当前位置：文档之家 › 两角和与差的三角函数

两角和与差的三角函数

  • 格式：doc
  • 大小：571.50 KB
  • 文档页数：12

学科： 数 学 主备人： 授课人： 审核人： 课题 3.1两角和与差的三角函数 授课时间 2课时

教学目标 1.知识与技能 （1）能够推导两角差的余弦公式； （2）能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式； （3）能够运用两角和的正、余弦公式进行化简、求值、证明； 2.过程与方法 通过创设情境：通过向量的手段证明两角差的余弦公式，让学生进一步体会向量作为一种有效手段的同时掌握两角差的余弦函数，然后通过诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式；讲解例题，总结方法，巩固练习. 3.情感态度价值观 通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力.

教学重点 重点：两角和与差的正弦，余弦、正切公式及其推导

教学难点 难点：灵活运用公式进行求值，化简和证明

教学方法 课型 考纲要求 个性备课设计 (1)会用向量推导两角差的余弦公式； (2)能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式；

课前认识 由于向量既是代数研究的对象，也是几何研究的对象。向量是沟通代数与几何的桥梁，为了体现向量在处理三角函数问题中的工具作用，本教材书采用向量数量积的方法，来推导两角差的余弦定理，虽然首先得到的不是两角和的正弦，但这几个公式出现的顺序不会构成学生学习困难和推导体系混乱，这样使得公式

的推导过程更简捷，又因为用向量方法推导公式C 安排在第三章的第一节，使教科书从第二章平面向量到第三章三角恒等变形的过程更自然，可以使学生感受到知识之间的联系、向量的数学价值，同时从向量的角度，意会公式的几何背景。 引入

1．用第二章向量的知识引入本节内容，使学生们认体会知识之间的相互联系，新的知识的学习总能为我们研究其他问题带来更简捷的方法。激发学生学以至用的学习态度 在第二章我们已经学习了向量的知识。向量的主要作用之一是讨论几何度量问题，例如，长度和角度的问题。从向量数量积的定义：cosbaba 我们知道：任何向量与自身的内积为向量长度的平方；两个单位向量的数量积就等于他们之间夹角的余弦函数值，反映可他们之间夹角的大小。向量的方法为我们探究三角函数关系提供了另一种重要的思想方法。 在直角坐标系中，如图3-1，以原点为中心，单位长度为半径做单位圆，又以原点为顶点，x轴非负半轴为始边分别作角，

，且。我们首先研究，均为锐角的情况，

教学内容 【创设情境】 思考:如何求)3045cos(的值. 【探究新知】 1．思考:如何用任意角与 的正弦、余弦来表示

)cos(？你认为会是coscos)cos(吗? [展示课件]在直角坐标系作出单位圆，利用向量的方法求解（如教材图3.1）. 求解：在直角坐标系中，如图3-1，以原点为中心，单位长度为半径作单位圆，又以原点为顶点，x轴非负半轴为始边分别

作角，，且，我们首先研究它为锐角的情况，设它们

的终边分别交单位圆于点)sin,(cos1P，)sin,(cos2P，这样，我们就得到两个单位向量1OP,2OP,由于这两个向量的夹角为，所以我们可以得到：

)cos(21OPOP

另一方面，向量的数量积可以用坐标表示，因此我们又可

以得到：sinsincoscos21OPOP 由上面两个式子可以得到一个重要的三角函数公式 sinsincoscos)cos(

教师引导学生分析其中的过程发现：上述证明仅仅是对与为锐角的情况，但与为任意角时上述过程还成立吗？ 由于与为任意角，所以也为任意角，所以只需探究当为任意角时，上述公式也成立，当为任意角时，由诱导公式总可以找到一个角]2,0[，使)cos(cos 若],0[，则)cos(cos21OPOP 若]2,[则],0[2，

且)cos(cos)2cos(21OPOP. 由此可知: 对任意角与都有 sinsincoscos)cos(

这个公式称为：差角的余弦公式 C 老师强调以下几点 1.公式的结构特点

2.对于，，只要知道其正弦或余弦，就可以求出)cos(

3.提出问题?)cos( 4.学生自己推导得出sinsincoscos)cos(

5.能否借助诱导公式退出两角差的正弦公式?)sin(推导如下



sincoscossinsin)2sin(cos)2cos(])2cos[()](2cos[)sin(

即： cossincossin)sin( 以代替得： cossincossin)sin( 抽象概括 sinsincoscos)cos(

C

sinsincoscos)cos(

C

sincoscossin)sin(

S sincoscossin)sin(



S

重难点突破 1.与几何证法和解析证法相同，在向量证法中，也是先证明

，为锐角且的情况，由于教学目标的定位是“了解”

