2017相似图形的专题训练

2017中考数学真题汇编---利用相似三角形的性质解答综合题1．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．（1）求证：△BDE∽△CEF；（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．2．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．3．如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，交CD于点F．且CE=CF．（1）求证：直线CA是⊙O的切线；（2）若BD=DC，求的值．4．已知：如图，MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN．求证：（1）DE是⊙O的切线；（2）ME2=MD?MN．5．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；6．已知：四边形OABC是菱形，以O为圆心作⊙O，与BC相切于点D，交OA 于E，交OC于F，连接OD，DF．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）连接EF交OD于点G，若∠C=45°，求证：GF2=DG?OE．7．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．8．如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为半径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若AF=12，BE=6，求的值．9．如图，已知AB、CD为⊙O的两条直径，DF为切线，过AO上一点N作NM ⊥DF于M，连结DN并延长交⊙O于点E，连结CE．（1）求证：△DMN∽△CED．（2）设G为点E关于AB对称点，连结GD、GN，如果∠DNO=45°，⊙O的半径为3，求DN2+GN2的值．10．已知AB为⊙O的直径，BC⊥AB于B，且BC=AB，D为半圆⊙O上的一点，连接BD并延长交半圆⊙O的切线AE于E．（1）如图1，若CD=CB，求证：CD是⊙O的切线；（2）如图2，若F点在OB上，且CD⊥DF，求的值．11．将一副三角板Rt△ABD与Rt△ACB（其中∠ABD=90°，∠D=60°，∠ACB=90°，∠ABC=45°）如图摆放，Rt△ABD中∠D所对直角边与Rt△ACB斜边恰好重合．以AB为直径的圆经过点C，且与AD交于点E，分别连接EB，EC．（1）求证：EC平分∠AEB；（2）求的值．12．如图示AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE=EF，线段CE交弦AB于点D．①求证：CE∥BF；②若BD=2，且EA：EB：EC=3：1：，求△BCD的面积（注：根据圆的对称性可知OC⊥AB）．13．已知：如图，在△ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC 于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P．（1）求证：AD=DE；（2）若CE=2，求线段CD的长；（3）在（2）的条件下，求△DPE的面积．14．如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连接OD．作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F．已知CE=12，BE=9．（1）求证：△COD∽△CBE．（2）求半圆O的半径r的长．15．如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE?CP的值．16．如图，已知BC是⊙O的直径，点D为BC延长线上的一点，点A为圆上一点，且AB=AD，AC=CD．（1）求证：△ACD∽△BAD；（2）求证：AD是⊙O的切线．17．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）求证：DE2=DF?DA．18．如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．（1）求证：PT2=PA?PB；（2）若PT=TB=，求图中阴影部分的面积．19．如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：CB是∠ECP的平分线；（2）求证：CF=CE；（3）当=时，求劣弧的长度（结果保留π）20．△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF 的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．21．如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB 于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．22．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF 于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．23．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O交AB边于点M，交BC边于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠BCP=∠BAN．（1）求证：△ABC为等腰三角形．（2）求证：AM?CP=AN?CB．24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△PBD∽△DCA；（3）当AB=6，AC=8时，求线段PB的长．25．如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF?AC．26．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF ⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G．（1）求证：BG=DE；（2）若点G为CD的中点，求的值．27．如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分∠DEB，F为CE的中点，连接AF，BF，过点E作EH∥BC分别交AF，CD于G，H两点．（1）求证：DE=DC；（2）求证：AF⊥BF；（3）当AF?GF=28时，请直接写出CE的长．28．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图2，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由．29．如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，△AEF∽△ABC．（1）求证：△AED≌△AFD；（2）若BC=2AD，求证：四边形AEDF是正方形．30．如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE=AB，点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D→C→Ｂ向终点B运动，直线EP交AD 于点F，过点F作直线FG⊥DE于点G，交AB于点R．（1）求证：AF=AR；（2）设点P运动的时间为t，①求当t为何值时，四边形PRBC是矩形？②如图2，连接PB．请直接写出使△PRB是等腰三角形时t的值．31．将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．（1）将图1中△A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；（2）在图2中，若AP1=a，则CQ等于多少？（3）将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转到△A2B2C（如图3），点P2是A2C与AP1的交点．当旋转角为多少度时，有△AP1C∽△CP1P2？这时线段CP1与P1P2之间存在一个怎样的数量关系？．32．把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F 在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值；（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．33．△ABC，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，一条直线DE与边AC相交于点D，与边AB相交于点E．（1）如图①，若DE将△ABC分成周长相等的两部分，则AD+AE等于多少；（用a、b、c表示）（2）如图②，若AC=3，AB=5，BC=4．DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，求AD；（3）如图③，若DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，且DE∥BC，则a、b、c满足什么关系？34．如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F 为AE上一点，且∠BFE=∠C．（1）求证：△ABF∽△EAD；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长．35．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，线段BE、CD相交于点O，且∠DCB=∠EBC=∠A．（1）求证：△BOD∽△BAE；（2）求证：BD=CE；（3）若M、N分别是BE、CE的中点，过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗？为什么？36．如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．（1）求证：AB=GD；（2）如图2，当CG=EG时，求的值．37．如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE与AC 交于点M，EF与AC交于点N，动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，伴随点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；动点K从点P出发沿折线PE﹣﹣EF以每秒1个单位长的速度匀速运动．