第2讲：截一个几何体及从三个方向看物体的形状-学案

知识讲解：

截一个几何体：

用平面截几方体出现的截面形状．

(1)用一个平面去截正方体，可能出现下面几种情况：(括号内的是出现的截面形状)

点拨：由前面的知识我们知道“面与面相交得到线”，而用平面去截几何体，所得的截面就是这个平面与几何体每个面相交的线所围成的图形．正方体只有六个面，所以截面最多有六条边，即截面边数最多的图形是六边形．

注：长方体、棱柱的截面与正方体的截面有相似之处．

用平面截圆柱体，可能出现以下的几种情况．

第二讲：截一个几何体及从三个方向看物体的形状

适用学科 初中数学 适用年级 初中一年级

适用区域 北师大版区域 课时时长（分钟） 120

知识点 1、考点一：由截面的形状判断几何体的形状

2、截一个几何体所得截面的形状

3、由截面截多面体的规律探究

4、画从三个方向看到的物体的形状图

5、由物体的不同方向看到的形状图确定小正方体的数目或物体的形状

6、由物体的不同方向看到的形状图的实际应用

学习目标 1、亲身经历切截正方体的过程，体会面与体的转换，提高动手操作的能力。

2、会从不同方向观察同一个物体，能识别简单物体的三种视图。会画正方体及简单组合的三种视图，并在小正方体内填上表示该位置小立方块的个数。

学习重点 会从不同方向观察同一个物体，能识别简单物体的三种视图。会画正方体及简单组合的三种视图，并在小正方体内填上表示该位置小立方块的个数。

学习难点 亲身经历切截正方体的过程，体会面与体的转换，提高动手操作的能力。

图1—21

分析：用平面去截圆柱体，可以与圆柱的三个面(两个底面，一个侧面)同时相交，由于圆柱侧面为曲面，故相交得到是曲线，无法截出三角形．只能用平面平行和垂直于圆柱的底面截出这几种图形．

(3)用平面去截一个圆锥，能截出圆和三角形两种截面(还有其他截面，初中不予研究)

(4)用平面去截球体，只能出现一种形状的截面——圆．

识别物体的三视图：

1．主视图、左视图、俯视图的定义

从不同方向观察同一物体，从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫做俯视图．

2．几种几何体的三视图

(1)正方体：三视图都是正方形．

(2)球：三视图都是圆．

提醒：在所有几何体中，只有正方体与球这两种几何体的三视图是相同的．

(3)圆柱体：

(4)圆锥体：

圆锥的主视图、左视图都是三角形，而俯视图的图中有一个点表示圆锥的顶点，因为从上往下看圆锥时先看到圆锥的顶点，再看到底面的圆．

3．如何画三视图

当用若干个小正方体搭成新的几何体，如何画这个新的几何体的三视图？

(1)由照片画三视图．

由照片可以清楚地看到每个小正方体的位置，这样画三视图比较直观．画三视图，都要注意从这个方向看时几何体有几列，每列有几个正方体(即有几层)，根据看到的列数、层数，画出相应的图．

