高考数学复习题库 (35)

专题35：空间直线、平面的平行精讲温故知新一、直线和平面平行的判定(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；(2)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号： ////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭例1：（2022·全国·高考真题）如图，PO 是三棱锥P ABC -的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB 的中点．(1)证明：//OE 平面PAC ；举一反三1.（多选）（2017·全国·高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 平行的是（ ）A ．B ．C ．D ．2.（2022·北京·高考真题）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．(1)求证：MN∥平面11BCC B；二．直线和平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行，则线线平行.符号:aa a bbαβαβ⊂⇒=⎫⎪⎬⎪⎭例2：（2020·全国·高考真题（文））如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P 为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；举一反三1．（2011·福建·高考真题（文））如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．2.（2014·安徽·高考真题（文））如图，四棱锥的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为.点分别是棱上共面的四点，平面平面，平面.证明：三．平面与平面平行的判定(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

2023届高考数学复习：精选好题专项(不等式与逻辑用语多选题)练习题型一 不等式的性质1、（2022年湖南磁力一中高三月考试卷）下列四个条件中，能成为x y >的充分不必要条件的是（ ） A. 22xc yc >B. 22x y >C. x y >D. ln ln x y >2、（2022年江苏镇江市高三月考试卷）已知a ，b ，c ，d ∈R ，下列命题正确的是（ ） A. 若a <b <0，则a 2<ab <b 2B. 若a >b ，则ac 2≥bc 2C. 不等式e e 2a a -+≥恒成立D. 若a b >，且c d >，则()()ln ln ac bd >3、（2022ꞏ江苏无锡ꞏ高三期末）已知e e 1b a <<，则下列结论正确的是（ ） A ．22a b < B ．2b aa b+>C ．2ab b >D ．2lg lg()a ab <4、（2022ꞏ广东汕尾ꞏ高三期末）已知a ，b 都是不等于1的正实数，且a >b ，0<c <1，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．a b c c > B ．c c a b >C ．log log c c a b >D ．11()()4a b a b++>5、（2022ꞏ山东济南ꞏ高三期末）已知实数a ，b ，c 满足0a b c >>>，则下列说法正确的是（ ） A ．()()11a c abc a <--B ．b bc a a c+<+ C ．2ab c ac bc +>+D ．()11a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为46、（2022ꞏ山东泰安ꞏ高三期末）若,,0a b R a b ∈<<，则下列不等式中，一定成立的是（ ） A ．11a b a>- B ．11a b > C ．2a bb a+>D ．a b >7、（华南师范大学附属中学高三期末试题）已知0a b >>，则下列说法正确的是（ ） A.33b b a a +>+ B.3223a b aa b b+<+C. <D. lg lg lg 22a b a b++> 题型二 简单不等式1、(2022·江苏苏州期中)已知不等式x 2＋2ax ＋b －1＞0的解集是{x |x ≠d }，则b 的值可能是A ．－1B ．3C ．2D ．02、(2022·江苏常州期中)已知关于x 的不等式a e x ＋bx ＋c ＞0的解集为(－1，2)，则A ．a ＞0B ．b ＞0C ．c ＞0D ．a ＋b ＋c ＞03、（2022年湖南湘阴县知源高级中学高三月考试卷）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，则（ ）A. 0a >B. 不等式0bx c +>的解集是{}|6x x <-C. 0a b c ++>D. 不等式20cx bx a -+<的解集为11(,(,)32-∞-⋃+∞4、（2022年江苏盐城市高三月考试卷）若“2340x x +-<”是“222()330x k x k k -+++≥”的充分不必要条件，则实数k 可以是（ ）A. 8-B. 5-C. 1D. 45、（2022年重庆市北山中学高三月考试卷）. 下列叙述不正确的是（ ） A.12x<的解是12x >B. “04m ≤≤”是“210mx mx ++≥”的充要条件C. 已知x ∈R ，则“0x >”是“11x -<”的必要不充分条件D. 函数()2232f x x x =++的最小值是2- 题型三 基本不等式1、（2022年辽宁葫芦岛市中学高三月考试卷）已知0a >，0b >，4165log 2log 16a b +=，则下列结论正确的是（ ）A. 45a b +=B. 542a b +=C. ab 的最大值为2564D.11a b+的最小值为1852、 （2022年湖南邵阳市高三月考试卷）已知实数a ，b ，c 满足0a b c <<<，则下列说法正确的是（ ）A.()()11a c abc a >-- B.b bc a a c+>+ C. 2ab c ac bc +>+D. 11()()a b a b++的最小值为43、（2022ꞏ广东ꞏ铁一中学高三期末）若0,0a b >>．且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．1104ab <≤ B 2 C ．111a b+≥D ．22118a b ≤+ 4、（2022ꞏ重庆ꞏ模拟预测）（多选题）已知正数a ，b 满足22a b ab +=，则下列说法一定正确的是（ ） A ．24a b +≥ B ．4a b +≥ C ．8ab ≥D ．2248a b +≥5、（2022ꞏ湖南常德ꞏ高三期末）若0a >，0b >，111a b+=，则（ ）A ．4ab ≤B ．4a b +≥C ．228a b +≤D ．22log log 2a b +≥6、（2022ꞏ湖北襄阳ꞏ高三期末）已知()lg f x x =，当a b <时，()()f a f b =，则（ ） A ．01a <<，1b >B ．10ab =C ．2114b a -<D ．224a b +>7、（2022ꞏ山东德州ꞏ高三期末）已知0a >，0b >，2a b ab +=，则下列结论正确的是（ ）A ．a b +的最小值为3+B ．22a b +的最小值为16CD ．lg lg a b +的最小值为3lg 28、（2022ꞏ山东烟台ꞏ高三期末）已知0a >，0b >，则下列命题成立的有（ ） A ．若1ab =，则222a b +≥ B ．若1ab =，则112a b +≥C ．若1a b +=，则2212a b +≤D ．若1a b +=，则114a b+≥9、（2022ꞏ湖北ꞏ蕲春县第一高级中学模拟预测）（多选题）若0,0a b >>，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．1104ab <≤ B ．111a b+≥C ．22log log 2a b +<D ．22118a b ≤+10、（2022ꞏ辽宁辽阳ꞏ二模）（多选题）已知0a >，0b >，且24a b +=，则（ ） A ．124a b ->B ．22log log 1a b +≤C ≥D ．412528a b +≥11、（2022ꞏ福建莆田ꞏ模拟预测）（多选题）已知直线l ：()100,0ax by a b ++=>>与圆C ：221x y +=相切，则下列说法正确的是（ ）A ．12ab ≥B ．22114a b+≥C ．2122a b +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭D ．11a b+≤12、（2022ꞏ江苏ꞏ扬中市第二高级中学模拟预测）（多选题）已知0a >，0b >，且2a b ab +=，则（ ）A ．8ab ≥B ．3a b +≤+C ．24b >D ．()()221log 1log 24a b -⋅-≤13、（2022ꞏ湖南衡阳ꞏ三模）（多选题）已知实数0a >，0b >，1a b +=．则下列不等式正确的是（ ）A ．22a b +≥ BC ．112216a b ⎛⎫⎛⎫++≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．222a b a b b a +≤++14、（2022ꞏ辽宁葫芦岛ꞏ二模）（多选题）已知0a b >>，115a b a b+++=，则下列不等式成立的是（ ）A ．14a b <+<B ．114b a a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．2211b a a b ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15、（2022ꞏ河北ꞏ模拟预测）（多选题）已知220,0,2a b a b >>+=，则以下不等式成立的是（ ） A ．2a b +>B ．332a b +≥C ．114a b b a ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ D ．112a b +≥参考答案题型一 不等式的性质1、（2022年湖南磁力一中高三月考试卷）下列四个条件中，能成为x y >的充分不必要条件的是（ ） A. 22xc yc > B. 22x y >C. x y >D. ln ln x y >【答案】AD 【答案解析】【要点分析】由充分必要条件的概念与不等式性质对选项逐一判断， 【过程详解】对于A ，若22xc yc >，则20c >，x y >，而当0c =，x y >时，22xc yc =，故22xc yc >是x y >的充分不必要条件，故A 正确， 对于B ，若22x y >，则x y >，若x y >，则22x y >， 故22x y >是x y >的充要条件，故B 错误，对于C ，当2,1x y =-=时，x y >，而x y <，故C 错误，对于D ，若ln ln x y >，则0x y >>，当x y >，0y <时，ln y 无意义， 故ln ln x y >是x y >的充分不必要条件，故D 正确， 故选：AD2、（2022年江苏镇江市高三月考试卷）已知a ，b ，c ，d ∈R ，下列命题正确的是（ ） A. 若a <b <0，则a 2<ab <b 2B. 若a >b ，则ac 2≥bc 2C. 不等式e e 2a a -+≥恒成立D. 若a b >，且c d >，则()()ln ln ac bd >【答案】BC 【答案解析】【要点分析】对于AD ，举反例即可排除； 对于B ，利用不等式的性质即可判断； 对于C ，利用基本不等式即可判断.【过程详解】对于A ，令2,1a b =-=-，则0a b <<，但2222(2)(1)a b =->-=，故A 错误； 对于B ，因为a b >，2c ≥0，所以22ac bc ≥，当0c =时取“"=，故B 正确；对于C ，因为e e 2a a -+≥=，当且仅当e e a a -=，即0a =时，等号成立，所以e e 2a a -+≥恒成立，故C 正确；对于D ，令1,2,3,4a b c d =-=-=-=-，则a b >，c d >，且3,8ac bd ==，所以由ln y x =的单调性可知()()ln ln ac bd <，故D 错误. 故选：BC.3、（2022ꞏ江苏无锡ꞏ高三期末）已知e e 1b a <<，则下列结论正确的是（ ） A ．22a b < B ．2b aa b+>C ．2ab b >D ．2lg lg()a ab <【答案】ABD 【要点分析】先根据函数单调性，得到0b a <<，AC 选项用作差法比较大小；B 选项用基本不等式求取值范围；D 选项，先用作差法，再结合函数单调性比大小. 【过程详解】e e 1b a <<，则0b a <<，因为22()()0a b a b a b -=-+<，所以22a b <，A 选项正确；因为0b a <<，所以0,0b a a b >>，由基本不等式得：2a b b a +>=，B 选项正确；2()0ab b b a b -=-<，2ab b ∴<，C 选项错误；2()0a ab a a b -=-<，2a ab ∴<，2lg lg a ab ∴<，D 选项正确，故选：ABD4、（2022ꞏ广东汕尾ꞏ高三期末）已知a ，b 都是不等于1的正实数，且a >b ，0<c <1，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．a b c c >B ．c c a b >C ．log log c c a b >D ．11()()4a b ab++>【答案】BD 【要点分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性，结合题意，可判断A 、B 、C 的正误，根据基本不等式，可判断D 的正误，即可得答案.【过程详解】函数x y c =，因为01c <<，所以x y c =是减函数， 因为a >b ，所以a b c c <，故A 错．函数c y x =，因为01c <<，所以c y x =在(0,)+∞是增函数， 因为a >b ，所以c c a b >，故B 正确．函数log c y x =，因为01c <<，所以log c y x =在(0,)+∞是减函数， 因为a >b ，所以log log c c a b <，故C 错．11()1124a b a b a b b a ⎛⎫++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号， 又a b >，所以11()4a b a b ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，故D 正确．故选：BD5、（2022ꞏ山东济南ꞏ高三期末）已知实数a ，b ，c 满足0a b c >>>，则下列说法正确的是（ ）A ．()()11a c abc a <--B ．b bc a a c+<+ C ．2ab c ac bc +>+ D ．()11a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为4【答案】BC 【要点分析】对于A ，利用不等式的性质判断，对于BC ，作差判断即可，对于D ，利用基本不等式判断 【过程详解】对于A ，因为0a b c >>>，所以11a b <，10c a<-，所以()()11a c a b c a >--，所以A 错误， 对于B ，因为0a b c >>>，所以()0,()0c a b a a c ->+>， 所以()()()0()()()b c b a b c b a c ab ac ab bc c a b a c a a a c a a c a a c ++-++----===>++++，所以b b ca a c+<+，所以B 正确， 对于C ，因为0a b c >>>，所以0,0a c b c ->->，所以2()()()()()0ab c ac bc a b c c b c a c b c +-+=---=-->，所以2ab c ac bc +>+，所以C 正确，对于D ，因为0,0a b >>，所以()11224b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =即a b =时取等号，因为a b >，所以取不到等号，所以()11a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值不为4，所以D 错误，故选：BC6、（2022ꞏ山东泰安ꞏ高三期末）若,,0a b R a b ∈<<，则下列不等式中，一定成立的是（ ）A ．11a b a>- B ．11a b > C ．2a bb a+>D ．a b >【答案】BCD 【要点分析】以求差法判断选项AB ；以均值定理判断选项C ；以绝对值的几何意义判断选项D. 【过程详解】 选项A ：()()11()a a b b a b a a b a a b a---==---，由0a b <<，可知0a <，0b <，0a b -<， 则()0ba b a <-，即11a b a<-.