安农大理学院数学模型考试复习题

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第 1 页共11页 1、空气通过盛有2CO吸收剂的圆柱形器皿，已知它吸收2CO的量与2CO的百分浓度及吸收层厚度成正比。今有2CO含量为8%的空气，通过厚度为10厘米的吸收层后，其2CO含量为2%，问：（1）若通过的吸收层厚度为30cm，出口处空气中2CO的含量是多少？（2）若要使出口处空气中2CO的含量为1%，其吸收层厚度应为多少？

解：

注：吸收2CO的量就是CO2的变化量

设()px为x位置CO2的浓度，由题知1()()()pxxpxcpxx，所以

1dpcpdx，(0)8p，(10)2p，得ln258xpe

（1）(30)0.125p 答案应是：百分之0.125

（2）15x p（x）=1 求x

2、对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明，一个中等水平的工人早上8：00开始工作，12：00结束工作。设在t小时后，生产出的产品数为ttttQ129)(23。那么在早上几点钟时这个工人的工作效率最高？

：

3、地球的质量是2410983.5千克，今有一块质量为10000千克的陨石正在朝着地球的方向运动，那么 G=6.67×10的负11次方单位 N·m2 /kg2 ,R=6371千米=6.3x10^6 m

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第 2 页共11页（2）如果陨石继续朝地球的方向运动，则在相距100公里时，引力的递增速度是多少？

解：

答案：((a)、f=39.925×10 7 N . (b)-7985N/

5、为了估计湖中鱼的数量，先从湖中钓出r条鱼做上记号后又放回湖中，然后再从湖中钓出S条鱼，结果发现S条中有x条鱼标有记号，问应该如何估计湖中鱼的数量N？

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6、根据资料记载，在某地某年间隔30天的日出日落时间如下：

日期 5月1日 5月31日 6月30日

日出 4：51 4：17 4：16

日落 19：04 19：38 19：50

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第 4 页共11页

7、均匀正方体骰子的六个面分别刻有1、2、3、4、5、6的字样，将一对骰子抛25次决定胜负，问赌注押在“至少出现一次双六”或“完全不出现双六”的哪一种上有利？

61p61的概率：一次郑一个骰子出现

情况一：25212p11p））（（

情况2：P2=2521p1））（（

8、设有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去以检查其功能。正常胰脏每分钟吸收掉染色的40%，先内科医生给某人注射了0.3克染色，30分钟后还剩下0.1克，试问此人的胰脏是否正常？

t5.2e3.0P P（30）=75e3.0

1、一个银行的统计资料表明，存放在银行中的总存款量正比于银行付给存户利率的平方。现在假设银行可以用12%的利率再投资这笔钱。试问为得到最大利润，银行所支付给存户的利率应该定为多少？

解假设银行支付给存户的年利率是r,(0

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第 5 页共11页把这笔钱以12%的年利率贷出一年后可得款额为 (1+0.12)A, 而银行支付给存户的款额为(1+r)A, 银行获利为

L(r) = (1 + 0.12)A - (1+ r)A

= (0.12 - r)A = (0.12 - r)k r2

0)324.0(2rrkdrdp 所以 r=0.08, r=0 (舍去)

当 r<0.08时，L’ ( r ) >0,

当 r>0.08时，L’ ( r)<0,

且 r = 0.08 是 (0,1) 中唯一的极值点

故取8% 的年利率付给存户银行可获得者大利润.

4、假定雪球是半径为r的球，其融化时体积的变化率正比于雪球的表面积，比例常数为k>0。已知两小时内融化了其体积的四分之一。问期于部分在多长时间内全部融化完？

6某人用分期付款的方式购买一套住宅，已知其贷款了M元，还贷月利率为r，共贷款N年。此人采用每月还款金额固定减少的方式归还贷款（即前一月与后一月还款金额之差保持不变），

（1）试建立模型计算该人第一个月应归还多少贷款且今后每月应减少多少金额，可使其总支付费用最小。（不需求解）

（2）试写出相应的MATLAB求解程序

14设某机器转售价格)(tR是时间t（周）的减函数4843)(teAtR（元），其中A是机器的最初价格。在任何时间，机器开动就能产生484teAP的利润。问机器使用了多长时间后转售出去能使总利润最大？机器卖了多少钱？

提示：假设机器使用了x周后出售，此时的售价是9643)(teAtR，在这段时间内机器创造的利润是 xtdteA0484 。于是，问题就成了求总收入9643)(teAxfxtdteA0484，),0(x的最大值。

