人教A版高中数学必修五1.2第一课时知能演练轻松闯关

高中数学学习材料唐玲出品1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝7，c ＝8，则角B 等于( ) A ．90° B ．120° C ．60° D ．30° 解析：选C.由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝52＋82－722×5×8＝12，又∵0<B <π， ∴B ＝60°.2．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c 2－a 2－b 22ab>0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形解析：选C.∵c 2－a 2－b22ab>0，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，又∵0<C <π， ∴π2<C <π， ∴△ABC 一定是钝角三角形．3．若△ABC 的三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角的度数为( ) A ．150° B ．135° C ．120° D ．60°解析：选A.由题设，可得a 2＋b 2－c 2＝－3ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32，∴C ＝150°，∴三角形的最大内角为150°4．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A.π6B.π3C.π2D.2π3解析：选B.p ∥q ⇒(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，即c 2－a 2－b 2＋ab ＝0⇒a 2＋b 2－c 22ab ＝12＝cos C ，∴C ＝π3.5．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3 解析：选D.∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ， ∴a 2＋c 2－b 22ac tan B ＝32，即cos B tan B ＝32，sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3.6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C 的值为________．解析：由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22accos C ＝a 2＋b 2－c 22ab∴bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C＝b 2＋c 2－a 22＋a 2＋c 2－b 22＋a 2＋b 2－c 22＝a 2＋b 2＋c 22＝12(32＋42＋62)＝612. 答案：6127．(2013·济宁高二检测) △ABC 为钝角三角形，a ＝3，b ＝4，c ＝x ，则x 的取值范围是________．解析：当B 为钝角时⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c >bb 2>a 2＋c 2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋x >4x 2<7.∴1<x <7， 当C 为钝角时⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b >c c 2>a 2＋b 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧3＋4>x x 2>25.∴5<x <7.答案：1<x <7或5<x <78．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C的值为________．解析：由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A .即72＝52＋AC 2－10AC ·cos 120°， ∴AC ＝3.由正弦定理得sin B sin C ＝AC AB ＝35.答案：359．在△ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos A ＝14.若a ＝4，b ＋c ＝6，且b <c ，求b 、c 的值．解：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即 a 2＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，∴16＝36－52bc .∴bc ＝8.由⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝6，bc ＝8，b <c可求得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝4.10．(2013·广州高二检测)a ，b ，c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ，边b 和c 是关于x 的方程x 2－9x ＋25cos A ＝0的两根(b >c )．(1)求角A 的正弦值； (2)求边a ，b ，c ；(3)判断△ABC 的形状．解：(1)∵(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A ) ＝185sin B sin C ， 结合正弦定理得(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝185bc ，整理得b 2＋c 2－a 2＝85bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45，∴sin A ＝35.(2)由(1)知方程x 2－9x ＋25cos A ＝0 可化为x 2－9x ＋20＝0， 解之得x ＝5或x ＝4， ∵b >c ，∴b ＝5，c ＝4.由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴a ＝3.(3)∵a 2＋c 2＝b 2，∴△ABC 为直角三角形．1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选A.根据正弦定理，由sin C ＝23sin B 可得c ＝23b ，把它代入a 2－b 2＝3bc得a 2－b 2＝6b 2即a 2＝7b 2，结合余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b＝32，又∵0°<A <180°，∴A ＝30°.2．在△ABC 中 ，已知a ＝5，b ＝3，角C 的余弦值是方程5x 2＋7x －6＝0的根，则第三边c 的长为________．解析：5x 2＋7x －6＝0可化为(5x －3)(x ＋2)＝0.∴x 1＝35，x 2＝－2(舍去)．∴cos C ＝35.根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝52＋32－2×5×3×35＝16.∴c ＝4，即第三边长为4. 答案：43．如图，在△ABC 中，已知BC ＝15，AB ∶AC ＝7∶8，sin B ＝437，求BC 边上的高AD 的长．解：在△ABC 中，由已知设AB ＝7x ，AC ＝8x ，由正弦定理，得7x sin C ＝8xsin B ，∴sin C ＝7x sin B 8x ＝78×437＝32，∴C ＝60°(C ＝120°舍去，否则由8x >7x ，知B 也为钝角，不符合要求)． 由余弦定理，得(7x )2＝(8x )2＋152－16x ·15cos 60° ∴x 2－8x ＋15＝0，∴x ＝3或x ＝5，∴AB ＝21或AB ＝35.在△ABD 中，AD ＝AB sin B ＝437AB ，∴AD ＝123或AD ＝20 3.。

