求解最优控制问题的伪谱法

最优控制问题求解方法综述摘要：主要阐述了关于最优控制问题的基本概念，最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科，解决最优控制问题的主要方法有变分法、极小值原理和动态规划法。

本文着重讲解各种方法的特点，适用范围，可求解问题的种类以及各方法之间的联系等。

关键词：最优化；最优控制；极值正文：最优控制是系统设计的一种方法，是现代控制理论的核心之一，是从大量实际问题中提炼出来的。

它尤其与航空航天的制导、导航和控制技术密不可分。

最优控制理论所研究的问题可以概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标最优。

这类问题广泛存在于技术领域或社会问题中。

例如，确定一个最优控制方式使空间飞行器由一个轨道转换到另一轨道过程中燃料消耗最少，选择一个温度的调节规律和相应的原料配比使化工反应过程的产量最多，制定一项最合理的人口政策使人口发展过程中的老化指数、抚养指数和劳动力指数为最优等，都是一些经典的最优控制问题。

常用的最优化求解方法有变分法、极小值原理以及动态规划法等。

与解析法相比，用最优控制理论设计系统有如下的特点：（1）适用于多变量、非线性、时变系统的设计。

（2）初始条件可以任意。

（3）可以满足多个目标函数的要求，并可用于多个约束的情况。

1 变分法变分法是求解泛函极值的一种经典方法，可以确定容许控制为开集的最优控制函数，也是研究最优控制问题的一种重要工具。

掌握变分法的基本原理，还有助于理解以最小值原理和动态规划等最优控制理论的思想和内容。

但是，变分法作为一种古典的求解最优控制的方法，只有当控制向量u（t）不受任何约束，其容许控制集合充满整个m维控制空间，用古典变分法来处理等式约束条件下的最优控制问题才是行之有效的。

在许多实际控制问题中，控制函数的取值常常受到封闭性的边界限制，如方向舵只能在两个极限值范围内转动，电动机的力矩只能在正负的最大值范围内产生等。

利用高斯伪谱法求解小推力伴星最优释放轨迹
段传辉;董云峰
【期刊名称】《中国空间科学技术》
【年(卷),期】2011(031)005
【摘 要】针对近距离相对运动的轨道控制问题,提出用常值小推力完成最优转移的
方法.基于C-W方程,推导了相对运动解析解的表达式,讨论了在无控条件下能够形
成稳定绕飞构型的初始相对速度和相对位置的限制条件,以此限制条件作为终端条
件,以伴星释放时近似为零的相对速度和相对位置为初始条件,建立了利用连续小推
力实现的伴星释放最优控制问题的模型.选用了高斯伪谱法将最优控制问题离散化,
转化成非线性规划问题并通过系列二次规划法完成求解.数值仿真算例表明,利用高
斯伪谱法求解此问题可以有效地收敛到最优解.

【总页数】7页(P18-24)
【作 者】段传辉;董云峰
【作者单位】北京航空航天大学宇航学院,北京100191;北京航空航天大学宇航学
院,北京100191

【正文语种】中 文
【相关文献】
1.基于高斯伪谱法的空天飞机上升段最优轨迹设计 [J], 张佩俊;刘鲁华;王建华
2.利用高斯伪谱法求解升力航天器最优再入轨迹 [J], 周文雅;杨涤;李顺利
3.利用高斯伪谱法求解具有最大横程的再入轨迹 [J], 周文雅;杨涤;李顺利
4.基于高斯伪谱法的火星表面上升燃耗最优轨迹设计 [J], 柯森锎;李爽;肖东东;王
卫华;聂钦博
5.基于高斯伪谱法的火星表面上升燃耗最优轨迹设计 [J], 柯森锎; 李爽; 肖东东; 王
卫华; 聂钦博

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最优控制问题最优控制问题综述报告一、最优控制简介最优控制是现代控制理论的重要组成部分，它研究的主要问题是：在满足一定约束条件下，寻求最优控制策略，使得性能指标取极大值或极小值。

最优控制是使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。

可概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。

最优控制是最优化方法的一个应用。

从数学意义上说，最优化方法是一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数达到极值，即最大值或最小值。