答案：总利润AP01.11, 机器卖了1283A元。

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第 6 页共11页是150元及250元。该制造商的总预算是50000元。问他该如何分配这笔钱于雇佣劳力与资本，以使生产量最高。

解：这是个条件极值问题．求在条件

150x+250y=50 000下

f(x，y)=100的最大值．

令F(x，y，)=lOO+?(50 000—150x一250y) 得

由(1)式解得A=去z一{了寺代人(2)式得

上式两边同乘，有

25x-125y=0

既X=5y代入(3) y=50,x=250

即该制造商应该雇用250个劳动力而把其余的部分作为资本投入，这时可获得最大产量．

f(250，50)=16 719

解假设银行支付给存户的年利率是r,(0

A = kr2 (k>0, 为比例系数)

把这笔钱以12%的年利率贷出一年后可得款额为 (1+0.12)A, 而银行支付给存户的款额为(1+r)A, 银行获利为

L(r) = (1 + 0.12)A - (1+ r)A

= (0.12 - r)A = (0.12 - r)k r2

0)324.0(2rrkdrdp

所以 r=0.08, r=0 (舍去)

当 r<0.08时，L’ ( r ) >0,

当 r>0.08时，L’ ( r)<0,

且 r = 0.08 是 (0,1) 中唯一的极值点

故取8% 的年利率付给存户银行可获得者大利润

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第 7 页共11页 2、已知某制造商的生产函数是4143100),(yxyxf，每个劳动力与每单位资本的成本分别是150元及250元。该制造商的总预算是50000元。问他该如何分配这笔钱于雇佣劳力与资本，以使生产量最高。

解：这是个条件极值问题．求在条件

150x+250y=50 000下

f(x，y)=100的最大值．

令F(x，y，)=lOO+?(50 000—150x一250y) 得

由(1)式解得A=去z一{了寺代人(2)式得

上式两边同乘，有

25x-125y=0

既X=5y代入(3) y=50,x=250

即该制造商应该雇用250个劳动力而把其余的部分作为资本投入，这时可获得最大产量．

f(250，50)=16 719

大学数学模型试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10分）

1. 数学模型的一般步骤不包括以下哪一项？

A. 模型准备

B. 模型假设

C. 模型求解

D. 数据分析

答案：D

2. 在数学建模中，以下哪一项不是模型的分类？

A. 确定性模型

B. 随机性模型

C. 动态模型

D. 线性模型

答案：D

3. 数学模型的建立过程中，以下哪一项是不需要的？

A. 收集数据

B. 模型假设

C. 模型求解

D. 编写程序

答案：D

4. 在数学建模中，以下哪一项是模型验证的主要方法？

A. 理论分析

B. 实验验证

C. 专家评估

D. 以上都是

答案：D

5. 数学模型的最终目的是？

A. 解决实际问题

B. 获得数学结论 C. 发表学术论文

D. 展示数学技巧

答案：A

二、填空题（每题2分，共10分）

1. 数学模型的三个基本要素包括______、______和______。

答案：假设、变量、关系

2. 模型的分类中，根据模型的确定性与否，可以分为______模型和______模型。

答案：确定性、随机性

3. 数学建模的一般步骤中，模型准备阶段包括______、______和______。

答案：明确问题、收集资料、提出假设

4. 在数学模型的求解过程中，常用的数学方法包括______、______和______。答案：代数方法、几何方法、微积分方法

5. 数学模型的最终评价标准是______和______。

答案：实用性、准确性

三、简答题（每题10分，共20分）

1. 简述数学模型在解决实际问题中的作用。

答案：数学模型在解决实际问题中的作用主要体现在以下几个方面：首先，数学模型可以帮助我们理解复杂系统的行为和规律，通过建立数学模型，我们可以将实际问题抽象化，从而更容易地分析和解决问题。其次，数学模型可以预测未来的发展和变化，通过模型的求解和分析，我们可以预测系统在未来某一时刻的状态，为决策提供依据。最后，数学模型可以优化决策，通过模型的分析，我们可以找到最优的解决方案，提高决策的效率和效果。

