山东省临沂市2019-2020学年高一上期末考试数学试题及答案.docx

A. B. C。 D。
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出基本事件总数 ,再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率.
【详解】从分别写有1,2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张,
基本事件总数 ，
A. “甲站排头”与“乙站排头”B. “甲站排头"与“乙不站排尾”
C. “甲站排头”与“乙站排尾”D. “甲不站排头”与“乙不站排尾”
【答案】BCD
【解析】
【分析】
互斥事件是不能同时发生的事件，因此从这方面来判断即可．
【详解】排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而B、C、D中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥．
【答案】
【解析】
【分析】
利用 、 表示向量 ，再由 可求得实数 的值.
【详解】 ，所以， ，
则 ，
为线段 的中点，则 ，因此, .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用平面向量的基底表示求参数,考查计算能力,属于中等题。
15. 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是 ，且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了 个问题就晋级下一轮的概率等于 ________.
故答案为: .
【点睛】本题考查利用独立事件的概率乘法公式计算事件的概率，考查计算能力，属于基础题.
16. 如图，在正方体 中,点 为线段 的中点，设点 在线段 上,直线 与平面 所成的角为 ，则 的最小值_________,最大值_______________.

18．已知集合 A x x2 3x 2 0 , B x x2 2mx m2 1 0 .
（1）当 m 0时.求 A R B ; （2）若 x A是 x B 的充分条件，求实数 m 的取值范围.
19．计算：
（1） log6 4 2 log6 3
（2） 2 3 2 6 2 （3） cos120 tan135
离公式为 d
C1 C2 A2 B2
，因此两平行直线需满足 A1
A2
A , B1
B2
B
2、C
【解析】根据分段函数的定义域求解.
【详解】因为
f
x
x 4 x 6 2x 3 x 6
，
所以 f 3 233 3
故选：C 3、B
【解析】先利用特殊点求出函数解析式为 y 3t ，再利用指数函数的性质即可判断出正误
x0
2,3 ，故
g x0
2.
【点睛】本题主要考查对新定义概念的理解，考查利用二分法判断函数零点的大概位置.首先研究函数 f x ，令
f x 0 无法求解出对应的零点，考虑用二分法来判断，即计算 f a f b 0 ，则零点在区间 a,b 上.再结合取整
函数的定义，可求出 g x0 的值.
【详解】解：图象可知，函数过点 (1,3) ，
a 3 ，
函数解析式为 y 3t ，
浮萍每月的增长率为 3t1 3t 3t
2 3t 3t
2 ，故选项 A 正确，
函数 y 3t 是指数函数，是曲线型函数，浮萍每月增加的面积不相等，故选项 B 错误，
当 t 4 时， y 34 81 80 ，故选项 C 正确，
A.{2，5}
B.{3，6}
C.{2，5，6}
D.{2，3，5，6}

2019-2020学年山东省临沂一中高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集U ={0,1,2,3,4,5},若集合A ={1,2,3,5}，B ={2,3,4}则(C U A)∪B 为( )．A. {1,2,4}B. {4}C. {0,2,4}D. {0,2,3,4}2. 已知函数f(x)={x +1x−2,x >2x 2+2,x ≤2则f(f(1))=( )A. −12B. 2C. 4D. 113. 下列各组中的函数f(x)与g(x)表示同一会说的是( )A. f(x)=|x|，g(x)=(√x)2B. f(x)=√x 2，g(x)=xC. f(x)=x 2−1x+1，g(x)=x −1 D. f(x)=x 0，g(x)=xx4. 已知集合A ={x|x 2−3x +2=0,x ∈R }，B ={x|0<x <6,x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A. 4B. 5C. 7D. 8 5. 已知函数f (x )=x 2−2ax +6在区间(−∞,3)是减函数，则( )A. a ≥3B. a >0C. a ≤3D. a <3 6. 已知函数f(x)=√x +1+2x ，则f(x)的最小值是( )A. −178 B. −2C. −78 D. 07. 集合M ={1,2，3}，则下列关系正确的是( )A. 1∈MB. 1∉MC. 1⊆MD. 1⫋M8. 