选项A 判断错误；选项B ：11b aa b ab --=，由0a b <<，可知0a <，0b <，0b a ->，则0b a ab ->，即11a b>.选项B 判断正确； 选项C ：当0a b <<时，2a b b a +>=.选项C 判断正确； 选项D ：当0a b <<时，a b >.选项D 判断正确. 故选：BCD7、（华南师范大学附属中学高三期末试题）已知0a b >>，则下列说法正确的是（ ） A.33b b a a +>+ B.3223a b aa b b+<+C. <D. lg lg lg 22a b a b++> 【答案】BD 【答案解析】【过程详解】对于A ，因为()()330,033b a b b a b a a a a -+>>-=<++，所以33b b a a +<+，故A 错误； 对于B ，因为0a b >>，所以22a b >，所以()()()()()2223223320232323b aa b b a a b a b a a b b a b b a b b-+-++-==<+++，即3223a b a a b b +<+，故B 正确； 对于C ，因为0a b >>>>，所以>，故C 错误；对于D ，因为0a b >>，所以lg lg lg 22a b a b++>=，故D 正确. 故选：BD.题型二 简单不等式1、(2022·江苏苏州期中)已知不等式x 2＋2ax ＋b －1＞0的解集是{x |x ≠d }，则b 的值可能是A ．－1B ．3C ．2D ．0 【答案】BC【答案解析】由题意可知，方程x 2＋2ax ＋b －1＝0的根为d ，则∆＝4a 2－4(b －1)＝0，则b －1＝a 2≥0，所以b ≥1，则选项B 、C 正确；选项A 、D 错误；综上，答案选BC ．2、(2022·江苏常州期中)已知关于x 的不等式a e x ＋bx ＋c ＞0的解集为(－1，2)，则A ．a ＞0B ．b ＞0C ．c ＞0D ．a ＋b ＋c ＞0 【答案】BCD【答案解析】由题意可知，当a ＝0时，不等式不成立；当a ≠0时，－1，2是方程a e x ＋bx ＋c ＝0的两个根，则有⎩⎪⎨⎪⎧a e －1－b ＋c ＝0a e 2＋2b ＋c ＝0，所以⎩⎨⎧b ＝－a3()e 2－e －1＞0c ＝－a 3()e 2＋2e －1＞0，故选项B 正确；选项C 正确；对于选项D ，a ＋b ＋c ＝a －a 3(e 2－e －1)－a 3(e 2－2e －1)＝a [1－13(e 2－e －1)－13(e 2－2e －1)]＝a (1－e 23＋13e －e 23－23e )＝a (1－2e 23－13e )＞0，故选项D 正确；综上，答案选BCD ．3、（2022年湖南湘阴县知源高级中学高三月考试卷）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，则（ ）A. 0a >B. 不等式0bx c +>的解集是{}|6x x <-C. 0a b c ++>D. 不等式20cx bx a -+<的解集为11(,(,)32-∞-⋃+∞ 【答案】ABD 【答案解析】【过程详解】关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),23,,0,A a ∞∞--⋃+∴>选项正确；且－2和3是关于x 的方程20ax bx c ++=的两根，由韦达定理得2323b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，则,6b a c a =-=-，则60a b c a ++=-<，C 选项错误；不等式0bx c +>即为60ax a -->，解得6,B x <-选项正确；不等式20cx bx a -+<即为260ax ax a -++<，即2610x x -->，解得13x <-或1,D 2x >选项正确.故选：ABD .4、（2022年江苏盐城市高三月考试卷）若“2340x x +-<”是“222()330x k x k k -+++≥”的充分不必要条件，则实数k 可以是（ ）A. 8-B. 5-C. 1D. 4【答案】ACD 【答案解析】【过程详解】2340x x +-<，解得41x -<<，222()330x k x k k -+++≥即[]()(3)0x k x k --+≥，解得x k ≤或3x k ≥+，由题意知(4,1)-是(][),3,k k -∞⋃++∞的真子集， 所以1k ≥或34k +≤-， 所以1k ≥或7k ≤-，即(,7][1,)k ∈-∞-⋃+∞. 故选：ACD5、（2022年重庆市北山中学高三月考试卷）. 下列叙述不正确的是（ ） A.12x<的解是12x >B. “04m ≤≤”是“210mx mx ++≥”的充要条件C. 已知x ∈R ，则“0x >”是“11x -<”的必要不充分条件D. 函数()2232f x x x =++的最小值是2- 【答案】AD 【答案解析】 【过程详解】选项A ：12x<的解是12x >或0x <，故A 不正确；选项B ：由21y mx mx =++得24m m ∆=-，210mx mx ++≥恒成立则240m m m >⎧⎨-≤⎩或0m =，解得 04m ≤≤，所以“04m ≤≤”是“210mx mx ++≥”的充要条件，故B 正确；选项C ：由11x -<得111x -<-<，解得02x <<，所以“0x >”是“11x -<”的必要不充分条件，故C 正确；选项D ：由均值不等式得22322x x ++≥=+，当且仅当22322x x +=+时等号成立，此时x 无实数解，所以()2232f x x x =++的最小值大于2-，故D 不正确； 故选：AD题型三 基本不等式1、（2022年辽宁葫芦岛市中学高三月考试卷）已知0a >，0b >，4165log 2log 16a b +=，则下列结论正确的是（ ）A. 45a b +=B. 542a b +=C. ab 的最大值为2564D.11a b+的最小值为185【答案】BCD【答案解析】【过程详解】由4165log 2log 16a b +=可得，52816a b +=，即542a b +=．所以A 错误，B 正确；因为5254264a b ab =+≥⇒≤，当且仅当55,164a b ==时取等号，所以ab 的最大值为2564，C 正确；因为()11211244555b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(218555≥+=，当且仅当55,126a b ==时取等号，所以11a b+的最小值为185，D 正确．故选：BCD ．2、 （2022年湖南邵阳市高三月考试卷）已知实数a ，b ，c 满足0a b c <<<，则下列说法正确的是（ ）A.()()11a c abc a >--B.b bc a a c+>+ C. 2ab c ac bc +>+ D. 11()()a b a b++的最小值为4 【答案】ABC 【答案解析】【过程详解】由题0a b c <<<，所以有()()1111b a ac a b c a a b>⇒>⇒>--，故A 正确；()()b b c b a c a b c bc ac b a a a c+>⇒+>+⇒>⇒>+，故B 正确； ()()()()200ab c ac bc c c b a c b c a c b +>+⇒--->⇒-->，故C 正确；11()(224b a a b a b a b ++=++≥+=，当且仅当a b b a =即a b =时取等，又因为0a b <<，所以11()(4a b a b++>，即11()(a b a b++无最小值，故D 错误. 故选：ABC.3、（2022ꞏ广东ꞏ铁一中学高三期末）若0,0a b >>．且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．1104ab <≤ B 2C ．111a b+≥D ．22118a b ≤+ 【答案】CD 【要点分析】结合基本不等式对选项进行要点分析，由此确定正确选项. 【过程详解】22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，当且仅当2a b ==时等号成立， 则2442ab ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭或222422a b +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则222211112,8,48a b ab a b ≥≤+≥≤+， 即AB 错误，D 正确.对于C 选项，1141414a b a ab ab b ++==≥⨯=，C 选项正确. 故选：CD4、（2022ꞏ重庆ꞏ模拟预测）（多选题）已知正数a ，b 满足22a b ab +=，则下列说法一定正确的是（ ） A ．24a b +≥ B ．4a b +≥ C ．8ab ≥ D ．2248a b +≥【答案】AD 【要点分析】由基本不等式判断AD ，取1,2b a ==判断BC. 【过程详解】 由题意可知1112b a +=，1122(2)2422a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭…（当且仅当22a b ==时取等号），故A 正确；取1,2b a ==，则3,2a b ab +==，故BC 错误；因为22a b ab +=≥所以2ab …（当且仅当22a b ==时取等号），则22448a b ab +厖（当且仅当22a b ==时取等号），故D 正确； 故选：AD5、（2022ꞏ湖南常德ꞏ高三期末）若0a >，0b >，111a b+=，则（ ）A ．4ab ≤B ．4a b +≥C ．228a b +≤D ．22log log 2a b +≥【答案】BD 【要点分析】利用基本不等式及指对数函数的性质逐项要点分析即得. 【过程详解】∵0a >，0b >，111a b +=≥ ∴4ab ≥，当且仅当2a b ==时取等号，故A 错误；由()1124b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =，即2a b ==时取等号，故B 正确；因为228a b ≥≥=+，当且仅当2a b ==时取等号，故C 错误； 因为()2222log log log log 42a b ab +=≥=，当且仅当2a b ==时取等号，故D 正确.故选：BD.6、（2022ꞏ湖北襄阳ꞏ高三期末）已知()lg f x x =，当a b <时，()()f a f b =，则（ ） A ．01a <<，1b >B ．10ab =C ．2114b a -<D ．224a b +>【答案】ACD 【要点分析】利用()()f a f b =，可得lg lg a b -=，从而得到1ab =，再对每一个选项进行要点分析即可. 【过程详解】因为()()f a f b =，且a b <，可得lg lg lg lg 0a b a b -=⇒+=，从而得到1ab =， 因为0a b <<，所以01a b <<<，所以2221111()244b b b b a -=-+=--+<，而12a b b b +=+>=，（1b >，等号不成立）所以422ab>==>=+.从而可知选项ACD 正确. 故选：ACD7、（2022ꞏ山东德州ꞏ高三期末）已知0a >，0b >，2a b ab +=，则下列结论正确的是（ ）A ．a b +的最小值为3+B ．22a b +的最小值为16CD ．lg lg a b +的最小值为3lg 2【答案】ACD 【要点分析】利用“1”的代换结合基本不等式判断AD +C ，由对数的运算结合基本不等式判断B. 【过程详解】由2a b ab +=可得，211b a +=，212()33a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=+++ ⎪⎝⎭…2b ==等号），故A 正确；214(2)448a b ab a b b a b a ⎛⎫=++=+++= ⎪⎝⎭…（当且仅当24b a ==时，取等号），即lg lg lg lg83lg 2a b ab +=≥=，故D 正确；222a b ab +≥（当且仅当3b a ==时，取等号），8ab …（当且仅当24b a ==时，取等号），即2216a b +>，故B 错误；212112a b =+++=≤（当且仅当1212a b ==时，取等号），故C 正确； 故选：ACD8、（2022ꞏ山东烟台ꞏ高三期末）已知0a >，0b >，则下列命题成立的有（ ） A ．若1ab =，则222a b +≥ B ．若1ab =，则112a b +≥C ．若1a b +=，则2212a b +≤ D ．若1a b +=，则114a b+≥【答案】ABD 【要点分析】利用基本不等式逐项判断. 【过程详解】A.若1ab =，则2222a b ab +≥=，当且仅当1a b ==时，等号成立，故正确；B.若1ab =，则112a b +≥=当且仅当1a b ==时，等号成立，故正确；C.若1a b +=，则()2221122=+≥+a b a b ，当且仅当1a b ==时，等号成立，故错误； D.若1a b +=，则2111421a b ab a b ab a b +==≥++⎛⎫ ⎪⎝⎭=，当且仅当1a b ==时，等号成立，故正确；故选：ABD9、（2022ꞏ湖北ꞏ蕲春县第一高级中学模拟预测）（多选题）若0,0a b >>，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．1104ab <≤ B ．111a b +≥C ．22log log 2a b +<D ．22118a b ≤+【答案】BD 【要点分析】由基本不等式对选项逐一判断【过程详解】因为0,0a b >>，22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，当且仅当2a b ==时等号成立， 则2442ab ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭或222422a b +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当2a b ==时等号成立，则222211112,8,48a b ab a b ≥≤+≥≤+， 当且仅当2a b ==时等号成立，则22222log log log log 22a b ab +=≤≤，当且仅当2a b ==时等号成立，故AC 错误，D 正确. 对于B 选项，1141414a b a ab ab b ++==≥⨯=， 当且仅当2a b ==时等号成立，故B 正确. 故选：BD10、（2022ꞏ辽宁辽阳ꞏ二模）（多选题）已知0a >，0b >，且24a b +=，则（ ） A ．124a b ->B ．22log log 1a b +≤C ≥D ．412528a b +≥ 【答案】BD【要点分析】由不等式的性质与基本不等式对选项逐一判断 【过程详解】对于A ，02a <<，()()42344,2a b a a a -=--=-∈-，所以12416a b -<<，故A 错误，对于B ，420a b =+≥>，即0<≤02ab <?，()222log log log 1a b ab +=≤，故B 正确，对于C ，228a b =++≤≤C 错误，对于D ，4122171725288488a b a b b a a b a b a b ++⎛⎫+=+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当825a b ==时，等号成立，故D 正确． 故选：BD11、（2022ꞏ福建莆田ꞏ模拟预测）（多选题）已知直线l ：()100,0ax by a b ++=>>与圆C ：221x y +=相切，则下列说法正确的是（ ）A ．12ab ≥B ．22114a b+≥C ．2122a b +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭D ．11a b+≤【答案】BC 【要点分析】先根据直线和圆相切得到221a b +=，再利用基本不等式判定选项A 错误、选项B 、C 正确，利用反例得到选项D 错误. 【过程详解】因为直线l ：10ax by ++=与圆C ：221x y +=相切， 所以圆心(0,0)C 到直线l 的距离等于1，1=，即221a b +=，且0a >，0b >；对于A ：因为222a b ab +≥且221a b +=，所以22122a b ab +=≤，即选项A 错误；对于B ：因为221a b +=，所以222222222222112a b a b b a a b a b a b+++=+=++24≥+=（当且仅当2222b a a b =，即a b =时取等号）， 即选项B 正确；对于C ：因为222a b ab +≥且221a b +=， 所以222222224412()a b ab a a b b +++⎛⎫+⎭≤ ⎝=⎪=（当且仅当a b =时取等号）， 即选项C 正确；对于D ：当219a =且289b =时，1134a b +=+>即选项D 错误. 故选：BC.12、（2022ꞏ江苏ꞏ扬中市第二高级中学模拟预测）（多选题）已知0a >，0b >，且2a b ab +=，则（ ） A．