必修2第二章第1节空间点、直线、平面之间的位置关系

年 级 高一 学 科 数学 版 本 人教新课标A版 课程标题 必修2 第二章 第1节 空间点、直线、平面之间的位置关系 编稿老师 刘震 一校 林卉 二校 黄楠 审核 王百玲

一、学习目标： 1. 掌握平面的表示法及水平放置的直观图；掌握平面的基本性质、作用及公理1-3； 2. 了解空间中两条直线的位置关系；理解异面直线的概念、画法，理解并掌握公理4；理解并掌握等角定理；异面直线所成角的定义、范围及应用． 3. 了解空间中直线与平面的位置关系；了解空间中平面与平面的位置关系。

二、重点、难点： 重点：平面的概念及表示；平面的基本性质，公理1-3中的图形语言及符号语言；异面直线的概念；公理4及等角定理；空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系． 难点：平面基本性质的掌握与运用；异面直线所成角的计算；用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系．

三、考点分析： 考纲对这部分知识的要求是：理解空间点、直线和平面的位置关系，掌握平面的基本特性，直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系。在考试中对点、线、面位置关系的考查经常出现在选择题中，求异面直线所成的角经常出现在选择题和解答题中。

1. 平面的含义、画法及表示

2. 点和面的位置关系 点A在平面α内，记作：A∈α 点B在平面α外，记作：Bα 3. 公理1—3 （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号语言表示为： AlBllAB











lBA

公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 符号语言表示为：A、B、C三点不共线有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α．

公理2作用：确定一个平面的依据． 推论1：过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：过两条平行直线，有且只有一个平面。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

符号语言表示为：P∈α∩βα∩β=l且P∈l 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 4. 空间中的两条直线的位置关系

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点． 5. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 符号表示为：设a、b、c是三条直线

cabcba//////



公理4作用：判断空间两条直线平行的依据． 6. 异面直线所成的角 （1）已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）． （2）注意： ① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置关系来确定，与O点的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；

② 两条异面直线所成的角θ∈(0，2 ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角． 7. 直线与平面的位置关系 （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线与平面平行 —— 没有公共点 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a来表示

a a∩α=A a∥α

8. 两个平面的位置关系 （1）两个平面平行——没有公共点 （2）两个平面相交——有且只有一条公共直线 用类比的方法，可使学生快速地理解与掌握新内容，这两种位置关系用图形语言表示为

β

 α β l

α∥β α∩β=l

知识点一：确定平面 例1. 空间四点可以确定几个平面？三条直线两两相交可确定几个平面？空间四条平行直线可以确定几个平面？一条直线和直线外不在同一条直线上的三点可确定多少个平面？ 思路分析：利用公理2可以解决确定平面的问题 解答过程：1. 空间四点可以确定0个、1个、4个平面。 三点确定一个平面，讨论第四个点是否在平面上。 2. 三条直线两两相交可确定1个或3个平面。 3. 空间四条平行直线可以确定1个、4个、6个平面。 4. 一条直线和直线外不在同一条直线上的三点可确定1个、3个、4个平面。 解题后的思考：对于空间中点、线的位置关系要全面分析，不要遗漏。

知识点二：点、线共面 例2. 如图，正方体ABCD——1111DCBA中E、F为1AA、1CC中点。求证：1D、E、F、B四点共面。 思路分析：利用公理1和2可解决点共面的问题，从而解决确定平面的问题。 解答过程：连接ED1交DA延长线于M ∵ E为AA1中点 ∴ MA=AD 同理，连接FD1交DC延长线于N，CN=CD ∵ 正方体ABCD——1111DCBA ∴ MA=AB=BC=CN ∴ 45MBA，90ABC，45CBN ∴ 180MBN ∴ M、B、N三点共线l ∴ lD1，1D、l确定平面 ∴D1、E、M、B、N、F六点共面，从而D1、E、F、B四点共面 解题后的思考：将几个公理结合起来使用是解决问题的关键

例3. 如图，正方体1111DCBAABCD，E、F、G、H、M、N为各棱中点，求证：EFGHMN为正六边形。 AFB

ED

NH

G

MC

A1

D1C

1

B1

思路分析：要想证明EFGHMN为正六边形，首先应解决这些点共面的问题 解答过程：显然EF=FG=GH=HM=MN=NE E、F为棱AD、AB中点，EF//BD 11//DDBB1111//DBBDDDBB

BDNGBBDDGNDBBD////1111



中点、为棱、

∴ EF//NG，确定平面 同理，FG//EH， 确定平面 与有三个不在同一条直线上的三点E、F、G

∴ 、重合 ∴ E、F、G、H、N五点共面 同理E、F、G、H、M、N六点共面 且EF//MH、FG//NM、EN//GH ∴ EFGHMN是正六边形 解题后的思考：证明共面问题有以下两个方法：（1）先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上（2）先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合

例4. 如图所示，ABCD—A1B1C1D1是正方体，画出图中阴影部分的平面与平面ABCD的交线，并给出证明。

思路分析：确定两个平面的交线，就是找两个平面的两个公共点，本题中已经给出一个公共点，只需利用分别在两个平面内且相交的直线来确定另一个交点。 解答过程：如图，过点E作EN⊥CD于点N，连结NB并延长，交EF的延长线于点M，连结AM，因为直线EN//BF，所以B、N、E、F四点共面。

因此EF与BN相交，交点为M， 因为EFM，且NBM， 而EF平面AEF，NB平面ABCD， 所以M是平面ABCD与平面AEF的公共点， 又因为点A是平面AEF和平面ABCD的公共点， 所以AM为这两平面的交线。

知识点三：异面直线所成的角 例5. 正方体1111DCBAABCD的棱长为a，对角线CA1长为a3。

求：①异面直线1BA与1CC所成的角。 ②异面直线BA1与CB1所成的角。 ③异面直线BA1与1AC所成的角。 ④M、N为11CD、11BC中点，MN与AC所成角。 ⑤H为BC中点，HC1与BD1所成角的余弦值。 思路分析：利用异面直线的定义，构造三角形利用余弦定理求解 解答过程：① 11//CCBB ∴ 1BA与1BB所成锐角即为两条异面直线所成的角4511BBA。

②DACB11//，BDA1为等边三角形 ∴BA1与CB1所成的角为60 ③延长DC至E使CE=CD，ECCDBA111////

1AEC中，aCAAC311，aEC21，

ADERt中，DE=a2，AD=a

∴ AEa5，由余弦定理901EAC ④MN//BD BDAC ∴所成角为90 ⑤F为AD中点，FDHC11//，FBD1中，

aBD31，aFD251

aBF25，BDFDBFBDFDBFD112212112cos

aaaaa253245453222

515153

∴ 所成角的余弦值为515 解题后的思考：“平移找角”，“补形法”是求异面直线所成角的基本方法

例6. 四面体ABCD，棱长均为a（正四面体） ①求AC、BD所成的角。 ②E、F为BC、AD中点，求AE、CF所成角的余弦值。

思路分析：利用异面直线的定义，构造三角形利用余弦定理求解 解答过程：①H为CD中点