2014年高考数学 第1课时 知能演练轻松闯关 新人教A 版选修4-4一、选择题1．圆ρ＝5cos θ－53sin θ的圆心坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，－4π3B.⎝⎛⎭⎪⎫－5，π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π3 D.⎝⎛⎭⎪⎫－5，5π3解析：选A.ρ2＝5ρcos θ－53ρsin θ，x 2＋y 2－5x ＋53y ＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋5322＝52，∴圆心的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－523，注意圆心在第四象限，化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫5，5π3，注意ρ<0时点在极角终边的反向延长线上，∴与⎝⎛⎭⎪⎫－5，－4π3表示同一个点． 2．(2013·湖南六校联考)已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，则圆C 的圆心到直线l 的距离为( )A.12B.22C.14D.24解析：选B.将直线l 的参数方程化为普通方程得：x －y ＝0，将ρ＝2cos θ的两边同乘以ρ得ρ2＝2ρcos θ，即x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，即圆心的坐标为(1,0)，故圆心到直线x －y ＝0的距离d ＝112＋－12＝22. 二、填空题3．(2012·高考陕西卷)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．解析：直线的方程为2x ＝1，圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，圆心为(1,0)，半径r ＝1，圆心到直线的距离为d ＝|2－1|22＋0＝12，设所求的弦长为l ，则12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22，解得l ＝ 3.答案： 34．在极坐标系中，P ，Q 是曲线C ：ρ＝4sin θ上任意两点，则线段PQ 长度的最大值为________．解析：由曲线C ：ρ＝4sin θ得ρ2＝4ρsin θ，x 2＋y 2－4y ＝0，x 2＋(y －2)2＝4，即曲线C ：ρ＝4sin θ在直角坐标系下表示的是以点(0,2)为圆心、以2为半径的圆，易知该圆上的任意两点间的距离的最大值即是圆的直径长，因此线段PQ 长度的最大值是4.答案：45．(2012·高考湖南卷)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.解析：曲线C 1的直角坐标方程为2x ＋y ＝1，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝a 2，C 1与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，此点也在曲线C 2上，代入解得a ＝22.答案：226．(2013·佛山模拟)极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝2，则极点在直线l 上的射影的极坐标是________．解析：设极点O 在直线l 上的射影的极坐标是M (ρ，θ)，则点M 是直线l 上到极点O的距离最近的点，要求点M 的极坐标M (ρ，θ)(ρ＞0)，只需求ρ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6的最小值及此时θ的值(如图所示)．显然，当θ＝π3时，ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6取最小值2，故点M 的极坐标M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3.答案：⎝⎛⎭⎪⎫2，π3 7．(2013·江西九校联考)在极坐标系中，曲线C 1：ρ＝2cos θ，曲线C 2：θ＝π4，若曲线C 1与C 2交于A 、B 两点，则线段AB ＝________.解析：曲线C 1与C 2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2cos θ，θ＝π4，得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，θ＝π4，即曲线C 1与C 2的另一个交点与极点的距离为2，因此AB ＝ 2.答案： 28．(2012·高考湖北卷)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝t －12(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．解析：记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将θ＝π4转化为直角坐标方程为y ＝x (x ≥0)，曲线的直角坐标方程为y ＝(x －2)2，联立上述两个方程得x 2－5x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝5，故线段AB的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52 三、解答题9．设过原点O 的直线与圆(x －1)2＋y 2＝1的一个交点为P ，点M 为线段OP 的中点，当点P 在圆上移动一周时，求点M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．解：圆(x －1)2＋y 2＝1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2，设点P 的极坐标为(ρ1，θ1)，点M 的极坐标为(ρ，θ)，∵点M 为线段OP 的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程， 得ρ＝cos θ.∴点M 轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2，它表示原心在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径为12的圆．10．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θ－π4)＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的极坐标．解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1， 即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.11．(2013·泉州模拟)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4；因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22. 12．在极坐标系中，如果A (2， π4)，B (2，5π4)为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C 的极坐标(ρ≥0,0≤θ ＜2π)．解：∵A (2，π4)，∴ρ＝2，θ＝π4，∴x ＝ρcos θ＝2cos π4＝2，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝2，即A 点的直角坐标为(2，2)．同理可求B 点的直角坐标，x ＝2cos 54π＝－2，y ＝2sin 54π＝－2，即B (－2，－2)．设C 点的直角坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y x ＝－1，x 2＋y 2＝12，解之得⎩⎨⎧x ＝6y ＝－6或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝6，即C 点的直角坐标为(6，－6)或(－6，6)． 