优化与最优控制中的计算方法(叶庆凯,王肇明编著)思维导图

6

泛函(functional)
x(t ) 或函数 x( ) 与相对应的值 J [ x()] 之间体现的
是从时间路径(或函数)到实数的映射

] 取决于函数 x( ) 或整条路径 x(t ) 泛函 J [
泛函的变化意味着整条路径位置的变动
7

泛函值：
(t ) dt J [ x( )] F t, x(t ), x
( ) C1 ，满足：
1. 最优性条件(optimal condition)： H u t , x* , u * , 0
(t ) H t , x* , u * , 2. 共态方程(costate equation)： x
3. 横截性条件(transversality condition)： (t1 ) S x* (t1 )
2
7.1 最优控制问题 7.1.1 目标泛函 7.1.2 最优控制问题的典型表示 7.1.3 最优控制问题的特征
3
7.1.1 目标泛函
静态优化问题 经济主体的最优决策一次性完成 决策不涉及未来的规划和决策

4

动态优化问题的解 规划期界(planning horizon)内的最优决策序列 (离散时间)或时间路径(连续时间) （图 7.2）
控制变量 u(t ) 不仅直接影响目标泛函 J x( ), u () ， 而且借助 x(t ) 间接影响目标泛函 J x( ), u( )

最优控制问题要求：决策者能够支配至少一个转移方 程中的至少一个控制变量。
11

) 上的连续性限制： 施加在被积函数 f () 和转移函数 g(
27

求解最优控制的变分方法
2.1 泛函与变分法基础
平面上两点连线的长度问题
1
S
1 x2 (t)dt
1
一般来说，曲线不同，弧长就不同，即弧长依赖于曲线， 记为 S(x( ))
S(x( )) 称为泛函
x(t) 称为泛函的宗量
2
现
48
求解最优控制的变分方法
泛函与函数的几何解释
2021年4月13日星期二
现代控制理论
m m Ku
m 飞船的质量 h 高度 v 垂直速度 g 月球重力加速度常数 M 飞船自身质量 F 燃料的质量 K 为常数
初始状态 终点条件
h(0) h0 h(T ) 0
v(0) v0 v(T ) 0
m(0) M F
2
现
10
最优控制问题
1.1 两个例子
例1.1 飞船软着陆问题
软着陆 过程开 始时刻 t 为零
hv v u g
m m Ku
m 飞船的质量 h 高度 v 垂直速度 g 月球重力加速度常数 M 飞船自身质量 F 燃料的质量 K 为常数
初始状态 h(0) h0 v(0) v0 m(0) M F
2
现
9
最优控制问题
1.1 两个例子
例1.1 飞船软着陆问题
软着陆 过程开 始时刻 t 为零
hv v u g
J
J[x x] 0
0
上述方法与结论对多个未知函数的泛数同样适用
2021年4月13日星期二
现代控制理论
37
最优控制问题
(4) 性能指标
T
J (u( )) (x(T),T) L(x(t),u(t),t)dt t0
2
现

（11）
对（11）式中的第三项进行分部积分，得
T J [ x ( t )] H ( x , u , λ , t ) d t λ ( t ) x λ ( t ) x d t f t T t f t 0
0

t f
t f
t 0
（12）
当泛函J 取极值时，其一次变分等于零。 即

T
将上式改写成
T T t H H f δ J λ ( t ) δ x ( t ) λ δ x δ u d t 0 f f t x ( t ) x u 0 f （13）
0
tf
( x ,x , t ) 及 x ( t ) 在 [ t 0 , t f ] 上连续可微， t 0 和 t f 给定， 其中， L
(t0) x x (tf ) xf ，x(t)Rn ，则极值轨线 x * ( t ) 满足如下欧 已知 x 0， 拉方程
L d L 0 x dt x
J [ x ( t t ( x , u , t ) d t f), f] L
t f t 0
(x ,u ,t) 是 x 、u 和t 的连续函数 最优。其中 L
最优控制问题就是求解一类带有约束条件的条件泛函极值问题。
补充：泛函与变分法
一、泛函与变分
1、泛函的基本定义： 如果对于某个函数集合 x(t)中的每一个函数 x (t )，变量J 都有一个 值与之对应，则称变量J 为依赖于函数 x (t ) 的泛函，记作 Jx ( t) 可见，泛函为标量，可以理解为“函数的函数” 例如：
由于 δ u 是任意的变分，根据变分法中的辅助引理，由（16）式得 （17） （14）式称为伴随方程， λ (t )为伴随变量，（17）式为控制方程。