8ab ≥B ．3a b +≤+C ．24b >D ．()()221log 1log 24a b -⋅-≤【答案】ACD 【要点分析】利用基本不等式判断AB ，由不等式性质和指数函数性质判断C ．由基本不等式结合对数运算法则判断D ． 【过程详解】对于A，2a b ab +=≥8ab ≥，当且仅当2a =，4b =时，等号成立．对于B ，2a b ab +=变形得211b a +=，所以()212213ab a b a b b a b a ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当2a b b a =，即2b ==时，等号成立，故B 错误． 对于C ，因为211ba+=，所以201b<<，即2b >，则24b >． 对于D ，由2a b ab +=可得()()122a b --=，()()222log [(1)(2)]1log 1log 2a a b b -+---==，()()()()22222log 1log 2log 1log 22a b a b -+-⎡⎤-⋅-≤⎢⎥⎣⎦14=，当且仅当12a b -=-，即1a =，2b =+时等号成立． 故选：ACD ．13、（2022ꞏ湖南衡阳ꞏ三模）（多选题）已知实数0a >，0b >，1a b +=．则下列不等式正确的是（ ） A．22a b +≥ BC ．112216a b ⎛⎫⎛⎫++≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D．222a b a b b a+≤++【答案】ABD 【要点分析】对于A 、D 利用1b a =-换元整理，22222abaa +=+，222211313a b a a b b a a a t t++==++-++-，再结合基本不等式；对于B 根据()2222a b a b ++≥，代入整理；对于C 113224a b ab ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，结合()24a b ab +≤计算处理． 【过程详解】∵1a b +=，则1b a =-∴12222222a b a a a a-+=+≥=+222aa =即12ab ==时等号成立A 正确；()222222211111a b a a a a b b a a a a a a a -++=+=+++--+-+令()11,2t a =+∈，则1a t =-221131333a t a a t t t t +==≤-+-++-3t t=即t 时等号成立 D 正确；∵22a b +≥，即212≥≤，当且仅当12a b ==时等号成立，B 正确； ∵()2144a b ab +≤=，当且仅当12a b ==时等号成立 ()421112121322416ab a b a b a b a b ab ab +++++⎛⎫⎛⎫++=⨯==+≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，C 不正确； 故选：ABD ．14、（2022ꞏ辽宁葫芦岛ꞏ二模）（多选题）已知0a b >>，115a b a b+++=，则下列不等式成立的是（ ） A ．14a b <+<B ．114b a a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．2211b a a b ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】AB 【要点分析】AB 选项，利用基本不等式进行求解；CD 选项，利用作差法比较大小. 【过程详解】 115a b a b +++=，即5a b a b ab+++=，所以()5a b ab a b +=-+，因为0a b >>，所以由基本不等式得：()24a b ab +<，所以()()254a b a ba b ++<-+，解得：14a b <+<，A 正确；111224b a ab a b ab ⎛⎫⎛⎫++=++≥≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1ab ab =时等号成立，故B 正确； ()221111111111b a b a b a b a b a a b a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=++++--=++++- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为0a b >>，所以()11110b a b a a b ab ⎛⎫⎛⎫++++-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以2211b a a b ⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误；()221111111111a b a b a b a b b a a b a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=++++--=+++-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为0a b >>，而1ab 可能比1大，可能比1小，所以()1111a b b a a b ab ⎛⎫⎛⎫+++-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭符号不确定，所以D 错误， 故选：AB15、（2022ꞏ河北ꞏ模拟预测）（多选题）已知220,0,2a b a b >>+=，则以下不等式成立的是（ ） A ．2a b +> B ．332a b +≥C ．114a b b a ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ D ．112a b +≥【答案】BCD 【要点分析】直接利用基本不等式即可判断ACD ，由2a b +≤，可得()()()33332a b a b a b +≥++，整理即可判断B.【过程详解】解：对于A ，因为220,0,2a b a b >>+=，所以()()22224a b a b +≤+=，所以2a b +≤，当且仅当1a b ==时取等号，故A 错误；对于B ，()()()33332a b a b a b +≥++4334a ab a b b =+++()()22222222=+-++a b a b ab a b ()()222222a b ab a b ab ab =+++-⋅ ()()222222a b ab a b ab =+++- ()()22224a b ab a b =++-≥，当且仅当1a b ==时取等号，所以()3324a b +≥，即332a b +≥，故B 正确；对于C ，111224a b ab b a ab ⎛⎫⎛⎫++=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当1abab=，即1ab=时取等号，故C正确；对于D，112a b+≥≥=，当且仅当11a b=且a b=，即1a b==时取等号，故D正确.故选：BCD.。

高考数学一轮考点扫描专题35 基本不等式一、【知识精讲】 1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.(2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).[微点提醒]1.b a ＋a b≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号.2.ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22. 3.21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0).二、【典例精练】考点一 利用基本不等式求最值 角度1 通过配凑法求最值 【例1－1】设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1aa －b 的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】D 【解析】 a 2＋1ab ＋1aa －b ＝(a 2－ab )＋1a 2－ab ＋1ab＋ab ≥2a 2－ab ·1a 2－ab＋21ab×ab ＝4，当且仅当a 2－ab ＝1a 2－ab 且1ab＝ab ， 即a ＝2，b ＝22时取等号，故选D. 角度2 通过常数代换法求最值【例1－2】已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为________． 【答案】3＋2 2【解析】由x >0，y >0，x ＋2y ＝xy ，得2x ＋1y＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y＝3＋2y x ＋xy ≥3＋2 2.当且仅当x ＝2y 时取等号．【解法小结】 在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. 考点二 基本不等式在实际问题中的应用【例2】 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 【解析】 (1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50，100].所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50，100](或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100]).(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时等号成立.故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元. 【解法小结】 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 考点三 基本不等式的综合应用【例3】 (1) (2017·山东高考)若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________． (2)(一题多解)(2018·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________. 【答案】 (1)8 (2)9【解析】（1） ∵直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)， ∴1a ＋2b＝1，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝4＋4a b ＋b a≥4＋24a b ·ba＝8，当且仅当b a ＝4ab，即a ＝2，b ＝4时，等号成立． 故2a ＋b 的最小值为8.(2)法一 依题意画出图形，如图所示.易知S △ABD ＋S △BCD ＝S △ABC ，即12c sin 60°＋12a sin 60°＝12ac sin 120°， ∴a ＋c ＝ac ，∴1a ＋1c＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c＝5＋c a ＋4a c≥9，当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”.法二 以B 为原点，BD 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则D (1，0)，∵AB ＝c ，BC ＝a ， ∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，32c ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－32a .∵A ，D ，C 三点共线，∴AD →∥DC →. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ＋32c ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1＝0，∴ac ＝a ＋c ，∴1a ＋1c＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c≥9，当且仅当c a ＝4a c ， 即a ＝32，c ＝3时取“＝”. 【解法小结】 基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决这类问题的策略是： 1.先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点.2.要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转化为能利用基本不等式的形式.3.检验等号是否成立，完成后续问题. 三、【名校新题】1.(2019·孝感调研)“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由a >b >0，可知a 2＋b 2>2ab ，充分性成立，由ab <a 2＋b 22，可知a ≠b ，a ，b ∈R，故必要性不成立.2.(2019·玉溪一中月考)已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为( )A.12 B.43C.－1D.0【答案】D【解析】 f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号.又1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为0.3.(2019·济南联考)若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A.2B.12C.4D.14【答案B【解析】】因为a >0，b >0，故2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b 时取等号). 又因为2a ＋b ＝4， ∴22ab ≤4⇒0<ab ≤2， ∴1ab ≥12，故1ab 的最小值为12(当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立). 4.(2019·长春质量监测)已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12 D ．16【答案】B【解析】 由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4y ＋1x ＝4x y ＋yx ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B. 5.(2019·江西上饶联考)已知正数a ，b ，c 满足2a －b ＋c ＝0，则ac b2的最大值为( ) A ．8 B ．2 C ．18 D ．16【答案】 C【解析】 因为a ，b ，c 都是正数，且满足2a －b ＋c ＝0，所以b ＝2a ＋c ，所以ac b 2＝ac 2a ＋c2＝ac4a 2＋4ac ＋c2＝14a c ＋ca＋4≤124a c ·c a＋4＝18，当且仅当c ＝2a >0时等号成立．故选C. 6.(2019·太原模拟)若P 为圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，且A (－1，0)，B (1，0)，则|PA |＋|PB |的最大值为( ) A.2 B.2 2C.4D.4 2【答案】B【解析】由题意知∠APB ＝90°，∴|PA |2＋|PB |2＝4，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|PA |＋|PB |22≤|PA |2＋|PB |22＝2(当且仅当|PA |＝|PB |时取等号)， ∴|PA |＋|PB |≤22，∴|PA |＋|PB |的最大值为2 2.7.(2019·衡水中学质检)正数a ，b 满足1a ＋9b＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.[3，＋∞) B.(－∞，3] C.(－∞，6]D.[6，＋∞)【答案】D【解析】 因为a >0，b >0，1a ＋9b＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b≥16，当且仅当b a ＝9ab，即a ＝4，b ＝12时取等号. 依题意，16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立. 又x 2－4x －2＝(x －2)2－6，所以x 2－4x －2的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6.8.