公式，因此对于公式的一般性：即当，为任意角时，教科书中没有给出证明，只是在边框中做为一个问题提出来，供学有余力、对数学感兴趣的同学思考、探索，虽然对于公式的一般性没有给予详尽的证明，但在教学中，教师应该强调这个一般性，以便为其他公式的推导做准备。

2.公式C是全部和、差角公式，以及倍角公式、半角公式

的基础，是本章公式推导体系的“源”。因此C公式的推证是本节乃至本章的教学重点。教学中要注意把握的是如何是学生在经历向量方法推证公式C的过程中，体验向量的思想方法，体验向量的工具作用，正因为此，两角差的余弦公式推证的教学也是本章教学的一个难点。在这里，证明的结果，得到公式达到目的固然重要，但是相比之下，应该更加看中的是推导公式的过程，看中过程中所体现的思想方法。 3.本章是第一章任意角的三角函数基础上进一步研究单角三角函数与复角三角函数的关系，第一节课上应该使学生明确两角

和与差的三角函数的意义。按定义，两角差的余弦，表示

终边与单位圆的交点P的横坐标，通过举例验证的方法，

说明一般情况下coscos)cos(。使学生明白定义在实数集的余弦函数：“差（和）的函数值一般不等于函数值的差（和）”，从计算的角度讲，如果把求一个角的余弦值看作是一种运算，那么这种运算一般不满足分配律。正弦函数、正切函数亦然。

4.对于公式,,CSS教科书没有给出推导过程，而是用提出问题同时给出提示（利用诱导公式）的方式来呈现。教学中，C公式可由学生独立或合作完成，而,SS则要根据学生的具体情况，适时、适当地给予指点，例如 sin()cos[()]cos[()]22cos()cossin()sin22sincoscossin 其中第一、第二步是证明的突破口，也正是教师需要指点的地方。

例题及练习 例1 计算① 105cos ②15cos

③103sin5sin103cos5cos 解： ①45sin60sin45cos60cos)4560cos(105cos

46222232221

②45sin60sin45cos60cos)4560cos(15cos

46222232221

③02cos)1035cos(103sin5sin103cos5cos



练习化简：)cos(cos)sin(sinyxxyxx 例2已知54sin，),2(，135cos，)23,(，求)cos(，)cos(的值 解：由54sin，),2(，得

53sin1cos2

又由135cos，)23,(，得 1312cos1sin2 所以

6533)1312(54)135()53(sinsincoscos)cos(

6563)1312(54)135()53(sinsincoscos)cos(

合集下载

两角和与差的正切公式。

两角和与差的正切公式。

两角和与差的正切公式。

两角和与差的正切公式如下：
1.两角和公式：
tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A * tan B)
2.两角差公式：
tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A * tan B)
这些公式可以用来计算两个角的和或差的正切值。

它们在三角函数的计算中很有用，尤其是在解决三角函数方程或证明三角函数恒等式时。

拓展：
这些公式可以通过三角恒等式的推导得到，可以帮助我们更好地理解三角函数之间的关系。

除了正切函数之外，正弦、余弦等三角函数也有类似的两角和与差的公式。

掌握这些公式可以帮助我们更好地理解三角函数的性质和用途。

两角和与差及二倍角的三角函数公式

两角和与差及二倍角的三角函数公式

两角和与差及二倍角的三角函数公式1.两角和公式：设角A和角B的三角函数值分别为sinA、cosA、tanA、cotA等，sinB、cosB、tanB、cotB等，且A和B的和（差）角也在三角函数的定义域内（常用定义域是[-π, π]或[0,2π]），则有以下两角和（差）公式：（1）sin(A ± B) = sinA*cosB ± cosA*sinB（2）cos(A ± B) = cosA*cosB ∓ sinA*sinB（3）tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA*tanB)（4）cot(A ± B) = (cotA*cotB ∓ 1) / (cotB ± cotA)2.二倍角公式：设角A的三角函数值为sinA、cosA、tanA、cotA等，且2A在三角函数的定义域内，则有以下二倍角公式：（1）sin2A = 2*sinA*cosA（2）cos2A = cos^2A - sin^2A = 2*cos^2A - 1 = 1 - 2*sin^2A （3）tan2A = (2*tanA) / (1 - tan^2A)（4）cot2A = (cot^2A - 1) / (2*cotA)推导两角和与差公式和二倍角公式的方法通常有几种：三角函数的和差化积、三角恒等式推导法、欧拉公式推导法等。