点P、K同时开始运动，当点K到达点F时停止运动，点P也随之停止．设点P、K运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t=1时，KE=，EN=；（2）当t为何值时，△APM的面积与△MNE的面积相等？（3）当点K到达点N时，求出t的值；（4）当t为何值时，△PKB是直角三角形？38．如图，四边形中ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，P为对角线AC延长线上的任意一点，PF交AD于M，PE交BC于N，EF交MN于K．求证：K是线段MN的中点．39．如图，过圆O直径的两端点M、N各引一条切线，在圆O上取一点P，过O、P两点的直线交两切线于R、Q．（1）求证：△NPQ∽△PMR；（2）如果圆O的半径为，且S△PMR=4S△PNQ，求NP的长．40．已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，点P在AC上，且∠MPN=90°．（1）当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F．证明：△PME∽△PNF，PN=PM．（2）当PC=PA，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请分别写出线段PN、PM之间的数量关系（不用证明）．参考答案与解析1．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．（1）求证：△BDE∽△CEF；（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．解：(1)∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠BDE=180°-∠B-∠DEB，∠CEF=180°-∠DEF-∠DEB，∵∠DEF=∠B，∴∠BDE=∠CEF，∴△BDE∽△CEF；(2)∵△BDE∽△CEF，∴BE：CF=DE：EF，∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴CE：CF=DE：EF，∵∠DEF=∠B=∠C，∴△DEF∽△CEF，∴∠DFE=∠CFE，∴FE平分∠DFC.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．2．（2017?泰安）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．【分析】（1）直接利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出∠BDC=∠PDC；（2）首先过点C作CM⊥PD于点M，进而得出△CPM∽△APD，求出EC的长即可得出答案．【解答】（1）证明：∵AB=AD，AC平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ACD+∠BDC=90°，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ADC+∠BDC=90°，∵PD⊥AD，∴∠ADC+∠PDC=90°，∴∠BDC=∠PDC；（2）解：过点C作CM⊥PD于点M，∵∠BDC=∠PDC，∴CE=CM，∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，∴△CPM∽△APD，∴=，设CM=CE=x，∵CE：CP=2：3，∴PC=x，∵AB=AD=AC=1，∴=，解得：x=，故AE=1﹣=．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，正确得出△CPM∽△APD是解题关键．3．（2017?攀枝花）如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，交CD于点F．且CE=CF．（1）求证：直线CA是⊙O的切线；（2）若BD=DC，求的值．【分析】（1）若要证明直线CA是⊙O的切线，则只要证明∠ACB=90°即可；（2）易证△ADF∽△ACE，由相似三角形的性质以及结合已知条件即可求出的值．【解答】解：（1）证明：∵BC为直径，∴∠BDC=∠ADC=90°，∴∠1+∠3=90°∵AE平分∠BAC，CE=CF，∴∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠2+∠3=90°，∵∠3=∠4，∴∠2+∠5=90°，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，∴直线CA是⊙O的切线；（2）由（1）可知，∠1=∠2，∠3=∠5，∴△ADF∽△ACE，∴，∵BD=DC，∴tan∠ABC=，∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACD+∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACD，∴tan∠ACD=，∴sin∠ACD=，∴．【点评】本题考查了切线的判断和性质、相似三角形的判断和性质、圆周角定理以及三角函数的性质，熟记切线的判断和性质是解题的关键．4．（2017?黄冈）已知：如图，MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN．求证：（1）DE是⊙O的切线；（2）ME2=MD?MN．【分析】（1）求出OE∥DM，求出OE⊥DE，根据切线的判定得出即可；（2）连接EN，求出∠MDE=∠MEN，求出△MDE∽△MEN，根据相似三角形的判定得出即可．【解答】证明：（1）∵ME平分∠DMN，∴∠OME=∠DME，∵OM=OE，∴∠OME=∠OEM，∴∠DME=∠OEM，∴OE∥DM，∵DM⊥DE，∴OE⊥DE，∵OE过O，∴DE是⊙O的切线；（2）连接EN，∵DM⊥DE，MN为⊙O的直径，∴∠MDE=∠MEN=90°，∵∠NME=∠DME，∴△MDE∽△MEN，∴=，∴ME2=MD?MN【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．5．（2017?阿坝州）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；【分析】（1）依据等腰三角形的性质得到AB=AC，AD=AE，依据同角的余角相等得到∠DAB=∠CAE，然后依据SAS可证明△ADB≌△AEC，最后，依据全等三角形的性质可得到BD=CE；（2）分为点E在AB上和点E在AB的延长线上两种情况画出图形，然后再证明△PEB∽△AEC，最后依据相似三角形的性质进行证明即可．【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE．∴△ADB≌△AEC．∴BD=CE．（2）解：①当点E在AB上时，BE=AB﹣AE=1．∵∠EAC=90°，∴CE==．同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠PEB=∠AEC，∴△PEB∽△AEC．∴=．∴=．∴PB=．②当点E在BA延长线上时，BE=3．∵∠EAC=90°，∴CE==．同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠BEP=∠CEA，∴△PEB∽△AEC．∴=．∴=．∴PB=．综上所述，PB的长为或．【点评】本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，证明得△PEB∽△AEC是解题的关键．6．（2017?锦州）已知：四边形OABC是菱形，以O为圆心作⊙O，与BC相切于点D，交OA于E，交OC于F，连接OD，DF．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）连接EF交OD于点G，若∠C=45°，求证：GF2=DG?OE．【分析】（1）过O作OH⊥AB，由菱形的性质可求得OH=OD，由切线的性质可知OD为圆O的半径，可得OH为圆O的半径，可证得结论；（2）由条件可证明△DGF∽△DFO，再利用相似三角形的性质可证得结论．【解答】证明：（1）如图，过O作OH⊥AB，∵四边形OABC为菱形，∴AB=BC，∵BC为⊙O的切线，∴OD⊥BC，且OD为⊙O的半径，∴AB?OH=BC?OD，∴OH=OD，∴AB为⊙O的切线；（2）由（1）可知OD⊥CB，∴AO⊥DO，∴∠AOD=90°，∴∠DFE=∠AOD=45°，∵∠C=45°，且∠ODC=90°，∴∠DOF=45°，在△OGF中，∠DGF为△OGF的外角，∴∠DGF=∠DOF+∠GFO=45°+∠GFO，∵∠DFO=∠DFG+∠GFO=45°+∠GFO，∴∠DGF=∠DFO，且∠GDF=∠FDO，∴△DGF∽△DFO，∴=，即DF?GF=DG?OF，∵OF=OD=OE，∴DF=GF，∴GF2=DG?OE．【点评】本题主要考查切线的判定和性质及相似三角形的判定，掌握切线的判定方法和相似三角形的判定方法是解题的关键，注意等积法的应用．7．（2017?杭州）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG ⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．【分析】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；（2）△ADE∽△ABC，，又易证△EAF∽△CAG，所以，从而可知．【解答】解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°，∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB，∵∠EAD=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，∴=由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，∴∠EAF=∠GAC，∴△EAF∽△CAG，∴，∴=【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于中等题型．8．（2017?巴中）如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为半径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若AF=12，BE=6，求的值．【分析】（1）连接OE，证明FG是⊙O的切线，只要证明∠OEF=90°即可；（2）先根据角平分线的性质得出EF=BE=6，再证明△ADF∽△FCE，根据相似三角形对应边成比例得出==．