已知f(x)={x −5(x ≥6),f(x +4)(x <6)则f(3)的值为( )A. 2B. 3C. 4D. 59. 函数y =3−2x2x+1的值域是( )A. { y|y ≠32 } B. { y|y ≠3 } C. { y|y ≠−2 }D. { y|y ≠−1 } 10. 函数f(x)=√2x −1的定义域是( )A. (−∞,12)B. (−∞,12] C. [12,+∞) D. (12,+∞)11. 若函数f(x)=2的定义域为R ，则实数m 取值范围是( )A. [0,8)B. (8,+∞)C. (0,8)D. (−∞,0)∪(8,+∞) 12. 若函数f(x)为R 上的偶函数，且在[0,+∞)内是增函数，又f(2)=0，则 f(x)<0的解集为( )A. (−2,2)B. (−∞,−2)∪(0,2)C. (−∞,−2)∪(2,+∞)D. (−2,0)∪(2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知集合A ={−2,0}，B ={−2,3}，则A ∪B = ______ ．14. 函数f(x)定义域为R ，对任意x ，y 都有f(xy)=f(x)+f(y)，则f(0)=______． 15. 函数f (x )={log 2x,0<x <1−2(x −1)(x −3),x ≥1的值域是________．16. 如图，△OAB 是边长为2的正三角形，记△OAB 位于直线x =t(0<t ≤2)左侧的图形的面积为f(t)，则 (Ⅰ)函数f(t)的解析式为______ ；(Ⅱ)函数y =f(t)的图象与直线t =2、t 轴围成的图形面积为______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 若A ={x|−3≤x ≤4}，B ={x|2m −1≤x ≤m +1}，B ⊆A ，求实数m 的取值范围．18. 已知f(1+1x )=1x 2−1，求f(x)的解析式．19. 已知函数f(x)=x +1x ，试讨论函数f(x)在区间(1,+∞)上的单调性．20. 根据市场调查，某种新产品投放市场的30天内，每件销售价格P(元)与时间t(天 t ∈N +)的关系满足如图，日销量Q(件)与时间t(天)之间的关系是Q =−t +40(t ∈N +).(Ⅰ)写出该产品每件销售价格P与时间t的函数关系式；(Ⅱ)在这30天内，哪一天的日销售金额最大？(日销量金额=每件产品销售价格×日销量)21.若函数f(x)对一切x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)，(1)试判断f(x)的奇偶性；(2)若f(−3)=a，用a表示f(12)．22.(1)讨论函数y=x+t的性质？x(2)已知f(x)=4x2−12x−3，x∈[0,1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；2x+1-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查了集合的化简与运算问题，属于基础题．根据补集和并集的定义，写出(∁U A)∪B即可．【解答】解：全集U={0,1，2，3，4，5}，集合A={1,2，3，5}，B={2,3，4}，则∁U A={0,3，4}，所以(∁U A)∪B={0,2，3，4}．故选D．2.答案：C解析：【分析】本题考查了分段函数求值问题，考查了数学运算能力，属于基础题．先求出f(1)的值，然后求出f(f(1))的值．【详解】解：因为数f(x)={x+1x−2,x>2 x2+2,x⩽2,所以f(1)=12+2=3，所以f(f(1))=f(3)=3+1=4．故选C．3.答案：D解析：【分析】本题考查函数的基本概念，属于基础题．只有解析式和定义域都相同的函数才是同一函数，逐一判断即可求解．【解答】解：对于A，f(x)=|x|的定义域为R，g(x)=(√x)2的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，所以不是同一函数;对于B，g(x)=x的定义域为R，f(x)=√x2=|x|的定义域为R，但对应法则不同，所以不是同一函数;对于C ，g(x)=x −1的定义域为R ，f(x)=x 2−1x+1的定义域为{x|x ≠−1}， 定义域不同，所以不是同一函数;对于D ，f(x)=x 0与g(x)=xx 的定义域为{x|x ≠0}，定义域相同，对于法则也相同，所以是同一函数． 故选D ．4.答案：D解析：集合A ={x|x 2−3x +2=0,x ∈R }={1,2}，B ={x|0<x <6,x ∈N }={1,2,3,4,5}，∵A ⊆C ，∴1∈C ，2∈C.又∵C ⊆B ∴集合C 可能为；{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}.共8个.故选D ．5.答案：A解析： 【分析】本题考查二次函数的性质，属于基础题．求出函数的对称轴，然后求f(x)在区间(−∞,3)是减函数，求出a 的取值范围． 【解答】解：函数f(x)=x 2−2ax +6的开口向上，对称轴为x =a ， 函数f(x)=x 2−2ax +6在区间(−∞,3)是减函数， ∴a ⩾3． 