)．

解：E(X)= 011)(112dxxxdxxfx

D(X)= E(X2)= 2/2/2]2/,2/[11222cossinsin11)(dttttxdxxxdxxfxt

2122cos122/0dtt

18. 设随机变量(X，Y)具有D(X) = 9，D(Y) = 4，6/1XY，求)(YXD，)43(YXD． 解：因为)()(),(YDXDYXCovXY，所以

)()(),(YDXDYXCovXY=-1/6×3×2=-1,

11249),(2)()()(YXCovYDXDYXD

51)1(6369)3,(2)(9)()43(YXCovYDXDYXD

19. 在题13中求Cov(X，Y)，?XY．

解：E(X) =1/2, E(Y) =3/4,

E(XY)=0×(3/28+9/28+3/28+3/14+1/28）+1×3/14+2×0+4×0=3/14,

E(X2)= 02×（3/28+9/28+3/28）+12×(3/14+3/14+0)+ 22×(1/28+0+0)=4/7,

E(Y2)= 02×（3/28+3/14+1/28）+12×(9/28+3/14+0)+ 22×(3/28+0+0)=27/28,

D(X)= E(X2) -［E(X)］2 = 4/7-(1/2)2= 9/28,

D(Y)= E(Y2)- ［E(Y)］2=27/28-(3/4)2= 45/112,

Cov(X，Y)= E(XY)- E(X) E(Y) =3/14- (1/2) ×(3/4)= -9/56,

?XY = Cov(X，Y) /()(XD)(YD)=-9/56 ? (28/9112/45)= -5/5

20. 在题14中求Cov(X，Y)，?XY，D(X + Y)．

解：52)()(YEXE,,)(152XYE752)()()(),(YEXEXYEYXCov

)(5124)(2101032YEdydxyxXEx

)(25125451)()()(22YDXEXEXD

752),(2)()()(32)()(),(YXCovYDXDYXDYDXDYXCovXY

21. 设二维随机变量(X, Y )的概率密度为

.0,1,1),(22其它yxyxf

试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的．

解：0/12/)(112111122dxxxdydxxXExx

0/)(111122xxdydxyYE

0/)(111122xxdydxxyXYE，

所以Cov(X，Y)=0，?XY =0，即X和Y是不相关.

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概率论第一章习题参考解答

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概论论与数理统计

习题参考解答

习题一

8. 掷3枚硬币, 求出现3个正面的概率.

解: 设事件A={出现3个正面}

基本事件总数n=23, 有利于A的基本事件数nA=1, 即A为一基本事件,

则125.08121)(3nnAPA.

9. 10把钥匙中有3把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率.

解: 设事件A={能打开门}, 则A为不能打开门

基本事件总数210Cn, 有利于A的基本事件数27CnA,

467.0157910212167)(21027CCAP

因此, 533.0467.01)(1)(APAP.

10. 一部四卷的文集随便放在书架上, 问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4的概率是多少?

解: 设A={能打开门},

基本事件总数2412344Pn,

有利于A的基本事件数为2An,

因此, 0833.0121)(nnAPA.

11. 100个产品中有3个次品,任取5个, 求其次品数分别为0,1,2,3的概率.

解: 设Ai为取到i个次品, i=0,1,2,3,

基本事件总数5100Cn, 有利于Ai的基本事件数为3,2,1,0,5973iCCniii

则 00006.09833512196979697989910054321)(006.0983359532195969739697989910054321)(138.09833209495432194959697396979899100543213)(856.0334920314719969798991009394959697)(51002973351003972322510049711510059700CCnnAPCCCnnAPCCnnAPCCnnAP

概率论第4章习题参考解答

概率论第4章习题参考解答

概率论第4章习题参考解答

1. 若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮, 命中3炮的概率, 至少命中3炮的概率,

最可能命中几炮.

解: 设ξ为射击10炮命中的炮数, 则ξ~B(10,0.7), 命中3炮的概率为

733103.07.0}3{CP0.0090

至少命中3炮的概率, 为1减去命中不到3炮的概率, 为

2010103.07.01}3{1}3{iiiiCPP0.9984

因np+p=10×0.7+0.7=7.7不是整数, 因此最可能命中[7.7]=7炮.

2. 在一定条件下生产某种产品的废品率为0.01, 求生产10件产品中废品数不超过2个的概率.

解: 设ξ为10件产品中的废品数, 则ξ~B(10,0.01), 则废品数不超过2个的概率为

20101099.001.0}2{iiiiCP0.9999

3. 某车间有20部同型号机床, 每部机床开动的概率为0.8, 若假定各机床是否开动彼此独立, 每部机床开动时所消耗的电能为15个单位, 求这个车间消耗电能不少于270个单位的概率.

