高考数学一轮复习 题组层级快练44(含解析)
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第1页 共9页 题组层级快练(四十四)
1．在平面直角坐标系中，若点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方，则t的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(0,1)
答案 B
解析 将x＝－2代入直线x－2y＋4＝0中，得y＝1.因为点(－2，t)在直线上方，所以t>1.
2．不等式y≤3x＋b所表示的区域恰好使点(3,4)不在此区域内，而点(4,4)在此区域内，则b的取值范围是( )
A．－8≤b≤－5 B．b≤－8或b>－5
C．－8≤b<－5 D．b≤－8或b≤－5
答案 C
解析 由已知条件得 4>3×3＋b，4≤3×4＋b⇒ b<－5，b≥－8.即－8≤b<－5.故选C.
3．(2014·天津理)设变量x，y满足约束条件 x＋y－2≥0，x－y－2≤0，y≥1，则目标函数z＝x＋2y的最小值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案 B
解析 画出可行域，不难发现在点A(1,1)处目标函数z＝x＋2y有最小值zmin＝3.选B.
4．(2014·新课标全国Ⅰ文)设x，y满足约束条件 x＋y≥a，x－y≤－1，且z＝x＋ay的最小值为7, 则a＝( )
A．－5 B．3
C．－5或3 D．5或－3
答案 B
第2页 共9页 解析 联立方程 x＋y＝a，x－y＝－1，解得 x＝a－12，y＝a＋12.代入x＋ay＝7中，解得a＝3或－5，当a＝ －5时，z＝x＋ay的最大值是7；当a＝3时，z＝x＋ay的最小值是7，故选B.
5．(2015·东北三校一联)变量x，y满足约束条件 y≥－1，x－y≥2，3x＋y≤14，若使z＝ax＋y取得最大值的最优解有无数个，则实数a的取值集合是( )
A．{－3,0} B．{3，－1}
C．{0,1} D．{－3,0,1}
答案 B
解析 作出不等式组 y≥－1，x－y≥2，3x＋y≤14表示的区域如下图所示，由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.当－a>0时，平行直线的倾斜角为锐角，从第一个图可看出，当a＝－1时，线段AC上的所有点都是最优解；当－a<0时，平行直线的倾斜角为钝角，从第二个图可看出，当a＝3时，线段BC上的所有点都是最优解．故选B项．
6．(2015·陕西西工大附中适应性训练)设变量x，y满足条件 x－y≥2，x＋y≥4，x≤5，则点P(x＋y，x－y)所在区域的面积为( )
A．4 B．6
C．8 D．10
答案 C
解析 作出不等式组表示的线性区域如图①所示．
第3页 共9页
可知x＋y∈[4,8]，x－y∈[2,6]，且当x＋y＝4时，x－y可以取到[2,6]内的所有值；当x＋y＝8时，x－y＝2，即△ABC所表示的区域如图②所示，则S△ABC＝12×4×4＝8，故C正确．
7．(2015·湖南常德期末协作考试)已知实数x，y满足条件 x－2＋y－2≤1，x－y－1≥0，则z＝yx－2的最小值为( )
A．3＋2 B．2＋2
C.34 D.43
答案 C
解析 不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．目标函数z＝yx－2＝y－0x－2表示在可行域取一点与点(2,0)连线的斜率，可知过点(2,0)作半圆的切线，切线的斜率为z＝yx－2的最小值，设切线方程为y＝k(x－2)，则A到切线的距离为1，故1＝|k－2|1＋k2.解得k＝34.
8．(2014·北京理)若x，y满足 x＋y－2≥0，kx－y＋2≥0，y≥0，且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为(
)
A．2 B．－2
C.12 D．－12
答案 D
解析 作出可行域，平移直线y＝x，由z的最小值为－4求参数k的值．
第4页 共9页
作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx－y＋2＝0与x轴的交点为A－2k，0.
∵z＝y－x的最小值为－4，∴2k＝－4，解得k＝－12，故选D项．
9．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组 0≤x≤2，y≤2，x≤2y 给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z＝OM→·OA→的最大值为( )
A．3 B．4
C．32 D．42
答案 B
解析 画出区域D，如图中阴影部分所示，而z＝OM→·OA→＝2x＋y，∴y＝－2x＋z.令l0：y＝－2x，将l0平移到过点(2，2)时，截距z有最大值，故zmax＝2×2＋2＝4.