所谓最优控制问题，就是指在给定条件下，对给定系统确定一种控制规律，使该系统能在规定的性能指标下具有最优值。

也就是说最优控制就是要寻找容许的控制作用（规律）使动态系统（受控系统）从初始状态转移到某种要求的终端状态，且保证所规定的性能指标（目标函数）达到最大（小）值。

其本质是变分学问题。

二、产生背景及发展最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科，基本内容和常用方法包括动态规划、最大值原理和变分法。

这方面的开创性工作主要是由贝尔曼（R.E.Bellman）提出的“动态规划”和庞特里亚金等人提出的“极大值原理”，到了60年代，卡尔曼等人又提出了可控制性及可观测性概念，建立了最优估计理论。

它以20世纪60年代空间飞行器的制导为背景。

它最初的研究对象是由导弹、航天、航海中的制导、导航等自动控制技术、自动控制理论、数字计算技术等领域所总结出来的一类按某个性能指标达到最大或最小的控制问题。

1948年维纳发表了题为《控制论—关于动物和机器中控制与通讯的科学》的论文，第一次科学的提出了信息、反馈和控制的概念，为最优控制理论的诞生和发展奠定了基础。

钱学森1954年所着的《工程控制论》，直接促进了最优控制理论的发展和形成。

1960年，最大值原理、动态规划方法和最优线性调节器的理论被公认为最优控制理论的三大里程碑，标志着最优控制理论的诞生。

利用高斯伪谱法求解具有最大横程的再入轨迹周文雅;杨涤;李顺利【摘要】为了使升力式飞行器再入大气层后取得最大横程,采用高斯伪谱方法求解最优再入轨迹.利用微分形式高斯伪谱方法将飞行器三自由度再入轨迹优化问题转化为非线性规划问题,选取高斯节点上的状态量和控制量作为待优化参数,并将最优性能指标选为横程最大,然后对再入轨迹进行了求解.通过与按最大升阻比飞行方案所得结果进行对比,表明按所提方法求取的再入轨迹优于后者.此外,仿真过程还说明高斯伪谱法对状态猜测值并不敏感,算法容易收敛,适用于轨迹优化问题的求解.【期刊名称】《系统工程与电子技术》【年(卷),期】2010(032)005【总页数】5页(P1038-1042)【关键词】飞行器控制技术;再入轨迹;高斯伪谱法;最大横程;非线性规划【作者】周文雅;杨涤;李顺利【作者单位】哈尔滨工业大学航天工程系,黑龙江,哈尔滨,150001;哈尔滨工业大学航天工程系,黑龙江,哈尔滨,150001;哈尔滨工业大学航天工程系,黑龙江,哈尔滨,150001【正文语种】中文【中图分类】V412.40 引言随着航空航天技术的飞速发展,飞行器的种类越来越多。

其中,有相当大一部分在空间执行任务结束后,都必须再次地穿过大气层,最终返回到地面,例如美国的航天飞机和载人飞船的返回舱等,这些都属于再入飞行器。

这类飞行器大体上可分为三类:弹道式、弹道升力式和升力式。

其中,升力式飞行器能够利用飞行器控制技术,调整其所受的气动力,从而改变其再入轨迹。

这种飞行器除了能够水平着陆外,还具有大范围的机动飞行能力。

在很多情况下,升力式飞行器再入时,都对其横向最大机动距离提出要求,以确定飞行器的横向机动能力,如美国为实现快速全球打击而研制的增强型通用空天飞行器(enhanced common aero vehicle,ECAV),要求其横向机动能力达到 5 560 km[1]。

