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三角函数定义,同角关系老师

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重庆大东方学校 高2017级 高一数学第十讲

你比别人多努力一分，收获就会多一分 三角函数的定义与同角三角函数的关系

0,sin,,tan2xxxx———————————————————————————————————————————————————————————————————————————————终边相同的角的关系是弧度的定义：，弧度与角度的换算关系：扇形的面积公式：三角函数的定义：三角函数的定义记忆特殊角度的三角函数值解释：一正二正弦，三切四余弦三角函数线分别是哪些？，当时，的大小同角——————————————————————度的三角函数之间的关系有：填写0,之间特殊角度的三角函数值

sin

cos

tan

一：角度的概念

例1：○1已知集合A＝{第一象限内}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下列关系正确的是 ( C )

A．A＝B＝C B．C⊆A C．B⊆C D．A∩C＝B

○2．与-1 110°角终边相同的最小正角是_______．330°

二：弧度制，扇形中的弧长，面积问题

例2．集合M＝{x|x＝kπ2＋π4，k∈Z}，N＝,42kxxkZ，则（B ）A．M＝N B．MN C．MN D．M∩N＝∅

例3：已知圆中一段弧长正好等于该圆的外切正三角形的边长，那么这段弧所对的圆心角的弧度数为________．.

解答：设圆的半径为R，其外切正三角形边长为x，则由平面几何知识可得tan30°＝Rx2，∴R＝36x. 故这段弧所对圆心角的弧度数为α＝xR＝x36x＝23

重庆大东方学校 高2017级 高一数学第十讲

你比别人多努力一分，收获就会多一分 例4：已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.

(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；

(2)若扇形的周长是一定值c(c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？

【解析】 (1)设弧长为l，弓形面积为S弓，

∵α＝60°＝π3，R＝10，∴l＝103π(cm)．

S弓＝S扇－S△＝12·103π·10－12·102·sin60°

＝50(π3－32)(cm2)．

(2)∵扇形周长c＝2R＋αR，

∴R＝c2＋α，∴S扇＝12α·R2＝12α(c2＋α)2

＝c22α·14＋4α＋α2＝c22·14＋α＋4α≤c216.

当且仅当a＝4a，即a＝2(a>0)时，扇形面积的最大值为c216.

三：三角函数的定义

例5：○1已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4，y）是角终边上一点，且552sin，则y____________(答案-8)

○2若的终边所在的直线经过点),43sin,43(cosP则sin_______;(22)

○3在直角坐标系中，O为原点，)1,3(A,将点A绕O点逆时针旋转90度，则B点坐标为________________.(答案:( )3,1()

例6：（1）若θ为第一象限角，则能确定为正值的是 ( C )

A．sinθ2 B．cosθ2 C．tanθ2 D．cos2θ

(2)若sinθ2＝45，且sinθ<0，则θ所在象限是 ( D )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 重庆大东方学校 高2017级 高一数学第十讲

你比别人多努力一分，收获就会多一分 ∵sinθ<0，∴2sinθ2cosθ2<0.

又∵sinθ2＝45，∴cosθ2<0，故θ2在第二象限，且2kπ＋π2

∴4kπ＋π

（3）函数21()lg(16)ln(sin)+tan22fxxxx的定义域为__________.

四：同角度的三角函数间的关系

22sincossincossincostan41=sincosxxxxxxxxx1：已知其中一个三角函数值，求其余两个2：之间的相互计算3：与齐次分式的相互计算切化弦：化简与证明注意

例7：（1）已知21cos ，求tan的值．

（2）已知tan2，求sin的值

（3）已知sinm，求tan的值

解答：（1）21cos则为第一象限或者第四象限角

当为第一象限角时：13cossintan322

当为第四象限角时：13cossintan322

（2）已知2tan，则为第一象限或者第三象限角

当为第一象限角时：25tan2sin2cossin5

当为第三象限角时：25tan2sin2cossin5

（3）2sincos1mm

当为第一，四象限角时22cos1tan1mmm

当为第二，三象限角时22cos1tan1mmm

重庆大东方学校 高2017级 高一数学第十讲

你比别人多努力一分，收获就会多一分 练习1：如果,cossin5sin)(tan2xxxxf则)5(f_________.(答案：0)

练习2：已知10sin+2cos2，则tan——————————答案133或-

例8：已知1sincos2，(0,)求下列各式的值

①sincos ②sincos ③tan

解答：21133sincossincos=2sincos=-sincos=-2448

从结果分析：(,)2

22137sincossincos4sincos=424

7sincos2（舍去负数？）

（3）7sincos2则717sinsincos7442tan3117sincoscos24

练习3：已知(,2),且)10(cossinmm,判断cossin的符号.