故选A ．6.答案：B解析：解：设t =√x +1(t ≥0)，则x =2t 2+t −2 函数g(t)=2(t +14)2−178，(t ≥0)当t ∈[0,+∞)上单调递增 所以f(x)min =g(0)=−2， 故选：B ．设t =√x +1(t ≥0)，将原函数式转化为关于t 的二次函数式的形式，再利用二次函数的值域求出原函数的值域即可本题主要考查了利用换元法函数的值域，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法，属于基础题7.答案：A解析：解：因为集合M ={1,2，3}，所以1∈M ； 故选：A ．根据元素与集合之间的关系∈和∉进行判断．本题考查元素与集合关系的判断，利用观察法即可解决，属于基础题．8.答案：A解析： 【分析】本题主要考查分段函数求函数值，属于基础题．根据自变量所在的范围，代入相应解析式，由此求得结果． 【解答】解：由题意得f(3)=f(3+4)=f(7)=7−5=2， 故选A ．9.答案：D解析： 【分析】本题考查函数值域的求解，分离常数是解决问题的关键，属基础题． 分离常数可得y =−1+42x+1，由42x+1≠0可得y ≠−1，可得函数的值域． 【解答】解：由题意可得y =3−2x 2x+1=−(2x+1)+42x+1=−1+42x+1，∵42x+1≠0，∴y ≠−1， ∴函数的值域为 { y|y ≠−1 } ． 故选D ．10.答案：C解析： 【分析】本题考查函数的定义域，属于基础题．根据题意可得2x −1≥0，解不等式即可求得结果． 【解答】解：由题意得，2x −1≥0， 得x ≥12，因此函数的定义域为[12,+∞)． 故选C ．11.答案：A解析： 【分析】本题主要考查函数定义域的应用，结合定义域转化为不等式恒成立是解决本题的关键，属于基础题． 根据函数定义域为R ，转化为不等式恒成立，结合一元二次不等式的性质进行求解即可． 【解答】解：∵f(x)的定义域为R ， ∴mx 2−mx +2>0恒成立，∴当m =0时，f(x)=√2定义域为R 成立，当m ≠0时，则满足{m >0Δ=m 2−8m <0，即{m >00<m <8, ∴解得0<m <8， 综上0≤m <8， 故选A ．12.答案：A解析：解：∵f(2)=0，∴不等式f(x)<0可化为f(x)<f(2)， 又∵定义域为R 的偶函数f(x)， ∴可得f(|x|)<f(2)． ∵f(x)在[0,+∞)上是增函数， ∴|x|<2，∴−2<x <2，故选A．利用偶函数的定义可得f(−x)=f(x)=f(|x|)，及f(x)在[0,+∞)上是增函数即可得出．熟练掌握函数的奇偶性、单调性是解题的关键．13.答案：{−2,0，3}解析：解：∵集合A={−2,0}，B={−2,3}，∴A∪B={−2,0，3}．故答案为：{−2,0，3}．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．14.答案：0解析：解：由题意，函数f(x)定义域为R，对任意x，y都有f(xy)=f(x)+f(y)，令x=y=0，则f(0)=f(0)+f(0)，可得：f(0)=0故答案为：0由题意，函数f(x)定义域为R，对任意x，y都有f(xy)=f(x)+f(y)，令x=y=0可得f(0)的值．本题考查了抽象函数的求值计算，利用赋值法．属于基础题．15.答案：(−∞,2]解析：【分析】由题意可得，当0<x<1时，f(x)=log2x是减函数，故f(x)<0.当x≥1时，利用二次函数性质可得当x=2时，f(x)有最大值2，由此得出结论．【解答】解答：∵函数，故当0<x<1时，f(x)=log2x是减函数，∴f(x)<0;当x≥1时，f(x)=−2(x−1)(x−3)，故当x=2时，f(x)有最大值2，综上可得，f(x)≤2．故答案为(−∞,2]．16.答案：(Ⅰ)f(t)={√32t 2, 0<t ≤1−√32(t −2)2+√3,1<t ≤2；(Ⅱ)√3解析：解：(Ⅰ)由图形知，当0<t ≤1时，此时满足条件的图形面积为 f(t)=12⋅t ⋅t ⋅tan π3=√32t 2； 当1<t ≤2时，此时满足条件的图形面积为f(t)=12×2×1×tan π3−12⋅(2−t)⋅(2−t)⋅tan π3=√3−√32(t −2)2；∴函数f(t)={√32t 2, 0<t ≤1−√32(t −2)2+√3,1<t ≤2．(Ⅱ)函数y =f(t)的图象与直线t =2、t 轴围成的图形面积是S =∫√3210t 2dt +∫(21−√32(t −2)2+√3)dt=√32×13t 3|01+(−√32×13t 3|12+2√3×12t 2|12−2√3t|12+√3t|12)=√36−7√36+3√3−2√3+√3 =√3．故答案为：f(t)={√32t 2, 0<t ≤1−√32(t −2)2+√3,1<t ≤2；√3．(Ⅰ)结合图形，求出0<t ≤1时和1<t ≤2时满足条件的图形的面积，用分段函数表示f(t)的解析式；(Ⅱ)因函数y =f(t)的图象与直线t =2、t 轴围成的图形面积曲边梯形，用积分求出面积即可． 