【解答】（1）证明：如图，连接OE，∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO，∵AE平分∠FAH，∴∠EAO=∠FAE，∴∠FAE=∠AEO，∴AF∥OE，∴∠AFE+∠OEF=180°，∵AF⊥GF，∴∠AFE=∠OEF=90°，∴OE⊥GF，∵点E在圆上，OE是半径，∴GF是⊙O的切线；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴EB⊥AB，∵EF⊥AF，AE平分∠FAH，∴EF=BE=6，又∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠C=90°，∴∠DAF+∠AFD=90°，又∵AF⊥FG，∴∠AFG=90°，∴∠AFD+∠CFE=90°，∴∠DAF=∠CFE，又∵∠D=∠C，∴△ADF∽△FCE，∴=，又∵AF=12，EF=6，∴==．【点评】本题考查的是切线的判定，解决本题的关键是要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质．9．（2017?德阳）如图，已知AB、CD为⊙O的两条直径，DF为切线，过AO上一点N作NM⊥DF于M，连结DN并延长交⊙O于点E，连结CE．（1）求证：△DMN∽△CED．（2）设G为点E关于AB对称点，连结GD、GN，如果∠DNO=45°，⊙O的半径为3，求DN2+GN2的值．【分析】（1）先利用直径所对的圆周角是直角和切线的性质得：∠DEC=∠NMD=90°，再证明CD∥NM，可得∠MND=∠EDC，根据两角对应相等可得两三角形相似；（2）先证明△GND是直角三角形，再根据△EGN是等腰直角三角形得∠GEN=45°，证明△GOD是直角三角形，利用勾股定理可得结论．【解答】证明：（1）∵DF为⊙O的切线，∴DF⊥CD，∵NM⊥DF，∴NM∥CD，∴∠MND=∠EDC，∵CD为⊙O的直径，NM⊥DF，∴∠DEC=∠NMD=90°，∴△DMN∽△CED；（2）连接GE，CG，OC，∵G为点E关于AB对称点，∴AO垂直平分EG，∴GN=EN，∠GNA=∠ENA，∵∠DNO=45°，∴∠ENA=45°，∴∠GNE=90°，∴∠GND=180°﹣90°=90°，∴△GND是直角三角形，∴DN2+GN2=DG2，∵△EGN是等腰直角三角形，∴∠GEN=45°，∴∠C=∠GEN=45°，∵OG=OC，∴∠CGO=∠C=45°，∴∠GOD=90°，∴△GOD是直角三角形，∴DG2=OG2+OD2=32+32=18，∴DN2+GN2=DG2=18．【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定及性质、勾股定理等知识，第2问有难度，证明∠C=45°是解决第（2）小题的关键．10．（2017?十堰）已知AB为⊙O的直径，BC⊥AB于B，且BC=AB，D为半圆⊙O上的一点，连接BD并延长交半圆⊙O的切线AE于E．（1）如图1，若CD=CB，求证：CD是⊙O的切线；（2）如图2，若F点在OB上，且CD⊥DF，求的值．【分析】（1）连接DO，CO，易证△CDO≌△CBO，即可解题；（2）连接AD，易证△ADF∽△BDC和△ADE∽△BDA，根据相似三角形对应边成比例的性质即可解题．【解答】解：（1）连接DO，CO，∵BC⊥AB于B，∴∠ABC=90°，在△CDO与△CBO中，，∴△CDO≌△CBO，∴∠CDO=∠CBO=90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADF+∠BDF=90°，∠DAB+∠DBA=90°，∵∠BDF+∠BDC=90°，∠CBD+∠DBA=90°，∴∠ADF=∠BDC，∠DAB=∠CBD，∵在△ADF和△BDC中，，∴△ADF∽△BDC，∴=，∵∠DAE+∠DAB=90°，∠E+∠DAE=90°，∴∠E=∠DAB，∵在△ADE和△BDA中，，∴△ADE∽△BDA，∴=，∴=，即=，∵AB=BC，∴=1．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证△ADF∽△BDC和△ADE∽△BDA是解题的关键．11．（2017?宁夏）将一副三角板Rt△ABD与Rt△ACB（其中∠ABD=90°，∠D=60°，∠ACB=90°，∠ABC=45°）如图摆放，Rt△ABD中∠D所对直角边与Rt△ACB斜边恰好重合．以AB为直径的圆经过点C，且与AD交于点E，分别连接EB，EC．（1）求证：EC平分∠AEB；（2）求的值．【分析】（1）由Rt△ACB中∠ABC=45°，得出∠BAC=∠ABC=45°，根据圆周角定理得出∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，等量代换得出∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB；（2）方法1、设AB与CE交于点M．根据角平分线的性质得出=．易求∠BAD=30°，由直径所对的圆周角是直角得出∠AEB=90°，解直角△ABE得到AE=BE，那么==．作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．证明△AFM∽△BGM，根据相似三角形对应边成比例得出==，进而求出===．方法2、易求∠BAD=30°，由直径所对的圆周角是直角得出∠AEB=90°，解直角△ABE得到AE=BE，那么==，再用角平分线定理判断出CP=CQ，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，∴∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB；（2）解：如图，设AB与CE交于点M．∵EC平分∠AEB，∴=．在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠D=60°，∴∠BAD=30°，∵以AB为直径的圆经过点E，∴∠AEB=90°，∴tan∠BAE==，∴AE=BE，∴==．作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．在△AFM与△BGM中，∵∠AFM=∠BGM=90°，∠AMF=∠BMG，∴△AFM∽△BGM，∴==，【分析】①连接AC，BE，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠F=∠AEB，由圆周角定理得出∠AEC=∠BEC，证出∠AEC=∠F，即可得出结论；②证明△ADE∽△CBE，得出，证明△CBE∽△CDB，得出，求出CB=2，得出AD=6，AB=8，由垂径定理得出OC⊥AB，AG=BG=AB=4，由勾股定理求出CG==2，即可得出△BCD的面积．【解答】①证明：连接AC，BE，作直线OC交AB于G，如图所示：∵BE=EF，∴∠F=∠EBF；∵∠AEB=∠EBF+∠F，∴∠F=∠AEB，∵C是的中点，∴，∴∠AEC=∠BEC，∵∠AEB=∠AEC+∠BEC，∴∠AEC=∠AEB，∴∠AEC=∠F，∴CE∥BF；②解：∵∠DAE=∠DCB，∠AED=∠CEB，∴△ADE∽△CBE，∴，即，∵∠CBD=∠CEB，∠BCD=∠ECB，∴△CBE∽△CDB，∴，即，∴CB=2，∴AD=6，∴AB=8，∵点C为劣弧AB的中点，∴OC⊥AB，AG=BG=AB=4，∴CG==2，∴△BCD的面积=BD?CG=×2×2=2．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、三角形的外角性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理，证明三角形相似是解决问题的关键．13．（2017?桂林）已知：如图，在△ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P．（1）求证：AD=DE；（2）若CE=2，求线段CD的长；（3）在（2）的条件下，求△DPE的面积．【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ADB=90°，再根据等腰三角形的性质可证AD=DE；（2）根据AA可证△CED∽△CAB，根据相似三角形的性质和已知条件可求CD；（3）延长EF交⊙O于M，在Rt△ABD中，根据勾股定理可求BD，根据AA可证△BPE∽△BED，根据相似三角形的性质可求BP，进一步求得DP，根据等高三角形面积比等于底边的比可得S△DPE：S△BPE=13：32，S△BDE：S△BCD=4：5，再根据三角形面积公式即可求解．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵AB=BC，∴D是AC的中点，∠ABD=∠CBD，∴AD=DE；（2）解：∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠CED=∠CAB，∵∠C=∠C，∴△CED∽△CAB，∴=，∵AB=BC=10，CE=2，D是AC的中点，∴CD=；（3）解：延长EF交⊙O于M，在Rt△ABD中，AD=，AB=10，∴BD=3，∵EM⊥AB，AB是⊙O的直径，∴=，∴∠BEP=∠EDB，∴△BPE∽△BED，∴=，∴BP=，∴DP=BD﹣BP=，∴S△DPE：S△BPE=DP：BP=13：32，∵S△BCD=××3=15，S△BDE：S△BCD=BE：BC=4：5，∴S△BDE=12，∴S△DPE=．【点评】考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的知识．注意准确作出辅助线、掌握方程思想的应用是解此题的关键．14．（2017?衢州）如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连接OD．作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F．已知CE=12，BE=9．（1）求证：△COD∽△CBE．（2）求半圆O的半径r的长．【分析】（1）由切线的性质和垂直的定义得出∠E=90°=∠CDO，再由∠C=∠C，得出△COD∽△CBE．（2）由勾股定理求出BC==15，由相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵CD切半圆O于点D，∴CD⊥OD，∴∠CDO=90°，∵BE⊥CD，∴∠E=90°=∠CDO，又∵∠C=∠C，∴△COD∽△CBE．（2）解：在Rt△BEC中，CE=12，BE=9，∴BC==15，∵△COD∽△CBE．∴，即，解得：r=．【点评】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定及其性质、勾股定理；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．15．（2017?乐山）如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE?CP的值．【分析】（1）连结OP，根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ACP=120°，然后计算出∠PAD和∠D的度数，进而可得∠OPD=90°，从而证明PD是⊙O的切线；（2）连结BC，首先求出∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，然后可得AC长，再证明△CAE∽△CPA，进而可得，然后可得CE?CP的值．