(2019·山西模拟)已知不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】 B【解析】 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2，当且仅当a ·x y ＝y x，即ax 2＝y 2时“＝”成立．∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2≥9.∴a ≥4.故选B.9. (2019·厦门模拟)已知f (x )＝32x－(k ＋1)3x＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1)C.(－1，22－1)D.(－22－1，22－1)【答案】B【解析】由f (x )>0得32x －(k ＋1)3x ＋2>0，解得k ＋1<3x＋23x .又3x ＋23x ≥22(当且仅当3x＝23x ，即x ＝log 3 2时，等号成立).所以k ＋1<22，即k <22－1.10.(2019·上海模拟)设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y ＝1，则xy 的最小值为( )A ．4B ．4 3C ．9D ．16【答案】 D 【解析】32＋x ＋32＋y＝1可化为xy ＝8＋x ＋y ，∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16.故选D.11.(2019·湖南师大附中模拟)已知△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则4a ＋b ＋a ＋bc 的最小值为( )A.2B.2＋ 2C.4D.2＋2 2【答案】D【解析】 因为△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1， 所以12(a ＋b ＋c )×1＝1，所以a ＋b ＋c ＝2，所以4a ＋b ＋a ＋b c ＝2（a ＋b ＋c ）a ＋b ＋a ＋b c ＝2＋2c a ＋b ＋a ＋b c≥2＋22， 当且仅当a ＋b ＝2c ，即c ＝22－2时，等号成立， 所以4a ＋b ＋a ＋bc的最小值为2＋2 2. 12.(2019·绵阳诊断)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ的取值范围为( ) A ．[6，＋∞) B ．[10，＋∞) C ．[12，＋∞) D ．[16，＋∞)【答案】 D【解析】 ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin 2θ，cos 2θ∈(0,1)，∴y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋9cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝10＋cos 2θsin 2θ＋9sin 2θcos 2θ≥10＋2cos 2θsin 2θ·9sin 2θcos 2θ＝16，当且仅当cos 2θsin 2θ＝9sin 2θcos 2θ，即θ＝π6时等号成立．故选D.13. (2019·合肥调研)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥2x －1，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a >0，b >0)的最大值为35，则a ＋b 的最小值为________. 【答案】8【解析】 可行域如图所示，当直线abx ＋y ＝z (a >0，b >0)过点B (2，3)时，z 取最大值2ab ＋3.于是有2ab ＋3＝35，ab ＝16.所以a ＋b ≥2ab ＝8，当且仅当a ＝b ＝4时等号成立， 所以(a ＋b )min ＝8.14. (2019·乐山一中月考)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________.【答案】92【解析】 y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（3－2x ）22＝92， 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立.∵34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜32的最大值为92. 15.(2019·潍坊调研)函数y ＝a1－x(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，且m ，n为正数，则1m ＋1n的最小值为________.【答案】4【解析】∵曲线y ＝a 1－x恒过定点A ，x ＝1时，y ＝1，∴A (1，1).将A 点代入直线方程mx ＋ny －1＝0(m >0，n >0)， 可得m ＋n ＝1，∴1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ·(m ＋n )＝2＋n m ＋mn≥2＋2n m ·mn＝4， 当且仅当n m ＝m n 且m ＋n ＝1(m >0，n >0)，即m ＝n ＝12时，取得等号.16.(2019·河南八校测评)已知等差数列{a n }中，a 3＝7，a 9＝19，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＋10a n ＋1的最小值为________. 【答案】3【解析】∵a 3＝7，a 9＝19， ∴d ＝a 9－a 39－3＝19－76＝2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝7＋2(n －3)＝2n ＋1， ∴S n ＝n （3＋2n ＋1）2＝n (n ＋2)，因此S n ＋10a n ＋1＝n （n ＋2）＋102n ＋2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n ＋1）＋9n ＋1≥12×2（n ＋1）·9n ＋1＝3， 当且仅当n ＝2时取等号.故S n ＋10a n ＋1的最小值为3. 17．(2019·孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km/h)(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧175x 2－130x ＋4 900，x ∈[50，80，12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？ 【解析】(1)当x ∈[50,80)时，y ＝175(x 2－130x ＋4 900)＝175[(x －65)2＋675]，所以当x ＝65时，y 取得最小值，最小值为175×675＝9.当x ∈[80,120]时，函数y ＝12－x 60单调递减，故当x ＝120时，y 取得最小值，最小值为12－12060＝10.因为9<10，所以当x ＝65，即该型号汽车的速度为65 km/h 时，可使得每小时耗油量最少． (2)设总耗油量为l L ，由题意可知l ＝y ·120x，①当x ∈[50,80)时，l ＝y ·120x ＝85⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4 900x －130≥85⎝⎛⎭⎪⎫2 x ×4 900x－130＝16，当且仅当x ＝4 900x，即x ＝70时，l 取得最小值，最小值为16；②当x ∈[80,120]时，l ＝y ·120x ＝1 440x－2为减函数，所以当x ＝120时，l 取得最小值，最小值为10.因为10<16，所以当速度为120 km/h 时，总耗油量最少．18. (2019·西安模拟)某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？ 【解析】 (1)设第n 年获取利润为y 万元．n 年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n 年付出的装修费之和为n ×1＋n n －12×2＝n 2，又投资81万元，n 年共收入租金30n 万元， ∴利润y ＝30n －n 2－81(n ∈N *)．令y >0，即30n －n 2－81>0，∴n 2－30n ＋81<0， 解得3<n <27(n ∈N *)，∴从第4年开始获取纯利润． (2)方案①：年平均利润t ＝30n －81＋n2n＝30－81n－n ＝30－⎝ ⎛⎭⎪⎫81n ＋n ≤30－281n ·n ＝12(当且仅当81n＝n ，即 n ＝9时取等号)，∴年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)． 方案②：纯利润总和y ＝30n －n 2－81＝－(n －15)2＋144(n ∈N *)， 当n ＝15时，纯利润总和最大，为144万元，∴纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)， 两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①.。

2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（椭圆）练习一. 基础小题练透篇1.已知定点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝8，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．直线 D ．线段2．[2023ꞏ山西省忻州市高三联考]“m >0”是“方程x 24 ＋y 2m ＝1表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.[2023ꞏ重庆市高三模拟]几何学中，把满足某些特定条件的曲线组成的集合叫做曲线族．点Q 是椭圆族T 上任意一点，如图所示，椭圆族T 的元素满足以下条件：①长轴长为4；②一个焦点为原点O ；③过定点P ()0，3 ，则||QP ＋||QO 的最大值是( )A ．5B ．7C ．9D ．114．[2023ꞏ四川省遂宁市模拟]已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12 ，则( ) A ．a 2＝2b 2 B ．3a 2＝4b 2 C ．a ＝2b D ．3a ＝4b5．[2023ꞏ甘肃省张掖市高三检测]已知椭圆x 2＋y 2b 2 ＝1(1>b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 是椭圆上一点，点A 是线段F 1F 2上一点，且∠F 1MF 2＝2∠F 1MA ＝2π3 ，|MA |＝32 ，则该椭圆的离心率为( )A ．3B ．12C ．223D ．36．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，3 )，B (0，－3 )，动点M 满足|MA |＋|MB |＝4，则MA → ꞏMB →的最大值为( )A ．－2B ．0C ．1D ．27．已知椭圆C 的焦点在x 轴上，过点(322 ，2)且离心率为13 ，则椭圆C 的焦距为________． 8．[2023ꞏ陕西省西安市模拟]椭圆x 29 ＋y 23 ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，如果PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的________倍．二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ陕西省安康市高三联考]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 215 ＝1(a >15 )的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°.||PF 1 ＝5||PF 2 ，则C 的方程为( )A ．x 221 ＋y 215 ＝1B ．x 218 ＋y 215 ＝1C ．x 236 ＋y 215 ＝1 D ．x 242 ＋y 215 ＝12．[2023ꞏ广西贵港市高三联考]若2<m <8，椭圆C ：x 2m ＋y 22 ＝1与椭圆D ：x 2m ＋y 28 ＝1的离心率分别为e 1，e 2，则( )A ．e 1ꞏe 2的最小值为32B ．e 1ꞏe 2的最小值为12C ．e 1ꞏe 2的最大值为3D ．e 1ꞏe 2的最大值为123．[2023ꞏ江西名校联盟模拟]在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为( )A.22 B ．12 C ．13 D ．144．[2023ꞏ陕西省西安市高三检测]设椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1()a >b >0 的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B 关于原点对称，且满足F A → ꞏFB →＝0，||FB ≤||F A ≤2||FB ，则椭圆C 的离心率的最大值是( )A ．13B ．33C ．23D ．535．[2023ꞏ陕西省咸阳市摸底]已知椭圆C ：x 2m 2－1＋y 2m 2 ＝1(m ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一点，且△PF 1F 2面积的最大值为3 ，则椭圆C 的短轴长为________．6．[2023ꞏ福建省高三联考]抛物线C 1：y 2＝4x 的焦点F ，点P ()3，2 ，以点F ，P 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为________．三. 高考小题重现篇1.[2021ꞏ山东卷]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29 ＋y 24 ＝1的两个焦点，点M 在C 上，则||MF 1 ꞏ||MF 2 的最大值为( )A ．13 B. 12 C ．9 D. 62．[全国卷Ⅰ]已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 24 ＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．22 D ．2233．[2022ꞏ全国甲卷]已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的离心率为13 ，A 1，A 2分别为C的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA → 1ꞏBA →2＝－1，则C 的方程为( )A ．x 218 ＋y 216 ＝1B ．x 29 ＋y 28 ＝1C ．x 23 ＋y 22 ＝1 D ．x 22 ＋y 2＝14．[2022ꞏ全国甲卷]椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为()A．32B．22C．12D．135．[2019ꞏ全国卷Ⅲ]设F1，F2为椭圆C：x236＋y220＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．6．[2021ꞏ全国甲卷]已知F1，F2为椭圆C：x216＋y24＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．四. 经典大题强化篇1.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e＝5，直线l交椭圆于M，N两点．(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦|MN|的长；(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．2．[2022ꞏ湖北武汉调研]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为22，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为103时，求k的值．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：D答案解析：因为|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，所以动点P 的轨迹是线段F 1F 2. 2．