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高斯列主元消元法解线性方程组

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高斯列主元消元法解线性方程组

一、题目：用Gauss列主元消去法解线性方程组Axb，其中，

A=17.031 -0.615 -2.991 1.007 -1.006 0.000-1.000 34.211 -1.000 -2.100 0.300 -1.7000.000 0.500 13.000 -0.500 1.000 -1.5004.501 3.110 -3.907 -61.705 12.170 8.9990.101 -8.012 -0.017 -0.910 4.918 0.1001.000 2.000 3.000 4.500 5.000 21.803 0.230

-52.322

54.000 240.236

29.304

-117.818b

TX=(0.907099 -1.961798 3.293738 -4.500708 3.029344 -5.255068)

二、原理及步骤分析

设nnijRaA][)1(，nnRbbbb],,,[)1()2(2)1(1。若约化主元素),,2,1(0)(nkakkk，则通过高斯消元法将方程bAX约化为三角形方程组求解。

如果在消元过程中发现某个约化主元0)(kkka, 则第K次消元就无法进行。此外，即使所有约化主元全不为零，虽然可以完成方程组的求解，但也无法保证结果的可靠性，因为计算过程中存在舍入误差。

为减少计算过程中的舍入误差对解的影响，在每次消元前，应先选择绝对值尽可能大的元作为约元的主元，如果在子块的第一列中选取主元，则相应方法称为列主元消元法。相应过程为：

（1）选主元：在子块的第一列中选择一个元)(kkika使)(maxkiknikkkiaak

并将第k行元与第ki行元互换。

（2）消元计算：对k=1,2,……n-1依次计算

nkkibmbbnkkjiamaankkiaamkkikkikikkjikkijkijkkkkikkik,,2,1,,2,1,,,2,1)()()1()()()1()()()(

（3）回代求解

)(1)()()()(iiinijjiijiiinnnnnnaxabxabx

1,,2,1nni

三． 流程图

5,,2,1k65A

消元计算，即

nkkjnkkibabbaaaaaaakikiikjikijijkkikik,,2,1,,2,1 输入矩阵65A选主元，即确定ki，使

kkinikkiaamax

交换行，即

kikkjjibbnjaak,2,1回代求解，即

1,2,,1niaabbabbiiijbiinnnnj

四、源程序

高斯列主元消元法程序

#include<>

#include<>

#define N 6

main()

{

float A[N][N+1]={{,,,,,,},{,,,,,,},{,,,,,,},{,,,,,,},{,,,,,,},{,,,,,,}}, total,x[6];

int i,j,k,m,n;

printf("方程的增广矩阵:\n");

for(i=0;i

{

for(j=0;j

printf(" % ",A[i][j]);

printf("\n");

}

for(j=0;j

{

k=j; /*最大行号赋给k*/

for(i=j+1;i

{

if(fabs(A[i][j])>fabs(A[k][j]))

k=i;

}

if(k==j)

for(i=j+1;i

for(m=j+1;m

{

A[i][m]=A[i][m]-A[j][m]*A[i][j]/A[j][j];

}

else

{

for(n=0;n

{

A[N][n]=A[k][n]; /*换行 */

A[k][n]=A[j][n];

A[j][n]=A[N][n];

}

for(i=j+1;i

for(m=j+1;m

{

A[i][m]=A[i][m]-A[j][m]*A[i][j]/A[j][j];

}

}

}

printf("消元後的结果:\n");

for(i=0;i

{

for(j=0;j

printf(" % ",A[i][j]);

printf("\n");

}

x[N-1]=A[N-1][N]/A[N-1][N-1];

for(i=N-2;i>=0;i--)

{

total=A[i][N];

for(j=N-1;j>i;j--)

total=total-x[j]*A[i][j];

x[i]=total/A[i][i];

}

printf("方程的解:\n");

for(i=0;i

printf("x1=%f\n",x[i]);