222sincossincos=2sincos=10mmm

3(,2)2sincos0

练习4：关于x的方程220xxm的两根分别为12sincosxx，，(0,)

（1） 求m的值

（2） 求3321xx

解答：（1）220xxm有两根，则11808mm

121+sin+cos2xx

122mxx2133sincos=sincos1284m 重庆大东方学校 高2017级 高一数学第十讲

你比别人多努力一分，收获就会多一分 则(,)2

（2）(,)2，21xx=cossin0

222121212177=442xxxxxxxx

332221211122=++xxxxxxxx7557=2816

例9：已知,5sincos3cos3sin则

（1）cossinsin2的值是___________.(答案：52)

（2）2222cos9sin4cos3sin2=__________;(答案：75)

（3）22222sin3cos+24sin9cos+1=__________;(答案：54)

例10：（1）若)3(31cos,31sinkkkkk，求1tan1tan（答案：71）

（2）化简xxxxxxsintansintancos1sin

（2）解答：

sinsinsin1cos1cossinsinsincossin1cos1cossin1cos1cos1cossincosxxxxxxxxxxxxxxxxxx

2211cossinsin1cossin1cos1cossinsin11cosxxxxxxxxxxxx为一，二象限角为三，四象限角

练习5：（1）化简212sin50cos50cos101cos50

（2）已知sincos0，sintan0，且sincos22，

化简1sin1sin22coscos221sin1sin22． 重庆大东方学校 高2017级 高一数学第十讲

你比别人多努力一分，收获就会多一分 解答：（1）2sin50cos5012sin50cos501cos50sin50cos501cos50

（3） 已知sincos0，sintan0，则为第二象限角

所以2,2,2242kkkk

又因为sincos22，所以21,21242kk

则cos02

所以．1sin1sin1sin1sin2222coscos=coscos=-222221sin1sincoscos2222

例11．求证：222221(2cos)(1)(2)(2sin)tantan

证明：即证明：222222222cossincos2sin(2cos)()()(2sin)sinsin

即证明：2222(2cos)(1+cos)(1sin)(2sin)

因为：2222(2cos)=(1sin)(1+cos)(2sin)且

所以2222(2cos)(1+cos)(1sin)(2sin)显然成立

所以：222221(2cos)(1)(2)(2sin)tantan

例12：已知tan,tancoscosabcddc

2222dcba求证：

证明：因为：tan,tancoscosabcddc

即：tan,tancoscosabdccd

平方相加：2222abcd

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同角三角函数的基本关系与诱导公式知识点

同角三角函数的基本关系与诱导公式知识点

同角三角函数的基本关系与诱导公式知识点

[归纳·知识整合]

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；

(2)商数关系：tan α＝sin αcos α.

[探究] 1.如何理解基本关系中“同角”的含义？

提示：只要是同一个角，基本关系就成立，不拘泥于角的形式，如sin2α3＋cos2α3＝1，tan

4α＝sin 4αcos 4α等都是成立的，而sin2θ＋cos2φ＝1就不成立．

2．诱导公式

组数 一 二 三 四 五 六

角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α π2－α π2＋α

正弦 sin_α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α

余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α

正切 tan_α tan_α －tan_α －tan_α

口诀 函数名不变符号看象限 函数名改变符号看象限

即α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．

[探究] 2.有人说sin(kπ－α)＝sin(π－α)＝sin α(k∈Z)，你认为正确吗？

提示：不正确．当k＝2n(n∈Z)时，sin(kπ－α)＝sin(2nπ－α)＝sin(－α)＝－sin α；

当k＝2n＋1(n∈Z)时，sin(kπ－α)＝sin[(2n＋1)·π－α]＝sin(2nπ＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α.

3．诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”是否与α的大小有关？

提示：无关，只是把α从形式上看作锐角，从而2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α，π2－α，π2＋α分别是第一，三，四，二，一，二象限角．

[自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)已知cos(π＋α)＝12，则sin α的值为( )

第六讲：三角函数的定义及同角关系

第六讲：三角函数的定义及同角关系

第六讲：三角函数定义及同角关系

题型一、终边相同的角的表示方法：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 ： ① 象限角的集合：第一象限角集合为： ；第二象限角集合为： ； 第三象限角集合为： ；第四象限角集合为： ；

② 轴线角的集合：终边在x轴非负半轴角的集合为： ；终边在x轴非正半轴角的集合为： ；

终边在x轴上角的集合为： ；终边在y轴非负半轴角的集合为： ；终边在y轴非正半轴角的集合为： ；终边在y轴上角的集合为： ；终边在坐标轴上的角的集合为： .