答案：B答案解析：当m >0时方程x 24 ＋y 2m ＝1不一定表示椭圆，如m ＝4时方程x 24 ＋y 24＝1，即x 2＋y 2＝4就表示一个圆，所以“m >0”不是“方程x 24 ＋y2m＝1表示椭圆”的充分条件；但是当方程x 24 ＋y 2m ＝1表示椭圆时，应有m >0，所以“m >0”是“方程x 24 ＋y 2m＝1表示椭圆”的必要条件，故选B. 3．答案：A答案解析：如图所示设点Q 所在椭圆的另一焦点为F ，则||QP ＋||QO ＝||QP ＋4－||QF ≤||PF ＋4＝4－||PO ＋4＝5. 故选A. 4．答案：B答案解析：椭圆的离心率e ＝c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，化简得3a 2＝4b 2，故选B.5．答案：B答案解析：设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2，则r 1＋r 2＝2a ＝2，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos 2π3，即4c 2＝r 21 ＋r 22 ＋r 1r 2＝（r 1＋r 2）2－r 1r 2＝4－r 1r 2，所以r 1r 2＝4－4c 2，因为S △F 1MF 2＝S △F 1MA ＋S △AMF 2，所以12 r 1r 2sin 23 π＝12 r 1·|MA |·sin π3 ＋12 r 2·|MA |·sin π3，整理得r 1r 2＝（r 1＋r 2）·|MA |，即4－4c 2＝2×32 ，整理得c 2＝14，所以c ＝12 ，a ＝1，e ＝c a ＝12.故选B. 6．答案：C答案解析：易知M 的轨迹为椭圆，其方程为y 24＋x 2＝1，设M （x ，y ），则x 2＝1－y 24，∴MA → ·MB → ＝（－x ，3 －y ）·（－x ，－3 －y ）＝x 2＋y 2－3＝y 2＋（1－y 24）－3＝3y24－2， 因为y ∈[－2，2]，所以34y 2∈[0，3]，即3y24 －2∈[－2，1]，∴（MA → ·MB →）max ＝1. 7．答案：2答案解析：设椭圆方程为x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1，由离心率为13 可得c a ＝13，由a 2＝b 2＋c 2可得b 2a 2＝89 ，又92a 2 ＋4b 2 ＝1，解得a 2＝9，b 2＝8，c ＝1，焦距为2. 8．答案：5答案解析：由题得c ＝6 ，由题得PF 2⊥x 轴，当x ＝6 时，69＋y 23 ＝1，所以y ＝±1，∴|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝2×3－|PF 2|＝6－1＝5， 所以|PF 1|是|PF 2|的5倍．二 能力小题提升篇1．答案：C答案解析：在椭圆C ：x 2a 2 ＋y 215＝1（a >15 ）中，由椭圆的定义可得||PF 1 ＋||PF 2 ＝2a ，因为||PF 1 ＝5||PF 2 ，所以||PF 2 ＝a 3，||PF 1 ＝5a3，在△PF 1F 2中，||F 1F 2 ＝2c ，由余弦定理得||F 1F 2 2＝||PF 1 2＋||PF 2 2－2||PF 1 ||PF 2 cos ∠F 1PF 2，即4c 2＝25a 29 ＋a29－5a 29 ＝21a 29 ，所以c 2a 2 ＝2136 ，又b 2＝15.所以a 2＝36，所以椭圆C 的方程为x 236 ＋y 215 ＝1. 故选C. 2．答案：D答案解析：因为2<m <8，所以e 1＝ 1－2m ，e 2＝ 1－m8，所以e 1·e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 8 ＝1＋14－⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋m 8 ≤54－22m ·m 8 ＝12， 当且仅当m ＝4时，等号成立，故e 1·e 2的最大值为12，e 1·e 2无最小值．故选D.3．答案：C答案解析：不妨设点P 在x 轴上方，如图，连接BQ ，则由椭圆的对称性易得∠PBF ＝∠QBF ，∠EAB ＝∠EBA ，所以∠EAB ＝∠QBF ，所以ME ∥BQ ，所以|PE ||EB | ＝|PM ||MQ | .因为OE ∥PF ，所以|OF ||OB |＝|EP ||EB | ，从而有|PM ||MQ | ＝|OF ||OB | .又M 是线段PF 的中点，所以e ＝c a ＝|OF ||OB | ＝|PM ||MQ | ＝13 . 4．答案：D答案解析：如图所示：设椭圆的左焦点F ′，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF ′为平行四边形，又FA → ·FB →＝0，即FA ⊥FB ， 所以平行四边形AFBF ′为矩形，所以||AB ＝||FF ′ ＝2c ，设||AF ′ ＝|BF |＝n ，||AF ＝m, 在直角△ABF 中，m ＋n ＝2a ，m 2＋n 2＝4c 2，得mn ＝2b 2，所以m n＋n m ＝2c 2b 2 ，令m n ＝t ，得t ＋1t ＝2c2b 2 ，又由||FB ≤||FA ≤2||FB ，得m n ＝t ∈[1，2]，所以t ＋1t ＝2c 2b 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 ，所以c 2b 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，54 ，即b 2a 2 ＝11＋c 2b2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤49，12 ， 所以e ＝ca＝1－b 2a 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，53 ，所以离心率最大值为53 .故选D.5．答案：23答案解析：由椭圆的方程可知，椭圆的焦点F 1，F 2在y 轴上，且|F 1F 2|＝2m 2－（m 2－1） ＝2，由题意可知，当点P 为椭圆C 左右顶点时，△PF 1F 2的面积最大，且12 |F 1F 2|m 2－1 ＝3 ，解得m ＝2，所以椭圆C 的短轴长为2m 2－1 ＝23 .6．答案：22答案解析：抛物线C 1：y 2＝4x 的焦点F （1，0），根据题意2c ＝（3－1）2＋（2－0）2＝22 ，c ＝2 .设椭圆和抛物线的交点为Q ，Q 到抛物线准线x ＝－1的距离为d ，离心率最大，即a 最小，a ＝||QF ＋||QP 2 ＝d ＋||QP 2 ≥3－（－1）2＝2， 当PQ 与准线垂直时等号成立，此时e ＝ca ＝22. 三 高考小题重现篇1．答案：C答案解析：由题，a 2＝9，b 2＝4，则||MF 1 ＋||MF 2 ＝2a ＝6，所以||MF 1 ·||MF 2 ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫||MF 1＋||MF 22 2＝9（当且仅当||MF 1 ＝||MF 2 ＝3时，等号成立）.2．答案：C答案解析：由题意可知c ＝2，b 2＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝4＋22＝8，则a ＝22 ，∴e ＝c a ＝222 ＝22 . 3．答案：B答案解析：由椭圆C 的离心率为13 ，可得e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝13.化简，得8a 2＝9b 2.易知A 1（－a ，0），A 2（a ，0），B （0，b ），所以BA 1·BA 2＝（－a ，－b ）·（a ，－b ）＝－a 2＋b 2＝－1.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝9b 2，－a 2＋b 2＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝8. 所以C 的方程为x 29 ＋y 28 ＝1.故选B.4．答案：A答案解析：A ()－a ，0 ，设P ()x 1，y 1 ，则Q ()－x 1，y 1 ，则k AP ＝y 1x 1＋a ，k AQ ＝y 1－x 1＋a， 故k AP ·k AQ ＝y 1x 1＋a ·y 1－x 1＋a ＝y 21 －x 21 ＋a 2 ＝14， 又x 21 a2 ＋y 21 b2 ＝1，则y 21 ＝b 2()a 2－x 21 a 2， 所以b 2()a 2－x 21 a 2－x 21 ＋a2 ＝14 ，即b 2a 2 ＝14 ， 所以椭圆C 的离心率e ＝c a＝1－b 2a 2 ＝32 .故选A. 5．答案：（3，15 ）答案解析：不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20 ＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M （x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y220＝1，|F 1M |2＝（x ＋4）2＋y 2＝64，x >0，y >0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为（3，15 ）.6．答案：8答案解析：根据椭圆的对称性及|PQ |＝|F 1F 2|可以得到四边形PF 1QF 2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF 1QF 2为矩形．设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝8－m ，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝m 2＋（8－m ）2＝2m 2＋64－16m ＝|F 1F 2|2＝4c 2＝4（a 2－b 2）＝48，得m （8－m ）＝8，所以四边形PF 1QF 2的面积为|PF 1|×|PF 2|＝m （8－m ）＝8.四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）由已知得b ＝4，且c a ＝55 ，即c 2a 2 ＝15，∴a 2－b 2a 2 ＝15，解得a 2＝20，∴椭圆方程为x 220 ＋y 216＝1. 则4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立，消去y 得9x 2－40x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝409，∴所求弦长|MN |＝1＋12|x 2－x 1|＝4029. （2）椭圆右焦点F 的坐标为（2，0），设线段MN 的中点为Q （x 0，y 0），由三角形重心的性质知BF → ＝2FQ →， 又B （0，4），∴（2，－4）＝2（x 0－2，y 0）， 故得x 0＝3，y 0＝－2， 即Q 的坐标为（3，－2）. 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4，且x 21 20 ＋y 21 16 ＝1，x 22 20 ＋y 2216＝1， 以上两式相减得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2 ＝－45 ·x 1＋x 2y 1＋y 2 ＝－45 ×6－4 ＝65，故直线MN 的方程为y ＋2＝65（x －3），即6x －5y －28＝0.2．答案解析：（1）由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，得b ＝2 ，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.（2）由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y22＝1， 得（1＋2k 2）x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.Δ＝24k 2＋16>0恒成立． 设点M ，N 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则y 1＝k （x 1－1），y 2＝k （x 2－1），x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2 ，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2 ，所以|MN |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝2（1＋k 2）（4＋6k 2）1＋2k 2. 又点A （2，0）到直线y ＝k （x －1）的距离d ＝|k |1＋k2 ，所以△AMN的面积S＝12|MN|·d＝|k|4＋6k21＋2k2，由|k|4＋6k21＋2k2＝103，得k＝±1.所以当△AMN的面积为103时，k＝±1.。

3.5 幂函数与一元二次函数（精讲）（提升版）思维导图考点呈现考点一 幂函数及性质【例1-1】（2022·全国·高三专题练习）幂函数223()(55)()m mf x m m x m Z -=+-∈是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m 的值为（ ） A ．﹣6 B ．1 C ．6 D ．1或﹣6【答案】B【解析】∵幂函数223()(55)()mmf x m m x m Z -=+-∈是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，∵2255130m m m m ⎧+-=⎨-<⎩，且23m m -为偶数1m ∴=或6m =- 当1m =时，232m m -=-满足条件；当6m =-时，2354m m -=，舍去因此：m ＝1故选：B【例1-2】（2022·全国·高三专题练习）幂函数2232m m y x --=是偶函数，在()0,∞+上是减函数，则整数m 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．2【答案】A【解析】因为幂函数2232m m y x --=在()0,∞+上是减函数，所以22320m m --<，解得122m -<<，又m Z ∈，所以0m =或1m =， 当0m =时，221yxx 定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()2211x x =-，所以2y x 是偶函数，满足题意；当1m =时，331y x x -==定义域为()(),00,-∞⋃+∞，而()3311x x =--，所以3y x -=是奇函数，不满足题意，舍去；综上，0m =.故选：A 【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知幂函数()f x x α=的图象经过点(16,4)，则下列说法正确的有（ ）例题剖析A ．函数是偶函数B ．函数是增函数C ．当1x >时，()1f x >D ．当120x x <<时，1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】BCD【解析】因为幂函数()f x x α=的图象经过点(16,4)，所以164α=，则12α=， 所以12()f x x ==[)0,+∞，不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数，故A 错； 又102>，所以12()f x x =是增函数，故B 正确； 因此当1x >时，()(1)1f x f >=，故C 正确；当120x x <<时，因为12()()2f x f x +122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭则22121212()()222f x f x x x x x f +⎡+⎤+⎡⎤⎛⎫-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦20=-<⎝⎭，所以1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：BCD. 2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知函数()()2231mm f x m m x+-=--是幂函数，对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-.若a ，b R ∈，且()()f a f b +的值为负值，则下列结论可能成立的有（ ）A ．0a b +>，0ab <B ．0a b +<，0ab >C ．0a b +<，0ab <D ．0a b +>，0ab >【答案】BC【解析】由于函数()f x 为幂函数，故211m m --=，即220m m --=，解得1,2m m =-=.当1m =-时，()21f x x =，当2m =时，()3f x x =.