【解答】解：（1）如图，PD是⊙O的切线．证明如下：连结OP，∵∠ACP=60°，∴∠AOP=120°，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA=30°，∵PA=PD，∴∠PAO=∠D=30°，∴∠OPD=90°，∴PD是⊙O的切线．（2）连结BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵C为弧AB的中点，∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，∵AB=4，．∵∠C=∠C，∠CAB=∠APC，∴△CAE∽△CPA，∴，∴CP?CE=C A2=（2）2=8．【点评】此题主要考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定，关键是掌握切线的判定定理和相似三角形的判定与性质定理．16．（2017?怀化）如图，已知BC是⊙O的直径，点D为BC延长线上的一点，点A为圆上一点，且AB=AD，AC=CD．（1）求证：△ACD∽△BAD；（2）求证：AD是⊙O的切线．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠CAD=∠B，由于∠D=∠D，于是得到△ACD∽△BAD；（2）连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠OAB，得到∠OAB=∠CAD，由BC是⊙O的直径，得到∠BAC=90°即可得到结论．【解答】证明：（1）∵AB=AD，∴∠B=∠D，∵AC=CD，∴∠CAD=∠D，∴∠CAD=∠B，∵∠D=∠D，∴△ACD∽△BAD；（2）连接OA，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB，∴∠OAB=∠CAD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切线．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．17．（2017?滨州）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）求证：DE2=DF?DA．【分析】（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF?DA，据此可得DE2=DF?DA．【解答】解：（1）如图所示，连接OD，∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴=，∴OD⊥BC，又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM，∴直线DM是⊙O的切线；（2）如图所示，连接BE，∵点E是△ABC的内心，∴∠BAE=∠CAE=∠CBD，∠ABE=∠CBE，∴∠BAE+∠ABE=∠CBD+∠CBE，即∠BED=∠EBD，∴DB=DE，∵∠DBF=∠DAB，∠BDF=∠ADB，∴△DBF∽△DAB，∴=，即DB2=DF?DA，∴DE2=DF?DA．【点评】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．18．（2017?黔东南州）如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．（1）求证：PT2=PA?PB；（2）若PT=TB=，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OT，只要证明△PTA∽△PBT，可得=，由此即可解决问题；（2）首先证明△AOT是等边三角形，根据S阴=S扇形OAT﹣S△AOT计算即可；【解答】（1）证明：连接OT．∵PT是⊙O的切线，∴PT⊥OT，∴∠PTO=90°，∴∠PTA+∠OTA=90°，∵AB是直径，∴∠ATB=90°，∴∠TAB+∠B=90°，∵OT=OA，∴∠OAT=∠OTA，∴∠PTA=∠B，∵∠P=∠P，∴△PTA∽△PBT，∴=，∴PT2=PA?PB．（2）∵TP=TB=，∴∠P=∠B=∠PTA，∵∠TAB=∠P+∠PTA，∴∠TAB=2∠B，∵∠TAB+∠B=90°，∴∠TAB=60°，∠B=30°，∴tanB==，∴AT=1，∵OA=OT，∠TAO=60°，∴△AOT是等边三角形，∴S阴=S扇形OAT﹣S△AOT=﹣?12=﹣．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、扇形的面积等计算等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，第二个问题的关键是证明△AOT的等边三角形．19．（2017?广东）如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：CB是∠ECP的平分线；（2）求证：CF=CE；（3）当=时，求劣弧的长度（结果保留π）【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）欲证明CF=CE，只要证明△ACF≌△ACE即可；（3）作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=4a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的性质求出BM，求出tan∠BCM的值即可解决问题；【解答】（1）证明：∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP=∠CEB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，∴∠BCE=∠BCP，∴BC平分∠PCE．（2）证明：连接AC．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，∵∠BCP=∠BCE，∴∠ACF=∠ACE，∵∠F=∠AEC=90°，AC=AC，∴△ACF≌△ACE，∴CF=CE．（3）解：作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，∵△BMC∽△PMB，∴=，∴BM2=CM?PM=3a2，∴BM=a，∴tan∠BCM==，∴∠BCM=30°，∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∴的长==π．【点评】本题考查切线的性质、角平分线的判定、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．20．（2017?天水）△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形，易得∠B=∠C=45°，AB=AC，又由AP=AQ，E是BC的中点，利用SAS，可证得：△BPE≌△CQE；（2）由△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，易得∠B=∠C=∠DEF=45°，然后利用三角形的外角的性质，即可得∠BEP=∠EQC，则可证得：△BPE∽△CEQ；根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长，即可得BC的长，【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，AB=AC，∵AP=AQ，∴BP=CQ，∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△BPE和△CQE中，∵，∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）解：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，∴∠BEP=∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴=，∵BP=2，CQ=9，BE=CE，∴BE2=18，∴BE=CE=3，∴BC=6．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度较大，注意数形结合思想的应用．21．（2017?德州）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．【分析】（1）求出∠OED=∠BCA=90°，根据切线的判定得出即可；（2）求出△BEC∽△BCA，得出比例式，代入求出即可．【解答】（1）证明：连接OE、EC，∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC=∠BEC=90°，∵D为BC的中点，∴ED=DC=BD，∴∠1=∠2，∵OE=OC，∴∠3=∠4，∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠OED=∠ACB，∵∠ACB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；（2）解：由（1）知：∠BEC=90°，∵在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B=∠B，∠BEC=∠BCA，∴△BEC∽△BCA，∴=，∴BC2=BE?BA，∵AE：EB=1：2，设AE=x，则BE=2x，BA=3x，∵BC=6，∴62=2x?3x，解得：x=，即AE=．【点评】本题考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定，能求出∠OED=∠BCA和△BEC∽△BCA是解此题的关键．22．（2017?河池）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF 于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．。

