函数单调性课件

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7．图象变换对单调性的影响 (1)上下平移不影响单调区间，即 y＝f(x)和 y＝f(x)＋b 的单调区间相同． (2)左右平移影响单调区间．如 y＝x2 的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x ＋1)2 的单调递减区间为(－∞，－1]． (3)y＝k·f(x)，当 k>0 时单调区间与 f(x)相同，当 k<0 时单调区间与 f(x)相 反．
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2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知函数 f(x)＝x 的图象如图 1 所示，从左至右图象是上升的还是下降 的：________. (2)已知函数 y＝f(x)的图象如图 2 所示，则该函数的单调递增区间是 ________，单调递减区间是________．
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答案
金版点睛 定义法证明单调性的步骤
判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格 按照单调性的定义操作．
利用定义法判断函数的单调性的步骤为：
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注意：对单调递增的判断，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，也可以用一个 不等式来替代：
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3．单调区间 (1)这个区间可以是整个定义域．如 y＝x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单 调递增， y＝－x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减； (2)这个区间也可以是定义域的真子集．如 y＝x2 在定义域(－∞，＋∞) 上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 4．函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单 调递增(减)．如函数 y＝1x(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减， 但是在整个定义域上不具有单调性．

y
y
y x 1
y 2x 2 2
1
1
OO
x
1
O
x
增区间为:(, )
y
y x2 2x
O
12
x
减区间为: (, )
y
y 1
x
O
x
减区间为：
增区间为： ,1 减区间为：1,
(,0),(0, )
一次函数 y kx bk 0的单调性：
函数f(x)＝kx＋b(k>0)在R上是增函数。 函数f(x)＝kx＋b(k<0)在R上是减函数。
若差＞0，则为减函数)。
• 例2 物理学中的波利尔定律p＝ （k是正常数）告诉我们，对于一定量的 气体，当体积V减小，压强p将增大．试
用函数的单调性证明之．
证明 ：
设V1＜V2，V1 ，V2 ∈（0，+∞）．
• p1－p2＝ － ＝
．
• 因为k是正常数， V1 ＜ V2 ，所以 ＞0， p1 ＞ p2 ．
函数的单调性
由于某种原因，2008年北京奥运会开幕 式时间由原定的7月25日推迟到8月8日。
下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温 随时间变化的曲线图.
问题：观察图形，你能得到什么信息？
• (1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到； • (2)在某时刻的温度； • (3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.
(3) 任取x1,x2∈ [0, ∞),且x1<x2 。 因为 x12 -x22=(x1-x2)(x1+x2)<0 ,即x12 < x22， 所以y=x2在[0, ∞)为增函数．
问题5：你能用准确的数学符号语言 表述出增函数的定义吗?

利用函数的单调性求最值 [思路分析] (1)结合函数f(x)的图像分析f(x)的单调性，从而确定其最大值； 利用函数增加、减少的定义判断f(x)在[2,6]上的单调性，再求最值．
[规律总结] 1.熟记运用函数单调性求最值的步骤： 判断：先判断函数的单调性． 求值：利用单调性代入自变量的值求得最值． 明确利用单调性求最大值、最小值易出错的几点： 写出最值时要写最高(低)点的纵坐标，而不是横坐标． 求最值忘记求定义域． 求最值，尤其是闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入．
添加标题
下列命题正确的是( )
[答案] D
PART 1
利用定义证明或判断函数的单调性
结论：根据差的符号，得出单调性的结论．
定号：判断上式的符号，若不能确定，则分区间讨论；
作差变形：计算f(x1)－f(x2)，通过因式分解、通分、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方、分母(分子)有理化等方法变形；
取值：在给定区间上任取两个值x1，x2，且x1<x2；
在定义域的某个子集上是增加的或是减少的
增函数
减函数
单调函数
3．函数的单调性 如果函数_________________________________，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为________或________，统称为________．
[正解] 因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，且函数图像的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3. [答案] a＝－3 [规律总结] 单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子集．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．

温故而知新
f (x) x
f (1) __ f (1)
f (x) 1 x
f (x) x2
f (3) __ f (2) f (2011) __ f (2012)
挑战自我
对于函数 f (x) x 2 (x 0) x
若1 a ,则比较 f (1) __？__ f (a)
体会生活
体会生活
新课探究
课堂小结
1、函数 y f (x)的单调性。
2、如何判断函数的单调性。
1.取数:任取x1，x2∈A，且x1<x2； 2.作差:f(x1)－f(x2)； 3.变形:通常是因式分解和配方; 4.定号:判断f(x1)－f(x2)的正负; 5.小结:指出函数f(x)在给定的区间A上的单调性.
3、思想方法：数形结合
时 少 直 观
作 两 边 飞
本 是 相 倚 依
一
体
当 x1 x2时,都有 f (x1) f (x2) ，那么， 就说函数在区间A上是减少的，有时也称函数 在区间A上是递减的。
大显身手
函数 y f (x)的图像如下图所示，能否说： 函数在 [1, 0) (0,1] 是递增的？
y
-1
O
1
x
在函数 y f (x)的定义域内的一个区子间集 A上,如果对于 任意两数 x1, x2 A，当 x1 x2时,都有 f (x1) f (x2) ， 那么，就说函数在区数间集 A上是增加的。
课外探究
1、根据函数的单调性，我们能够求出函数的值域吗？
2、我们有没有办法找到函数 y x 2 (x 0) 的单调
区间的分界点？
x
作业
A组：练习2，练习5
永切隔数形数焉数
远莫离形少缺能与