由于“对任意()12,0,,x x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-”知，函数在()0,∞+上为增函数，故()3f x x =.易见()()f x f x -=-，故函数()3f x x =是单调递增的奇函数.由于()()0f a f b +<，即()()()f a f b f b <-=-，得a b <-，所以0a b +<，此时，若当0a =时，0b <，故0ab =；当0a >时，0a b <<-，故0b <，故0ab <；当0a <时，由a b <-知，b a <-，故0b <或0b =或0b >，即0ab >或0ab =或0ab <.综上可知，0a b +<，且0ab >或0ab =或0ab <.故选：BC. 3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知幂函数()223()mm f x x m Z --=∈的图像关于y 轴对称，与x 轴及y 轴均无交点，则由m 的值构成的集合是__________． 【答案】{}1,1,3-【解析】由幂函数()f x 与x 轴及y 轴均无交点，得2230m m -≤-，解得13m -≤≤， 又m Z ∈，即{}1,0,1,2,3m ∈-，()223()mm f x x m Z --=∈的图像关于y 轴对称，即函数为偶函数，故223m m --为偶数，所以{}1,1,3m ∈-，故答案为：{}1,1,3-.4．（2022·上海·高三专题练习）已知函数()22()1a f x a a x +=-+为幂函数，且为奇函数，则实数a 的值_____．【答案】1【解析】因为函数()22()1a f x a a x +=-+为幂函数，所以2211,0,1a a a a a -+=∴-=∴=或0a =.当0a =时，()2f x x =为偶函数，不符合题意，所以舍去；当1a =时，()3f x x =为奇函数，符合题意.故答案为：1考点二 一元二次函数【例2-1】（2021·重庆市清华中学校高三阶段练习）若函数234y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(]0,4 B ．25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】函数234y x x =--的图象如图所示，因为223253424y x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭当0x =或3x =时，4y =-；当32x =时，254y =-，因为函数的定义域为[]0,m ，所以3,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选：C ．【例2-2】（2022·宁夏·平罗中学模拟预测（理））已知,(0,1)a b ∈，则函数2()41f x ax bx =-+在[1,)+∞上是增函数的概率为（ ）A ．45B ．34C ．25D ．14【答案】D【解析】由题设()f x 对称轴为2bx a=，而,(0,1)a b ∈，函数开口向上， 所以()f x 的增区间为2[,)b a +∞，故在[1,)+∞上是增函数有201b a <≤，综上，01012a b b a<<⎧⎪<<⎨⎪≤⎩对应可行域如下阴影部分：所以阴影部分面积为14，而,(0,1)a b ∈的面积为1，故在[1,)+∞上是增函数的概率为14.故选：D 【例2-3】（2022·全国·高三专题练习）（多选）若函数244y x x =--的定义域为[)0,a ，值域为[]8,4--，则正整数a 的值可能是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】BC 【解析】函数244y x x =--的图象如图所示：因为函数在[)0,a 上的值域为[]8,4--，结合图象可得24a <≤，结合a 是正整数，所以BC 正确.故选： BC. 【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数22y ax bx c =-+的图象与x 轴的交点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．1或2【答案】D【解析】由a ，b ，c 成等差数列，可得2b a c =+， 所以()()2224440b ac a c ac a c ∆=-=+-=-≥，所以二次函数22y ax bx c =-+的图象与x 轴交点的个数为1或2.故选：D.2．（2022·天津·南开中学二模）已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】当函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调递减函数，所以01112514a a a ⎧⎪<<⎪⎪≥⎨⎪⎪-≥-⎪⎩，解得1142a ≤≤，因为0a >且1a ≠，所以当1x ≤时，()f x 不可能是增函数，所以函数()f x 在R 上不可能是增函数， 综上：实数a 的取值范围为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：B3（2022·重庆·模拟预测）已知二次函数24y x x a =-+的两个零点都在区间()1,+∞内，则a 的取值范围是（ ） A ．(),4-∞ B ．()3,+∞C ．()3,4D ．(),3-∞【答案】C【解析】二次函数24y x x a =-+，对称轴为2x =，开口向上，在(),2-∞上单调递减，在()2,+∞上单调递增，要使二次函数2()4f x x x a =-+的两个零点都在区间()1,+∞内，需(1)140(2)480f a f a =-+>⎧⎨=-+<⎩，解得34a <<故实数a 的取值范围是()3,4故选：C4．（2022·全国·高三专题练习（理））若集合2{|(2)20,}A x x a x a x Z =-++-<∈中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是___________ 【答案】12(,]23【解析】由题意，不等式2(2)20x a x a -++-<且0a >，即222(1)x x a x -+<+，令()()222,(1)f x x x g x a x =-+=+，所以()(){|,}A x f x g x x Z =<∈，所以()y f x =是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线， 而()y g x =一次函数，图象是过一定点(1,0)-的动直线，作出函数()222f x x x =-+和()(1)g x a x =+的图象，如图所示，其中()()11,22f f ==，又因为,0x Z a ∈>，结合图象，要使得集合2{|(2)20,}A x x a x a x Z =-++-<∈中有且只有一个元素，可得()(1)122g g >⎧⎨≤⎩，即2132a a >⎧⎨≤⎩，解得1223a <≤.即正实数a 的取值范围是12(,]23.故答案为：12(,]23.考点三 一元二次函数与其他知识综合【例3】（2022·山东济宁·三模）已知二次函数()()22f x ax x c x =++∈R 的值域为[)1,+∞，则14a c+的最小值为（ ） A ．3- B ．3 C ．4- D ．4【答案】B【解析】若0a =，则函数()f x 的值域为R ，不合乎题意，因为二次函数()()22f x ax x c x =++∈R 的值域为[)1,+∞，则0a >，且()min 44114ac ac f x a a --===，所以，1ac a -=，可得101a c =>-，则1c >，所以，144113c a c c +=+-≥=，当且仅当2c =时，等号成立，因此，14a c +的最小值为3.故选：B.【一隅三反】1．（2021·广东·湛江二十一中）若函数()25log 212a f x x ax a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭有最大值，则a 的取值范围为（ ） A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．21,52⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,2【答案】B【解析】令25212t x ax a =-+-，要使函数()25log 212a f x x ax a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭有最大值，则内层函数25212t x ax a =-+-要有最小正值，且外层函数()log a f t t =为减函数，可知0＜a ＜1．要使内层函数25212t x ax a =-+-要有最小正值，则2544(1)02a a ∆=--<，解得122a <<．综合得a 的取值范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．故选：B.2．（2022·黑龙江）若关于x 的方程19310x x m ++-+=有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．5,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],3-∞D ．(]1,3【答案】A【解析】方程19310x x m ++-+=有解，2(3)3310x x m ∴+⨯-+=有解， 令30x t =>，则可化为2310t t m +-+=有正根，则231t t m +=-在()0,∞+有解，又当()0,t ∈+∞时，230t t +>所以101m m ->⇒>，故选：A ．3．（2022·全国·高三专题练习）函数y =R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(][),22,-∞-+∞ B ．[)()1,00,-⋃+∞ C ．(,1)-∞-D ．[)1,1-【答案】A【解析】因为函数y =R ，可得真数部分y = 即函数21y x ax =++取到所有的正数，所以(0,)+∞是函数21y x ax =++的值域的子集， 所以240a ∆=-≥解得：2a ≤-或2a ≥，所以实数a 的取值范围是：(][),22,-∞-+∞.故选：A.考点四 图像问题【例4-1】（2022·全国·高三专题练习）函数x y a =（0a >且1a ≠）与函数()2121y a x x =---（0a >且1a ≠）在同一个坐标系内的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数图象过点（0，－1），故排除A ，D ； 二次函数图象的对称轴为直线11x a =-，当01a <<时，指数函数递减，101a <-，C 符合题意； 当1a >时，指数函数递增，101a >-，B 不符合题意．故选：C ． 【例4-2】（陕西省部分地市学校2022届高三下学期高考全真模拟考试理科数学试题）函数2ln x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意，函数()2ln x f x x=的定义域为(,1)(1,0)(0,1)(1,)-∞--+∞，关于原点对称，且满足()()22()ln ln x x f x f x x x--===-， 所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 选项；当1x >时，可得()2ln x f x x=，则()()()222ln (2ln 1)ln ln x x x x x f x x x --'==，当x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；排除A 选项当)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以排除D 选项，选项C 符合.故选：C.【一隅三反】1．（2021·山东·新泰市第一中学高三阶段练习）若不等式20ax x c -->的解集为1{|1}2x x -<<，则函数2y cx x a =--的图象可以为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题可得1-和12是方程20ax x c --=的两个根，且0a <， 1112112a ca ⎧-+=⎪⎪∴⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得2,1a c =-=-，则()()22221y cx x a x x x x =--=--+=-+-， 则函数图象开口向下，与x 轴交于()()2,01,0，-.故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2y ax bx c =++，如果a b c >>且0a b c ++=，则它的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】由题意，函数2y ax bx c =++，因为0a b c ++=，令1x =，可得0y a b c =++=，即函数图象过点(1,0)， 又由a b c >>，可得0,0a c ><，所以抛物线的开口向上，可排除D 项， 令0x =，可得0y c =<，可排除B 、C 项；故选：A.3．（2022·全国·高三专题练习）函数43y x =的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】函数443()y f x x ===，满足()()f x f x -=，即函数是偶函数，图象关于y 轴对称，D 错误；该函数是幂函数y x α=，413α=>，故该函数是增函数，且增长得越来越快，故A 正确，BC 错误. 故选：A.4．（江西省2022届高三5月高考适应性大练兵联考数学（理）试题）函数()f x 的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题得()()f x f x -===，则f (x )为偶函数，排除A ；又()01f =，排除B ；当2,0x π⎛∈⎫ ⎪⎝⎭时()0f x >，当3(,)22x ππ∈时，()1f x =所以()11f x -<<排除D ， 故选：C ． 5．（安徽省十校联盟2022届高三下学期最后一卷文科数学试题）函数()3e 2x f x x x =-在R 上的图象大致为（ ）A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】由题意得，()()()33e 2e 2x x f x x x x x f x --=---=-+=-， 故函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除D ；()2322e 220f =-⨯<，排除B ；()()()30.10.10.10.1e 20.10.1e 0.020f =-⨯=->，排除C ， 故选：A.。

高三文科数学高考复习试题（附答案）考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备。

下面是店铺为大家整理的高三文科数学高考复习试题，请认真复习!高三文科数学高考复习试题一、选择题：每小题只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内.1.函数y=log2x-2的定义域是( )A.(3，+∞)B.[3，+∞)C.(4，+∞)D.[4，+∞)2.设集合A={(x，y) | }，B={(x，y)|y=2x}，则A∩B的子集的个数是( )A.1B.2C.3D.43.已知全集I=R，若函数f(x)=x2-3x+2，集合M={x|f(x)≤0}，N={x| <0}，则M∩∁IN=( )A.[32，2]B.[32，2)C.(32，2]D.(32，2)4.设f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x+x，则当x<0时，f(x)=( )A.-(-12)x-xB.-(12)x+xC.-2x-xD.-2x+x5.下列命题①∀x∈R，x2≥x;②∃x∈R，x2≥x;③4≥3;④“x2≠1”的充要条件是“x≠1或x≠-1”.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.36. 已知下图(1)中的图像对应的函数为，则下图(2)中的图像对应的函数在下列给出的四个式子中，只可能是( )7.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为( )A.(1.4,2)B.(1,1.4)C.(1，32)D.(32，2)8.点M(a，b)在函数y=1x的图象上，点N与点M关于y轴对称且在直线x-y+3=0上，则函数f(x)=abx2+(a+b)x-1在区间[-2,2)上( )A.既没有最大值也没有最小值B.最小值为-3，无最大值C.最小值为-3，最大值为9D.最小值为-134，无最大值9.已知函数有零点，则的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题：将正确答案填在题后横线上.10.若全集U=R，A={x∈N|1≤x≤10}，B={x∈R|x2+x-6=0}，则如图中阴影部分表示的集合为_______ _.11.若lga+lgb=0(a≠1)，则函数f(x)=ax与g(x)=-bx的图象关于________对称.12.设 ,一元二次方程有正数根的充要条件是 = .13.若函数f(x)在定义域R内可导，f(2+x)=f(2-x)，且当x∈(-∞，2)时，(x-2) >0.设a=f(1)，，c=f(4)，则a,b,c的大小为.14、已知。

