浙教版4.1比例线段(3)剖析

1.比例中项的概念. 2.线段的比例中项与数的比例中项的区别； 3.什么是黄金分割. 4.如何去确定黄金分割点或黄金比.
（1）a＝3，b＝27；(2） a
5 1,b 2
5 1 2
温馨提示: 线段比例中项与数的比例中项是两个不同的概念,
前者是一个正数,而后者是一对互为相反数.
数学缔造完美
上海东方明珠塔
上海东方明珠电视塔高
468m,上球体到塔底的
468
距离约为289.2m, 289.2
m
与468的比值是一个神奇
289.2m
3.在AB上截取AC=AE.
点C就是所求线段AB的黄金分割点
D E
A
C
B
黄金分割的深远意义
历史上，人们视黄金分割为“最美丽”的 几何比率，广泛应用于建筑和雕刻中，如 古代希腊的帕特农神庙、埃及金字塔、上 海东方明珠塔等，一些长方形的画框，宽 与长之比也设计成0.618，在自然界中也有 很多例子，美丽的蝴蝶身长与双翅展开后 的长度之比约为0.618.许多美丽的形状都与 0.618这个比值有关。
的数字,这个塔的设计精 巧,外型匀称、漂亮、美
观、大方.
A
D
E
F
B
C
著名画家达·芬奇的蒙娜丽 莎,拉斐尔笔下温和、俊秀的圣 像,其漂亮的面部是矩形ABCDwenku.baidu.com的宽BC与长AB的比也是一个 神奇的数.
欣赏之后,请同学们思考: 以上图案为什么这样美丽?
它们与数学中的一种神圣的分 割和一个神奇的数有关.
著名画家达•芬奇的名画＜蒙娜丽莎＞，
a b (a : b b : c) ， bc
则b就叫a,c的比例中项
用符号语言表示为： a b b2 ac bc
例题分析
1. (1) 1是不是 1 1 和 2 的比例中项？如果是比例中项，请
23 写出相应的比例式.
(2) 2和8的比例中项是__±___4___
2.求下列线段a、b的比例中项.
如图,点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP
（1）请写出黄金分割的比例式，并指出比例中项
（2）求 AP 的值（结果保留2个有效数字） PB
（3）若AB=2，求PB A
P
B
四、动手画一画 找黄金分割点
已知线段AB=a,用直尺和圆规作出它的黄金分割点
作法:
1.经过点B作BD⊥AB,使
BD
1
AB.
2.连接AD,在AD上截取DE=DB. 2
A
画中脸部被围在矩形ＡＢＣＤ中，图中
四边形ＢＣＥＦ为正方形，而在线段AB
F
上的点Ｆ把线段AB分成两条线段，其中
AF BF
BF AB
B
Ａ
Ｐ
Ｂ
DＤ Ｅ
EＣ
C
如图，如果点Ｐ把线段ＡＢ分成２条线段ＡＰ和ＢＰ，使
BP AP AP AB
，那么称线段ＡＢ被点Ｐ黄金分割，线段
ＡＰ与ＡＢ的比叫黄金比，点Ｐ叫线段ＡＢ的黄金分割点
§4.１ 比例线段（３）
取一张长与宽之比为 2 : 1 的长方形，将它对折， 请判断图中两个长方形长与宽这４条线段是否成比例， 如果成比例，请写出比例式
b a
c
b
解：这四条线段成比例
a 2, b1
a b bc
b 1 2 c 21
2
这个比例 式有什么 特别之处 吗？
定义：
一般地，如果三个数a,b,c满足比例式
如何来求 AP 的值呢？
AB
设ＡＢ＝a, AP=x
BP AP
Ａ
Ｐ
Ｂ
x0
AP AB AP2 BP• AB ( AB AP) • AB
x 5 1a 2
x2 (a x) • a x2 ax a2 o
AP 5 1 0.618 AB 2
1 5 x1 2 a
x2
1 2
5a
1. 顶角为36°的等腰△ABC;底BC=√5 —1与
腰AB=2的长度,计算BA: CB 0.6;18
2.作顶角为108°的等腰△BCD，BC=3.56cm，
CD=2.20cm计算: CD 0.6(精18确到0.001)
A BC D
第1题
B
C
B
C
第2题
☆顶角为36°或108°的等腰三角形称为黄金三角形