2016年普通高等学校招生全国统一考试全国卷Ⅲ数学(理)解析版

2016年普通高等学校招生全国统一考试全国卷Ⅲ数学(理)解析版 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝( ) A．[2,3] B．(－∞，2]∪[3，＋∞) C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞) 解析：选D.先化简集合S，再利用交集的定义求解． 由题意知S＝{x|x≤2或x≥3}，则S∩T＝{x|0

2．若z＝1＋2i，则4izz－1＝( )

A．1 B．－1 C．i D．－i 解析：选C.利用共轭复数的概念及复数的运算法则求解．

因为z＝1＋2i，则z＝1－2i，所以zz＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则4izz－1＝

4i4＝i.故选C.

3．已知向量BA→＝12，32，BC→＝32，12，则∠ABC＝( ) A．30° B．45° C．60° D．120° 解析：选A.利用向量数量积的定义及坐标运算求解．

因为BA→＝12，32，BC→＝32，12，所以BA→·BC→＝34＋34＝32.又因为BA→·BC→

＝|BA→||BC→|cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝32.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.故选A. 4．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( ) A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个 解析：选D.根据图中的数据结合选项逐一判断． 从题中提供的信息及图中标注的数据可以看出：深色的图案是一年十二个月中各月份的平均最低气温，颜色稍微浅一点的图案是一年十二个月中各月份的平均最高气温，结合四个选项可以确定D不正确．因为从图中可以看出，平均最高气温高于20 ℃的只有七、八两个月份．故应选D.

5．若tan α＝34，则cos2α＋2sin 2α＝( )

A.6425 B.4825 C．1 D.1625 解析：选A.利用同角三角函数的基本关系式求解． 因为tan α＝34，则cos2α＋2sin 2α＝cos2α＋4sin αcos αsin2α＋cos2α＝

1＋4tan αtan2α＋1＝1＋4×34342＋1＝6425.故选A.

6．已知a＝243，b＝425，c＝2513，则( ) A．bC．b解析：选A.利用指数函数与幂函数的单调性比较大小．

因为a＝243，b＝425＝245，由函数y＝2x在R上为增函数知b

243＝423，c＝2513＝523，由函数y＝x23在(0，＋∞)上为增函数知a故选A. 7. 执行右面的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝( ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选B.根据循环结构的特点，逐步运算，直到满足条件时输出结果． 程序运行如下： 开始a＝4，b＝6，n＝0，s＝0. 第1次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1； 第2次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2； 第3次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3； 第4次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4. 此时，满足条件s>16，退出循环，输出n＝4.故选B.

8．在△ABC中，B＝π4，BC边上的高等于13BC，则cos A＝( )

A.31010 B.1010 C．－1010 D．－31010 解析：选C.利用正、余弦定理或三角恒等变换求解． 方法1：设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

则由题意得S△ABC＝12a·13a＝12acsin B，∴c＝23a.

由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋29a2－2×a×23a×22＝59a2，∴b＝53a.

∴cos A＝b2＋c2－a22bc＝59a2＋29a2－a22×53a×23a＝－1010.故选C. 方法2：同方法1得c＝23a. 由正弦定理得sin C＝23sin A，又B＝π4， ∴sin C＝sin3π4－A＝23sin A，即22cos A＋22sin A＝23sin A， ∴tan A＝－3，∴A为钝角． 又∵1＋tan2A＝1cos2A，∴cos2A＝110，

∴cos A＝－1010.故选C. 9.

如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( ) A．18＋365 B．54＋185 C．90 D．81 解析：选B.先根据三视图确定几何体的形状，再求其表面积． 由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×35)×2＝54＋185.故选B. 10．在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )

A．4π B.9π2

C．6π D.32π3 解析：选B.根据直三棱柱的性质找出最大球的半径，再求球的体积．由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切．设球的半径为R，∵△

ABC的内切圆半径为6＋8－102＝2，∴R≤2.又2R≤3，∴R≤32，∴Vmax＝43π



3

23

＝92π.故选B. 11．已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )

A.13 B.12

C.23 D.34 解析：选A.

结合条件利用椭圆的性质建立关于a，b，c的方程求解． 如图所示，由题意得 A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．

由PF⊥x轴得P－c，b2a. 设E(0，m)， 又PF∥OE，得|MF||OE|＝|AF||AO|，

则|MF|＝ma－ca.①

又由OE∥MF，得12|OE||MF|＝|BO||BF|， 则|MF|＝ma＋c2a.② 由①②得a－c＝12(a＋c)，即a＝3c，∴e＝ca＝13. 故选A. 12．定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有( ) A．18个 B．16个 C．14个 D．12个 解析：选C.首先明确“规范01数列”的含义，根据组合知识求解．由题意知：当m＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a1＝0，a8＝1.不考虑限制条件“对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少

于1的个数”，则中间6个数的情况共有C36＝20(种)，其中存在k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数少于1的个数的情况有：①若a2＝a3＝1，则有C14＝4(种)；②若a2

＝1，a3＝0，则a4＝1，a5＝1，只有1种；③若a2＝0，则a3＝a4＝a5＝1，只有1

种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)．故共有14个．故选C. 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～24题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．若x，y满足约束条件 x－y＋1≥0，x－2y≤0，x＋2y－2≤0，则z＝x＋y的最大值为________． 解析：

先画出不等式组表示的平面区域，再求目标函数的最值． 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分．

由 x－2y＝0，x＋2y－2＝0

得A1，12. 当直线z＝x＋y过点A1，12时，zmax＝1＋12＝32. 答案：32 14．函数y＝sin x－3cos x的图象可由函数y＝sin x＋3cos x的图象至少向右平移________个单位长度得到． 解析：先化简函数解析式，再进行平移变换．

因为y＝sin x＋3cos x＝2sinx＋π3，y＝sin x－3cos x＝2sinx－π3，

所以把y＝2sinx＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度可得y＝2sin

x－

π

3的图象．

答案：2π3 15．已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________． 解析：先利用函数奇偶性求出x>0时f(x)的解析式，再求切线方程． 因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝ln x－3x，所以f′(x)