第二讲 等差数列及其前n 项和A 组基础巩固一、单选题1．在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝( D ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18[解析] 由a 2＝2，a 3＝4知d ＝4－23－2＝2.所以a 10＝a 2＋8d ＝2＋8×2＝18.故选D.2．(2021·贵州阶段性检测)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 5＋a 7＝15，则该数列前9项和S 9＝( D )A ．18B ．27C ．36D ．45[解析] 本题考查等差数列的性质，前n 项和公式．在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 7＝3a 5＝15，a 5＝5，所以S 9＝a 1＋a 92×9＝2a 52×9＝9a 5＝9×5＝45.故选D.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝4，S 4＝22，a n ＝28，则n ＝( D ) A ．3 B ．7 C ．9D ．10[解析] 因为S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 2＋2d ＝22，所以d ＝22－4a 22＝3，a 1＝a 2－d ＝4－3＝1，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋3(n －1)＝3n －2，由3n －2＝28，解得n ＝10.4．(2022·安徽合肥模拟)记等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n .若S 10＝40，a 6＝5，则( C )A ．d ＝3B ．a 10＝12C ．S 20＝280D ．a 1＝－4[解析] 依题意，得S 10＝a 1＋a 10·102＝5(a 5＋a 6)＝40，解得a 5＝3，则d ＝a 6－a 5＝2，则a 10＝a 6＋4d ＝5＋8＝13，a 1＝a 5－4d ＝3－8＝－5，S 20＝20a 1＋190d ＝－100＋380＝280，故选C.5．一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范围是( D )A ．d >875B ．d <325C ．875<d <325D ．875<d ≤325[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1，a 9≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧125＋9d >1，125＋8d ≤1，解得875<d ≤325.故选D.6．(2021·六校联盟第二次联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＋S 5＝2，S 7＝14，则a 10＝( C )A ．18B ．16C ．14D ．12[解析] 设{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋5a 1＋5×42d ＝2，7a 1＋7×62d ＝14，可得⎩⎪⎨⎪⎧6a 1＋13d ＝2，a 1＋3d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝2，所以a 10＝－4＋9×2＝14，选C. 二、多选题7．等差数列{a n }是递增数列，满足a 7＝3a 5，前n 项和为S n ，下列选项正确的是( AD ) A ．d >0 B ．a 1>0C ．当n ＝5时S n 最小D ．S n >0时，n 最小值为8[解析] ∵a 7＝3a 5，∴a 1＋6d ＝3a 1＋12d ， ∴a 1＝－3d ，由已知得d >0， ∴a 1<0，故A 正确，B 不正确．S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ＝d 2n 2－72dn ＝d2(n 2－7n )，当n ＝3或4时，S n 最小，故C 不正确．S n >0解得n >7或n <0，因此S n >0时n 最小为8，故D 正确，选A 、D.8．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，下列选项正确的有( AC )A ．a 10＝0B ．S 10最小C ．S 7＝S 12D ．S 20＝0[解析] 根据题意，数列{a n }是等差数列，若a 1＋5a 3＝S 8， 即a 1＋5a 1＋10d ＝8a 1＋28d ，变形可得a 1＝－9d ， 又由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －10)d ， 则有a 10＝0，故A 一定正确；不能确定a 1和d 的符号，不能确定S 10最小，故B 不正确； 又由S n ＝na 1＋n n －1d2＝－9nd ＋n n －1d 2＝d2×(n 2－19n )， 则有S 7＝S 12，故C 一定正确；则S 20＝20a 1＋20×192d ＝－180d ＋190d ＝10d ，∵d ≠0，∴S 20≠0，则D 不正确． 三、填空题9．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝ 14 . [解析] 由已知得1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4，故a 10＝14. 10．已知等差数列{a n }的前n 项为S n ，若S 4＝3，S 5＝4，则a 9＝ 75.[解析] 由题知：⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝4a 1＋6d ＝3S 5＝5a 1＋10d ＝4，解得a 1＝35，d ＝110.∴a 9＝a 1＋8d ＝35＋8×110＝75.11．若等差数列{a n }的前17项和S 17＝51，则a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝ 3 . [解析] 因为S 17＝a 1＋a 172×17＝17a 9＝51，所以a 9＝3.根据等差数列的性质知a 5＋a 13＝a 7＋a 11，所以a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝a 9＝3.12．记S n 为正项等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 3·a 4＝S 7，则S n ＝ 32n 2－12n .[解析] 设等差数列的公差为d ，由题意得a 3·a 4＝S 7＝a 1＋a 72×7＝7a 4，所以a 3＝7，所以1＋2d ＝7，∴d ＝3，所以S n ＝n ＋n n －12×3＝32n 2－12n .故答案为：32n 2－12n .四、解答题13．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．[解析] (1)设{a n }的公差为d .由S 9＝－a 5得a 1＋4d ＝0.由a 3＝4得a 1＋2d ＝4. 于是a 1＝8，d ＝－2.因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n .(2)由S 9＝－a 5得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ，S n ＝n n －9d2.由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n 2－11n ＋10≤0， 解得1≤n ≤10.所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N }．14．已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[解析] (1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0， 所以a 1＝3(a 1＝－1舍去)． 当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5， 又2S n ＝a 2n ＋n －4，所以两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1， 即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1.而a 1＝3， 所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数矛盾， 所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1， 因此数列{a n }为等差数列．(2)由(1)知a 1＝3，数列{a n }的公差d ＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2.B 组能力提升1．(2021·湖北咸宁联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 5＝10，则{a n }的公差为( C )A ．23B ．12C ．13D ．14[解析] 由题意知a 1＋a 2＝3①，S 5＝5a 1＋a 52＝10，即a 1＋a 5＝4②，②－①得3d ＝1，∴d ＝13，故选C.2．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 674＝2，S 1 348＝12，则S 2 022＝( C ) A ．22 B ．26 C ．30D ．34[解析] 由等差数列的性质知，S 674，S 1 348－S 674，S 2 022－S 1 348成等差数列，则2(S 1 348－S 674)＝S 674＋S 2 022－S 1 348，即2×(12－2)＝2＋S 2 022－12，解得S 2 022＝30.3．(2020·课标Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( C )A ．3 699块B ．3 474块C ．3 402块D ．3 339块[解析] 本题考查等差数列的性质及其前n 项和．设由内到外每环的扇面形石板的块数构成数列{a n }，由题意知a 1＝9.又因为向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，所以数列{a n }为公差为9的等差数列．解法一：设每层环数为n (n ∈N *)，则上层由内向外每环的扇面形石板的块数依次为a 1，a 2，…，a n ，中层由内向外每环的扇面形石板的块数依次为a n ＋1，a n ＋2，…，a 2n ，下层由内向外每环的扇面形石板的块数依次为a 2n ＋1，a 2n ＋2，…，a 3n .由题意知(a 2n ＋1＋a 2n ＋2＋…＋a 3n )－(a n＋1＋a n ＋2＋…＋a 2n )＝729，由等差数列的性质知a 2n ＋1－a n ＋1＝a 2n ＋2－a n ＋2＝…＝a 3n －a 2n ＝9n ，所以9n 2＝729，得n ＝9.则数列{a n }共有9×3＝27项，故三层共有扇面形石板(不含天心石)的块数即为数列{a n }的前27项和，即27×9＋27×262×9＝3 402，故选C.解法二：设每层环数为n (n ∈N *)，设数列{a n }的前n 项和为S n ，由等差数列的性质知，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列，且(S 3n －S 2n )－(S 2n －S n )＝9n 2，则9n 2＝729，解得n ＝9.则数列{a n }共有9×3＝27项，故三层共有扇面形石板(不含天心石)的块数即为数列{a n }的前27项和，即27×9＋27×262×9＝3 402，故选C.4．(多选题)(2021·商洛市高考模拟)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始，已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列选项正确的有( ABC )A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B．春分和秋分两个节气的晷长相同C．立冬的晷长为一丈五寸D．立春的晷长比立秋的晷长短[解析] 由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列{a n}，其中a1＝15寸，a13＝135寸，公差为d寸，则135＝15＋12d，解得d＝10寸，同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列{b n}，首项b1＝135，末项b13＝15，公差d＝－10(单位都为寸)．故A正确；∵春分的晷长为b7，∴b7＝b1＋6d＝135－60＝75，∵秋分的晷长为a7，∴a7＝a1＋6d＝15＋60＝75，故B正确；∵立冬的晷长为a10，∴a10＝a1＋9d＝15＋90＝105，即立冬的晷长为一丈五寸，故C正确；∵立春的晷长，立秋的晷长分别为b4，a4，∴a4＝a1＋3d＝15＋30＝45，b4＝b1＋3d＝135－30＝105，∴b4>a4，故D错误．故选A、B、C.。

2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（直线与方程）练习一. 基础小题练透篇1．过点P (3 ，－23 )且倾斜角为135°的直线方程为( ) A ．3x －y －43 ＝0 B ．x －y －3 ＝0 C ．x ＋y －3 ＝0 D ．x ＋y ＋3 ＝02．直线l ：x ＋3 y ＋1＝0的倾斜角的大小为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°3．[2023ꞏ河北示范性高中开学考]“λ＝3”是“直线(2λ－3)x ＋(λ＋1)y ＋3＝0与直线(λ＋1)x －λy ＋3＝0互相垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4．[2023ꞏ广东韶关月考]过点M ()－1，－2 ，在两坐标轴上截距相等的直线方程为( ) A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y ＝0或x ＋y ＋3＝0C ．y ＝x －1D ．x ＋y ＋3＝0或y ＝x －15．[2023ꞏ湖北省质量检测]在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x ＋2y ＋1＝0和x ＋2y ＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x －4y ＋c 1＝0和3x －4y ＋c 2＝0，则|c 1－c 2|＝( )A ．23B ．25C ．2D ．46．[2023ꞏ杭州市长河高级中学期中]已知直线l 过点P ()2，4 ，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为( )A ．2x －y ＝0B ．2x ＋y －8＝0C ．2x －y ＝0或x ＋2y －10＝0D ．2x －y ＝0或2x ＋y －8＝07．经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为________．8．[2023ꞏ宁夏银川月考]已知直线3x ＋4y ＋3＝0与直线6x ＋my －14＝0平行，则它们之间的距离是________．二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ江苏泰州调研]已知直线l ：x ＋()a －1 y ＋2＝0，l 2：3 bx ＋y ＝0，且l 1⊥l 2，则a 2＋b 2的最小值为( )A ．14B ．12C ．22 D ．13162．[2023ꞏ河北邢台市月考]下列四个命题中，正确的是( ) A ．直线3x ＋y ＋2＝0在y 轴上的截距为2 B ．