偏微分方程数值解期末试题及参考
答案
Ａ卷2005—2006学年第2学期《偏微分方程数值解》试卷参考答案与评分标准专业班级信息与计算科学开课系室考试日期命题教师王子亭题号一二三四五六七八总分得分阅卷人偏微分方程数值解试题(06A) 参考答案与评分标准信息与计算科学专业1一、设矩阵A对称正定，定义J(x)?(Ax,x)?(b,x)(x?Rn)，证明下2J(x);(2)求下列方程组的解：列两个问题等价：(1)求x0?Rn使J(x0)?minnx?RAx?b 解: 设x0?Rn 是J(x)的最小值点,对于任意的x?Rn,令?(?)?J(x0??x)?J(x0)??(Ax0?b,x)?? 22(Ax,x),(3分) 因此??0是?(?)
的极小值点,?’(0)?0,即对于任意的x?Rn,(Ax0?b,x)?0,特别取x?Ax0?b,则有(Ax0?b,Ax0?b)?||Ax0?b||2?0,得到Ax0?b. (3分)反之,若x0?Rn满足Ax0?b,则对于任意的1x,J(x0?x)??(1)??(0)?(Ax,x)?J(x0),因此x0是J(x)的最小值点. (4分) 2评分标准:?(?)的表示式3分, 每问3分,推理逻辑性1分ddu??Lu??(p)?qu?fx?(a,b)二、对于两点边值问题：? dxdx??u(a)?0,u(b)?0其中p?C1([a,b]),p(x)?minp(x)?pmin?0,q?C([a, b]),q?0,f?H0([a,b]) x?[a,b]建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz形式和Galerkin形式的变分方程。1解: 设H0?{u|u?H1(a,b),u(a)?u(b)?0}为求解函数空间,检验函数空间.取1v?H0(a,b),乘方程两端,积分应用分部积分得到(3分) bdudv1.?quv)dx??fvdx?f(v),?v?H0(a,b) aadxdx即变分问题的Galerkin形式. (3分) 11bdu 令
J(u)?a(u,u)?(f,u)??[p()2?qu2?fu]dx,则变分问题的Ritz形式22adx a(u,v)??(pb1J(u)(4分) 为求u*?H0(a,b),使J(u*)?min1u?H0评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分, 三、对于边值问题??2u?2u?2?2??1,(x,y)?G?(0,1)?(0 ,1) ??x?y??u|?G?0建立该边值问题的五点差分格式，推导截断误差的阶。取h?1/3，求边值问题的数值解就取h?1/N的一般情况写出对应方程组的系数矩阵。解: (1) 区域离散xj?jh,yk?kh,差分格式为uj?1,k?2ujk?uj?1,kh2?uj,k?1?2ujk?uj,k?1h 2??1 (5分) h2?4u?4u应用Tayloy 展开得到,截断误差为[4?4]jk?O(h4),其阶为O(h2) (3分) 12?x?y(2) 未知量为U?(u11,u12,u21,u22)T,矩阵形式为AU?F,其中?4?1?10??1?????1?1???140?1? (4分) A??,F?????104?191?????0?1?14??1?????
解为u?1(1,1,1,1)T(3分) 18?B?I??4?1???????IB?I???14?1?(3) 矩阵为?,(5分) B????????????????IB??14????评分标准:第1问8分,格式4分,截断误差4.(2) 7分,方程4分,解3分.(3)5分, 形式3分,B的形式2分??u?2u??a2,0?x?1,0?t?T?x?? t四、对于初边值问题?u(x,0)??(x),0?x?1 ?u(0,t)?u(1,t)?0 ,0?t?T??建立向前差分格式，推导截断误差的主项，指出误差阶; 写出差分格式的矩阵形式，用矩阵方法分析格式的稳定性建立六点加权格式，写出计算形式，应用Fourier方法分析格式的稳定性。?1uk?ukjj解:(1) 区域离散,格式为??a12k?xuj ,(5分) 2h1?2ukah2?4uk(4)j?O(?2?h4),阶为应用Taylor展开得到,误差主项为(2)j??2?t12?xO(??h2)
(3分) (2) A?E,B?diag{r,1?2r,r}, (4分) 稳定条件为r?1/2(3
分) ?1uk?ukjj(3) 格式为??a2k?1k?(?u?(1??)uxjj), (3分) 2h当??111格式恒稳定,当??,稳定条件为r?(2分) 221?2??1?1nun?unun?u?ujjj?1?uj?1?a?0
的三层差分格式五、逼近?a?0 ?t?x2?2h 分析格式的稳定性?1nn?1解:计算形式为un??ar(unjj?1?uj?1)?uj (2分) ?1此为三层格式,化为两层格式.令vn?unjj,则有n?1nnn??uj??ar(uj?1?uj?1)?vj? n?1(4分) n?uj??vjni?jhnni?jh 令un,代入格式,消去公因子,得到?we,v?wj1j2e?w1n?1???2iarsin?h1??w 1n??n?1????n?(2分) ???w???10???2???w2???2arsin?hi?1 ??2arsin?hi1???放大矩阵为G?? ?,特征方程为|?E?G|?10?1????2arsin?h?4?4a2r2sin2?h?i 2???2arsin?hi??1?0,?1,22?1?2?1,max{|?1|, |?2|}?1的充要条件为方程有相同的复根或一对共扼复根,
即??4?4a2r2sin2?h?0.考虑到?的变化,稳定条件为|ar|?1(2分) 2?2u2?u六、建立波动方程2?a的初值问题的显格式，推导截断误差. 2?t?x解:差分格式为?1n?1un?2unjj?uj?2?a212n?xuj, (5分) h241??4u?22??u?24422???截断误差为?,阶为??ah?O(??h)O(??h)(5分) 4?4???12??t?j??x?jnn?u?2u?2u七、对于二维抛物型方程，?a(2?2)建立向后差分格式?t?x?y指出截断误差阶，分析格式的稳定性。解: 差分格式为?1nunjk?ujk??a2n?12n?1(?u??ujk) (4分) xjky2h误差阶为O(??h2) (3分) 1,恒稳定. (3分) ?h?h1?4rsin2?4rsin222八、分析差分格式放大因子为G(?,?,?)??1kuk?ujj??akkuk?2u?uj?1jj?1h2 ?bkuk?uj?1j?12h?cukj(a?0) 的稳定性解:写出计算形式,忽略低阶项2分,写出放大因子3分|G|??2sin2kh?1?4?(1?coskh)?4?2(1?coskh)