数学模型试题及答案解析

一、单项选择题（每题3分，共30分）

1. 以下哪个不是数学模型的特征？

A. 抽象性

B. 精确性

C. 可验证性

D. 复杂性

答案：D

2. 数学模型的建立通常不包括以下哪个步骤？

A. 定义问题

B. 收集数据

C. 建立假设

D. 验证结果

答案：D

3. 在数学建模中，以下哪个不是模型分析的方法？

A. 定性分析

B. 数值分析

C. 图形分析

D. 统计分析

答案：D

4. 数学模型的验证不包括以下哪项？

A. 内部一致性检验

B. 与已知结果比较

C. 与实验数据比较

D. 模型的优化

答案：D

5. 在数学建模中，以下哪个不是模型的类型？

A. 确定性模型

B. 随机模型

C. 动态模型

D. 静态模型

答案：D

6. 以下哪个是数学模型的典型应用领域？

A. 经济学

B. 物理学

C. 生物学

D. 所有以上

答案：D

7. 数学模型的建立过程中，以下哪个步骤是不必要的？

A. 问题定义 B. 假设建立

C. 模型求解

D. 模型展示

答案：D

8. 数学模型的分析中，以下哪个不是常用的工具？

A. 微分方程

B. 线性代数

C. 概率论

D. 量子力学

答案：D

9. 在数学建模中，以下哪个不是模型的评估标准？

A. 准确性

B. 可解释性

C. 简洁性 D. 复杂性

答案：D

10. 数学模型的建立过程中，以下哪个步骤是至关重要的？

A. 问题定义

B. 数据收集

C. 模型求解

D. 模型验证

答案：A

二、多项选择题（每题5分，共20分）

大学数学模型试题及答案 2

大学数学模型试题及答案

一、选择题（每题4分，共20分）

1. 以下哪个选项是线性方程的解？

A. x = 2

B. x = 3

C. x = 4

D. x = 5

答案：A

2. 函数f(x) = 2x + 3在x = 1处的导数是：

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

答案：B

3. 以下哪个选项是二阶线性微分方程？

A. y'' - 2y' + y = 0

B. y'' + y' = 0

C. y'' - y = 0

D. y'' + 2y' + y = 0

答案：A

4. 积分∫(0到1) x^2 dx的值是： A. 1/3

B. 1/2

C. 2/3

D. 1

答案：A

5. 以下哪个选项是正态分布的概率密度函数？

A. f(x) = 1/√(2πσ^2) * e^(-(x-μ)^2/2σ^2)

B. f(x) = 1/√(2π) * e^(-x^2/2)

C. f(x) = 1/(σ√(2π)) * e^(-(x-μ)^2/2σ^2)

D. f(x) = 1/(2πσ) * e^(-(x-μ)^2/2σ^2)

答案：C

二、填空题（每题4分，共20分）

1. 如果一个函数是奇函数，那么它的图象关于______对称。

答案：原点

2. 函数y = x^3 - 3x + 2的极值点是______。

答案：1

3. 微分方程dy/dx = y + x的通解是______。

答案：y = Ce^(-x) + x

4. 圆的面积公式是______。

答案：πr^2

5. 矩阵A = [1 2; 3 4]的行列式是______。

答案：-2

三、解答题（每题15分，共30分）

1. 证明函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15在区间[1,3]上是单调递增的。

答案：首先计算f(x)的导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。然后找出导数的零点，解方程3x^2 - 12x + 9 = 0，得到x = 1和x = 3。由于f'(x)在区间(1,3)内大于0，所以f(x)在区间[1,3]上是单调递增的。

数学建模-赛题-微分方程竞赛试题

2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

（请先阅读 “对论文格式的统一要求”）

A题 SARS的传播

SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：

非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓

延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经

验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造

条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：

（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。

（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎

样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模

型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延

后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的

数据供参考。

（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预

测。附件3提供的数据供参考。

（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。

附件1：

SARS疫情分析及对北京疫情走势的预测

2003年5月8日

在病例数比较多的地区，用数理模型作分析有一定意义。前几天，XXX老师用解析公

式分析了北京SARS疫情前期的走势。在此基础上，我们加入了每个病人可以传染他人的期

限（由于被严格隔离、治愈、死亡等），并考虑在不同阶段社会条件下传染概率的变化，然

后先分析香港和广东的情况以获得比较合理的参数，最后初步预测北京的疫情走势。希望这

种分析能对认识疫情，安排后续的工作生活有帮助。

1 模型与参数

假定初始时刻的病例数为N0，平均每病人每天可传染K个人（K一般为小数），平均每

个病人可以直接感染他人的时间为L天。则在L天之内，病例数目的增长随时间t(单位天)的

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2018年度安规考试试题及答案

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2015年安规考试复习题答案(题库)(20210123205110)

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2020安规考试题含答案

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