终边在y=x上的角的集合： 。

题型二、三角函数的定义

例1：已知角终边上一点（-1,2），求角的三角函数的值。

变式：（1）已知角终边上一点（3a,4a），求角的三角函数的值。

(2) .________,0cossin在则若θθθ象限（注意各象限三角函数的符号）

题型三、同角三角函数关系：

平方关系： ；

商数关系： ；

例2 (1) 若342sin,cos55mmmm，则m的值为（ ）

A、0 B、8 C、0或8 D、3

(2)已知12sin13，求角的余弦和正切值；

变式：（1）已知5tan,cos12ABCAA中，则 ;(2)若1sin1cosx,cos2sin1xxx则 。

（3）若角的终边落在直线0yx上，则coscos1sin1sin22的值等于（ ）

同角三角函数

同角三角函数

同角三角函数

1.同角三角函数的基本关系式

根据三角函数定义，容易得到如下关系式

(1)平方关系 sin2α+cos2α=1

1+tan2α=sec2α

1+cot2α=csc2α

(2)乘积关系 sinα=cosα²tanα,cosα=sinα²cotα

cotα=cosα²cscα,cscα=cotα²secα

secα=cscα²tanα,tanα=secα²sinα

(3)倒数关系 sinα²cscα=1,cosα²secα=1,tanα²cotα=1

说明：(1)以上关系式仅当α的值使等式两边都有意义时才能成立.例如，当α=(k∈Z)时，tanα²cotα=1就不成立.

另外，要注意是同角，如sin2α+cos2α=1，但sin2α+cos2β=1就不恒成立.

(2)对公式除了顺用，还应学会逆用、变用、活用.例如，由sin2α+cos2α=1变形为cos2=1-sin2α,cosα=±,sinα²cosα=等等.

对于cosα=±,“±”号的选取要由α所在象限来确定，当α在第一或第四象限时，取“+”；当α在第二或第三象限时，取“-”.而对于其他形式的公式就不必考虑符号问题.如α是第二象限角，tanα=而不能认为tanα=- (因为α是第二象限角，所以tanα为负值).其实α在第二象限，sinα为正值，cosα为负值，所以tanα=结果自然得负值，如果再加“-”，结果就得正值了.

(3)要注意“1”的代换.如可用sin2α+cos2α,sec2α-tan2α,sinα²cscα,tanα²cotα等去代换1.

(4)记忆方法(如图).首先某函数与它的余函数在同一水平线上.

①在对角线上的两个三角函数值的乘积等于1，如tanα²cotα=1.

②在阴影的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方，如1+tan2α=sec2α。

③任意一个顶点上的三角函数值等于与它相邻的两个顶点的函数值的乘积，如sinα=cosα²tanα,cosα=sinα²cotα.

同角三角函数基本关系式与诱导公式知识点讲解+例题讲解(含解析)

同角三角函数基本关系式与诱导公式知识点讲解+例题讲解(含解析)

同角三角函数基本关系式与诱导公式

一、知识梳理

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：sin αcos α＝tanα.

2.三角函数的诱导公式

公式 一 二 三 四 五 六

角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α π2－α π2＋α

正弦 sin α －sinα －sinα sinα cosα cosα

余弦 cos α －cosα cosα －cosα sinα －sinα

正切 tan α tanα －tanα －tanα

口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限

总结：

1.同角三角函数关系式的常用变形

(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.

2.诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.

3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.

二、例题精讲 + 随堂练习

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( )

(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.( )

(3)若α∈R，则tan α＝sin αcos α恒成立.( ) (4)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则sin α＝13.( )

解析 (1)中对于任意α∈R，恒有sin(π＋α)＝－sin α.

(3)中当α的终边落在y轴，商数关系不成立.

(4)当k为奇数时，sin α＝13，

当k为偶数时，sin α＝－13.

答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×

2.已知tan α＝－3，则cos2α－sin2α＝( )

A.45 B.－45 C.35 D.－35

解析 由同角三角函数关系得

cos2α－sin2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α＝1－91＋9＝－45.