当x ＝6，y ＝－6，即C 在第四象限时，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2＝12，tan θ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝23，θ＝74π.当x ＝－6，y ＝6，即C 在第二象限时，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2＝12，tan θ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝23，θ＝34π，即点C 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫23，74π或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，34π. 13．(2012·高考课标全国卷)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1) 求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2) 设P 为C 1上任意一点，求|PA | 2＋|PB |2＋|PC | 2＋|PD |2的取值范围．解：(1)由已知可得A ⎝⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)．(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝7，c ＝8，则角B 等于( ) A ．90° B ．120° C ．60° D ．30° 解析：选C.由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝52＋82－722×5×8＝12，又∵0<B <π， ∴B ＝60°.2．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c 2－a 2－b 22ab>0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形解析：选C.∵c 2－a 2－b22ab>0，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，又∵0<C <π， ∴π2<C <π， ∴△ABC 一定是钝角三角形．3．若△ABC 的三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角的度数为( ) A ．150° B ．135° C ．120° D ．60°解析：选A.由题设，可得a 2＋b 2－c 2＝－3ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32，∴C ＝150°，∴三角形的最大内角为150°4．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A.π6B.π3C.π2D.2π3解析：选B.p ∥q ⇒(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，即c 2－a 2－b 2＋ab ＝0⇒a 2＋b 2－c 22ab ＝12＝cos C ，∴C ＝π3.5．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3 解析：选D.∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ， ∴a 2＋c 2－b 22ac tan B ＝32，即cos B tan B ＝32，sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3.6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C 的值为________．解析：由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22accos C ＝a 2＋b 2－c 22ab∴bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C＝b 2＋c 2－a 22＋a 2＋c 2－b 22＋a 2＋b 2－c 22＝a 2＋b 2＋c 22＝12(32＋42＋62)＝612. 答案：6127．(2013·济宁高二检测) △ABC 为钝角三角形，a ＝3，b ＝4，c ＝x ，则x 的取值范围是________．解析：当B 为钝角时⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c >bb 2>a 2＋c 2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋x >4x 2<7.∴1<x <7， 当C 为钝角时⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b >c c 2>a 2＋b 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧3＋4>x x 2>25.∴5<x <7.答案：1<x <7或5<x <78．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C的值为________．解析：由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A .即72＝52＋AC 2－10AC ·cos 120°， ∴AC ＝3.由正弦定理得sin B sin C ＝AC AB ＝35.答案：359．在△ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos A ＝14.若a ＝4，b ＋c ＝6，且b <c ，求b 、c 的值．解：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即 a 2＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，∴16＝36－52bc .∴bc ＝8.由⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝6，bc ＝8，b <c可求得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝4.10．(2013·广州高二检测)a ，b ，c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ，边b 和c 是关于x 的方程x 2－9x ＋25cos A ＝0的两根(b >c )．(1)求角A 的正弦值； (2)求边a ，b ，c ；(3)判断△ABC 的形状．解：(1)∵(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A ) ＝185sin B sin C ， 结合正弦定理得(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝185bc ，整理得b 2＋c 2－a 2＝85bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45，∴sin A ＝35.(2)由(1)知方程x 2－9x ＋25cos A ＝0 可化为x 2－9x ＋20＝0， 解之得x ＝5或x ＝4， ∵b >c ，∴b ＝5，c ＝4.由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴a ＝3.(3)∵a 2＋c 2＝b 2，∴△ABC 为直角三角形．1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选A.根据正弦定理，由sin C ＝23sin B 可得c ＝23b ，把它代入a 2－b 2＝3bc得a 2－b 2＝6b 2即a 2＝7b 2，结合余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b＝32，又∵0°<A <180°，∴A ＝30°.2．