直线y ＝0的倾斜角和斜率均存在C ．若两直线的斜率k 1，k 2满足k 1＝k 2，则两直线互相平行D ．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等3．[2023ꞏ福建宁德质量检测]已知点A (－2，1)和点B 关于直线l ：x ＋y －1＝0对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C .若△ABC 的面积为2，则实数k 的值为( )A ．3或13 B ．0C ．13 D ．34．[2023ꞏ云南大理检测]设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )(点P 与点A ，B 不重合)，则△P AB 面积的最大值是( )A ．25B ．5C ．52 D ．55．[2023ꞏ重庆黔江检测]在平面直角坐标系中，△ABC 的一个顶点是A (－3，1)，∠B ，∠C 的平分线所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程为________.6．[2023ꞏ云南楚雄期中]已知平面上一点M (5，0)，若直线l 上存在点P ，使|PM |＝4，则称该直线为点M 的“相关直线”，下列直线中是点M 的“相关直线”的是________．(填序号)①y ＝x ＋1；②y ＝2；③4x －3y ＝0；④2x －y ＋1＝0.三. 高考小题重现篇1.[2020ꞏ全国卷Ⅱ]若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( )A ．55 B ．255 C ．355 D ．4552．[2020ꞏ全国卷Ⅲ]点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 3．[北京卷]在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．[2019ꞏ江苏卷]在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．四. 经典大题强化篇1.[2023ꞏ武汉调研]已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)若点A (5，0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5，0)到l 的距离的最大值．2．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1，2)，求：(1)点A 和点C 的坐标； (2)△ABC 的面积．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：D答案解析：因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1， 所以直线方程为y ＋23 ＝－（x －3 ），即x ＋y ＋3 ＝0. 2．答案：D答案解析：由l ：x ＋3 y ＋1＝0可得y ＝－33 x －33 ，所以直线l 的斜率为k ＝－33 ，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝－33，因为0°≤α<180°，所以α＝150°. 3．答案：A答案解析：∵直线（2λ－3）x ＋（λ＋1）y ＋3＝0与直线（λ＋1）x －λy ＋3＝0互相垂直，∴（2λ－3）（λ＋1）－λ（λ＋1）＝0，∴λ＝3或－1， 而“λ＝3”是“λ＝3或－1”的充分不必要条件，∴“λ＝3”是“直线（2λ－3）x ＋（λ＋1）y ＋3＝0与直线（λ＋1）x －λy ＋3＝0互相垂直”的充分不必要条件，故选A. 4．答案：B答案解析：当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为x ＋y ＝a ， 因为直线过点M ()－1，－2 ，代入可得a ＝－3，即x ＋y ＋3＝0； 当所求直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，因为直线过点M ()－1，－2 ，代入可得k ＝2，即2x －y ＝0， 综上可得，所求直线的方程为2x －y ＝0或x ＋y ＋3＝0. 故选B. 5．答案：B答案解析：设直线x ＋2y ＋1＝0与直线3x －4y ＋c 2＝0的交点为A ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＝03x －4y ＋c 2＝0 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－c 2＋25y ＝c 2－310，故A （－c 2＋25 ，c 2－310 ），同理设直线x ＋2y ＋1＝0与直线3x －4y ＋c 1＝0的交点为B ，则B （－c 1＋25 ，c 1－310），设直线x ＋2y ＋3＝0与直线3x －4y ＋c 1＝0的交点为C ，则C （－c 1＋65 ，c 1－910），设直线x ＋2y ＋3＝0与直线3x －4y ＋c 2＝0的交点为D ，则D （－c 2＋65 ，c 2－910），由菱形的性质可知BD ⊥AC ，且BD ，AC 的斜率均存在，所以k BD ·k AC ＝－1，则c 1－310－c 2－910－c 1＋25－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2＋65 ·c 2－310－c 1－910－c 2＋25－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 1＋65 ＝－1，即36－（c 2－c 1）24[]16－（c 2－c 1）2 ＝－1，解得|c 1－c 2|＝25 .6．答案：D答案解析：若直线l 经过原点，满足条件，可得直线l 的方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0；若直线l 不经过原点，可设直线l 的方程为x a ＋y2a＝1()a ≠0 ，把点P ()2，4 代入可得2a ＋42a ＝1，解得a ＝4，∴直线l 的方程为x 4 ＋y8＝1，即2x ＋y －8＝0，综上可得直线l 的方程为2x －y ＝0或2x ＋y －8＝0. 故选D.7．答案：4x －3y ＋9＝0答案解析：方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－53，y ＝79即交点为（－53 ，79），∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，∴所求直线的斜率为k ＝43.由点斜式得所求直线方程为y －79 ＝43 （x ＋53），即4x －3y ＋9＝0.方法二 由垂直关系可设所求直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0， 可解得交点为（－53 ，79 ），代入4x －3y ＋m ＝0，得m ＝9，故所求直线方程为4x －3y ＋9＝0. 方法三 由题意可设所求直线方程为（2x ＋3y ＋1）＋λ（x －3y ＋4）＝0，即（2＋λ）x ＋（3－3λ）y ＋1＋4λ＝0 ① 又∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，∴3（2＋λ）＋4（3－3λ）＝0，∴λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x －3y ＋9＝0.8．答案：2答案解析：∵直线3x ＋4y ＋3＝0与直线6x ＋my －14＝0平行，∴m ＝8，6x ＋8y －14＝0可化为3x ＋4y －7＝0.∴它们之间的距离为|3－（－7）|32＋42＝2.二 能力小题提升篇1．答案：A答案解析：l 1⊥l 2，则3 b ＋a －1＝0，∴a ＝1－3 b ， 所以a 2＋b 2＝()1－3b 2＋b 2＝4b 2－23 b ＋1，二次函数的抛物线的对称轴为b ＝－－232×4 ＝34，当b ＝34 时，a 2＋b 2取最小值14. 故选A. 2．答案：B答案解析：对于直线3x ＋y ＋2＝0，令x ＝0得y ＝－2，所以直线3x ＋y ＋2＝0在y 轴上的截距为－2，故A 错误；直线y ＝0的倾斜角为0，斜率为0，存在，故B 正确；若两直线的斜率k 1，k 2满足k 1＝k 2，则两直线互相平行或重合，所以C 错误；若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，所以D 错误．故选B. 3．答案：B答案解析：设点B （x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧y －1x ＋2＝1，x －22＋y ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3， 则B （0，3）.由已知可得直线m 的方程为y －1＝k （x ＋2），与方程x ＋y －1＝0联立， 解得x ＝－2k k ＋1，y ＝3k ＋1k ＋1 ，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k ＋1，3k ＋1k ＋1 . 由已知可得直线AB 的方程为y －1＝x ＋2，即y ＝x ＋3，且|AB |＝22 ， 则点C 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k k ＋1－3k ＋1k ＋1＋32 ＝|2－2k |2|k ＋1|， 所以S △ABC ＝12 ×22 ·|2－2k |2|k ＋1|＝2，即|1－k |＝|k ＋1|（k ≠－1），解得k ＝0. 4．答案：C答案解析：动直线x ＋my ＝0，令y ＝0，解得x ＝0，因此此直线过定点A （0，0）. 动直线mx －y －m ＋3＝0，即m （x －1）＋3－y ＝0，令x －1＝0，3－y ＝0，解得x ＝1，y ＝3，因此此直线过定点B （1，3）.当m ＝0时，两条直线分别为x ＝0，y ＝3，交点P （0，3），S △PAB ＝12 ×1×3＝32.当m ≠0时，两条直线的斜率分别为－1m ，m ，则－1m·m ＝－1，因此两条直线相互垂直．设|PA |＝a ，|PB |＝b ，∵|AB |＝12＋32 ＝10 ，∴a 2＋b 2＝10.又a 2＋b 2≥2ab ，∴ab ≤5，当且仅当a ＝b ＝5 时等号成立．∴S △PAB ＝12 |PA |·|PB |＝12 ab ≤52.综上，△PAB 的面积最大值是52.5．答案：2x －y －5＝0答案解析：因为∠B ，∠C 的平分线所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝x ，所以直线AB 与直线BC 关于直线x ＝0对称，直线AC 与直线BC 关于直线y ＝x 对称．则点A （－3，1）关于直线x ＝0对称的点A ′（3，1）在直线BC 上，点A （－3，1）关于直线y ＝x 对称的点A″（1，－3）也在直线BC上，所以由两点式得直线BC的方程为y＋31＋3＝x－13－1，即y＝2x－5.6．答案：②③答案解析：①点M到直线y＝x＋1的距离d＝|5－0＋1|12＋（－1）2＝32>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4成立，故①不是点M 的“相关直线”．②点M到直线y＝2的距离d＝|0－2|＝2<4，即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故②是点M的“相关直线”．③点M到直线4x－3y＝0的距离d＝|4×5－3×0|42＋（－3）2＝4，即点M与该直线上的点的距离的最小值等于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故③是点M的“相关直线”．④点M到直线2x－y＋1＝0的距离d＝|2×5－0＋1|22＋（－1）2＝1155>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4成立，故④不是点M的“相关直线”．三 高考小题重现篇1．答案：B答案解析：设圆心为P（x0，y0），半径为r，∵圆与x轴，y轴都相切，∴|x0|＝|y0|＝r，又圆经过点（2，1），∴x0＝y0＝r且（2－x0）2＋（1－y0）2＝r2，∴（r－2）2＋（r－1）2＝r2，解得r＝1或r＝5.①r＝1时，圆心P（1，1），则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝|2－1－3|22＋（－1）2＝255；②r＝5时，圆心P（5，5），则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝|10－5－3|22＋（－1）2＝255.2．答案：B答案解析：方法一 点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）的距离为d＝|k·0－（－1）＋k|k2＋1＝|k＋1|k2＋1，注意到k2＋1≥2k，于是2（k2＋1）≥k2＋2k＋1＝|k＋1|2，当且仅当k＝1时取等号．即|k＋1|≤k2＋1·2，所以d＝|k＋1|k2＋1≤2，故点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）距离的最大值为2.方法二 由题意知，直线l：y＝k（x＋1）是过点P（－1，0）且斜率存在的直线，点Q（0，－1）到直线l的最大距离在直线l与直线PQ垂直时取得，此时k＝1，最大距离为|PQ|＝2.3．答案：C答案解析：由题意可得d＝|cos θ－m sin θ－2|m2＋1＝|m sin θ－cos θ＋2|m2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m2＋1（mm2＋1sin θ－1m2＋1cos θ）＋2m2＋1＝|m2＋1sin （θ－φ）＋2|m2＋1（其中cos φ＝mm2＋1，sin φ＝1m2＋1），∵－1≤sin （θ－φ）≤1，∴|2－m 2＋1|m 2＋1 ≤d ≤m 2＋1＋2m 2＋1 ，m 2＋1＋2m 2＋1 ＝1＋2m 2＋1，∴当m ＝0时，d 取最大值3.4．答案：4答案解析：通解 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，x ＋4x ，x >0，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|x ＋x ＋4x |2＝2x ＋4x 2 ≥22x ·4x 2＝4，当且仅当2x ＝4x，即x ＝2 时取等号，故点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是4.优解 由y ＝x ＋4x （x >0）得y ′＝1－4x 2 ，令1－4x2 ＝－1，得x ＝2 ，则当点P 的坐标为（2 ，32 ）时，点P 到直线x ＋y ＝0的距离最小，最小值为|2＋32|2＝4. 四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）易知点A 到直线x －2y ＝0的距离不等于3，可设经过两已知直线交点的直线系方程为（2x ＋y －5）＋λ（x －2y ）＝0，即（2＋λ）x ＋（1－2λ）y －5＝0.由题意得|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2 ＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或12.∴l 的方程为4x －3y －5＝0或x ＝2.（2）由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点为P （2，1），如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A到l 的距离，则d ≤|PA |（当l ⊥PA 时等号成立）.∴d max ＝|PA |＝10 .2．答案解析：（1）由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0，解得点A （－1，0）.又直线AB 的斜率为k AB ＝1，且x 轴是∠A 的平分线，故直线AC 的斜率为－1，所以AC 所在的直线方程为y ＝－（x ＋1）. 已知BC 边上的高所在的直线方程为x －2y ＋1＝0，故直线BC 的斜率为－2，故BC 所在的直线方程为y －2＝－2（x －1）.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－（x ＋1），y －2＝－2（x －1）， 得点C 的坐标为（5，－6）.（2）因为B （1，2），C （5，－6），所以|BC |＝（1－5）2＋（2＋6）2＝45 ，点A（－1，0）到直线BC：y－2＝－2（x－1）的距离为d＝|2×（－1）－4|5＝65，所以△ABC的面积为12×45×65＝12.。