10．不等式组 x－2≤0，y＋2≥0，x－y＋1≥0表示的区域为D，z＝x＋y是定义在D上的目标函数，则区域D的面积为__________，z的最大值为________．
答案 252，5
解析 图像的三个顶点分别为(－3，－2)，(2，－2)，(2,3)，所以面积为252.
因为目标函数的最值在顶点处取得，把它们分别代入z＝x＋y，得x＝2，y＝3时有zmax＝5.
11．已知实数x，y满足不等式组 x－y＋2≥0，x＋y－4≥0，2x－y－5≤0，目标函数
第5页 共9页 z＝y－ax(a∈R)．若z取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围是________．
答案 (1，＋∞)
解析 作出可行域，可行域为三条直线所围成的区域，则它的最大值在三条直线的交点处取得，三个交点分别为(1,3)，(7,9)，(3,1)，所以 3－a>9－7a，3－a>1－3a.所以a>1.
12．(2015·威海一模)设x，y满足约束条件 x＋2y≥2，ex－y≥0，0≤x≤2，则M(x，y)所在平面区域的面积为________．
答案 e2－2
解析 画出平面区域，如图所示．
M(x，y)所在平面区域的面积为02exdx－S△AOB＝ex| 20－12×2×1＝e2－e0－1＝e2－2.
13．当x，y满足约束条件 x≥0，y≤x，2x＋y＋k≤0，(k为负常数)时，能使z＝x＋3y的最大值为12，试求k的值．
答案 －9
解析 在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示)．
当直线y＝－13x＋13z经过区域中的点A时，截距最大．
由 y＝x，2x＋y＋k＝0，得x＝y＝－k3.
∴点A的坐标为(－k3，－k3)．
第6页 共9页 则z的最大值为－k3＋3(－k3)＝－43k.
令－4k3＝12，得k＝－9.
∴所求实数k的值为－9.
14．(2015·南昌一模)营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
答案 应预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐
解析 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意，得z＝2.5x＋4y，且x，y满足
x≥0，y≥0，12x＋8y≥64，6x＋6y≥42，6x＋10y≥54，即 x≥0，y≥0，3x＋2y≥16，x＋y≥7，3x＋5y≥27.
让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移，由此可知z＝2.5x＋4y在B(4,3)处取得最小值．
因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．
1．(2013·山东理)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组 2x－y－2≥0，x＋2y－1≥0，3x＋y－8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( )
A．2 B．1
C．－13 D．－12
答案 C
解析 已知不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然当点M与A重合时直线OM的斜率最小，由直线方程x＋2y－1＝0和3x＋y－8＝0，解得A(3，－1)，故OM斜率的最小值为－13.
第7页 共9页 2．不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)≤0表示的平面区域为(
)
答案 B
解析 方法一：可转化为
① x＋2y＋1≥0，x－y＋4≤0或② x＋2y＋1≤0，x－y＋4≥0.
由于(－2,0)满足②，所以排除A，C，D选项．
方法二：原不等式可转化为
③ x＋2y＋1≥0，－x＋y－4≥0或④ x＋2y＋1≤0，－x＋y－4≤0.
两条直线相交产生四个区域，分别为上下左右区域，③表示上面的区域，④表示下面的区域，故选B.
3．设变量x，y满足约束条件 x＋2y－5≤0，x－y－2≤0，x≥0，则目标函数z＝2x＋3y＋1的最大值为( )
A．11 B．10
C．9 D．8.5
答案 B
解析 画出不等式组表示的平面区域如图所示，由目标函数得y＝－23x＋z－13，根据目标函数的几何意义，显然当直线y＝－23x＋z－13在y轴上的截距最大时z最大，故在图中的点A处目标函数取得最大值，点A(3,1)，所以zmax＝2×3＋3×1＋1＝10.
4．已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是( )
A．(1－3，2) B．(0,2)
C．(3－1,2) D．(0,1＋3)
答案 A
解析 由顶点C在第一象限且与A，B构成正三角形可求得点C坐标为(1＋3，2)，将目标函数化为