而对于飞行器纵向机动距离,由于可以通过大气外轨道调整实现,往往不作为再入指标被提出。

万方数据　万方数据　万方数据　万方数据　万方数据　万方数据　万方数据Legendre-Gauss拟谱法求解最优控制问题作者：童科伟， 周建平， 何麟书， Tong Kewei， Zhou Jianping， He Linshu作者单位：北京航空航天大学宇航学院,北京,100191刊名：航空学报英文刊名：ACTA AERONAUTICA ET ASTRONAUTICA SINICA年，卷(期)：2008,29(6)被引用次数：6次1.Rao A V;Clarke K A Performance optimization of a ma-neuvering re-entry vehicle via a legendre pseudospectral method[AIAA-2002-4885] 20022.Fahroo F;Ross I M Costate estimation by a legendre pseudospectral method 2001(02)3.Fahroo F;Ross I M A spectral patching method for di-rect trajectory optimization 2000(2-3)4.Canuto C;Hussaini M Y;Quarteroni A Sepctral methods in fluid dynamics 19885.Berrut J P;Trefethen L N Baryeentric lagrange interpola-tion[外文期刊] 2004(03)6.Weideman J A C;Reddy S C A MATLAB differentia-tion matrix suite 2000(04)7.Benson D A A Gauss pseudospectral transcription for op-timal control 20058.Benaon D A;Huntington G T;Thorvaldsen T P Direct trajectory optimization and costate estimation via an orthogonal collocation method 2006(06)9.Huntington G T;Benson D A;How J P Computation of boundary controls using a gauss pseudospectral method 200710.Rao A V Extension of a pseudospectral legendre method to non-sequential multiple-phase optimal control problems[AIAA-2003-5634] 200311.Fikar M;Cizniar M DYNOPT 200712.Seywald H;Cliff E M Goddard problem in presence of a dynamic pressure limit 1993(04)1.童科伟.周建平.何麟书.TONG Ke-wei.ZHOU Jian-ping.HE Lin-shu稀疏拟谱最优控制法求解Goddard火箭问题[期刊论文]-固体火箭技术2009,32(4)1.陈杨.邵之江.钱积新.王可心联立法中全局和局部正交配置算法[期刊论文]-化工学报 2010(2)2.汪立新.冷杉.王建华基于Gauss伪谱法的导弹过渡段控制律设计[期刊论文]-控制工程 2013(5)3.谢愈.刘鲁华.汤国建.郑伟多约束条件下高超声速滑翔飞行器轨迹优化[期刊论文]-宇航学报 2011(12)4.陈小庆.侯中喜.刘建霞基于多分辨率技术的滑翔飞行器轨迹优化算法[期刊论文]-宇航学报 2010(8)5.陈小庆.侯中喜.刘建霞高超声速滑翔式飞行器再入轨迹多目标多约束优化[期刊论文]-国防科技大学学报2009(6)6.吴云华.曹喜滨.张世杰.邢艳军.郑鹏飞编队卫星相对轨道与姿态一体化耦合控制[期刊论文]-南京航空航天大学学报 2010(1)引用本文格式：童科伟.周建平.何麟书.Tong Kewei.Zhou Jianping.He Linshu Legendre-Gauss拟谱法求解最优控制问题[期刊论文]-航空学报 2008(6)。

l2 范数状态约束椭圆最优控制问题的谱方法L2范数状态约束椭圆最优控制问题是指在一定的约束条件下，找到一个最优的控制策略使得系统的状态误差的L2范数最小化。

谱方法是解决此类问题的一种常用方法。

谱方法的基本思想是将控制策略表示为一组基函数的线性组合，然后通过求解有限维度上的优化问题，得到最优的控制策略。

首先，我们将状态向量表示为一组基函数的线性组合：x(t) = Σ φi(t)ai, i=1,2,...,N其中，φi(t)是基函数，ai是待求的系数。

然后，通过将控制策略表示为基函数的线性组合，我们可以将约束条件转化为一个关于系数ai的优化问题。

例如，在L2范数约束下，我们可以将状态误差的L2范数表示为：J = ∫[0,T] ||x(t)-xref(t)||^2 dt = ∫[0,T] (Σ φi(t)ai - Σ φi(t)ai_ref)^2 dt我们要求解的问题就是最小化目标函数J，同时满足约束条件。