本题考查了求函数的解析式以及利用积分求曲边梯形的面积问题，解题时应结合图形，求出符合条件的解析式并求出面积，是综合题目．17.答案：解：集合A ={x|−3≤x ≤4}，B ={x|2m −1<x <m +1}，且B ⊆A①B =Φ时，2m −1≥m +1，故m ≥2 ②B ≠Φ时，m <2 且{2m −1≥−3m +1≤4故−1≤m <2．综上，实数m 的取值范围：m ≥−1．解析：本题主要考查集合的相等等基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间相等的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．本题的关键是根据集合A ={x|−3≤x ≤4}，B ={x|2m −1<x <m +1}，且B ⊆A ，理清集合A 、B 的关系，求实数m 的取值范围．18.答案：解：设1+1x =t(t ≠1)，得x =1t−1.代入f(1+1x )=1x 2−1，得f(t)=(t −1)2−1.因为函数f 的自变量可用任意字母表示，故f(x)=(x −1)2−1=x 2−2x ， ∴f(x)=x 2−2x(x ≠1)．解析：本题考查利用换元法求函数解析式，设1+1x =t(t ≠1)，得x =1t−1.代入f(1+1x )=1x 2−1，得f(t)=(t −1)2−1，从而求得f(x)．19.答案：解：任取x 2>x 1>1，则f(x 2)−f(x 1)=(x 2−x 1)+(1x 2−1x 1)=(x 2−x 1)+x 1−x 2x 2x 1=(x 2−x 1)(1−1x2x 1)．因为x 2>x 1，所以x 2−x 1>0， 又因为x 2>1,x 1>1，所以x 2x 1>1， 所以1x2x 1<1，所以1−1x1x 2>0，所以(x 2−x 1)(1−1x2x 1)>0，即f(x 2)>f(x 1)，所以函数f(x)在(1,+∞)是单调增函数．解析：本题主要考查了函数的单调性，利用定义判断是解题的关键．20.答案：解：(Ⅰ)根据图象，每件销售价格P 与时间t 的函数关系为：P ={t +30 (0<t ≤20,t ∈N +)50 (20<t ≤30,t ∈N +)．(Ⅱ)设日销售金额y(元)，则y ={(t +30)(−t +40),(0<t ≤20,t ∈N +)50(−t +40),(20<t ≤30,t ∈N +)={−t 2+10t +1200 (0<t ≤20,t ∈N +)−50t +2000 (20<t ≤30,t ∈N +)．若0<t≤20，t∈N+时，y=−t2+10t+1200=−(t−5)2+1225，∴当t=5时，y max=1225；若20<t≤30，t∈N+时，y=−50t+2000是减函数，∴y<−50×20+2000=1000，因此，这种产品在第5天的日销售金额最大，最大日销售金额是1225元．解析：本题考查函数模型的建立，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(Ⅰ)根据图象，可得每件销售价格P与时间t的函数关系；(Ⅱ)结合日销量Q(件)与时间t(天)之间的关系，可得日销售金额函数，分段求最值，即可得到结论．21.答案：解：(1)显然f(x)的定义域是R，关于原点对称．又∵函数对一切x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)，∴令x=y=0，得f(0)=2f(0)，∴f(0)=0．再令y=−x，得f(0)=f(x)+f(−x)，∴f(−x)=−f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)∵f(−3)=a且f(x)为奇函数，∴f(3)=−f(−3)=−a．又∵f(x+y)=f(x)+f(y)，x、y∈R，∴f(12)=f(6+6)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(3+3)=4f(3)=−4a．故f(12)=−4a．解析：(1)判断f(x)奇偶性，即找出f(−x)与f(x)之间的关系，∴令y=−x，有f(0)=f(x)+f(−x)，故问题转化为求f(0)即可，可对x、y都赋值为0；(2)由于知晓f(−3)=a故解本题关键是找出f(12)与f(−3)之间的关系，注意用(1)的结论．本题考点是抽象函数及其性质，在研究其奇偶性时本题采取了连续赋值的技巧，这是判断抽象函数性质时常用的一种探究的方式，在第二问的求值中根据恒等式的结构把已知用未知表示出来，做题时注意体会抽象函数恒等式的用法规律．22.答案：解：(1)函数的定义域为{x|x≠0}，当t≤0时，函数f(x)在(−∞,0),(0,+∞)单调递增，当t>0时，函数f(x)在(−∞,−√t),(√t,+∞)单调递增，在(−√t,0),(√t,+∞)单调递减；(2)y=f(x)=4x2−12x−32x+1=2x+1+42x+1−8，设u=2x+1，x∈[0,1]，1≤u≤3，则y=u+4u−8，u∈[1,3]，由已知性质得，当1≤u ≤2，0≤x ≤12时，f(x)单调递减，所以递减区间为[0,12]，当2≤u ≤3，12≤x ≤1时，f(x)单调递增，所以递增区间为[12,1]，由f(0)=−3，f(12)=−4，f(1)=−113，得f(x)的值域为[−4,−3].解析：本题主要考查了利用单调性求函数的值域，同时考查了转化的思想和运算求解的能力．(1)直接对t 进行分类讨论即可求解此题；(2)把2x +1看成整体，研究对勾函数的单调性从而求出函数的值域，以及利用复合函数的单调性的性质得到该函数的单调性．。