初中数学中考一轮复习——空间与图形第七单元 图形与变换第二十七讲 图形的相似（时间：90分，满分120分）一．选择题（每小题3分，满分30分）1．图，△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，且DE ∥BC ，如果23AD AB =，AC=6，那么AE 的长为（ ）A ．3B ．4C ．9D ．122．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DB=2AD ，△ADE 的面积为1，则四边形DBCE 的面积为（ ）A ．2B ．5C ．6D ．83．如图，直线1l // 2l // 3l ，两条直线AC 和DF 与 1l ，2l ， 3l 分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．则下列比例式不正确的是（ ）． A. AB DE BC EF = B. AB DE AC DF = C. AC DF AB DE = D. EF BC ED CA=4．如图，P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E 、F 分别是PB 、PC （靠近点P ）的三等分点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S1、S2、S3，若AD=2，AB=23，∠A=60°，则S1+S2+S3的值为（）A．103B．92C．133D．45．如图，若DC∥FE∥AB，则有（）．A．OD OCOF OE=B．OF OBOE OA=C．OA ODOC OB=D．CD ODEF OE=6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是．117．如图，在△ABC中，D为AB的中点，E为AC的中点，F是DE上一点，且AF⊥BF，若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（）A．2 B．3 C．4 D．58．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）A．①和②B．②和③C．①和③D．②和④9．如图，在平面直角坐标系中，A（2，4）、B（2，0），将△OAB以O为中心缩小一半，则A对应的点的坐标（）A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，2）或（﹣1，﹣2）D．（2，1）或（﹣2，﹣1）10．在直角坐标系中，已知点A（－2，0）、B（0，4）、C（0，3），过点C作直线交x轴于点D，使得以D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线最多可以作（）A．2条B．3条C．4条D．6条二、填空题（每小题3分，共30分）11．已知△ABC与△DEF相似且周长比为2：5，则△ABC与△DEF的相似比为．12．如图，点G为△ABC的重心，GE∥BC，BC=12，则GE= ．13．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（3，3），D（4，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD扩大为原来的两倍，得到线段AB，则线段AB的中点E的坐标为．14．将一副三角板按图叠放，∠A=45°，∠D=60°，∠ABC=∠DCB=90°，则△AOB 与△DOC 的面积之比为__________15．如图，要使△ABC 与△DBA 相似，则只需添加一个适当的条件是 （填一个即可）.16．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，点D 是AC 中点，过点D 作DE ⊥AC 交BC 于点E ，则CE 的长度是 ．17．如图，等边ABC △的边长为3，P 为BC 上一点，且1BP =，D 为AC 上一点，若60APD ∠=°，则CD 的长为 .18．如图，是小李设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB=1.1米，BP=1.9米，PD=19米，那么该古城墙CD 的高度是 米．19．如图，在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE 交BD 于点F ，若EC=2BE ，则BF FD的值是 ．20．把一个矩形剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长边与短边之比为三、解答题（共60分）21．（本题5分）如图△ABC 中，D 、E 是AB 、AC 上点，AB ＝7.8，AD ＝3，AC ＝6，AE ＝3.9，试判断△ADE 与△ABC 是否会相似，22．（本题7分）已知，△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A （-2，2）、B （-1，0）、C （0，1）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． ACB D E（1）画出△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，在网格内画出所有符合条件的△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1位似，且位似比为2：1；（3）求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比．23．（本题7分）如图，已知AB是⊙O的直径，过点O作弦BC的平行线，交过点A的切线AP于点P，连接AC．（1）求证：△ABC∽△POA；（2）若OB=2，OP=72，求BC的长．24．（本题7分）如图，已知在△ABC中，AD是∠BAC平分线，点E在AC边上，且∠AED=∠ADB。

2017年高三模拟理数试题专题之相似三角形含解析一、选择题(本大题共14小题，共70.0分)1.如图，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，点P，Q分别在BD，AD上，则AP+PQ的最小值为（）A. B. C. D.2.如图所示，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3．如果AB边上的点P使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，那么这样的点P有（）A.1个B.2个C.3个D.2个3.如图所示，在▱ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连接AE，BE，BD，且AE，BD交与点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF等于（）A.4：10：25B.4：9：25C.2：3：5D.2：5：254.若三角形的三条边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边为21cm，则其余两边的长度之和为（）A.24cmB.21cmC.19cmD.9cm5.在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，则相似三角形共有（）A.0对B.1对C.2对D.3对6.如图所示，在△ABC中，M在BC上，N在AM上，CM=CN，且=，下列结论中正确的是（）A.△ABM∽△ACBB.△ANC∽△AMBC.△ANC∽△ACMD.△CMN∽△BCA7.如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③=；④AC2=AD•AB．其中能够单独判定△ABC∽△ACD的个数为（）A.1B.2C.3D.48.如图所示，AB∥CD∥EF，且AO=OD=DF，BC=6，则BE等于（）A.9B.10C.11D.129.在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=（）A.4：10：25B.4：9：25C.2：3：5D.2：5：2510.如图所示，圆内接四边形ABCD的一组对边AD，BC的延长线相交于点P，对角线AC，BD相交于点Q，则图中相似三角形共有（）A.4对 B.2对 C.5对 D.3对11.如图所示，P为△ABC内一点，且满足△ABC∽△CPB，∠ABC=∠CPB=90°，，BC=2，则PA=（）A.7B.C.D.12.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，AD平分∠BAC，则BD的值为（）A. B. C. D.13.如图，已知=，DE∥BC，则等于（）A. B. C. D.14.如图所示，l1∥l2∥l3，下列比例式正确的是（）A.=B.=C.=D.=二、填空题(本大题共12小题，共60.0分)15.如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，若=，则= ______ ．16.如图，在△ABC中，AE：EB=1：3，则的值为BD：DC=2：1，AD与CE相交于点F，______ ．17.若两个相似的三角形的对应高度的比为2：3，且周长的18.在△ABC中，D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，若DE=4，则BC= ______ ．19.如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，且AB=2，AD=，则AF=______ ．20.如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF= ______ ．21.如图D在AB上，DE∥BC，DF∥AC，AE=4，EC=2，BC=8．则CF= ______ ．22.如图，已知O为△ABC的重心，∠BOC=90°，若4BC2=AB•AC，则A的大小为______ ．23.在△ABC中，，B=60°，BC边上的高，则BC= ______ ．24.如图，在同一地平面上，有一枝竖直地面的竹杆AB和球O，竹杆的长度和球的直径都是3米，一束太阳光照到竹杆AB留下背影AC长为4米，则该太阳光同时照到球O留下背影DE长为______ 米．25.如图所示，在四边形ABCB'中，△ABC≌△AB'C，AB⊥AB'，cos∠BCB'=，BC=2，则△BCB'外接圆的面积为______ ．26.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC∥EF，E是AB的中点，F是CD的中点，EF交BD于G，交AC于H，若AD=5，BC=8，则GH= ______ ．三、解答题(本大题共18小题，共216.0分)27.已知正方形ABCD中，点E在BC上，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交CD 于点F．（1）如图1，连接AF，若AB=4，BE=1，求AF的长；（2）如图2，连接BD，交AE于点N，连接AC，分别交BD、BF于点O、M，连接GO，求证：GO平分∠AGF；（3）如图3，在第（2）问的条件下，连接CG，若CG⊥GO，求证：AG=CG．28.如图，在△ABC中，∠CAB=45°，∠CBA=30°，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC．（1）证明：A，E，F，B四点共圆；（2）求的值．29.如图所示，D为△ABC中边BC上的一点，∠CAD=∠B，若AD=6，AB=8，BD=7，求DC的长．30.如图，已知BE∥CF∥DG，AB：BC：CD=1：2；3，CF=12cm，求BE，DG的长．31.已知：如图所示，AB∥CD，OD2=BO•OE．求证：AD∥CE32.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD平分∠BAC交BC于D，交△ABC的外接圆于E．