函数的基本性质（3–1）
函数的基本性质共分三节
一、函数的概念
二、函数的奇偶性与单调性
三、函数的最值与值域
（一）函数的概念
【知识要点】
1．什么是函数
函数反映的是在某个变化过程中的两个变量之间的一种对应关系：“在某个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与它对应，那么y就是x的函数，记作y=f(x)，x叫自变量，x的取值范围D叫做函数的定义域，和x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做值域。”
2．什么是函数的三要素
有定义可知函数都由3个基本要素构成，即定义域D、对应法则f以及函数值域。
在这3个要素中，定义域D和对应法则f起到核心作用，当定义域和对应法则确定时，值域{y|y=f(x)，x∈D}也随之被确定。
3．怎么理解符号f(x)的意义
符号f(x)有3种含义：
（1）用来表示一个函数；
（2）用来表示一个函数的解析式；
（3）用来表示函数值。
例如：对于函数f(x)=x+1,我们可以把这个函数简称为f(x)；也可以把它的解析式x+1简称为f(x)；当把f(x)看成一个具体值时，还可以把f(x)看作是x对应的函数值。
4．怎样判定两个函数是否为同一个函数
两个函数是否为同一个函数，可以通过函数定义来判定，即只要两个函数定义域、对应法则以及值域都相同，则它们为同一个函数。
由于值域由定义域和对应法则确定，因此判断两个函数是否为同一函数可简化为判断两个函数定义域及对应法则是否相同。
注意：在表示函数时，通常用x表示自变量，y表示因变量，但这不是绝对的，例如：f(x)=x+1，x∈R 与f(t)=t+1，t∈R表示的就是同一个函数。
5．函数图像，函数图像有何基本特征
函数图像是平面直角坐标系中的一个点集。函数的解析式是从数的方面刻划自变量与因变量之间的关系，而函数的图像是从“形”的角度反映自变量与因变量之间的关系，它们的实质是一致的，它们都是函数的表示形式。
6．怎样理解函数定义域，怎样求函数的定义域
函数的定义域D是指自变量x的取值范围，即对应法则f的作用对象的取值范围，它是一个数集。例如，如果一个函数f(x)的定义域为【0，1】，则表达式f（2x+1）中2x+1（注意不是x）的取值范围只能是【0，1】，这里2x+1才是对应法则f的作用对象。这是本节的重点知识。
一般地，函数的定义域有3种情形：
（1）自然定义域：使函数解析式有意义的自变量的取值范围。例如：函数f(x)=x定义域是【0，+∞）。
（2）给定定义域：函数自带定义域。例如：函数f(x)=x2+3x+1，（1≤x≤5）的定义域是【1，5】，它是由问题给定的。
（3）由问题的实际意义确定的定义域：例如，正方形的面积s与它的边长x构成的函数关系，s=x2，为了和实际问题描述的情景相符合，该函数的定义域就应当为（0，+∞）。
如何求函数定义域（通常是自然定义域），一般注意以下几点：
（1）分式的分母不能为零；
（2）偶次方根的被开方式非负；
（3）a0的底数a不能为零。
7．怎样理解函数值域，怎样求函数值域
函数值域是函数值全体的集合。求函数值域是函数部分的重点，也是难点。
为了对函数值域能有更准确的认识，严格地说，我们需要说明一下两点：（1）当x∈D时（D是函数的定义域），函数值f(x)都在这个集合内；（2）这个集合内的每一个数y都能代表一个函数值，即能在定义域D中找到一个自变量x，使得在对应法则下f(x)=y。以上两条分别保证了值域中没有“缺少”的元素和没有“多余”的元素。
求函数值域的常用方法：①利用函数单调性；②二次函数配方法；③换元法；④利用函数图像；⑤利用基本不等式；⑥分式函数的常数分离法；⑦反解函数解析式法等。
【基础例题】
例1已知函数f（x）=x2−3
|x|
，求f(3)，f(–x)，f(x–1).
分析：求解时，要深刻理解符号f(x)的含义。
例2关于函数f(x)（x∈R）与函数f(x+2)（x∈R）有同学认为是同一函数，其理由是：这两个函数的定义域都是R，对应法则都是f，所以它们的值域也相同，所以它们是同一函数，你认为正确吗？请举例说明。
分析：本题重在考查函数三要素中“对应法则”的含义。
例3求下列函数的定义域
（1）y=x+1
x−3x−4；（2）y= x2−9
3；（3）y=0
x−x
.
例4求下列函数的值域
（1）y=2x–3，x∈[1，2]；（2）y=2+4x+3 ；（3）y=2x+1
；（4）y=x2+2x+3，x∈[–3，2] .
x−3
分析：通过本例掌握求函数值域的一些基本方法和注意点。
【基础练习】
一、填空题
1、函数y=2− x2−1的定义域是。
2、函数f(x)=
1
2
x
(x≥4)
f x+3 (x<4)
则f(2)=。
3、函数f(x)=−x (x<0)
2 (0≤x<1)
−x2 (1≤x≤4)
的值域为。
4、函数y=4−x2
| x+1 |−2
的定义域为。
5、已知a∈R，函数y=| x |+| x–a |的值域为[1，+∞），则a=。
二、选择题
6、函数y=f(x)的定义域是[0，2]，则函数y=f(x+1)+f(x–1)的定义域为( ) （A）[0，2] （B）[0，1] （C）[1，2]（D）{1}
7、函数y=1
1+1
x
的定义域为( ) （A）(–∞，0) ∪ (0，+∞) （B）(–∞，–1) ∪ (–1，+∞)
（C）(–∞，–1) ∪ (0，+∞) （D）(–∞，–1) ∪ (–1，0) ∪ (0，+∞)
8、函数y=2+x+3 的值域为( )
（A）[0，+∞) （B）[0，3] （C）[0，52
4]（D）(–∞，52
4
]
三、解答题
9、设f(x)的定义域为（0，1），求函数f(x2–1)的定义域。