在△ABC 中 ，已知a ＝5，b ＝3，角C 的余弦值是方程5x 2＋7x －6＝0的根，则第三边c 的长为________．解析：5x 2＋7x －6＝0可化为(5x －3)(x ＋2)＝0.∴x 1＝35，x 2＝－2(舍去)．∴cos C ＝35.根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝52＋32－2×5×3×35＝16.∴c ＝4，即第三边长为4. 答案：43．如图，在△ABC 中，已知BC ＝15，AB ∶AC ＝7∶8，sin B ＝437，求BC 边上的高AD 的长．解：在△ABC 中，由已知设AB ＝7x ，AC ＝8x ，由正弦定理，得7x sin C ＝8xsin B ，∴sin C ＝7x sin B 8x ＝78×437＝32，∴C ＝60°(C ＝120°舍去，否则由8x >7x ，知B 也为钝角，不符合要求)． 由余弦定理，得(7x )2＝(8x )2＋152－16x ·15cos 60° ∴x 2－8x ＋15＝0，∴x ＝3或x ＝5，∴AB ＝21或AB ＝35.在△ABD 中，AD ＝AB sin B ＝437AB ，∴AD ＝123或AD ＝20 3.。

1．设函数f (x )＝2x －1(x <0)，则f (x )( )A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数解析：选C.画出函数f (x )＝2x －1(x <0)的图象，如右图中实线部分所示．由图象可知，函数f (x )＝2x －1(x <0)是增函数，无最大值及最小值．故选C.2．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为( ) A ．2B.12C.13D ．－12解析：选B.函数y ＝1x －1在[2,3]上为减函数， ∴y min ＝13－1＝12. 3．函数f (x )＝1x 在[1，b ](b >1)上的最小值是14，则b ＝________. 解析：∵f (x )在[1，b ]上是减函数，∴f (x )在[1，b ]上的最小值为f (b )＝1b ＝14， ∴b ＝4.答案：44．函数y ＝2x 2＋2，x ∈N *的最小值是________．解析：∵x ∈N *，∴x 2≥1，∴y ＝2x 2＋2≥4，即y ＝2x 2＋2在x ∈N *上的最小值为4，此时x ＝1.答案：4[A 级 基础达标]1．函数f (x )＝x 2－4x ＋3，x ∈[1,4]，则f (x )的最大值为( )A ．－1B ．0C ．3D ．－2解析：选C.∵f (x )在[1,2]上是减函数，在[2,4]上是增函数，又f (1)＝0，f (4)＝3.∴f (x )的最大值是3.2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋6，x ∈[1，2]x ＋7，x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值、最小值分别为( ) A ．10、6B ．10、8C ．8、6D ．以上都不对解析：选A.f (x )在x ∈[－1,2]上为增函数，f (x )max ＝f (2)＝10，f (x )min ＝f (－1)＝6.3．函数f (x )＝9－ax 2(a ＞0)在[0,3]上的最大值为( )A ．9B ．9(1－a )C ．9－aD ．9－a 2解析：选A.x ∈[0,3]时f (x )为减函数，f (x )max ＝f (0)＝9.4．函数f (x )＝x －2，x ∈{0,1,2,4}的最大值为________．解析：函数f (x )自变量的取值是几个孤立的数，用观察法即得它的最大值为f (4)＝2. 答案：25．函数f (x )＝x 2＋bx ＋1的最小值是0，则实数b ＝________.解析：f (x )是二次函数，二次项系数1>0，则最小值为f (－b 2)＝b 24－b 22＋1＝0， 解得b ＝±2.答案：±26．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2 (－12≤x ≤1)1x(1＜x ≤2)，求f (x )的最大、最小值． 解析：当－12≤x ≤1时，由f (x )＝x 2，得f (x )的最大值为f (1)＝1，最小值为f (0)＝0； 当1＜x ≤2时，由f (x )＝1x，得f (2)≤f (x )＜f (1)， 即12≤f (x )＜1. 综上f (x )max ＝1，f (x )min ＝0.[B 级 能力提升]7．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )的最小值为－2，则f (x )的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C.因为f (x )＝－(x －2)2＋4＋a ，由x ∈[0,1]可知当x ＝0时，f (x )取得最小值，及－4＋4＋a ＝－2，所以a ＝－2，所以f (x )＝－(x －2)2＋2，当x ＝1时，f (x )取得最大值为－1＋2＝1.故选C.8．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x ，其中销售量单位：辆．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )A ．90万元B ．60万元C ．120万元D ．120.25万元解析：选C.设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售15－x 辆，公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－(x －192)2＋30＋1924， ∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．9．函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则a ＝______.解析：若a <0，则函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上是减函数，并且在区间的左端点处取得最大值，即a ＋1＝4，解得a ＝3，不满足a <0，舍去；若a >0，则函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上是增函数，当x ＝3时，y ＝4，∴3a ＋1＝4，∴a ＝1.综上：a ＝1.答案：110．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0)． (1)证明f (x )在(0，＋∞)上单调递增；(2)若f (x )的定义域、值域都是[12，2]，求实数a 的值． 解：(1)证明：设x 2>x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1) ＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2. ∵x 2>x 1>0，∴x 2－x 1>0，∴x 2－x 1x 1x 2>0，即f (x 2)>f (x 1)． ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且定义域和值域均为[12，2]， ∴⎩⎨⎧f (12)＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2， ∴a ＝25. 11.如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的材料总长为30 m ，问每间笼舍的宽度x 为多少m 时，才能使得每间笼舍面积y 达到最大？每间最大面积为多少？解：设总长为b ，由题意知b ＝30－3x ，可得y ＝12xb ， 即y ＝12x (30－3x ) ＝－32(x －5)2＋37.5，x ∈(0,10)． 当x ＝5时，y 取得最大值37.5，即每间笼舍的宽度为5 m 时，每间笼舍面积y 达到最大，最大面积为37.5 m 2.。