（1）求证：；（2）若AB=3，AC=2，BD=1，求AD的长．33.如图，已知锐角△ABC的面积为1，正方形DEFG是△ABC的一个内接三角形，DG∥BC，求正方形DEFG面积的最大值．34.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF是中位线，BD交EF于P，已知EP：PF=1：2，AD=7cm，求BC的长．35.如图，平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2，△AEF的面积为6，求△ADF的面积．36.如图，过点P作圆O的割线PBA与切线PE，E为切点，连接AE，BE，∠APE的平分线与AE，BE分别交于点C，D．（1）求证：=；（2）若∠PCE=2∠AEB，求∠PDB的大小．37.如图所示，已知AB是⊙O的直径，C为圆上任意一点，过C的切线分别与过A，B两点的切线交于P，Q．求证：AB2=4AP•BQ．38.已知点P是圆O外的一点，过P作圆O的切线PA，PB，切点为A，B，过P作一割线交圆O于点E，F，若2PA=PF，取PF的中点D，连接AD，并延长交圆于H．（1）求证：O，A，P，B四点共圆；（2）求证：PB2=2AD•DH．39.如图所示，AB为圆O的直径，BC为圆O的切线，连接OC，D为圆O上一点，且AD∥OC．（1）求证：CO平分∠DCB；（2）已知AD•OC=8，求圆O的半径．40.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：AE•AB=AF•AC．41.已知△ABC中，AB=AC，以点B为圆心，以BC为半径的圆分别交AB，AC于D，E两点，且EF为该圆的直径．（1）求证：∠A=2∠F；（2）若AE=EC=1，求BC的长．42.图，P是O一点PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相点，C，PC=2P，D为中，AD的延长线交⊙OE，证明：A•DE2PB2．43.已知点P是O的一点，过P作O的线A，PB切为A，，过P作一割线交圆O于点EF，若PA=PF取PF的中点，接AD，并延长交于．证：PB2AD•DH．44.如图（1）所示，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片如图（2）所示，量得三角形纸片的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角形纸片摆成如图（3）所示的形状．最后将图（3）中的△ABF绕直线AF翻转180°得到△AB1F，AB1交DE于点H，如图（4）所示，请你帮小明证明：AH=DH．【答案】1.D2.C3.A4.A5.D6.B7.C8.A9.A 10.A 11.C 12.B 13.C 14.D15.16.17.20cm，30cm18.819.120.21.22.23.1或224.25.8π26.27.（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=AD=AB=4，∠ABE=∠C=∠D=90°，AC⊥BD，∠ABO=45°，∴∠ABG+∠CBF=90°，∵BF⊥AE，∴∠ABG+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠CBF，在△BCF和△ABE中，，∴△BCF≌△ABE（ASA），∴CF=BE=1，∴DF=CD=CF=3，∴AF==5；（2）证明：∵AC⊥BD，BF⊥AE，∴∠AOB=∠AGB=∠AGF=90°，∴A、B、G、O四点共圆，∴∠AGO=∠ABO=45°，∴∠FGO=90°-45°=45°=∠AGO，∴GO平分∠AGF；（3）证明：连接EF，如图所示：∵CG⊥GO，∴∠OGC=90°，∴C、E、G、F四点共圆，∴∠EFC=∠EGC=180°-90°-45°=45°，∴△CEF是等腰直角三角形，∴CE=CF，同（1）得：△BCF≌△ABE，∴CF=BE，∴CE=BE=BC，∴OA=AC=BC=CE，由（1）得：A、B、G、O四点共圆，∴∠BOG=∠BAE，∵∠GEC=90°+∠BAE，∠GOA=90°+∠BOG，∴∠GOA=∠GEC，又∵∠EGC=∠AGO=45°，∴△AOG∽△CEG，∴==，∴AG=CG．28.（1）证明：∵CD⊥AB，DE⊥AC，∴∠A=∠CDE，又∵DF⊥BC，∴∠CED=∠CFD=90°，则C、E、D、F四点共圆，所以∠CDE=∠CFE，∴∠A=∠CFE，故∠A+∠EFB=180°，A、E、F、B四点共圆；（2）解：由△CEF～△ACB得，．29.解：∵∠C=∠C，∠CAD=∠B∴△CAD∽△CBA∴，∴．设CD=x，则解得x=9，∴CD=9．30.解∵BE∥CF，∴，∵AB：BC=1：2，∴AE：AF=1：3．∵CF=12cm，∴BE=12×=4（cm）．∵CF∥DG，∴．∴=．∴DG=•CF=24（cm）．31.证明：∵AB∥CD，∴．∵OD2=OB•OE，∴．∴．∴AD∥CE．32.（1）证明：如图，过D作DM∥AB交AC于M，连接BE．∴又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，又DM∥AB，∴∠BAD=∠ADM，∴∠CAD=∠ADM．∴AM=MD．∴，由①②知…（5分）（2）解：∵AD•DE=BD•DC，又，∵△ADC∽△ABE．∴，∴AD•AE=AB•AC，∴AD•（AD+DE）=AB•AC，∴，∴…（10分）33.解：过点A作AN⊥BC交DG于点M，交BC于点N，设AN=h，DE=x=MN=DG，∴BC•h=1，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，故，即，∴h2x-2h+2x=0，由根的判别式可得，即正方形最大面积为．34.解：∵EF是梯形中位线，得EF∥AD∥BC，∴．∵PE：PF=1：2，∴BC=2PF=14cm．35.解：由题意可得△AEF∽△CDF，且相似比为1：3，由△AEF的面积为6，得△CDF的面积为54．则△PED∽△PAC，则=①，又PD平分∠BPE，∴=②，∵PE2=PA•PB，∴①×②可得：=（5分）（2）解：∠PCE=∠A+∠APC=∠PED+∠EPC=∠EDC=∠PDB，∴∠PCE+∠AEB+∠EDC=180°，∴∠AEB=36°，∴∠PDB=72°．（10分）37.证明：如图所示，过P作BQ的垂线PD，垂足为D．∵AP，BQ，PQ切⊙O于A，B，C，∴∠A=∠B=90°，AP=PC，CQ=BQ．∴四边形ABDP为矩形，PQ=AP+BQ，AP=BD，AB=PD．在R t△PQD中，利用勾股定理得：PQ2=PD2+QD2，∴（AP+BQ）2=AB2+（BQ-AP）2．∴AB2=4AP•BQ．38.证明：（1）连接OA，OB，∵PA，PB为圆O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠PAO+∠PBO=180°，∴O，A，P，B四点共圆；（2）由切割线定理可得PA2=PE•PF，∵PF=2PA，∴PA2=PE•2PA，∴PA=2PE，∴PE=ED=PA，由相交弦定理可得AD•DH=ED•DF，∴AD•DH=PA2，∵PB=PA，∴PB2=2AD•DH．39.证明：（1）连接OD，BD，AB是直径，所以：AB⊥BD，OC⊥BD．…（1分）AD∥OC，所以：∠BOE=∠DOE设BD∩OC=E，且OD=OB，OE=OE，所以：△BOE≌△DOE，则：BE=DE，BD⊥OC，所以：CO平分∠DCB．（2）由于：AO=OD，所以：∠OAD=∠ODA，则：∠OAD=∠DOC，…（7分）所以：R t△BDA∽R t△CDO，所以：AD•OC=AB•OD=2OD2=8所以所求的圆的半径为2．40.证明：∵AD⊥BC，∴△ADB为直角三角形，又∵DE⊥AB，由射影定理知，AD2=AE•AB．同理可得AD2=AF•AC，∴AE•AB=AF•AC．41.解：（1）因为AC=AB，所以∠ABC=∠ACB，又因为BC=BE，所以∠BEC=∠ECB，所以∠BEC=∠ABC，所以∠A=∠EBC=2∠F．（5分）（2）由（1）可知△ABC∽△BEC，从而，由AE=1，EC=2，AC=3，得．（10分）42.∵AD•E=BDDC，∵PA切线，A为切点割PBC与相交于点B，C，∴PD=2B，∴E是的中，∴∠PAD=∠A，∴BDDC=B2PB，∵PC=2A，∴O⊥BC，∴EA+∠CE=∠OAE∠PA=90°，∴PA2=P•C，∴PA=P，证明：连接OE，A，则OAE=∠OEA，∠A90，BE=EC；∴AD•DE=2B．43.∴PA2P•2PA，∴OA⊥AOB⊥PB，∴A•DH=PA，O，A，P，B四点共；∵PB=A，∵，PB为圆O的切线，∴∠PO+∠PBO=1°，切线理可得PA2=PE•PF，相交弦理可得A•DH=E•DF，证明：接OAOB，∴P22AD•DH．44.证明：△AHE与△DHB1中，∵∠FAB1=∠EDF=30°，∴FD=FA，EF=FB=FB1，∴FD-FB1=FA-FE，即AE=DB1，又∵∠AHE=∠DHB1，∴△AHE≌△DHB1（AAS），1. 解：设BE=x，则DE=3x，∵四边形ABCD为矩形，且AE⊥BD，∴△ABE∽△DAE，∴AE2=BE•DE，即AE2=3x2，∴AE=x，在R t△ADE中，由勾股定理可得AD2=AE2+DE2，即，解得x=，∴AE=3，DE=，如图，设A点关于BD的对称点为A′，连接A′D，PA′，则A′A=2AE=6=AD，AD=A′D=6，∴△AA′D是等边三角形，∵PA=PA′，∴当A′、P、Q三点在一条线上时，A′P+PQ最小，又垂线段最短可知当PQ⊥AD时，A′P+PQ最小，∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE=，故选D．在R t△ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的长，设A点关于BD的对称点A′，连接A′D，可证明△ADA′为等边三角形，当PQ⊥AD时，则PQ最小，所以当A′Q⊥AD 时AP+PQ最小，从而可求得AP+PQ的最小值等于DE的长，可得出答案..本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定出A的对称点，从而确定出AP+PQ的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明△A′DA是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的计算．2. 解：①当△DAP∽△CBP时，AD：AP=BC：BP，将已知代入得AP=；②当△DAP∽△PBC时，AD：AP=PB：BC，将已知代入得AP=1或AP=6所以这样的点有3个．故选C．分两种情况进行分析，△DAP∽△CBP或△DAP∽△PBC，从而可求得点P的个数．此题主要考查相似三角形的判定及梯形的性质的综合运用．3. 解：由题意得△DFE∽△BFA∴DE：AB=2：5，DF：FB=2：3∴S△DEF：S△EBF：S△ABF=4：10：25．故选A．根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方就可得到答案．