2019-2020学年山东省临沂市高三上学期期末考试数学试卷及答案一、单选题1．设集合()(){}160A x x x =-->，{}20B x x =->，则A B = （）A ．{}6x x >B ．{}12x x <<C ．{}1x x <D ．{}26x x <<2．设复数z a bi =+(,)a b ∈R ，定义z b ai =+.若12z ii i=+-，则z =（）A ．1355i -+B ．1355i -C ．3155i -+D ．3155i --3．“游客甲在烟台市”是“游客甲在山东省”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数()22xf x =-（0x <）的值域是（）A ．()1,2B ．(),2-∞C ．()0,2D ．()1,+¥5．62x ⎛⎝的展开式的中间项为（）A ．-40B ．240x -C ．40D ．240x 6．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥A BCD -的每个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥底面BCD ，BC CD ⊥，且AB CD ==，2BC =，利用张衡的结论可得球O 的表面积为（）A ．30B ．C ．33D ．7．如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =（）A ．3155AB AC+B ．2155AB AC+C ．481515AB AC +D ．841515AB AC +8．已知函数2()2cos 12f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭(0)>ω的图象关于直线4x π=对称，则ω的最小值为（）A ．13B ．16C ．43D ．56二、多选题9．为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：kg ）情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示.对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（）A ．他们健身后，体重在区间[)90,100内的人增加了2个B ．他们健身后，体重在区间[)100,110内的人数没有改变C ．他们健身后，20人的平均体重大约减少了8kgD ．他们健身后，原来体重在区间[)110,120内的肥胖者体重都有减少10．若104a =，1025b =，则（）A ．2a b +=B ．1b a -=C ．281g 2ab >D ．lg 6b a ->11．已知P 是椭圆C ：2216x y +=上的动点，Q 是圆D ：()22115x y ++=上的动点，则（）A ．CB ．C 的离心率为306C ．圆D 在C 的内部D ．PQ的最小值为512．已知函数()sin cos f x x x x x =+-的定义域为[)2,2ππ-，则（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 在[)0,π上单调递增C ．()f x 恰有4个极大值点D ．()f x 有且仅有4个极值点三、填空题13x =______.14．已知P 为双曲线C ：2214y x -=右支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，且线段12A A ，12B B 分别为C 的实轴与虚轴.若12A A ，12B B ，1PF 成等比数列，则2PF =______.15．现将七本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲分得的书不少于3本的概率是______.16．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 上一点，且2CE DE =，F 为棱1AA 的中点，且平面BEF 与1DD 交于点G ，与1AC 交于点H ，则1DG DD =______，1AHHC =______.17．在①3cos 5A =，25cos 5C =，②sin sin sin c C A b B =+，60B = ，③2c =，1cos 8A =三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，______，求ABC 的面积S .四、解答题18．设*n N ∈，向量(31,3)AB n =+ ，(0,32)BC n =-，n a AB AC =⋅ .（1）试问数列{}1n n a a +-是否为等差数列？