2021年4月30日
第7章第3页
看如下最短路线的例子，设由 A 至 F 的路线如图所示，要求选择一条路程最短的线路。
各地间的距离已标注在图中。
由 A 到 B(B1, B2 , B3) ，需要选择一条路线，使 AB 之间的路程最短，称为一级决策过程；
再从 B(B1, B2 , B3) 到 C(C1,C2 ,C3) 选择一条路线 ABC ，使 AC 之间的路程最短，称为二 级决策过程；从 ABCD 选择一条路线，使 AD 之间路程最短，称为三级决策过程；以此 类推。显然，对于图所示路线，从 A 到 F 共有五级决策过程。为了确定 AF 之间最短路
态变量必须满足“无后效性”。所谓无后效性的概念是：在任一时刻 tk ，系统的状态为 x(tk ) ，
以后的状态仅决定于 x(tk ) 以及 x(tk ) 达到终点时刻 t1 的状态 x(t1) 的控制策略，而与以前
的状态和以前的控制策略无关。因此，在应用动态规划方法时，要注意状态变量的选取， 使之满足“无后效性”的条件。
min
95 5 11
14
S4 (B1) C1
2021年4月30日
第7章第9页
决策变量 决策变量
J
4
(
B2
)
min
dd((BB22,,CC21
) )
J J
3 3
(C1 ) (C2 )
min
45 3 11
9
d (B2 , C3 ) J3 (C3 )
5 8
S4 (B2 ) C1
J
4
(
B3
7.4.2 离散系统的动态规划
为了讨论简单起见，将离散系统最优控制问题改提为
min
J

y
为泛函的变分，记作 J
泛函在y*(t)达到极值的必要条件是泛函的一次变分等于0.
主要内容
一
概述
二
静态最优化问题
三
泛函及其极值—变分法
三 四 用变分法求解连续系统的最优控制问题
五 六五
极小值原理 动态规划
河南科技大学 机械制造及其自动化学科
一、概述
所谓最优化就是：人们在从事某项工作时， 设法采取最合理的方案或措施，以其收到最 好的效果。
优化的概念：为了做好某件事情，有一个期 望的目标（目标函数），寻求一组输入变量， 使得目标函数达到最优。
（3）系统初始状态给定，即 x(t0) t00 x(0) 而终端条件可有约束（固定终端的最优控制）和无约束（自由终端
的最优控制）。
（4）性能指标泛函的一般形式
J (u) [x(t f ),t f ]
tf t0
f0 x(t),u(t)dt
由末值项和积分项组成，末值项为了保证在终端时刻，系统状态与给定
J tf Lx(t),u(t),tdt t0
约束条件为 x&(t) f x(t),u(t),t 0
河南科技大学 机械制造及其自动化学科
最优控制问题，都有一个描述受控系统过程的状态方程， 又有一个评价性能是否优良的性能指标函数。
（1）状态方程的要求 x&(t) f (x,u)
要求向量函数f(x,u)诸分量fi对x，u连续，对x连续可微。 （2）系统对u(t)可加/不加约束，对u(t)不加不等式约束条件的最优控制 问题称为无约束的最优控制；反之为有约束的最优控制。
一般地，目标函数用 J f (x) 来表示
等式约束 g(x) 0 不等式约束 h(x) 0 因此，最优化问题就是要在约束条件下，寻求 x ，使目标函数取得

最优化计算方法（精选）
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6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
ห้องสมุดไป่ตู้
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8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
谢谢！
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿

Cabinet Bookshelf With Doors With Drawers Wood 10 12 25 Labor 2 4 8 Revenue 100 150 200
Custom
20
12
400
6
2. 数学模型 （定量优化计算：不增加投入而 增加产出的手段） 第一，无约束极值问题（例1.3）
min f x, y x 2 y 1
2
2
图解法的步骤： 2 2 ①令 f x, y x 2 y 1 c ，显然 ③确定极值点位置，并用以往所学方法求之。
c0 ；
②取 c 0,1, 4,9,并画出相应的曲线（称之为等值线）.
。由此
min f x s.t. h x 0
（2）

以向量为变量的实向量值函数最优化问题的一般形式
min f x1 , x2 ,, xn s.t. hi x1 , x2 ,, xn 0, i 1, 2,, l (l n) s j x1 , x2 , , xn 0, j 1, 2,, m

1
,
arccos
向量的夹角 ， , 向量的正交 , 1.可微
,

0 ,

2
, 0 （正交性）
设 .如果存在 n 维向量 l , 对于可任意小的 n 维非零向量 p ，总有
f : D R R , x0 D
Example Suppose that a manufacturer of kitchen cabinets is trying to maximize the weekly revenue of a factory. Various orders have come in that the company could accept. They include bookcases with open shelves(开架书橱), cabinets with doors（带门橱柜）, cabinets with drawers（带抽屉橱柜） , and custom-designed ( 定 制 的 ) cabinets. The following Table indicates the quantities of materials （ 原 材 料 ） and labor required to assemble the four types of cabinets, as well as the revenue earned. Suppose that 5000 units of wood and 1500 units of labor are available.