本题用到的知识点为：相似三角形的面积比等于相似比的平方，同高的三角形的面积之比等于底的比．4. 解：设其余两边的长分别是xcm，ycm，由题意得x：y：21=3：5：7，根据相似三角形对应边的比相等解答即可．本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形对应边的比相等是解题的关键．5. 解：如图所示，△ACD∽△BAD，△ACD∽△BCA，△ABD∽△CBA，共有3对．故选D．利用直角三角形的性质及相似三角形的判定方法，可得结论．本题考查直角三角形的性质及相似三角形的判定方法，比较基础．6. 解：∵CM=CN，∴∠CNM=∠CMN．∵∠CNA=∠CMN+∠MCN，∠AMB=∠CNM+∠MCN，∴∠CNA=∠AMB．∵AM：AN=BM：CM，∴AM：AN=BM：CN，∴△ANC∽△AMB．故选B．证明AM：AN=BM：CN，∠CNM=∠CMN，即可得出结论．本题考查三角形相似的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7. 解：由于∠A公用，因此条件①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；④AC2=AD•AB．都能够单独判定△ABC∽△ACD，故选：C．利用三角形相似的条件即可判断出结论．本题考查了三角形相似的条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8. 解：∵CD∥EF，OD=DF，∴OC=CE=OE=3，∵AB∥CD，AO=OD，∴OB=OD=3，∴BE=9，故选：A．根据平行线分线段成比例定理得到OC=CE=3，OB=OD=3，得到答案．本题考查平行线分线段成比例定理，灵活应用定理、找准对应关系是解题的关键．9. 解：由已知易得△DEF∽△BAF，且相似比为2：5故S△DEF：S△ABF=4：25而△BEA 与△BED有同底BE，高之比为2：5故S△BEA：S△BED=2：5即S△DEF+S△BEF：S△ABF+S△BEF=2：5由比例的性质可得：S△DEF：S△EBF：S△ABF=4：10：25故选A根据三角形相似的性质可以得到，面积之比等于相似比的平方，再结合同底三角形面积之比等于高之比，及比例的性质不难给出答案．相似的性质：线之比等比相似比，面积之比等于相似比的平方，体积之比等于相似比的立方．10. 解：∵∠DAQ=∠CBQ，∠BCQ=∠ADQ，∴△DAQ∽△CBQ，同理可得：△DCQ∽△ABQ，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠PDC=∠PBA，∠PCD=∠PAB，∴△PCD∽△PAB，∵∠DPB=∠CPA（公共角），∠PBD=∠PAC（同弧所对的圆周角相等），根据圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，找出图中的相等角，然后根据相等角去找相似三角形．本题考查圆周角定理、相似三角形的判定、圆内接四边形等知识的应用能力．11. 解：由题意，∠CAB=∠BCP=30°，BP=1，∠ABP=30°，由余弦定理可得PA==．故选C．由题意，∠CAB=∠BCP=30°，BP=1，∠ABP=30°，由余弦定理可得PA．本题考查三角形相似的运用，考查特殊角的三角函数，考查余弦定理，属于中档题．12. 解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，AD平分∠BAC，∴根据内角平分线定理可知，∴=，∴BD==，故选：B．根据内角平分线定理可知，即可得出结论．本题考查内角平分线定理，考查学生的计算能力，比较基础．13. 解：∵=，∴=，∵DE∥BC，∴==，故选：C．由=，可得=，DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理可得=，即可得出结论．本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找出对应线段．14. 解：∵直线l1∥l2∥l3，∴=，故A错误；=，故B错误；=，故C错误；=，故D正确；故选：D根据平行线分线段成比例定理得出相应的线段对应成比例，进而逐一判断四个答案的正误，可得答案．15. 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴△AEP∽△CBP，∵=，∴=，则=（）2=．故答案为．由四边形ABCD是平行四边形，可证得△AEP∽△CBP，由=，推得=，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可证得结论．本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．16. 解：作EG∥BC交AD于G，则有AE：EB=1：3，即AE：AB=1：4，得EG=BD=CD，∴EF：FC=EG：CD=1：2，作DH∥AB交CE于H，则DH=BE=AE，∴AF：FD=AE：DH=1，∴=+1=．故答案为．先过E作EG∥BC，交AD于G，再作DH∥BC交CE于H，由平行线分线段成比例定理的推论，再结合已知条件，可分别求出EF：FC和AF：AD的值，相加即可．本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，解题时要注意比例式的变形．17. 解：∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的周长比为：2：3．∵周长的和为50cm，∴这两个相似三角形的周长分别为20cm，30cm．故答案为：20cm，30cm．根据相似三角形的性质：周长比等于相似比即可解得．此题主要考查相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比．18. 解：∵DE∥BC，D是AB的中点，D是AB的中点，∴DE=BC，∵DE=4，∴BC=8．故答案为8．由于DE∥BC，利用三角形中位线的性质，可得结论．此题主要考查的是角形中位线的性质，比较基础．19. 解：∵在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，且AB=2，AD=，∴=，∴AF===1．故答案为：1．由已知得△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，从而=，由此能求出AF===1．本题考查三角形中线段长的求法，是基础题，解题时要注意相似三角形的性质的合理运用．20. 解：连接DE，∵四边形ABCD为直角梯形，AB=AD=a，CD=，CB⊥AB，点E，F分别为线段AB，AD的中点∴△AED为直角三角形．则EF是RT△AED斜边上的中线，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，EF=DE=AB=．故答案为：要求EF的长，关键是关键是构造一个三角形，使EF位于该三角形，解三角形即可求解：连接DE，构造含有线段EF的直角三角形是解答本题的关键，由此可得，解决平面几何的求值和证明问题，辅助线的添加是基础．21. 解：∵DE∥BC，AE=4，EC=2，∴AD：DB=2：1，∵DF∥AC，∴CF：CB=AD：AB=2：3，∵BC=8，∴CF=．故答案为：．利用平行线分线段成比例定理，即可求得结论．本题考查平行线分线段成比例定理，考查学生的计算能力，比较基础．22. 解：cos A=，连接AO并且延长与BC相交于点D．设AD=m，∠ADB=α．则AB2=-2××mcosα，AC2=m2+-2m××cos（π-α），相加可得：AB2+AC2=2m2+．m2=（3OD）2==．又4BC2=AB•AC，∴cos A=，A∈（0，π）∴A=，故答案为：．利用余弦定理、直角三角形的性质、三角函数求值即可得出．本题考查了余弦定理、中线长定理、三角函数求值、直角三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23. 解：∵B=60°，BC边上的高，∴AB=3在△ABC中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2-2AB•BC cos B，把已知AC=，AB=3，B=60°代入可得，7=32+BC2-2×3×BC×，整理可得，BC2-3BC+2=0，∴BC=1或2．故答案为1或2．先求出AB，再在△ABC中，由余弦定理可得BC2-3BC+2=0，即可得出结论．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，解答本题的关键是求出AB，属于基础试题．24. 解：如图示：，作OM⊥ME，DP⊥ME，OP⊥DN，由题意得：OD=，∠ODP=∠E=∠C，而sin C=，cos C=，∴DP=OD cos∠ODP=，∴DN=DP+PN=，∴DE===，故答案为：．本题考查了三角函数的性质，考查圆的性质，是一道中档题．25. 解：由题意，BB′2=28+28-2×=14，∴BB′=，∵cos∠BCB'=，∴sin∠BCB'=，∴2R==4，∴，∴△BCB'外接圆的面积为=8π，故答案为8π．利用余弦定理求出BB′，利用正弦定理求出△BCB'外接圆的半径，即可求出△BCB'外接圆的面积．本题考查△BCB'外接圆的面积，考查余弦定理，考查正弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．26. 解：梯形ABCD中，AD=5，BC=8，E是AB的中点，F是CD的中点，故EF是梯形ABCD的中位线，故EF=（AD+BC）=，∵AD∥BC∥EF，∴EG，FH分别是△ABD和△ACD的中位线，故EG=FH=AD=，故GH=EF-EG-FH=，故答案为：．根据梯形中位线等于两底和的一半，三角形中位线等于底边长的一半，分别求出EF，EG，HF的长度，可得GH的长．本题考查的知识点是平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，梯形中位线定理，难度中档．27.（1）由正方形的性质得出BC=CD=AD=AB=4，∠ABE=∠C=∠D=90°，AC⊥BD，∠ABO=45°，证出∠BAE=∠CBF，由ASA证明△BCF≌△ABE，得出CF=BE=1，因此DF=CD-CF=3，由勾股定理求出AF即可；（2）证明A、B、G、O四点共圆，由圆周角定理得出∠AGO=∠ABO=45°，求出∠FGO=453，即可得出结论；（3）连接EF，证明C、E、G、F四点共圆，由圆周角定理得出∠EFC=∠EGC=45°，证出△CEF是等腰直角三角形，CE=CF，同（1）得：△BCF≌△ABE，得出CF=BE，因此CE=BE=BC，得出OA=AC=CE，由（1）得：A、B、G、O四点共圆，由圆周角定理得出∠BOG=∠BAE，证出∠GOA=∠GEC，得出△AOG∽△CEG，由相似三角形的对应边成比例得出==，即可得出结论．本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、四点共圆、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，需要证明四点共圆和三角形相似才能（1）证明：∠A+∠EFB=180°，即可证明A，E，F，B四点共圆；（2）由△CEF～△ACB得的值．