为什么？（2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .19．某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.购买金额（元）[)0,15[)15,30[)30,45[)45,60[)60,75[]75,90人数101520152010（1）根据以上数据完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.不少于60元少于60元合计男40女18合计（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为p （每次抽奖互不影响，且p 的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X （元）的分布列并求其数学期望.附：参考公式和数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.附表：k 2.072 2.706 3.841 6.6357.879()20P K k 0.1500.1000.0500.0100.00520．如图，在四棱锥P -ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，//AD BC ，AB BC ⊥，12AP AB BC AD ===，E 为AD 的中点，AC 与BE 相交于点O .（1）证明：PO ⊥平面ABCD .（2）求直线BC 与平面PBD 所成角的正弦值.21．如图，已知点F 为抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点，过点F 的动直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，且当直线l 的倾斜角为45°时，16MN =.（1）求抛物线C 的方程.（2）试确定在x 轴上是否存在点P ，使得直线PM ，PN 关于x 轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.22．已知函数()()2ln 1sin 1f x x x =+++，函数()1ln g x ax b x =--（,,0a b ab ∈≠R ）.（1）讨论()g x 的单调性；（2）证明：当0x ≥时，()31f x x ≤+.（3）证明：当1x >-时，()()2sin 22exf x x x <++.数学试题参考答案1-8CBAAB BDA 9-12ABD ACD BC BD 13、4；14、6；15、2516、163817、选①为9940；选②为16.18、（1）(31,31)AC AB BC n n =+=++，2(31)3(31)(31)(34)n a n n n n ∴=+++=++.1(34)(37)(31)(34)6(34)n n a a n n n n n +-=++-++=+ ，()()21118n n n n a a a a +++∴---=为常数，{}1n n a a +∴-是等差数列.（2）111133134n a n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，1111111111347710313434341216n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ .19、（1）22⨯列联表如下：不少于60元少于60元合计男124052女182038合计306090()22901220401814405 3.84130605238247K ⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯，因此有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.（2）X 可能取值为65，70，75，80，且10201903p +==.()3331165327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()22312270339P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()21312475339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()3032880327P X C ⎛⎫===⎪⎝⎭，所以X 的分布列为X65707580()P X 127294982712486570758075279927EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.20、（1）证明：AP ⊥ 平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，AP CD ∴⊥，//,AD BC 12BC AD =，E 为AD 的中点，则//BC DE 且BC DE =.