解: 设每时刻机床开动的数目为ξ, 则ξ~B(20,0.8), 假设这个车间消耗的电能为η个单位, 则η=15ξ, 因此

2061.02.08.0}18{}15270{}27015{}270{20182020iiiiCPPPP

4. 从一批废品率为0.1的产品中, 重复抽取20个进行检查, 求这20个产品中废品率不大于0.15的概率.

解: 设这20个产品中的废品数为ξ, 则ξ~B(20,0.1), 假设这20个产品中的废品率为η,

则η=ξ/20. 因此

3020209.01.0}3{}15.020{}15.0{iiiiCPPP=0.867

5. 生产某种产品的废品率为0.1, 抽取20件产品, 初步检查已发现有2件废品, 问这20件中, 废品不少于3件的概率.

概率论第五章习题解答

概率论第五章习题解答

概率论第五章习题解答

第一篇：概率论第五章习题解答

第五章习题解答

1.设随机变量X的方差为2，则根据车比雪夫不等式有估计

PXE(X)2 1/2.PXE(X)2D(X)2212

2.随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，相关系数为-0.5，则根据车比雪夫不等式有估计PXY6

1/12.PXY6P(XY)[E(X)E(Y)]6D(X)62112

3.电站供应一万户用电．设用电高峰时，每户用电的概率为0.9，利用中心极限定理，（1）计算同时用电的户数在9030户以上的概率；（2）若每户用电200 w，电站至少应具有多大发电量才能以0.95的概率保证供电？ 解：⑴ 设X表示用电户数，则

X~B(10000,0.9),n10000,p0.9,np9000,npq900

由中心定理得

X~N(9000,900)近似

PX90301PX9030X9000903090001P

9009001(1)10.84130.1587⑵ 设发电量为Y，依题意

P200XY0.95

X9000Y9000200即 P0.95

9009009000200()0.95900Y9000200

1.65900Y1809900 4.某车间有150台同类型的机器，每台机器出现故障的概率都是0.02，设各台机器的工作是相互独立的，求机器出现故障的台数不少于2的概率． 解：设X表示机器出故障的台数，则XB(150,0.02)Ynp3,npq2.94 由中心定理得

X~N(3,2.94)近似

PX21PX223X31P2.942.941PX0.5832(0.5832)0.7201 5.用一种对某种疾病的治愈率为80%的新药给100个患该病的病人同时服用，求治愈人数不少于90的概率．

概率论第二章习题参考解答1

概率论第二章习题参考解答1

概率论第二章习题参考解答

1. 用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果. 写出它的概率函数和分布函数.

解: 假设ξ=1对应于"正面朝上",ξ=0对应于反面朝上. 则

P(ξ=0)=P(ξ=1)=0.5 .

其分布函数为

11105.000)(xxxxF

2. 如果ξ服从0-1分布, 又知ξ取1的概率为它取0的概率的两倍, 写出ξ的分布律和分布函数.

解: 根据题意有

P(ξ=1)=2P(ξ=0) (1)

并由概率分布的性质知

P(ξ=0)+P(ξ=1)=1 (2)

将(1)代入(2)得

3P(ξ=0)=1, 即P(ξ=0)=1/3

再由(1)式得

P(ξ=1)=2/3

因此分布律由下表所示

ξ 0 1

P 1/3 2/3

而分布函数为

11103/100)(xxxxF

3. 如果ξ的概率函数为P{ξ=a}=1, 则称ξ服从退化分布. 写出它的分布函数F(x), 画出F(x)的图形.

解:

axaxxF10)(, 它的图形为

a x 1

0 F(x)

4. 一批产品分一,二,三级, 其中一级品是二级品的两倍, 三级品是二级品的一半, 从这批产品中随机地抽取一个检验质量, 用随机变量描述检验的可能结果, 写出它的概率函数.

解 设ξ取值1,2,3代表取到的产品为一,二,三级, 则根据题意有

P(ξ=1)=2P(ξ=2) (1) P(ξ=3)=P(ξ=2)/2 (2)

由概率论性质可知

P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=1 (3)

(1),(2)代入(3)得:

2P(ξ=2)+P(ξ=2)+P(ξ=2)/2=1

解得P(ξ=2)=2/7, 再代回到(1)和(2)得

P(ξ=1)=4/7, P(ξ=3)=1/7

则概率函数为

)3,2,1(271)(3iiPi

或列表如下:

ξ 1 2 3

P 4/7 2/7 1/7

5. 一批产品20个, 其中有5个次品, 从这批产品中随意抽取4个, 求这4个中的次品数ξ的分布律.