本题考查四点共圆的证明，考查三角形相似性质的运用，属于中档题．29.两个角对应相等证明两个三角形相似，根据相似三角形的性质求出DC的长．本题关键是根据相似三角形的性质得出AC，BC关系，代入数据即可得出BC的长，从而得出DC的长．30.利用平行线分线段成比例，即可得出结论．本题考查平行线分线段成比例，考查学生的计算能力，比较基础．31.利用平行线的性质与判定，即可证明结论．本题考查平行线的性质与判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．32.（1）过D作DM∥AB交AC于M，连接BE，利用平行线的性质，结合三角形的角平分线性质，即可得证；（2）先求出DC，再利用三角形相似得出AD•（AD+DE）=AB•AC，即可求AD的长．本题考查平行线的性质，三角形的角平分线性质，考查三角形相似性质的运用，属于中档题．33.过点A作AN⊥BC交DG于点M，交BC于点N，设AN=h，DE=x=MN=DG，根据DG∥BC，再由△ADG∽△ABC即可求出x的表达式，由根的判别式可得，即可求正方形DEFG面积的最大值．本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意构造出直角三角形是解答此题的关键．34.直接利用梯形中位线的性质以及利用三角形中位线的性质与判定得出即可．此题主要考查了梯形中位线的性质，正确运用梯形中位线的性质以及利用三角形中位线的性质是解题关键．35.根据题意，可得S△ADF∽S△CDF，根据相似的性质我们可知，面积比等于相似比的平方，我们可以求出两个三角形的相似比，易得到答案．在求三角形面积时，如果三角形的各边、角值未知，直接求三角形面积不易求出，可尝试利用相似的性质，面积比等于相似比的平方，寻找一个与未知三角形相关的三角形，间接的求未知三角形的面积．36.（1）由题意可知，∠EPC=∠APC，∠PEB=∠PAC，从而△PED∽△PAC，结合PD平分∠BPE，切割线定理，由此能证明=；（2）由∠PCE=∠A+∠APC=∠PED+∠EPC=∠EDC=∠PDB，能求出∠PDB的大小．本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到弦切角定理以及三角形相似等内容．本小题重点考查考生对平面几何推理能力．37.如图所示，过P作BQ的垂线PD，垂足为D，证明四边形ABDP为矩形，PQ=AP+BQ，本题考查圆中切线的性质，考查勾股定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．38.（1）利用对角互补，证明O，A，P，B四点共圆；（2）由切割线定理证明出PA=2PE，由相交弦定理可得AD•DH=ED•DF，即可证明：PB2=2AD•DH．本题考查的知识点是与圆相关的比例线段及圆内接四边形的判定，考查切割线定理、相交弦定理的运用，属于中档题．39.（1）首先利用三角形的全等的判定证明△BCD为等腰三角形，从而得出结论．（2）利用三角形的相似进一步得出线段成比例最后转化出结果．本题考查的知识要点：三角形全等和三角形相似的判定和性质的应用，平行线性质的应用．40.由AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则射影定理我们易得AD2=AE•AB且AD2=AF•AC，根据等量代换思想易得答案．本题考查的知识点是直角三角形的射影定理，射影定理适用范围是“双垂直”，即直角三角形中又有斜边上的高．41.（1）利用等腰三角形以及圆周角与圆心角的关系，推出∠A=∠EBC=2∠F．（2）通过△ABC∽△BEC，直接求解即可．本题考查直线与圆的位置关系的应用，三角形相似的证明，考查计算能力．42.连接E，O，明OE⊥C，可得E 是的中，从而BE=C；利切割定理证明D=2PB，PBBD，合相弦定理可AD•E=2PB2．题考查与圆关的比例线段，考查割线定相弦定理，考查学分析解决问题的力，属于中题．43.利用互补，证明O，AP，B四点圆；切割线定理证明出P2PE，由交弦定理可得AD•=•DF，即可证：PB=2AD•DH．本题考查的知识点是与圆关的比线段及圆内接四边形的判定，查切割定理相定用，属于中档题．44.证明△AHE≌△DHB1，即可证明结论．本题考查三角形全等的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

两个三角形相似的判定（07）一、选择题1．如图，∠ABD=∠BDC=90°，∠A=∠CBD，AB=3，BD=2，则CD的长为（）A．B．C．2 D．32．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF：S四边形BCED的值为（）A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．2：53．如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DC E=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）A．B．C．D．4．如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，若BG=，则△CEF的面积是（）A．B．C．D．5．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC 于点F，则DF：FC=（）A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：26．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，∠BDA=90°，AB=a，BD=b，CD=c，BC=d，AD=e，则下列等式成立的是（）A．b2=ac B．b2=ce C．be=ac D．bd=ae8．如图，将一张直角三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形．根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断何者正确？（）A．甲＞乙，乙＞丙B．甲＞乙，乙＜丙C．甲＜乙，乙＞丙D．甲＜乙，乙＜丙9．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，AC的中点，则△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为（）A．B．C．D．10．直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（）A．B．C．D．11．如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD 的面积为（）A．a B．C．D． a12．如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，△DE F的面积为1，则△BCF的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．413．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）A．11 B．10 C．9 D．814．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个15．如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题16．如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，且，若△AEF的面积为2，则四边形EBCF的面积为．17．如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△AB C内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形A n B n D n E n的边长是．18．如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是BC、CD上的两个动点，且AE⊥EF．则AF的最小值是．19．如图，在边长为10cm的正方形ABCD中，P为AB边上任意一点（P不与A、B两点重合），连结DP，过点P作PE⊥DP，垂足为P，交BC于点E，则BE的最大长度为cm．20．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，四边形CA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3…都是正方形，且A1、A2、A3…在AC边上，B1、B2、B3…在AB边上．则线段B n C n的长用含n的代数式表示为．（n 为正整数）21．如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF= ..22．如图，AB是⊙O的直径，，AB=5，BD=4，则sin∠ECB= ．23．如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为．24．如图，矩形ABCD的边AB上有一点P，且AD=，BP=，以点P为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段DC，线段BC于点E，F，连接EF，则tan∠PEF= ．25．劳技课上小敏拿出了一个腰长为8厘米，底边为6厘米的等腰三角形，她想用这个等腰三角形加工成一个边长比是1：2的平行四边形，平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其它顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长为．三、解答题26．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．27．【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．28．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．（1）若以C、E、F为顶点的三角形与以A、B、C为顶点的三角形相似．①当AC=BC=2时，AD的长为；②当AC=3，BC=4时，AD的长为；（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△CBA相似吗？请说明理由．29．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．（1）求证：△ADE≌△BGF；（2）若正方形DEFG的面积为16cm2，求AC的长．30．如图，在△ABC中，以BC为直径作半圆O，交AB于点D，交AC于点E，AD=AE．（1）求证：AB=AC（2）若BD=4，BO=2，求AD的长．。