}

五、结果显示

六、结果分析：

消元必须从主元的下一行下一列开始，否则，不会得到正确结果。从结果运行情况看，消元后不会得到三角阵，但回带求解时，程序只关心上三角阵，不会影响最终计算结果。若从主元这一列开始，消元后会得到一个三角阵，但该三角阵并不准确。由不准确的三角阵到的结果也不正确。

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线性方程组的几种求解方法

线性方程组的几种求解方法

线性方程组的几种解法

线性方程组形式如下：

常记为矩阵形式

其中

一、高斯消元法

高斯（Gauss)消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x向量。现举例说明如下：

（一）消元过程

第一步：将(1)/3使x1的系数化为1 得

再将(2)、(3)式中x1的系数都化为零，即由(2)-2×(1)(1)得

由(3)-4×(1)(1)得 )1(32)2(......03432xx)1(321)1(......23132xxx

第二步：将(2)(1)除以2/3，使x2系数化为1，得

再将(3)(1)式中x2系数化为零，即

由(3)(1)-(-14/3)*(2)(2) ，得

第三步：将(3)(2)除以18/3，使x3系数化为1，得

经消元后，得到如下三角代数方程组：

（二）回代过程

由(3)(3)得 x3=1,

将x3代入(2)(2)得x2=-2,

将x2 、x3代入(1)(1)得x2=1

所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T

（三）、用矩阵演示进行消元过程

第一步： 先将方程写成增广矩阵的形式

第二步：然后对矩阵进行初等行变换

初等行变换包含如下操作

（1） 将某行同乘或同除一个非零实数

（2） 将某行加入到另一行

（3） 将任意两行互换

第三步：将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为1，左下三角矩阵全为0，形)3(3)3(......1x)2(3)3(......6318x)2(32)2(......02xx)1(32)3(......6310314xx 式如下：

示例：

（四）高斯消元的公式

综合以上讨论，不难看出，高斯消元法解方程组的公式为

1． 消元

（1） 令

aij(1) = aij , （i,j=1,2,3,…,n）

bi(1) =bi , （i=1,2,3,…,n）

列主元消去法解方程组实验报告

列主元消去法解方程组实验报告

实验名称： 列主元消去法解方程组

1 引言

我们知道，高斯消去法是一个古老的解线性方程组的方法。而在用高斯消去法解Ax=b时，其中设A为非奇异矩阵，可能出现

的情况，这时必须进行带行交换的高斯消去法。但在实际计算中即使

但其绝对值很小时，用

作除数，会导致中间结果矩阵

元素数量级严重增长和舍入误差的扩散，使得最后的结果不可靠。因此，小主元可能导致计算的失败，我们应该避免采用绝对值很小的主元素。为此，我们在高斯消去法的每一步应该在系数矩阵或消元后的低阶矩阵中选取绝对值最大的元素作为主元素，保持乘数

，以便减少计算过程中舍入误差对计算解的影响。

一种方式是完全主元消去法，这种消去法是在每次选主元时，选择

为主元素。这种方法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法，但这种方法在选取主元时要花费一定的计算机时间。实际计算中我们常采用部分选主元的的消去法。列主元消去法即在每次选主元时，仅依次按列选取绝对值最大的元素作为主元素，且仅交换两行，再进行消元计算。

2 实验目的和要求

运用matlab编写一个.m文件，要求用列主元消去法求解方程组（实现PA=LU）：

要求输出以下内容：

（1） 计算解x；

（2） L,U；

（3） 整形数组IP（i）（i=1,2，…，n-1）（记录主行信息）

3 算法原理与流程图

（1） 算法原理

设有线性方程组Ax=b，其中设A为非奇异矩阵。方程组的增广矩阵为

第1步（k=1）：首先在A的第一列中选取绝对值最大的元素

，作为第一步的主元素:

，然后交换（A，b）的第1行与第i1行元素，再进行消元计算。

设列主元素消去法已经完成第1步到第k-1步的按列选主元，交换两行，消元计算得到与原方程组等价的方程组

第k步计算如下：

对于k=1，2，…，n-1

（1）按列选主元：即确定ik使

（2）如果

，则A为非奇异矩阵，停止计算。

（3）如果ik≠k，则交换[A，b]第ik行与第k行元素。

线性方程组的解法知识点总结

线性方程组的解法知识点总结

线性方程组的解法知识点总结

在数学中，线性方程组是一类常见且重要的数学问题。解线性方程组可以帮助我们找到变量之间的关系，从而求出满足一组条件的未知数值。本文将总结线性方程组的解法知识点，包括高斯消元法、矩阵法、克莱姆法则以及向量法等。

一、高斯消元法

高斯消元法是解线性方程组最常用的方法之一。它通过一系列的行变换将线性方程组转化为行简化阶梯形，从而求解方程组的解。高斯消元法的基本步骤如下：

1. 转换为增广矩阵

将线性方程组转换为增广矩阵，其中矩阵的最右侧一列是常数项。

2. 主元选择

选择合适的主元，使得消元过程更加简化。通常选择系数绝对值最大的元素作为主元。

3. 消元操作

通过行变换的方式，将主元所在的列下面的元素全部消为零。这一步需要注意保持增广矩阵的形式，并且避免除0操作。

4. 回代求解 将简化后的增广矩阵转化为线性方程组，根据系数矩阵的特殊形式，我们可以通过回代的方式求解出未知量。

二、矩阵法

矩阵法是另一种常用的求解线性方程组的方法，它利用矩阵的运算性质，将方程组转化为矩阵的乘法运算。其基本步骤如下：

1. 构建系数矩阵

将线性方程组的系数写成矩阵的形式，形成系数矩阵A。

2. 构建常数矩阵

将线性方程组的常数项写成矩阵的形式，形成常数矩阵B。

3. 求解逆矩阵

判断系数矩阵的逆矩阵是否存在，若存在，则通过乘法运算求得未知量矩阵X。

4. 检验解

将求解得到的未知量矩阵代入原方程组中，验证解的正确性。

三、克莱姆法则

克莱姆法则是一种分别求解线性方程组未知量的方法，它利用行列式的性质，将方程组转化为行列式的运算。其基本原理如下：

1. 构建系数矩阵 将线性方程组的系数写成矩阵的形式，形成系数矩阵A。

2. 计算行列式

计算系数矩阵A的行列式值D。

3. 构建代数余子式矩阵

将系数矩阵A中的某一列替换为常数矩阵B，形成代数余子式矩阵。

4. 求解未知量

将代数余子式矩阵的行列式值除以系数矩阵的行列式值D，得到每个未知量的值。

数值分析-高斯消元法

数值分析-高斯消元法

数值分析-牛顿迭代法

实验报告

一、 实验内容和要求

用列主元高斯消去法解线性方程组Ax=b

方程1：

=

;

方程2：

=

;

二、 算法说明

设Ax=b。本算法用A的具有行交换的列祖元素消去法，校园结果冲掉A，乘数 冲掉 ，计算解x冲掉常数项b，行列式存放在det中。

1. det←1

2. 对于k=1,2,…,n-1

(1) 按列选主元

， =

(2) 如果 ， =0，则计算停止(det(A)=0)

(3) 如果 ， =k，则转(4)

换行：

， (j=k,k+1,……,n)

←-det

(4) 消元计算

对于i=k+1,……,n

i. ← /

ii. 对于i=k+1,……,n

← *

iii. ← -

(5) det← *det

3. 如果 ，则计算停止(det(A)=0)

4. 回带求解

(1) /

(2) 对于i=n-1,…,2,1

←( )/

5. det← *det 三、 源程序

#include

#include

#include

#define max_dimension 20 //定义最大阶数为20

int n;

static float a[max_dimension][max_dimension];

static float b[max_dimension];

static float x[max_dimension];

void main() {

int I,j,d,row;

float temp;

float known_items;