∴四边形BCDE 为平行四边形，//BE CD ∴，AP BE ∴⊥.又,AB BC ⊥ 12AB BC AD ==，且E 为AD 的中点，∴四边形ABCE 为正方形，BE AC ∴⊥，又,AP AC A = BE ∴⊥平面APC ，PO ⊂平面APC ，则BEPO ⊥.AP ⊥ 平面,PCD PC ⊂平面PCD ，AP PC ∴⊥，又AC ==，PAC ∴∆为等腰直角三角形，O为斜边AC 上的中点，PO AC ∴⊥且,AC BE O = PO ∴⊥平面ABCD .（2）解：以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O -xyz ，如图所示不妨设1OB =，则(1,0,0),B (0,1,0),C (0,0,1),P (2,1,0)D -,则(1,1,0),BC =- (1,0,1),PB =- (2,1,1)PD =--.设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n PB n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，即0,20,x z x y z -=⎧⎨-+-=⎩即,3,x z y z =⎧⎨=⎩令1z =，得(1,3,1)n =.设BC 与平面PBD 所成角为θ，则22sin cos ,11BC n θ=<>==.21、解：（1）当直线l 的倾斜角为45°，则l 的斜率为1，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭ ，l ∴的方程为2p y x =-.由2,22,p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得22304p x px -+=.设()11,M x y ，()22,N x y ，则123x x p +=，∴12416x x p M p N ++===，4p =，∴抛物线C 的方程为28y x =.（2）假设满足条件的点P 存在，设(),0P a ，由（1）知()2,0F ，①当直线l 不与x 轴垂直时，设l 的方程为()2y k x =-（0k ≠），由()22,8,y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()22224840k x k x k -++=，()22222484464640k k k k ∆=+-⋅⋅=+>，212248k x x k++=，124x x =.∵直线PM ，PN 关于x 轴对称，∴0PM PN k k +=，()112PM k x k x a-=-，()222PN k x k x a-=-.∴()()()()()()122112128(2)222240a k x x a k x x a k x x a x x a k+--+--=-+++=-=⎡⎤⎣⎦∴2a =-时，此时()2,0P -.②当直线l 与x 轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM ，PN 关于x 轴对称，此时只需P 与焦点F 不重合即可.综上，存在唯一的点()2,0P -，使直线PM ，PN 关于x 轴对称.22、（1）解：()g x 的定义域为()0,∞+，()a g x x bx'=-，当0a >，0b <时，()0g x '>，则()g x 在()0,∞+上单调递增；当0a >，0b >时，令()0g x '>，得bx a >，令()0g x '<，得0b x a<<，则()g x 在0,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当0a <，0b >时，()0g x '<，则()g x 在()0,∞+上单调递减；当0a <，0b <时，令()0g x '>，得0b x a<<，令()0g x '<，得bx a >，则()g x 在0,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）证明：设函数()()()31h x f x x =-+，则()2cos 31x x h x '=+-+.因为0x ≥，所以(]20,21x ∈+，[]cos 1,1x ∈-，则()0h x '≤，从而()h x 在[)0,+∞上单调递减，所以()()()()3100h x f x x h =-+≤=，即()31f x x ≤+.（3）证明：当1a b ==时，()1ln g x x x =--.由（1）知，()()min 10g x g ==，所以()1ln 0g x x x =--≥，即1ln x x ≥+.当1x >-时，()210x +>，()2sin 1e 0x x +>，则()()22sin sin 1e 1ln 1e x x x x ⎡⎤++≥+⎣⎦，即()()2sin 1e 2ln 1sin 1x x x x ++++≥，又()()22sin sin 22e 1e x xx x x ++>+，所以()()2sin 22e 2ln 1sin 1xx x x x ++>+++，即()()2sin 22e xf x x x <++.。