这里以三角函数的和差化积为例，推导两角和公式和二倍角公式。

推导两角和公式：对于sin(A ± B)，利用三角函数的和差化积公式，有：sin(A ± B) = sinA*cosB ± cosA*sinB其中，sinA*cosB表示A和B的正弦余弦积，cosA*sinB表示A和B 的余弦正弦积。

推导二倍角公式：对于sin2A，利用三角函数的和差化积公式，令A=B，有：sin(2A) = sin(A + A) = sinA*cosA + cosA*sinA = 2*sinA*cosA 同样地，对于cos2A，利用三角函数的和差化积公式，有：cos(2A) = cos^2A - sin^2A = 2*cos^2A - 1 = 1 - 2*sin^2Atan2A和cot2A的推导过程类似，利用两角和公式进行展开和化简即可。

两角和与差的三角函数、二倍角公式

两角和与差的三角函数、二倍角公式


tan β＝－17＞－1，所以 0＜α＜π4，34π＜β＜π，则 0＜2α＜π2，－π＜－β＜－34π，－π＜
2α－β＜－π4，所以 2α－β＝－34π.
总结 提炼
1．解决三角函数求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1) 当“已知角”有
两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2) 当“已知角”有一个 时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把 “所求角”变成“已知角”．
A．－2245
B．2245
C．274
D．－274
【解析】因为－π3＜θ＜π6，所以 0＜θ＋π3＜π2，所以 cos θ＋π3＝35，故 tan θ＋π3＝43，
tan
2θ＋π6 ＝ tan
2θ＋3π－π2 ＝
sin cos
2θ＋π3－π2 2θ＋π3－π2
＝
－
cos sin
2θ＋π3 2θ＋π3
＝
2 2
C．tan 15°＝2－ 3
D．12sin 40°＋ 23cos 40°＝sin 70°
【解析】sin 2＋π2＝cos 2，故 A 正确； cos 73°·cos 28°＋sin 73°sin 28°＝cos (73°－28°)＝cos
45°＝
22，故
B
正确；
tan 15°＝tan (60°－45°)＝1＋3－13＝2－ 3，故 C 正确；
2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋2 β－α－2 β，α＝α＋2 β
＋α－2 β，α－2 β＝α＋β2－α2＋β等．
研题型 能力养成 举题说法
1．(2023·梅州一模)已知 sin α＋π6＝13，则 cos 23π－2α＝
两角和与差的余弦、正弦、正切公式

两角和与差的余弦、正弦、正切公式

由β＝α－ ，得cosβ＝cos ＝cosαcos ＋sinαsin
＝ × ＋ × ＝ ＝ .∵0<β< ，所以β＝ .
变式3．(1)已知tanα＝2，tanβ＝3，且α，β都是锐角，求α＋β；
(2)已知α，β均为锐角，sinα＝ ，cosβ＝ ，求α－β.
解析：(1)tan ＝ ＝ ＝－1.
∵α，β都是锐角，∴0<α＋β<π，由上式知α＋β＝ .
课堂练习：
练习1：cos(450+300)=
练习2：cos200cos700-sin200sin700=
练习3： 练习4：
1．下列式子中，正确的个数为()
①sin ＝sinα－sinβ；②cos ＝cosα－cosβ；
③sin ＝sinαcosβ－cosαsinβ；④cos ＝cosαcosβ＋sinαsinβ.
解析：(1)原式＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin ＝sin 30°＝ .
(2)原式＝sinxcos ＋cosxsin ＋2sinxcos －2cosxsin － cos cosx－ sin sinx＝3sinxcos －cosxsin － cos cosx－ sin sinx＝ sinx－ cosx
＝－ × ＋ × ＝－ ，故得－sin ＝－ ，即sin ＝ .
变式2．化简求值：
(1)sin 75°；(2)sin 15°；
(3)若α，β均为锐角，sinα＝ ，sin(α＋β)＝ ，求cosβ.
解析：(1)原式＝sin ＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝ × ＋ × ＝ .
课题
两角和与差的余弦、正弦、正切公式
1．注意到 ，由公式C(α+β).，可以推出：