注意：主视图与左视图中每列的正方形都是从下往上排，底层整齐，不能出现悬空．而俯视图则有可能出现中空的现象．如右图：

从正面看，2列，每列一层；从左面看，2列，每列一层；从上面看，2列，左列2层，右列一层．则三视图是：

注意：照片中的几何体为了使大家看清前后情况，因此照片中的物体一般朝左偏的位置是正面．

(2)由俯视图画主视图、左视图．

解法一：根据俯视图摆出几何体，按照(1)的方法画主视图、左视图．

解法二：直接由俯视图确定主视图、左视图的列数、层数，并画出图．

①主视图与俯视图列数相同，俯视图中每列的方框内的最大数字即为主视图本列的层数．

②左视图的列数与俯视图的行数相同，俯视图每一横行的方框内的最大数字，就是这一横行逆时针转90°所成的左视图中的列的层数．

需要记住的要点：

几何体 截面形状

正方体 三角形、正方形、长方形、梯形、五边形、六边形

圆 柱 圆、长方形、正方形、……

圆 锥 圆、三角形、……

球 圆

考点一：由截面的形状判断几何体的形状

【例题】

1、用一个平面截一个几何体，得到的截面是四边形，则这个几何体可能是（ ）．

A．球体 B．长方体 C．圆锥 D．三棱锥

【练习】

1、在下列几何体中，轴截面是等腰梯形的是（ ）

A.圆锥 B.圆台 C.圆柱 D.球

考点二： 截一个几何体所得截面的形状

【例题】

1、 用一个平面去截一个圆柱体，不可能的截面是（ ）．

A. B. C. D.

2、如图所示的正方体，用一个平面截去它的一个角，则截面不可能是（ ）

A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形

【练习】

1、用一个平面去截一个长方体，截面的形状不可能是（ ）

A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形

2、用一个平面去截一个几何体，不能截得三角形截面的几何体是（ ）

A.圆柱 B.圆锥 C.三棱柱 D.正方体

3、用一个平面去截一个正方体，截面不可能是（ ）

A.三角形 B.正方形 C.五边形 D.八边形

4、用一个平面去截①圆锥；②圆柱；③球；④五棱柱，能得到截面是圆的图形是（ ）

A、①②④ B、①②③ C、②③④ D、①③④

5、用一个平面去截圆锥，截面图形不可能是（ ）

A. B. C. D.

6、将圆柱沿斜方向切去一截，剩下的一段如图所示，将它的侧面沿一条母线剪开，则得到的侧面展开图的形状不可能是（ ）

A. B. C. D.

7、如图所示的一块长方体木头，想象沿虚线所示位置截下去所得到的截面图形是（ ）

A. B. C. D.

8、在下列几何体：（1）圆柱（2）正方体（3）三棱柱（4）球体（5）圆锥，中截面可能是三角形的有（ ）

A.2种 B.3种 C.4种 D.5种

考点三：由截面截多面体的规律探究（应用）

【例题】

1、如图，从边长为10的正方体的一顶点处挖去一个边长为1的小正方体，则剩下图形的表面积为（ ）

A.600 B.599 C.598 D.597

2、将一个正方体截去一个角，则其面数（ ）

A、增加 B、不变 C、减少 D、上述三种情况均有可能

【练习】

1、图1是一个正六面体，把它按图2中所示方法切割，可以得到一个正六边形的截面，则下列展开图中正确画出所有的切割线的是（ ）

A. B. C. D.

2、 把正方体的八个角切去一个角后，余下的图形有（ ）条棱．

A.12或15 B.12或13 C.13或14 D.12或13或14或15

3、图（1）是正方体木块，把它切去一块，可能得到形如图（2）、（3）、（4）、（5）的木块．

我们知道，图（1）的正方体木块有8个顶点，12条棱，6个面，请你将图（2），（3），（4），（5）中木块的顶点数，棱数，面数填入下表：

（2）观察上表，请你归纳上述各种木块的顶点数，棱数，面数之间的数量关系，这种数量关系是： ．

考点四：画从三个方向看到的物体的形状图

【例题】

1、如图所示由五个小立方体构成的立体图形,请你分别画出从它的正面、左面、上面三个方向看所得到的

平面图形．

2、如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图.

【练习】

1、作图与推理:如图，是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体

（1）图中有 块小正方体；

（2）该几何体的主视图如图所示，请在下面方格纸中分别画出它的左视图和俯视图．

2、画出下图中由几个正方体组成的几何体的三视图．

3、由五个同样大小的立方体组成如图的几何体，则关于此几何体三种视图叙述正确的是（ ）

A．左视图与俯视图相同 B．左视图与主视图相同

C．主视图与俯视图相同 D．三种视图都相同

4、下面几何体中，同一几何体的主视图和俯视图相同的是（ ）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

5、如图所示的几何体是由5个相同的小正方体组成，其左视图．．．为（ ）

A. B. C. D.

6、桌上放着一个茶壶，4个同学从各自的方向观察，请指出图中右边的四幅图，从左至右分别是由哪个同学看到的（ ）

A．①②③④ B．①③②④ C．②④①③ D．④③①②

考点五： 由物体的不同方向看到的形状图确定小正方体的数目或物体的形状

【例题】

1、某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）

A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．三棱锥

2、如右图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图，则小立方体的个数有可能．．是（ ）．

A．5或6 B．5或7 C．4或5或6 D．5或6或7

3、一张桌子上摆放有若干个大小、形状完全相同的碟子，现从三个方向看，其三种视图如图所示，则这张桌子上碟子的总数为（ ） 正面

俯视图 左视图

A．11 B．12 C．13 D．14

4、用小立方块搭一个几何体,使得它从正面和上面看到的形状图如图所示,这样的几何体只有一种吗?它最少需要______个小立方块,最多要______个小立方块.

【练习】

1、左下图是一些完全相同的小正方体搭成的几何体的三视图 。这个几何体只能是（ ）

A. B. C. D.

2、（1）由大小相同的小立方块搭成的几何体如左图，请在右图的方格中画出该几何体的俯视图和左视图．

（2）用小立方体搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在上图方格中所画的图一致，则这样的几何体最少要

个小立方块，最多要 个小立方块．

3、如图，用小木块搭一个几何体，它的主视图和俯视图如图所示．问：最少需要

个小正方体木块．

4、如图是由一些相同的小正方体构成的立体图形从三个不同方向看到的图形，这些相同的小正方体的个数是（ ）