可以将问题转化为一个关于ai的优化问题。

最后，我们可以采用谱方法求解这个优化问题。

谱方法基于谱展开(通过傅里叶变换将控制策略展开为一组正交函数)，将无穷维度的优化问题转化为有限维度的优化问题。

具体来说，谱方法将控制策略表示为一组正交基函数的线性组合，然后通过选择适当的基函数和合适的系数，将无穷维度的优化问题转化为有限维度的优化问题。

最后，使用标准的优化算法，如梯度下降方法，来求解有限维度的优化问题，得到最优的控制策略。

总之，谱方法是解决L2范数状态约束椭圆最优控制问题的一种有效方法。

它通过将控制策略表示为一组正交基函数的线性组合，将无穷维度的优化问题转化为有限维度的优化问题，从而能够快速有效地求解最优的控制策略。

普适变量下的最优控制求解研究
张亚锋;和兴锁
【期刊名称】《飞行力学》
【年(卷),期】2009(27)6
【摘要】研究了普适变量下状态方程的最优控制问题。

在消除奇点的轨道根数的基础上,建立了普适变量下适合圆锥曲线求解的摄动方程。

利用Gauss伪谱法对摄动方程进行了最优控制求解和仿真验证。

计算过程及仿真结果表明,所建立的摄动方程以及所用的Gauss法能够满足各种约束条件,便于对发动机进行控制,且在零倾角轨道情况下不产生奇异。

【总页数】4页(P48-50)
【关键词】Gauss伪谱法;最优控制;有限推力;轨道转移优化;普适变量
【作者】张亚锋;和兴锁
【作者单位】西北工业大学力学与土木建筑学院
【正文语种】中文
【中图分类】V448.2
【相关文献】
1.普适学习视域下继续教育发展趋势探索——兼论构建普适学习导向的残疾人终身教育体系 [J], 潘威;王姣艳
2.基于普适变量法的火星探测器轨道初步设计及仿真 [J], 周杰;张树瑜;刘付成
3.一种无奇异的求解Lambert变轨的普适变量法 [J], 彭坤;徐世杰
4.求解最优控制问题的混合变量变分方法及其航天控制应用 [J], 彭海军;高强;吴志刚;钟万勰
5.普适双变量随机气候模式的研究 [J], 林振山
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最优控制问题的数值方法设计最优控制问题一直是优化和计算数学领域中的一个重要研究方向。

在实际应用中，我们经常需要找到使某个目标函数取得最优值的控制策略。

然而，由于问题的复杂性和非线性特点，解决这类问题往往需要借助于数值方法的设计和实现。

本文将介绍一种用于最优控制问题的数值方法设计。

第一部分：最优控制问题的定义最优控制问题主要包括两个方面：系统动力学建模和控制目标的设定。

系统动力学建模是将实际问题描述为一套数学方程组，通常采用微分方程或差分方程来表示系统的演化。

控制目标则是明确我们希望系统达到的状态或性能。

第二部分：数值方法的基本原理针对最优控制问题，数值方法的设计通常基于最优控制理论的基本原理，如最优性原理和泛函极值原理。

最优性原理主要用来判定最优解的存在性和最优解满足的必要条件，而泛函极值原理则用来寻找最优解的数值近似。

第三部分：常用的数值方法1. 直接方法：直接方法是将最优控制问题转化为一个高维优化问题，并通过数值优化算法求解。

其中最常用的方法有拟牛顿法、共轭梯度法和信赖域算法等。

2. 间接方法：间接方法将最优控制问题转化为一个两点边值问题，并通过求解边值问题得到最优解的近似。

常用的间接方法包括极大似然法、伪谱方法和多项式逼近法等。

3. 直接间接结合方法：直接间接结合方法综合了直接方法和间接方法的优势，通过迭代地求解状态轨迹和边值问题，逐步逼近最优解。

著名的方法有多次平滑法和插值法等。

第四部分：数值方法设计的考虑因素1. 系统复杂性：最优控制问题的数值方法设计需要考虑系统的复杂性和非线性特征，选择适合的数值方法来处理。

2. 计算效率：数值方法的设计还要考虑计算效率，需要在保证结果准确性的前提下，尽量提高计算速度。

3. 数值稳定性：数值方法设计中，数值稳定性是一个重要考虑因素，需要避免数值不稳定引起的计算误差和结果偏离真实解。

第五部分：数值方法设计案例分析我们以单目标连续时间最优控制问题为例，介绍数值方法的设计和实现过程。